第 4 章微积分

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4.1 微分

4.1.1 Fréchet微分

Definition 4.1. 设\(X,Y\)为数域\(K\)上的赋范线性空间，\(E\subseteq X\)是开集，\(x_0\in E\)，映射\(T:E\to Y\)。若存在有界线性算子\(A\in\mathcal{L}(X,Y)\)满足：

\[\begin{equation*} \lim_{||h||_X\to0}\frac{||T(x_0+h)-Tx_0-Ah||_Y}{||h||_X}=0 \end{equation*}\]

则称映射\(T\)在点\(x_0\)处Fréchet 可微（differentiable），称\(A\)是\(T\)在点\(x_0\)处的Fréchet 微分（differential），记作\(\operatorname{D}Tx_0=A\)。若\(T\)在\(E\)中的每一个点处都Fréchet可微，则称\(T\)在\(E\)上Fréchet可微。若\(T\)在\(E\)上Fréchet可微，导数映射\(\operatorname{D}T:E\to\mathcal{L}(X,Y)\)在点\(x_0\)处Fréchet可微，则称\(T\)在点\(x_0\)处二阶Fréchet可微，并将\(\operatorname{D}T\)在点\(x_0\)处的Fréchet微分记作\(\operatorname{D}^2Tx_0\)，更高阶的情况可依此类推。

note 4.1. 注意到：

\[\begin{equation*} \operatorname{D}^2Tx_0\in\mathcal{L}\bigl(X,\mathcal{L}(X,Y)\bigr) \end{equation*}\]

所以\(\operatorname{D}^2Tx_0\)有两个自变量，且关于任何一个自变量都是线性的，同时每个自变量都取值于\(X\)。高阶的情况也类似。

Definition 4.2. 设\(X,Y\)为数域\(K\)上的赋范线性空间，\(E\subseteq X\)是开集，\(x_0\in E\)，\(T:E\to Y\)是映射。称：

\[\begin{equation*} T(x_0+h)=Tx_0+Ah+r(h),\quad ||r(h)||_Y=\operatorname{o}(||h||_X),\;(||h||_X\to0) \end{equation*}\]

为无穷小增量公式，其中\(A\in\mathcal{L}(X,Y)\)为有界线性算子。

Definition 4.3. 将所有在\(E\)上具有直到\(n\)次Fréchet微分并且每一阶微分都在\(E\)上连续的映射构成的集合记作\(C^n(E)\)。

Property 4.1.1. 设\(X,Y\)为数域\(K\)上的赋范线性空间，\(E\subseteq X\)是开集，\(x_0\in E\)，\(T:E\to Y\)和\(S:E\to Y\)是两个映射，则：

若\(T\)在\(x_0\)处Fréchet可微，则\(T\)在\(x_0\)处的Fréchet微分是唯一的；
若\(T\)在\(x_0\)处Fréchet可微，则存在\(x_0\)的邻域\(U\)和\(\alpha>0\)使得：

\[\begin{equation*} ||Tx-Tx_0||_Y\leqslant\alpha||x-x_0||_X,\quad\forall\;x\in U \end{equation*}\]
若\(T\)在\(x_0\)处Fréchet可微，则\(T\)在\(x_0\)处连续；
若\(T\)在\(x_0\)处Fréchet可微，则\(T\)在\(x_0\)处具有无穷小增量公式；
若\(T,S\)在\(x_0\)处Fréchet可微，则对于任意的\(\alpha,\beta\in K\)，\(\alpha T+\beta S\)在\(x_0\)处Fréchet可微，且有：

\[\begin{equation*} \operatorname{D}(\alpha T+\beta S)x_0=\alpha \operatorname{D}Tx_0+\beta\operatorname{D}Sx_0 \end{equation*}\]
设\(Z\)是数域\(K\)上的赋范线性空间，\(F\subseteq Y\)是开集，\(R:F\to Z\)是映射。若\(T\)在\(x_0\)处Fréchet可微，\(TE\subseteq F\)，\(R\)在\(Tx_0\)处Fréchet可微，则\(RT:E\to Z\)也在\(x_0\)处可微，且有：

\[\begin{equation*} \operatorname{D}(RT)x_0=\operatorname{D}R(Tx_0)\operatorname{D}Tx_0 \end{equation*}\]

证明. (1)若存在一个不同于\(A\)的\(B\in\mathcal{L}(X,Y)\)满足：

\[\begin{equation*} \lim_{||h||_X\to0}\frac{||T(x_0+h)-Tx_0-Bh||_Y}{||h||_X}=0 \end{equation*}\]

则对于任意的\(h\in X\setminus\{\mathbf{0}\}\)有：

\[\begin{align*} &||(B-A)h||_Y=||T(x_0+h)-Tx_0-Ah-[T(x_0+h)-Tx_0-Bh]||_Y \\ \leqslant&||T(x_0+h)-Tx_0-Ah||_Y+||T(x_0+h)-Tx_0-Bh||_Y \end{align*}\]

于是：

\[\begin{equation*} \frac{||(B-A)h||_Y}{||h||_X}\leqslant\frac{||T(x_0+h)-Tx_0-Ah||_Y}{||h||_X}+\frac{||T(x_0+h)-Tx_0-Bh||_Y}{||h||_X} \end{equation*}\]

由性质 3.3.3(4)(5.b)可得：

\[\begin{align*} &\frac{||(B-A)h||_Y}{||h||_X}\leqslant\lim_{||h||_X\to0}\left[\frac{||T(x_0+h)-Tx_0-Ah||_Y}{||h||_X}+\frac{||T(x_0+h)-Tx_0-Bh||_Y}{||h||_X}\right] \\ =&\lim_{||h||_X\to0}\frac{||T(x_0+h)-Tx_0-Ah||_Y}{||h||_X}+\lim_{||h||_X\to0}\frac{||T(x_0+h)-Tx_0-Bh||_Y}{||h||_X}=0 \end{align*}\]

所以\(||(B-A)h||=0\)对任意的\(h\in X\setminus\{\mathbf{0}\}\)都成立，即\(A=B\)。

(2)设\(\operatorname{D}Tx_0=A\)。因为\(T\)在\(x_0\)处Fréchet可微，所以对于任意的\(\varepsilon>0\)，存在\(\delta>0\)使得当\(0<||x-x_0||_X<\delta\)时有：

\[\begin{equation*} ||Tx-Tx_0-A(x-x_0)||_Y<\varepsilon||x-x_0||_X \end{equation*}\]

于是算子范数：

\[\begin{align*} &||Tx-Tx_0||_Y\leqslant||Tx-Tx_0-A(x-x_0)||_Y+||A(x-x_0)||_Y \\ <&\varepsilon||x-x_0||_X+||A||\;||x-x_0||_X=(\varepsilon+||A||)||x-x_0||_X \end{align*}\]

取\(\alpha=\varepsilon+||A||\)即可。

(3)由(2)立即可得。

(4)由定义立即可得。

(5)令\(A=\operatorname{D}Tx_0,\;B=\operatorname{D}Sx_0\)。对于任意的\(h\in X\setminus\{\mathbf{0}\}\)有：

\[\begin{align*} &\frac{||[\alpha T(x_0+h)+\beta S(x_0+h)-\alpha Tx_0-\beta Sx_0]-(\alpha A+\beta B)h||_Y}{||h||_X} \\ =&\frac{1}{||h||_X}\{||\alpha[T(x_0+h)-Tx_0-Ah]+\beta[S(x_0+h)-Sx-Bh]||_Y\} \\ \leqslant&\frac{1}{||h||_X}\{||\alpha[T(x_0+h)-Tx_0-Ah]||_Y+||\beta[S(x_0+h)-Sx-Bh]||_Y\} \\ =&|\alpha|\frac{||T(x_0+h)-Tx_0-Ah||_Y}{||h||_X}+|\beta|\frac{||S(x_0+h)-Sx-Bh||_Y}{||h||_X} \end{align*}\]

于是由性质 3.3.3(4)(5.b)(5.c)可得：

\[\begin{align*} &0\leqslant\lim_{||h||_X\to0}\frac{||[\alpha T(x_0+h)+\beta S(x_0+h)-\alpha Tx_0-\beta Sx]-(\alpha A+\beta B)h||_Y}{||h||_X} \\ \leqslant&|\alpha|\lim_{||h||_X\to0}\frac{||T(x_0+h)-Tx_0-Ah||_Y}{||h||_X}+|\beta|\lim_{||h||_X\to0}\frac{||S(x_0+h)-Sx-Bh||_Y}{||h||_X}=0 \end{align*}\]

所以：

\[\begin{equation*} \lim_{||h||_X\to0}\frac{||[\alpha T(x_0+h)+\beta S(x_0+h)-\alpha Tx_0-\beta Sx]-(\alpha A+\beta B)h||_Y}{||h||_X}=0 \end{equation*}\]

根据(1)可知结论成立。

(6)记：

\[\begin{equation*} A=\operatorname{D}T(x_0)\in\mathcal{L}(X,Y),\quad B=\operatorname{D}R(Tx_0)\in\mathcal{L}(Y,Z) \end{equation*}\]

由于\(T\)在\(x_0\)处Fréchet可微，由(4)可得：

\[\begin{equation*} T(x_0+h)-T(x_0)=Ah+r_1(h),\quad||r_1(h)||_Y=\operatorname{o}(||h||_X),\;(||h||_X\to0) \end{equation*}\]

同理：

\[\begin{equation*} R(Tx_0+k)-R(Tx_0)=Bk+r_2(k),\quad||r_2(k)||_Z=\operatorname{o}(||k||_Y),\;(||k||_Y\to0) \end{equation*}\]

令\(k=T(x_0+h)-T(x_0)\)，于是：

\[\begin{align*} &R(T(x_0+h))-R(Tx_0)=R(Tx_0+k)-R(Tx_0)\\ =&Bk+r_2(k)=B[Ah+r_1(h)]+r_2(k)=BAh+Br_1(h)+r_2(k) \end{align*}\]

因此：

\[\begin{equation*} R(T(x_0+h))-R(Tx_0)-BAh=Br_1(h)+r_2(k) \end{equation*}\]

所以算子范数：

\[\begin{align*} &\frac{||R(T(x_0+h))-R(Tx_0)-BAh||_Z}{||h||_X}=\frac{||Br_1(h)+r_2(k)||_Z}{||h||_X} \\ \leqslant&\frac{||Br_1(h)||_Z}{||h||_X}+\frac{||r_2(k)||_Z}{||h||_X}\leqslant ||B||\,\frac{||r_1(h)||_Y}{||h||_X}+\frac{||r_2(k)||_Z}{||k||_Y}\cdot\frac{||k||_Y}{||h||_X} \end{align*}\]

由(2)可知存在常数\(\alpha>0\)使得：

\[\begin{equation*} ||T(x_0+h)-T(x_0)||_Y\leqslant\alpha||h||_X \end{equation*}\]

即：

\[\begin{equation*} \frac{||k||_Y}{||h||_X}\leqslant\alpha \end{equation*}\]

由性质 3.3.3(4)(5.b)(5.c)可得：

\[\begin{equation*} \lim_{||h||_X\to0}\frac{||R(T(x_0+h))-R(Tx_0)-BAh||_Z}{||h||_X}=0 \end{equation*}\]

◻

4.1.2 Gâteaux微分

Definition 4.4. 设\(X,Y\)为数域\(K\)上的赋范线性空间，\(E\subseteq X\)，\(x_0\in X\)，映射\(T:E\to Y\)。给定\(h\in X\)，若存在\(\delta>0\)使得\(x_0+th\in E\)对一切\(|t|<\delta\)成立，并且存在极限：

\[\begin{equation*} \lim_{t\to0}\frac{T(x_0+th)-Tx_0}{t} \end{equation*}\]

则称该极限为映射\(T\)在点\(x_0\)沿方向\(h\)的Gâteaux 方向导数（directional derivative），记为\(\mathop{}\!\mathrm{d}T(x_0;h)\)。若对任意的\(h\in X\)，\(\mathop{}\!\mathrm{d}T(x_0;h)\)都存在且存在有界线性算子\(A\in\mathcal{L}(X,Y)\)满足：

\[\begin{equation*} \forall\;h\in X,\;\mathop{}\!\mathrm{d}T(x_0;h)=Ah \end{equation*}\]

则称\(T\)在\(x_0\)处Gâteaux可微，称\(A\)是\(T\)在点\(x_0\)处的Gâteaux导数，记作\(\operatorname{D}_GTx_0\)。特别的，若\(X\)是有限维的，设\(X\)的维数为\(n\)，取\(X\)的一组基\(\{e_1, e_2, \dots, e_{n}\}\)，称\(T\)在\(x_0\)处对\(e_i\)的Gâteaux方向导数为\(T\)在点\(x_0\)对\(e_i\)的偏导数（partial derivative），也将其记作\(\partial_iTx_0\)。若对给定的\(h\in X\)，映射\(x\to\mathop{}\!\mathrm{d}T(x;h)\)在点\(x_0\)处沿方向\(h_1\in X\)的Gâteaux方向导数存在，即：

\[\begin{equation*} \lim_{t\to0}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}T(x_0+th_1;h)-\mathop{}\!\mathrm{d}T(x_0;h)}{t} \end{equation*}\]

存在，则称该极限为映射T在点\(x_0\)沿方向\(h,h_1\)的二阶Gâteaux方向导数，记作\(\mathop{}\!\mathrm{d}^2T(x_0;h,h_1)\)，更高阶的情况可依此类推，类似高阶Fréchet可微的情况，也可以定义高阶Gâteaux可微。

note 4.2. 对于\(\mathbb{R}^{n}\)上的偏导数，默认取对应坐标轴的标准正交基。

Property 4.1.2. 设\(X,Y\)为数域\(K\)上的赋范线性空间，\(E\subseteq X\)是开集，\(x_0\in E\)，\(T:E\to Y\)是映射。Fréchet可微和Gâteaux可微有如下关系：

若\(T\)在\(x_0\)处Fréchet可微，则\(T\)在\(x_0\)处Gâteaux可微，且\(\operatorname{D}_GTx_0=\operatorname{D}Tx_0\)；
若\(X=Y=\mathbb{R}^{}\)，则Fréchet可微和Gâteaux可微等价，且\(\operatorname{D}_GTx_0=\operatorname{D}Tx_0\)；
若\(X\)是\(n\)维的，其一组基为\(\{e_1, e_2, \dots, e_{n}\}\)，\(T\)在\(x_0\)处Fréchet可微，\(h=\sum\limits_{i=1}^{n}a_ie_i\)，则：

\[\begin{equation*} (\operatorname{D}Tx_0)h=\sum_{i=1}^{n}a_i\partial_iTx_0 \end{equation*}\]

证明. (1)对任意的\(h\in X\)，由性质 4.1.1(4)可得：

\[\begin{equation*} \frac{T(x_0+th)-Tx_0}{t}=\frac{(\operatorname{D}Tx_0)(th)+r(th)}{t}=(\operatorname{D}Tx_0)h+\frac{r(th)}{t} \end{equation*}\]

其中\(||r(h)||_Y=o(||h||_X)(||h||_X\to0)\)。注意到：

\[\begin{equation*} \left\|\frac{r(th)}{t}\right\|_Y=\frac{||r(th)||_Y}{|t|}=\frac{||r(th)||_Y}{||th||_X}||h||_X \end{equation*}\]

由性质 3.3.3(5.c)可得：

\[\begin{equation*} \lim_{t\to0}\left\|\frac{r(th)}{t}\right\|_Y=\lim_{t\to0}\frac{||r(th)||_Y}{||th||_X}||h||_X=||h||_X\lim_{t\to0}\frac{||r(th)||_Y}{||th||_X}=0 \end{equation*}\]

所以根据性质 3.4.1(3)可得：

\[\begin{equation*} \lim_{t\to0}\frac{T(x_0+th)-Tx_0}{t}=(\operatorname{D}Tx_0)h+\lim_{t\to0}\frac{r(th)}{t}=(\operatorname{D}Tx_0)h \end{equation*}\]

(2)只需证明此时若\(T\)在\(x_0\)处Gâteaux可微，则\(T\)在\(x_0\)处Fréchet可微。

因为\(T\)在\(x_0\)处Gâteaux可微，所以对于任意的\(h\in\mathbb{R}^{}\)，\(\mathop{}\!\mathrm{d}T(x_0;h)\)都存在且存在有界线性算子\(A\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^{},\mathbb{R}^{})\)满足：

\[\begin{equation*} \forall\;h\in X,\;\mathop{}\!\mathrm{d}T(x_0;h)=Ah \end{equation*}\]

因为\(A\)是从\(\mathbb{R}^{}\)到\(\mathbb{R}^{}\)上的有界线性算子，所以\(Ah=a\times h\)，其中\(a\in\mathbb{R}^{}\)。在Gâteaux可微的定义式中取\(h=1\)即可得到：

\[\begin{equation*} \lim_{t\to0}\frac{T(x_0+t)-Tx_0}{t}=a \end{equation*}\]

由性质 3.2.9(8.a)(8.b)可得：

\[\begin{align*} \lim_{h\to0}\frac{|T(x_0+h)-Tx_0-Ah|}{|h|}&= \lim_{h\to0}\frac{|T(x_0+h)-Tx_0-ah|}{|h|}=\lim_{h\to0}\left|\frac{T(x_0+h)-Tx_0}{h}-a\right| \\ &=\left|\lim_{h\to0}\left[\frac{T(x_0+h)-Tx_0}{h}-a\right]\right|=0 \end{align*}\]

(3)因为\(T\)在\(x_0\)处Fréchet可微，\(\operatorname{D}Tx_0\)是线性算子，由(1)可得：

\[\begin{equation*} (\operatorname{D}Tx_0)h=(\operatorname{D}Tx_0)\left(\sum_{i=1}^{n}a_ie_i\right)=\sum_{i=1}^{n}a_i(\operatorname{D}Tx_0)e_i=\sum_{i=1}^{n}a_i(\operatorname{D}_GTx_0)e_i=\sum_{i=1}^{n}a_i\partial_iTx_0 \end{equation*}\]

◻

note 4.3. 根据性质 4.1.2(2)，当\(X=Y=\mathbb{R}^{}\)时，简称\(T\) Fréchet可微或\(T\) Gâteaux可微为\(T\)可微，对应的Fréchet微分或Gâteaux微分记作\(T'\)，二阶微分记作\(T''\)或\(T^{(2)}\)，更高阶的情况可依此类推。

4.1.3 实值函数的微分

4.1.3.1 有限增量公式

Definition 4.5. 设函数\(f:X\to\mathbb{R}^{}\)，开集\(E\subseteq X\)，\(x_0\in E\)。若存在\(x_0\)的邻域\(U(x_0,\delta)\)使得对任意的\(x\in U(x_0,\delta)\)有：

\[\begin{equation*} f(x)\leqslant f(x_0)\quad\text{或}\quad f(x)\geqslant f(x_0) \end{equation*}\]

则称\(f(x)\)在\(x_0\)处取到极大值或极小值。若上述不等号严格地成立，则称\(f(x)\)在\(x_0\)处取到严格的极大值或严格的极小值。函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取到极值的点\(x\in X\)被称为函数的极值点。

引理 5.1 Lemma 4.1. 设函数\(f:\mathbb{R}^{}\to\mathbb{R}^{}\)，\(A\in\mathbb{R}^{}\setminus\{0\}\)。若\(f(h)=Ah+\operatorname{o}(h)(h\to0)\)，那么对于充分小的\(h\ne0\)，\(f(h)\)与\(Ah\)同号。

证明. 由性质 3.3.3(5.b)(5.c)可得：

\[\begin{equation*} \lim_{h\to0}\frac{f(h)}{Ah}=\lim_{h\to0}\frac{Ah}{Ah}+\lim_{h\to0}\frac{\operatorname{o}(h)}{Ah}=1+\frac{1}{A}\lim_{h\to0}\frac{\operatorname{o}(h)}{h} \end{equation*}\]

根据性质 3.3.3(3)即可得到结论。 ◻

Theorem 4.1. （Fermat Theorem）

设函数\(f:I\to\mathbb{R}^{}\)，开区间\(I\subseteq\mathbb{R}^{}\)，\(f\)在\(x_0\in I\)处取得极值。若\(f\)在\(x_0\)处可微，则有\(f'(x_0)=0\)。

证明. 由性质 4.1.1(4)可得：

\[\begin{equation*} f(x)-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)+\operatorname{o}(|x-x_0|),\quad(|x-x_0|\to0) \end{equation*}\]

根据引理 4.1即可得出结论。 ◻

Theorem 4.2. （Rolle Theorem）

设\(\mathbb{R}^{}\)上的函数\(f\)在\([a,b]\)上连续，\((a,b)\)上可微，\(f(a)=f(b)\)，则存在\(c\in(a,b)\)使得\(f'(c)=0\)。

证明. 由性质 3.2.2(2)、定理 3.9和性质 3.3.2(3)可知\(f\)在\([a,b]\)上取到最小值\(m\in\mathbb{R}^{}\)和最大值\(M\in\mathbb{R}^{}\)。若\(M=m\)，则\(f\)在\([a,b]\)上是常值函数，由定理 4.1可知对任意的\(c\in(a,b)\)都有\(f'(c)=0\)。若\(M\ne m\)，则存在\(c\in(a,b)\)使得\(f\)在\(c\)处取得极值。由定理 4.1即可得出结论。 ◻

Theorem 4.3. （Lagrange Mean Value Theorem）

设\(\mathbb{R}^{}\)上的函数\(f\)在\([a,b]\)上连续，\((a,b)\)上可微，则存在\(c\in(a,b)\)使得：

\[\begin{equation*} f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{equation*}\]

即存在\(\theta\in(0,1)\)使得：

\[\begin{equation*} f(b)-f(a)=f'[a+\theta(b-a)](b-a) \end{equation*}\]

证明. 作辅助函数：

\[\begin{equation*} F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \end{equation*}\]

由性质 3.3.3(5.b)(5.c)和性质 4.1.1(5)可知\(F(x)\)在\([a,b]\)上连续，\((a,b)\)上可微，\(F(a)=F(b)=0\)。根据定理 4.2可知存在\(c\in(a,b)\)使得：

\[\begin{equation*} 0=F'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{equation*}\]

◻

Theorem 4.4. （有限增量公式）

设\(X\)为实赋范线性空间，\(E\subseteq X\)为开集，\(f:E\to\mathbb{R}\)在连接\(a,b\in E\)的线段\(\{a+t(b-a):t\in[0,1]\}\)上连续，并在开线段\(\{a+t(b-a):t\in(0,1)\}\)上Fréchet可微，则存在\(\theta\in(0,1)\)使得：

\[\begin{equation*} f(b)-f(a)=Df[a+\theta(b-a)](b-a) \end{equation*}\]

证明. 考察函数：

\[\begin{equation*} \varphi(t)=f[a+t(b-a)] \end{equation*}\]

\(\varphi(t)\)在\([0,1]\)上连续，在\((0,1)\)上可微，由定理 4.3可得：

\[\begin{equation*} \varphi(1)-\varphi(0)=\varphi'(\theta),\;\theta\in(0,1) \end{equation*}\]

根据性质 4.1.1(6)和性质 4.1.2(3)可知：

\[\begin{equation*} \varphi'(t)=\operatorname{D}f[a+t(b-a)](b-a) \end{equation*}\]

于是：

\[\begin{equation*} \varphi(1)-\varphi(0)=f(b)-f(a)=\operatorname{D}f[a+\theta(b-a)](b-a) \end{equation*}\]

◻

4.1.3.2 Taylor公式

Theorem 4.5. （Cauchy Mean Value Theorem）

设\(\mathbb{R}^{}\)上的函数\(f,g\)在\([a,b]\)上连续，\((a,b)\)上可微，且对任意的\(x\in(a,b)\)有\(g'(x)\ne0\)，则\(c\in(a,b)\)使得：

\[\begin{equation*} \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} \end{equation*}\]

即存在\(\theta\in(0,1)\)使得：

\[\begin{equation*} \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'[a+\theta(b-a)]}{g'[a+\theta(b-a)]} \end{equation*}\]

证明. 由定理 4.3可知\(g(b)-g(a)\ne0\)，定义函数：

\[\begin{equation*} F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)] \end{equation*}\]

由性质 3.3.3(5.b)(5.c)和性质 4.1.1(5)可知\(F(x)\)在\([a,b]\)上连续，\((a,b)\)上可微，\(F(a)=F(b)=0\)。根据定理 4.2可知存在\(c\in(a,b)\)使得：

\[\begin{equation*} 0=F'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(c) \end{equation*}\]

◻

引理 5.2 Lemma 4.2. 设\(\mathbb{R}^{}\)上的函数\(f\)在\(U(a,\delta)\)上有定义，\(f\)在点\(a\)处\(n\)阶可微。若\(f(a)=f'(a)=f''(a)=\cdots=f^{(n)}(a)=0\)，则\(f(x)=\operatorname{o}\Big((x-a)^n\Big)(x\to a)\)。

证明. 由洛必达和性质 3.3.3(5.c)可得：

\[\begin{align*} &\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{(x-a)^n}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{n(x-a)^{n-1}}=\lim_{x\to a}\frac{f''(x)}{n(n-1)(x-a)^{n-2}}=\cdots=\lim_{x\to a}\frac{f^{(n-1)}(x)}{(n-1)!(x-a)} \\ =&\lim_{x\to a}\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!(x-a)}=\frac{1}{(n-1)!}\lim_{x\to a}\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(a)}{(x-a)}=\frac{f^{(n)}(a)}{(n-1)!}=0 \end{align*}\]

◻

引理 5.3 Lemma 4.3. 设\(\mathbb{R}^{}\)上的函数\(f,g\)在\(U(a,\delta)\)上有定义，\(f,g\)在点\(a\)处\(n\)阶可微。若\(f^{(i)}(a)=g^{(i)}(a),\;i=1,2,\dots,n\)，则\(f(x)=g(x)+\operatorname{o}\Big((x-a)^n\Big)(x\to a)\)。

证明. 在引理 4.2中取\(f-g\)即可得到。 ◻

引理 5.4 Lemma 4.4. 设\(\mathbb{R}^{}\)上的函数\(f\)在\(U(a,\delta)\)上有定义，\(f\)在点\(a\)处\(n\)阶可微，则：

\[\begin{equation*} f(x)=\sum_{i=0}^{n}\frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i+\operatorname{o}\Big((x-a)^n\Big),\;(x\to a) \end{equation*}\]

证明. 令：

\[\begin{equation*} g(x)=\sum_{i=0}^{n}\frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i \end{equation*}\]

则对任意\(i=0,1,\dots,n\)，都有\(g^{(i)}(a)=f^{(i)}(a)\)。由引理 4.3可得：

\[\begin{equation*} f(x)=g(x)+\operatorname{o}\Big((x-a)^n\Big),\;(x\to a) \end{equation*}\]

◻

引理 5.5 Lemma 4.5. 设\(\mathbb{R}^{}\)上的函数\(f\in C^n([a,b])\)，\(f\)在\((a,b)\)上\(n+1\)阶可微，\(y\in [a,b]\)。若\(f(y)=f'(y)=f''(y)=\cdots=f^{(n)}(y)=0\)，则对任意的\(x\in[a,b]\)，存在介于\(x\)和\(y\)之间的\(c\)使得：

\[\begin{equation*} f(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-y)^{n+1} \end{equation*}\]

证明. 记\(g(x)=(x-y)^{n+1}\)，则\(g(y)=g'(y)=g''(y)=\cdots=g^{(n)}(y)=0\)。由定理 3.23和定理 4.5可知存在介于\(x\)和\(y\)之间的\(c_1\)使得：

\[\begin{equation*} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}=\frac{f'(c_1)}{g'(c_1)} \end{equation*}\]

由定理 3.23和定理 4.5可知存在介于\(c_1\)和\(y\)之间的\(c_2\)使得：

\[\begin{equation*} \frac{f'(c_1)}{g'(c_1)}=\frac{f'(c_1)-f'(y)}{g'(c_1)-g'(y)}=\frac{f''(c_2)}{g''(c_2)} \end{equation*}\]

依此类推可得：

\[\begin{equation*} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(c_1)}{g'(c_1)}=\frac{f''(c_2)}{g''(c_2)}=\cdots=\frac{f^{(n)}(c_n)}{g^{(n)}(c_n)}=\frac{f^{(n+1)}(c)}{g^{(n+1)}(c)} \end{equation*}\]

即：

\[\begin{equation*} f(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-y)^{n+1} \end{equation*}\]

◻

引理 5.6 Lemma 4.6. 设\(\mathbb{R}^{}\)上的函数\(f\in C^n([a,b])\)，\(f\)在\((a,b)\)上\(n+1\)阶可微，\(y\in [a,b]\)，则对任意的\(x\in[a,b]\)，存在介于\(x\)和\(y\)之间的\(c\)使得：

\[\begin{equation*} f(x)=\sum_{i=0}^{n}\frac{f^{(i)}(y)}{i!}(x-y)^i+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-y)^{n+1} \end{equation*}\]

证明. 对函数：

\[\begin{equation*} f(x)-\sum_{i=0}^{n}\frac{f^{(i)}(u)}{i!}(x-y)^i \end{equation*}\]

使用定理 3.23、性质 3.3.3(5.b)(5.c)、性质 4.1.1(5)和引理 4.5即可得到。 ◻

Theorem 4.6. （Taylor’s Theorem）

称以下公式为Taylor公式：

(Peano余项) 设\(X\)为实赋范线性空间，\(E\subseteq X\)为开集，函数\(f:E\to\mathbb{R}\)在\(x_0\in E\)处\(n\)阶Fréchet可微。对任意\(h\in X\)有：

\[\begin{equation*} f(x_0+th)=\sum_{i=0}^{n}\frac{t^i}{i!}\operatorname{D}^ifx_0(\underbrace{h,\dots,h}_{i\text{个}h})+\operatorname{o}(t^n),\;(t\to0) \end{equation*}\]
(Lagrange余项) 设\(X\)为实赋范线性空间，\(E\subseteq X\)为开集，\(x_0\in E\)，函数\(f:E\to\mathbb{R}\)在\(\{x_0+th:0\leqslant t\leqslant1\}\)上\(n+1\)次Fréchet可微，并且\(\{x_0+th:0\leqslant t\leqslant1\}\subseteq E\)，则存在\(\theta\in(0,1)\)使得

\[\begin{equation*} f(x_0+h)=\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{i!}\operatorname{D}^ifx_0(\underbrace{h,\dots,h}_{i\text{个}h}) +\frac{1}{(n+1)!}\operatorname{D}^{n+1}f(x_0+\theta h)(\underbrace{h,\dots,h}_{n+1\text{个}h}) \end{equation*}\]

证明. (1)考察函数：

\[\begin{equation*} \varphi(t)=f(x_0+th) \end{equation*}\]

由于\(f\)在\(x_0\)处\(n\)次Fréchet可微，所以\(\varphi\)在\(t=0\)处\(n\)次可微。由性质 4.1.1(6)可得对\(i=1,\dots,n\)有：

\[\begin{equation*} \varphi^{(i)}(0)=\operatorname{D}^ifx_0(\underbrace{h,\dots,h}_{i\text{个}h}) \end{equation*}\]

根据引理 4.4可得：

\[\begin{equation*} \varphi(t)=\sum_{i=0}^{n}\frac{\varphi^{(i)}(0)}{i!}t^i+\operatorname{o}(t^n)=\sum_{i=0}^{n}\frac{t^i}{i!}\operatorname{D}^ifx_0(\underbrace{h,\dots,h}_{i\text{个}h})+\operatorname{o}(t^n),\;(t\to0) \end{equation*}\]

(2)考察函数：

\[\begin{equation*} \varphi(t)=f(x_0+th) \end{equation*}\]

由性质 4.1.1(3)可知\(\varphi\in C^n([0,1])\)，且在\([0,1]\)上\(n+1\)阶可微。由性质 4.1.1(6)可得对\(i=1,\dots,n\)有：

\[\begin{equation*} \varphi^{(i)}(0)=\operatorname{D}^ifx_0(\underbrace{h,\dots,h}_{i\text{个}h}) \end{equation*}\]

根据引理 4.6可知存在\(\theta\in(0,1)\)使得：

\[\begin{align*} &\varphi(1)=\sum_{i=0}^{n}\frac{\varphi^{(i)}(0)}{i!} +\frac{\varphi^{(n+1)}(\theta)}{(n+1)!} \\ =&\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{i!}\operatorname{D}^ifx_0(\underbrace{h,\dots,h}_{i\text{个}h}) +\frac{1}{(n+1)!}\operatorname{D}^{n+1}f(x_0+\theta h)(\underbrace{h,\dots,h}_{n+1\text{个}h}) \end{align*}\]

◻

4.1.3.3 极值

Theorem 4.7. 设\(X\)为实赋范线性空间，\(E\subseteq X\)为开集，函数\(f:E\to\mathbb{R}^{}\)在\(x_0\in E\)处Fréchet可微。

(一阶必要条件) 若\(x_0\)是\(f\)的极值点，则\(\operatorname{D}fx_0=0\)；
(二阶必要条件) 若\(f\)在\(x_0\)处二阶Fréchet可微，\(x_0\)是\(f\)的极小（大）值点，则\(\operatorname{D}fx_0=0\)且对任意\(h\in X\)都有\(\operatorname{D}^2fx_0(h,h)\geqslant0\)（\(\operatorname{D}^2fx_0(h,h)\leqslant0\)）；
(二阶充分条件) 若\(\operatorname{D}fx_0=0\)且存在常数\(c>0\)，使得对任意\(h\in X\)都有\(\operatorname{D}^2fx_0(h,h)\geqslant c||h||_X^2\)（\(\operatorname{D}^2fx_0(h,h)\leqslant c||h||_X^2\)），则\(x_0\)是\(f\)的严格极小（大）值点。

证明. 只证极小值情形，极大值完全类似。

(1)任取\(h\in X\)，考察函数：

\[\begin{equation*} \varphi(t)=f(x_0+th) \end{equation*}\]

由于\(E\)是开集，故当\(t\)充分接近\(0\)时，\(x_0+th\in E\)，从而\(\varphi\)在\(0\)附近有定义。

因为\(x_0\)是\(f\)的极小值点，所以存在\(\delta>0\)，使得当\(||x-x_0||<\delta\)时有\(f(x)\geqslant f(x_0)\)，于是对充分小的\(|t|\)，若\(||th||<\delta\)，则：

\[\begin{equation*} \varphi(t)=f(x_0+th)\geqslant f(x_0)=\varphi(0) \end{equation*}\]

因此\(t=0\)是\(\varphi\)的极小值点。

对任意的\(h\in X\)，由性质 4.1.1(4)可得：

\[\begin{equation*} f(x_0+th)=f(x_0)+\operatorname{D}fx_0(th)+r(th),\quad|r(th)|=\operatorname{o}(||th||_X),\;(||th||_X\to0) \end{equation*}\]

由性质 3.3.3(5.c)可得：

\[\begin{align*} &\lim_{|t|\to0}\frac{|\varphi(t)-\varphi(0)-\operatorname{D}fx_0(th)|}{|t|}=\lim_{|t|\to0}\frac{|f(x_0+th)-f(x_0)-\operatorname{D}fx_0(th)|}{|t|} \\ =&\lim_{|t|\to0}\frac{|\operatorname{D}fx_0(th)+r(th)-\operatorname{D}fx_0(th)|}{|t|}=\lim_{|t|\to0}\frac{|r(th)|}{|t|}=\lim_{|t|\to0}\frac{|r(th)|}{||th||_X}\frac{||th||_X}{|t|} \\ =&||h||_X\lim_{|t|\to0}\frac{|r(th)|}{||th||_X}=||h||_X\lim_{||th||_X\to0}\frac{|r(th)|}{||th||_X}=0 \end{align*}\]

即\(\varphi\)在\(t=0\)处可微，且\(\varphi'(0)=(\operatorname{D}fx_0)h\)。

由定理 4.1可得\(\varphi'(0)=0\)，根据\(h\)的任意性可知\(\operatorname{D}fx_0=0\)。

(2)由(1)即可得到\(Df(x_0)=0\)。

任取\(h\in X\)，考察函数：

\[\begin{equation*} \varphi(t)=f(x_0+th) \end{equation*}\]

由于\(x_0\)是极小值点，故\(t=0\)是\(\varphi\)的极小值点。因为\(f\)在\(x_0\)处二阶Fréchet可微，所以由定理 4.6(1)可得

\[\begin{equation*} f(x_0+th)=f(x_0)+t(\operatorname{D}fx_0)h+\frac{t^2}{2}\operatorname{D}^2fx_0(h,h)+\operatorname{o}(t^2),\;(t\to0) \end{equation*}\]

即：

\[\begin{equation*} \varphi(t)-\varphi(0)=\frac{t^2}{2}\operatorname{D}^2fx_0(h,h)+\operatorname{o}(t^2),\;(t\to0) \end{equation*}\]

因为\(t=0\)是极小值点，所以对充分小的\(t\)有\(\varphi(t)-\varphi(0)\geqslant0\)，于是由引理 4.1可得\(\operatorname{D}^2fx_0(h,h)\geqslant0\)。

(3)由定理 4.6(1)可得：

\[\begin{equation*} f(x_0+th)-f(x_0)=\frac{t^2}{2}\operatorname{D}^2fx_0(h,h)+\operatorname{o}(t^2),\;(t\to0) \end{equation*}\]

根据性质 3.3.3(3)可得对于足够小的\(t\)有：

\[\begin{equation*} f(x_0+th)-f(x_0)>\frac{t^2}{2}||h||_X^2-\frac{t^2}{4}||h||_X^2=\frac{t^2}{4}||h||_X^2 \end{equation*}\]

当\(h\ne\mathbf{0}_X\)时就有\(f(x_0+th)-f(x_0)>0\)，因此\(x_0\)是严格极小值点。 ◻

4.1.3.4 梯度

Definition 4.6. 设\(X\)是实Hilbert空间，\(E\subseteq X\)是开集，函数\(f:E\to\mathbb{R}^{}\)在\(x_0\in E\)处Gâteaux可微，于是存在有界线性算子\(\operatorname{D}_Gfx_0\in\mathcal{L}(X,Y)\)。由定理 3.26(1)可得\(\operatorname{D}_Gfx_0\)是连续线性映射，根据定理 3.33可知存在唯一的\(\nabla fx_0\in X\)使得：

\[\begin{equation*} \forall\;h\in X,\quad(\operatorname{D}_Gfx_0)h=(\nabla fx_0,h) \end{equation*}\]

称\(\nabla fx_0\)为\(f\)在\(x_0\)处的梯度（gradient）。

Property 4.1.3. 设\(X\)是实Hilbert空间，\(E\subseteq X\)是开集，函数\(f:E\to\mathbb{R}^{}\)在\(x_0\in E\)处Gâteaux可微，则\(\nabla fx_0\)是\(f\)在\(x_0\)处所有单位方向中上升最快的方向，\(-\nabla fx_0\)是\(f\)在\(x_0\)处所有单位方向中上升最快的方向。

证明. 由定理 4.6(1)可得：

\[\begin{equation*} T(x_0+th)=T(x_0)+t(\operatorname{D}fx_0)h+\operatorname{o}(t),\;(t\to0) \end{equation*}\]

上升最快即\((\operatorname{D}fx_0)h\)最大，下降最快即\((\operatorname{D}fx_0)h\)最小。根据不等式 3可得：

\[\begin{equation*} |t(\operatorname{D}fx_0)h|^2=|(\nabla fx_0,th)|^2\leqslant(\nabla fx_0,\nabla fx_0)(th,th)=||\nabla fx_0||^2 \end{equation*}\]

等号成立当且仅当\(\nabla fx_0\)与\(th\)共线，同向时\(t(\operatorname{D}fx_0)h>0\)且取到最大值，反向时\(t(\operatorname{D}fx_0)h<0\)且取到最小值。 ◻

4.2 定积分

Definition 4.7. 设\(Q_i=[a_i,b_i]\subseteq\mathbb{R}^{},\;i=1,2,\dots,n\)，\(Q=Q_1\times Q_2\times\cdots\times Q_n\subseteq\mathbb{R}^{n}\)是闭方块。称\(Q_i\)为\(Q\)的棱（edge），定义\(Q\)的体积（volume）为：

\[\begin{equation*} \operatorname{Vol}(Q)=\prod_{i=1}^{n}(b_i-a_i) \end{equation*}\]

对于\(G_i=(a_i,b_i)\subseteq\mathbb{R}^{},\;i=1,2,\dots,n\)，称\(G=G_1\times G_2\times\cdots\times G_n\subseteq\mathbb{R}^{n}\)是开方块，同样称\(G_i\)为\(G\)的棱，定义\(G\)的体积为：

\[\begin{equation*} \operatorname{Vol}(G)=\prod_{i=1}^{n}(b_i-a_i) \end{equation*}\]

Definition 4.8. 定义闭区间\([a,b]\subseteq\mathbb{R}^{}\)的一个分割（partition）为插入在\(a\)和\(b\)之间的有限个分点：

\[\begin{equation*} P:\;a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b \end{equation*}\]

这些分点把\([a,b]\)分成\(n\)个闭子区间\([x_{i-1},x_{i}],\;i=1,2,\dots,n\)，其中第\(i\)个闭子区间的长度为\(\Delta x_i=x_i-x_{i-1}\)，称\(|P|=\max\{\Delta x_i:i=1,2,\dots,n\}\)为分割\(P\)的模（mesh）。在分割\(P\)的每一个闭子区间上任取一点：

\[\begin{equation*} \xi_i\in[x_{i-1},x_i],\quad i=1,2,\dots,n \end{equation*}\]

称这\(n\)个点\(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_{n}\)为对应于分割\(P\)的一组标志点（tag），用\(\xi\)来表示它们。

Definition 4.9. 设\(Q^i=[a^i,b^i]\subseteq\mathbb{R}^{},\;i=1,2,\dots,n\)，\(Q=Q^1\times Q^2\times\cdots\times Q^n\subseteq\mathbb{R}^{n}\)是闭方块，\(Q^i\)的分割为：

\[\begin{equation*} P^i:\;a^i=x_0^i<x_1^i<\cdots<x_{N_i}^i=b^i \end{equation*}\]

称\(P=\{P^1,P^2,\dots,P^n\}\)为\(Q\)的一个分割，称\(|P|=\max\{|P_i|:i=1,2,\dots,n\}\)为分割\(P\)的模。设\(x_{i_j}^i\)为\(Q^i\)的一个分点，记：

\[\begin{equation*} L_{i_j}^i=\{x=(x^1,x^2,\dots,x^n)\in Q:x^i=x^i_{i_j}\} \end{equation*}\]

为分割\(P\)的一个分界（partition hyperplane）。分割\(P\)的各分界：

\[\begin{equation*} L_{i_j}^i,\quad i=1,2,\dots,n,\;i_j=1,2,\dots,N_i \end{equation*}\]

将\(Q\)分成了\(\prod\limits_{i=1}^{n}N_i\)个闭子方块，记：

\[\begin{gather*} Q_{i_j}^i=[x_{i_j-1}^i,x_{i_j}^i],\quad Q_J=\prod_{i=1}^{n}Q_{i_j}^i,\;J=\{1_j,2_j,\dots,n_j\} \\ \operatorname{Vol}(Q_J)=\Delta x_J=\prod_{i=1}^{n}(x_{i_j}^i-x_{i_j-1}^i) \end{gather*}\]

在每一个闭子方块\(Q_J\)上任取一点\(\xi_J\)，称\(\{\xi_J\}\)为对应于分割\(P\)的一组标志点，记为\(\xi\)。

Definition 4.10. 如果闭方块\(Q\subseteq\mathbb{R}^{}\)上的分割序列\(\{P_n\}\)满足：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}|P_n|=0 \end{equation*}\]

则称\(\{P_n\}\)是无穷细分割序列（sequence of partitions with mesh tending to zero）。

Definition 4.11. 设\(Q\subseteq\mathbb{R}^{n}\)是闭方块，\(f:Q\to\mathbb{R}^{}\)是函数，对于\(Q\)的任意一个分割：

\[\begin{equation*} P=\{P^1,P^2,\dots,P^n\} \end{equation*}\]

和对应于这一分割的任意一组标志点\(\xi\)，可以作和：

\[\begin{equation*} \sigma(f,P,\xi)=\sum_{J}^{}f(\xi_J)\Delta x_J \end{equation*}\]

称和\(\sigma(f,P,\xi)\)为函数\(f\)在闭方块\(Q\)上的黎曼和（Riemann sum）。

Definition 4.12. 设\(Q\subseteq\mathbb{R}^{n}\)是闭方块，\(f:Q\to\mathbb{R}^{}\)是函数，\(I\in\mathbb{R}^{}\)。若对任意的\(\varepsilon>0\)，存在\(\delta>0\)使得只要\(|P|<\delta\)，不论分割\(P\)对应的标志点组\(\xi\)如何选择，都有：

\[\begin{equation*} |\sigma(f,P,\xi)-I|<\varepsilon \end{equation*}\]

则称\(f\)在闭方块\(Q\)上黎曼可积（Riemann integrable），并且把\(I\)称为函数\(f\)在\(Q\)上的黎曼积分（Riemann integral），记为：

\[\begin{equation*} \mathop{\int\!\!\cdots\!\!\int}\limits_{Q}f(x^1,x^2,\dots,x^n)\mathop{}\!\mathrm{d}(x^1,x^2,\dots,x^n)=\lim_{|P|\to0}\sigma(f,P,\xi)=I \end{equation*}\]

在不至于混淆的情况下也可以简记为：

\[\begin{equation*} \int_{Q}f(x^1,x^2,\dots,x^n)\mathop{}\!\mathrm{d}(x^1,x^2,\dots,x^n)\quad\text{或}\quad\int_{Q}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x \end{equation*}\]

4.2.1 定积分存在的一般条件

Theorem 4.8. 设函数\(f\)在闭方块\(Q\subseteq\mathbb{R}^{}\)上可积，则\(f\)在\(Q\)上有界。

证明. 设\(f\)在\(Q\)上无界。因为\(f\)在\(Q\)上可积，所以对于\(\varepsilon=1\)，存在\(\delta>0\)使得只要\(|P|<\delta\)，不论分割\(P\)对应的标志点组\(\xi\)如何选择，都有\(|\sigma(f,P,\xi)-I|<1\)，即

\[\begin{equation*} |\sigma(f,P,\xi)|=|\sigma(f,P,\xi)-I+I|\leqslant|\sigma(f,P,\xi)-I|+|I|<1+|I| \end{equation*}\]

任取上述满足\(|P|<\delta\)的分割\(P\)。因为\(f\)在\(Q\)上无界，所以\(f\)至少\(Q\)的一个闭子方块\(Q_{J'}\)上无界，于是可以选择\(\xi_{J'}\in Q_{J'}\)使得：

\[\begin{equation*} |f(\xi_{J'})\Delta x_{J'}|>\sum_{J\ne {J'}}|f(\xi_{J'})\Delta x_{J'}|+1+|I| \end{equation*}\]

注意到\(|a|-|b|=|a+b-b|-|b|\leqslant|a+b|+|-b|-|b|=|a+b|\)，于是就有：

\[\begin{equation*} 1+|I|>|\sigma(f,P,\xi)|=\left|\sum_{J}f(\xi_J)\Delta x_J\right|\geqslant|f(\xi_{J'})\Delta x_{J'}|-\left|\sum_{J\ne J'}^{}f(\xi_J)\Delta x_J\right|>1+|I| \end{equation*}\]

矛盾，所以\(f\)在\(Q\)上有界。 ◻

Definition 4.13. 设函数\(f\)在闭方块\(Q\subseteq\mathbb{R}^{}\)上有定义且有界。由确界原理可知，对于\(Q\)的一个分割\(P\)，\(f\)在\(Q\)的任一闭子方块\(Q_J\)上都有有限的下确界和上确界，记为：

\[\begin{equation*} m_J=\inf_{x\in Q_j}f(x),\quad M_J=\sup_{x\in Q_j}f(x),\quad\omega_J=M_J-m_J \end{equation*}\]

记：

\[\begin{equation*} m=\inf_{x\in Q}f(x),\quad M=\sup_{x\in Q}f(x),\quad\omega=M-m \end{equation*}\]

Definition 4.14. 设函数\(f\)在闭方块\(Q\subseteq\mathbb{R}^{}\)上有定义且有界，\(P\)是\(Q\)上的一个分割，分别称：

\[\begin{equation*} L(f,P)=\sum_{J}^{}m_J\Delta x_J,\quad U(f,P)=\sum_{J}^{}M_J\Delta x_J,\quad\Omega(f,P)=U(f,P)-L(f,P) \end{equation*}\]

为\(f\)关于\(P\)的达布下和（lower Darboux sum）、达布上和（upper Darboux sum）和达布和（Darboux sum）。记：

\[\begin{equation*} \underline{I}=\sup_PL(f,P),\quad\overline{I}=\inf_PU(f,P) \end{equation*}\]

Property 4.2.1. 设函数\(f\)在闭方块\(Q\subseteq\mathbb{R}^{}\)上有定义且有界，\(P\)是\(Q\)上的一个分割，\(f\)关于\(P\)的Darboux下和\(L(f,P)\)和Darboux上和\(U(f,P)\)具有如下性质：

\(-L(-f,P)=U(f,P)\)；
\(L(f,P)\leqslant\sigma(f,P,\xi)\leqslant U(f,P),\;\inf\limits_{\xi}\sigma(f,P,\xi)=L(f,P),\;\sup\limits_{\xi}\sigma(f,P,\xi)=U(f,P)\)；
设分割\(P'\)是由分割\(P\)添加\(l\)个分界构成的分割，则：

\[\begin{align*} L(f,P)\leqslant L(f,P')\leqslant L(f,P)+l\omega C|P| \\ U(f,P)\geqslant U(f,P')\geqslant U(f,P)-l\omega C|P| \\ C=\max\left\{\frac{\operatorname{Vol}(Q)}{b^i-a^i}:i=1,2,\dots,n\right\} \end{align*}\]
设\(P_1,P_2\)是\(Q\)的任意两个分割，则有\(L(f,P_1)\leqslant U(f,P_2)\)；
\(\lim\limits_{|P|\to0}L(f,P)=\underline{I},\;\lim\limits_{|P|\to0}U(f,P)=\overline{I}\)。

证明. (1)注意到：

\[\begin{equation*} -L(-f,P)=-\sum_{J}^{}-M_J\Delta x_J=\sum_{J}^{}M_J\Delta x_J=U(f,P) \end{equation*}\]

(2)由定义即可得出结论。

(3)只证明添加一个分界的情况，多个分界的结论可直接由此推出。设添加的分界为：

\[\begin{equation*} \{x=(x^1,x^2,\dots,x^n)\in Q:x^i=\alpha,\;\alpha\in(x^h_{k-1},x^h_k)\} \end{equation*}\]

注意到：

\[\begin{align*} L(f,P)=\sum_{J:i_j\ne k}^{}m_J\Delta x_J+\sum_{J:i_j=k}^{}m_J\Delta x_J \end{align*}\]

添加分界后改变的部分仅为后一项，且添加分界后，后一项中的每一个部分为：

\[\begin{equation*} m_{J'}\left(\frac{\gamma-x^h_{k-1}}{\Delta x_J}\right)\Delta x_J+m_{J''}\left(\frac{x^h_k-\gamma}{\Delta x_J}\right)\Delta x_J \end{equation*}\]

于是：

\[\begin{align*} &L(f,P')-L(f,P)=\sum_{J:i_j=k}^{}\left[m_{J'}\left(\frac{\gamma-x^h_{k-1}}{\Delta x_J}\right)\Delta x_J+m_{J''}\left(\frac{x^h_k-\gamma}{\Delta x_J}\right)\Delta x_J-m_J\Delta x_J\right] \\ =&\sum_{J:i_j=k}^{}\left[m_{J'}\left(\frac{\gamma-x^h_{k-1}}{\Delta x_J}\right)\Delta x_J+m_{J''}\left(\frac{x^h_k-\gamma}{\Delta x_J}\right)\Delta x_J-m_J\left(\frac{\gamma-x^h_{k-1}+x^h_k-\gamma}{\Delta x_J}\right)\Delta x_J\right] \\ =&\sum_{J:i_j=k}^{}\left[(m_{J'}-m_J)\left(\frac{\gamma-x^h_{k-1}}{\Delta x_J}\right)\Delta x_J+(m_{J''}-m_J)\left(\frac{x^h_k-\gamma}{\Delta x_J}\right)\Delta x_J\right] \end{align*}\]

注意到\(m_J\leqslant m_{J'},m_{J''}\leqslant M_J\)，所以有：

\[\begin{equation*} 0\leqslant L(f,P')-L(f,P)\leqslant\sum_{J:i_j=k}^{}\omega_J\Delta x_J\leqslant\omega_J\sum_{J:i_j=k}^{}\Delta x_J=\omega\frac{\Delta x^h_k}{b^h-a^h}\operatorname{Vol}(Q)\leqslant\omega C|P| \end{equation*}\]

即：

\[\begin{equation*} L(f,P)\leqslant L(f,P')\leqslant L(f,P)+\omega C|P| \end{equation*}\]

由(1)和上述结论可得：

\[\begin{equation*} 0\leqslant L(-f,P')-L(-f,P)\leqslant-\omega C|P| \end{equation*}\]

于是：

\[\begin{equation*} 0\leqslant -U(f,P')+U(f,P)\leqslant-\omega C|P| \end{equation*}\]

即：

\[\begin{equation*} U(f,P)\geqslant U(f,P')\geqslant U(f,P)-\omega C|P| \end{equation*}\]

(4)设\(P'\)为\(P_1\)和\(P_2\)的分点合并在一起构成的分割，则由(3)(2)可得：

\[\begin{equation*} L(f,P_1)\leqslant L(f,P')\leqslant U(f,P')\leqslant U(f,P_2) \end{equation*}\]

(5)只证明第一个结论，第二个完全类似。由上确界的定义可得对任意的\(\varepsilon>0\)，存在\(Q\)上的分割\(P_0\)使得：

\[\begin{equation*} \underline{I}-\frac{\varepsilon}{2}<L(f,P_0)<\underline{I} \end{equation*}\]

设\(P_0\)的分界数为\(l\)。取\(Q\)上的分割\(P\)满足：

\[\begin{equation*} |P|<\delta=\frac{\varepsilon}{2l\omega C+1} \end{equation*}\]

将\(P_0,P\)的分界合在一起得到分割\(P'\)，则由(3)可得：

\[\begin{equation*} \underline{I}\geqslant L(f,P)\geqslant L(f,P')-l\omega C|P|\geqslant L(f,P_0)-l\omega C|P|>\underline{I}-\frac{\varepsilon}{2}-\frac{\varepsilon}{2}=\underline{I}-\varepsilon \end{equation*}\]

即对任意的\(\varepsilon>0\)，只要\(|P|<\delta=\dfrac{\varepsilon}{2l\omega C+1}\)，就有\(|L(f,P)-\underline{I}|<\varepsilon\)，所以：

\[\begin{equation*} \lim_{|P|\to0}L(f,P)=\underline{I} \end{equation*}\]

◻

Theorem 4.9. 设函数\(f\)在方块\(Q\subseteq\mathbb{R}^{}\)上有定义并且有界，则下述三条结论等价：

对任意的\(\varepsilon>0\)，存在\(Q\)上的分割\(P\)使得\(\Omega(f,P)=U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon\)；
\(f\)在\(Q\)上满足\(\underline{I}=\overline{I}\)，也即\(\lim\limits_{|P|\to0}\Omega(f,P)=0\)；
\(f\)在\(Q\)上可积且\(\int_{Q}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x=\overline{I}=\underline{I}\)。

证明. (1)\(\to\)(2)：因为对任意的分割\(P\)都有：

\[\begin{equation*} 0\leqslant\overline{I}-\underline{I}\leqslant U(f,P)-L(f,P) \end{equation*}\]

根据条件即可得到对任意的\(\varepsilon>0\)有\(0\leqslant\overline{I}-\underline{I}<\varepsilon\)，所以\(\overline{I}=\underline{I}\)。

(2)\(\to\)(3)：记\(\overline{I}=\underline{I}=I\)，由性质 4.2.1(5)可得：

\[\begin{equation*} \lim_{|P|\to0}L(f,P)=\lim_{|P|\to0}U(f,P)=I \end{equation*}\]

根据性质 4.2.1(2)和性质 3.3.3(3.a)可得：

\[\begin{equation*} \lim_{|P|\to0}\sigma(f,P,\xi)=I \end{equation*}\]

即\(f\)在\(Q\)上可积且积分值为\(I\)。

(3)\(\to\)(1)：由可积的定义，对任意的\(\varepsilon>0\)，存在\(\delta>0\)使得只要\(|P|<\delta\)，就有：

\[\begin{equation*} I-\frac{\varepsilon}{3}<\sigma(f,P,\xi)<I+\frac{\varepsilon}{3} \end{equation*}\]

对于这个\(P\)，由性质 4.2.1(2)和上下确界的不等式性可得：

\[\begin{equation*} I-\frac{\varepsilon}{3}\leqslant L(f,P)\leqslant U(f,P)\leqslant I+\frac{\varepsilon}{3} \end{equation*}\]

于是有：

\[\begin{equation*} U(f,P)-L(f,P)\leqslant\frac{2\varepsilon}{3}<\varepsilon \end{equation*}\]

◻

4.2.2 可积函数类

引理 5.7 Lemma 4.7. 设函数\(f\)在闭方块\(J\)上有定义，记：

\[\begin{equation*} M=\sup_{x\in J}f(x),\quad m=\inf_{x\in J}f(x),\quad\omega=M-m \end{equation*}\]

则有：

\[\begin{equation*} \omega=\sup_{x_1,x_2\in J}|f(x_1)-f(x_2)| \end{equation*}\]

证明. 若\(\omega=0\)，则结论显然成立，下对\(\omega>0\)的情况进行证明。

对任意的\(x_1,x_2\in J\)有：

\[\begin{equation*} |f(x_1)-f(x_2)|\leqslant\omega \end{equation*}\]

由上确界的不等式性即可得：

\[\begin{equation*} \sup_{x_1,x_2\in J}|f(x_1)-f(x_2)|\leqslant\omega \end{equation*}\]

对于任意的\(0<\varepsilon<\omega\)，由上确界和下确界的定义可得存在\(x_1,x_2\in J\)使得：

\[\begin{equation*} M>f(x_1)>M-\frac{\varepsilon}{2}>m+\frac{\varepsilon}{2}>f(x_2)>m \end{equation*}\]

于是：

\[\begin{equation*} f(x_1)-f(x_2)>M-\frac{\varepsilon}{2}-m-\frac{\varepsilon}{2}=\omega-\varepsilon \end{equation*}\]

由上确界的不等式性可得：

\[\begin{equation*} \sup_{x_1,x_2\in J}|f(x_1)-f(x_2)|\geqslant\omega \end{equation*}\]

所以：

\[\begin{equation*} \omega=\sup_{x_1,x_2\in J}|f(x_1)-f(x_2)| \end{equation*}\]

◻

Theorem 4.10. 设函数\(f,g\)在闭方块\(Q\subseteq\mathbb{R}^{}\)上可积，\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}^{}\)，则：

\(\alpha f+\beta g\)在\(Q\)上可积且：

\[\begin{equation*} \int_Q[\alpha f(x)+\beta g(x)]\mathop{}\!\mathrm{d}x=\alpha\int_Qf(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x+\beta\int_Qg(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x \end{equation*}\]
\(fg\)在\(Q\)上可积；
若存在常数\(c>0\)使得\(|f(x)|\geqslant c,\;\forall\;x\in Q\)，则\(\dfrac{1}{f}\)在\(Q\)上可积；
\(|f|\)在\(Q\)上可积。

证明. (1)因为\(f,g\)可积，所以可设：

\[\begin{equation*} \lim_{|P|\to0}\sigma(f,P,\xi)=I_1\in\mathbb{R}^{},\quad\lim_{|P|\to0}\sigma(g,P,\xi)=I_2\in\mathbb{R}^{} \end{equation*}\]

由性质 3.3.3(5.b)(5.c)可得：

\[\begin{align*} \lim_{|P|\to0}\sigma(\alpha f+\beta g,P,\xi)&=\lim_{|P|\to0}[\alpha\sigma(f,P,\xi)+\beta\sigma(g,P,\xi)] \\ &=\alpha\lim_{|P|\to0}\sigma(f,P,\xi)+\beta\lim_{|P|\to0}\sigma(g,P,\xi) \\ &=\alpha I_1+\beta I_2\in\mathbb{R}^{} \end{align*}\]

由定义可得\(\alpha f+\beta g\)可积，所以：

\[\begin{equation*} \int_Q[\alpha f(x)+\beta g(x)]\mathop{}\!\mathrm{d}x=\alpha\int_Qf(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x+\beta\int_Qg(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x \end{equation*}\]

(2)由定理 4.8可知\(f,g\)在\(Q\)上有界，设：

\[\begin{equation*} |f(x)|\leqslant K,\;|g(x)|\leqslant L,\quad\forall\;x\in Q \end{equation*}\]

对于任意的\(x,y\in Q_J\)有：

\[\begin{align*} |f(x)g(x)-f(y)g(y)|&=|f(x)g(x)-f(y)g(x)+f(y)g(x)-f(y)g(y)| \\ &=|[f(x)-f(y)]g(x)+[g(x)-g(y)]f(y)| \\ &\leqslant|f(x)-f(y)||g(x)|+|g(x)-g(y)||f(y)| \\ &\leqslant|f(x)-f(y)|L+|g(x)-g(y)|K\leqslant\omega_J(f)L+\omega_J(g)K \end{align*}\]

于是由引理 4.7和上确界的不等式性有：

\[\begin{equation*} \omega_J(fg)=\sup_{x,y\in Q_J}|f(x)g(x)-f(y)g(y)|\leqslant L\omega_J(f)+K\omega_J(g) \end{equation*}\]

因为\(\Omega_J(fg)=\omega_J(fg)\Delta x_J\)，所以对\(P\)有：

\[\begin{equation*} \Omega(fg,P)=\sum_{J}^{}\omega_J(fg)\Delta x_J\leqslant L\sum_{J}^{}\omega_J(f)\Delta x_J+K\sum_{J}^{}\omega_J(g)\Delta x_J=L\Omega(f,P)+K\Omega(g,P) \end{equation*}\]

因为\(f,g\)可积，由定理 4.9(2)可得：

\[\begin{equation*} \lim_{|P|\to0}\Omega(f,P)=\lim_{|P|\to0}\Omega(g,P)=0 \end{equation*}\]

由性质 3.3.3(5.b)(5.c)和性质 3.3.3(3.a)可得：

\[\begin{equation*} 0\leqslant\lim_{|P|\to0}\Omega(fg,P)\leqslant L\lim_{|P|\to0}\Omega(f,P)+K\lim_{|P|\to0}\Omega(g,P)=0 \end{equation*}\]

即：

\[\begin{equation*} \lim_{|P|\to0}\Omega(fg,P)=0 \end{equation*}\]

由定理 4.9(2)可得\(fg\)在\(Q\)上可积。

(3)对任意的\(x,y\in Q_J\)有：

\[\begin{equation*} \left|\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{f(y)}\right|=\left|\frac{f(y)-f(x)}{f(x)f(y)}\right|\leqslant\frac{|f(y)-f(x)|}{c^2} \end{equation*}\]

由引理 4.7、上确界的不等式性和上确界的线性运算可得：

\[\begin{equation*} \omega_J\left(\frac{1}{f}\right)=\sup_{x,y\in Q_J}\left|\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{f(y)}\right|\leqslant\sup_{x,y\in Q_J}\frac{|f(y)-f(x)|}{c^2}=\frac{\omega_J(f)}{c^2} \end{equation*}\]

因为\(\Omega_J\left(\dfrac{1}{f}\right)=\omega_J\left(\dfrac{1}{f}\right)\Delta x_J\)，所以对\(P\)有：

\[\begin{equation*} \Omega\left(\dfrac{1}{f},P\right)=\sum_{J}^{}\omega_J\left(\dfrac{1}{f}\right)\Delta x_J\leqslant\sum_{J}^{}\frac{\omega_J(f)\Delta x_J}{c^2}=\frac{\Omega(f,P)}{c^2} \end{equation*}\]

因为\(f\)可积，由定理 4.9(2)可得：

\[\begin{equation*} \lim_{|P|\to0}\Omega(f,P)=0 \end{equation*}\]

由性质 3.3.3(5.c)和性质 3.3.3(3.a)可得：

\[\begin{equation*} \lim_{|P|\to0}\Omega\left(\frac{1}{f},P\right)=0 \end{equation*}\]

由定理 4.9(2)可得\(\dfrac{1}{f}\)在\(Q\)上可积。

(4)对任意的\(x,y\in Q\)有：

\[\begin{equation*} \Big||f(x)|-|f(y)|\Big|\leqslant|f(x)-f(y)| \end{equation*}\]

所以由引理 4.7和上确界的不等式性可得：

\[\begin{equation*} \omega_J(|f|)=\sup_{x,y\in Q_J}\Big||f(x)-f(y)|\Big|\leqslant\sup_{x,y\in Q_J}|f(x)-f(y)|=\omega_J(f) \end{equation*}\]

因为\(\Omega_J(|f|)=\omega_J(|f|)\Delta x_J\)，所以对\(P\)有：

\[\begin{equation*} \Omega(|f|,P)=\sum_{J}^{}\omega_J(|f|)\Delta x_J\leqslant\sum_{J}^{}\omega_J(f)\Delta x_J=\Omega(f,P) \end{equation*}\]

因为\(f\)可积，由定理 4.9(2)可得：

\[\begin{equation*} \lim_{|P|\to0}\Omega(f,P)=0 \end{equation*}\]

由性质 3.3.3(2.a)可得：

\[\begin{equation*} \lim_{|P|\to0}\Omega\left(|f|,P\right)=0 \end{equation*}\]

由定理 4.9(2)可得\(|f|\)在\(Q\)上可积。 ◻

Theorem 4.11. 关于函数的可积性，有如下结论：

设\(Q_1\subseteq Q\subseteq\mathbb{R}^{n}\)，\(Q_1,Q\)为闭方块。若函数\(f\)在\(Q\)上可积，则\(f\)在\(Q_1\)上可积；
若函数\(f\)在闭区间\([a,b]\subseteq\mathbb{R}^{}\)上有定义且单调有界，则\(f\)在\([a,b]\)上可积；
若函数\(f\)在闭方块\(Q\subseteq\mathbb{R}^{}\)上连续，则\(f\)在\(Q\)上可积；
若函数\(f\)在闭区间\([a,b]\subseteq\mathbb{R}^{}\)上有界且除了有限个间断点外在其它各点连续，则\(f\)在\([a,b]\)上可积；
若函数\(f,g\)在闭区间\([a,b]\subseteq\mathbb{R}^{}\)上有定义且有界，除了有限个点\(c_1, c_2, \dots, c_{l}\)以外有\(f=g\)，此时如果\(f\)可积，则\(g\)也可积，且有：

\[\begin{equation*} \int_{a}^bf(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x=\int_{a}^bg(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x \end{equation*}\]

证明. (1)因为\(f\)在\(Q\)上可积，所以对任意的\(\varepsilon>0\)，存在\(\delta>0\)使得只要\(Q\)上的分割\(P_1\)满足\(|P_1|<\delta\)就有\(\Omega(f,P_1)<\varepsilon\)。为\(P_1\)再增加分界得到\(P_2\)使得\(P_2\)的子分割\(P\)构成\(Q_1\)的一个分割（若原本就是则不增加分界），由性质 4.2.1(3)可知\(\Omega(f,P_2)<\Omega(f,P_1)\)。对于\(P\)有：

\[\begin{equation*} 0<\Omega(f,P)<\Omega(f,P_2)\leqslant\Omega(f,P_1)<\varepsilon \end{equation*}\]

而\(|P|\leqslant|P_2|\leqslant|P_1|<\delta\)，所以由性质 3.3.3(2.a)可得：

\[\begin{equation*} \lim_{|P|\to0}\Omega(f,P)=\lim_{|P_1|\to0}\Omega(f,P_1)=0 \end{equation*}\]

由定理 4.9(2)可得\(f\)在\(Q_1\)上可积。

(2)设\(f\)单调增。\(P\)是\([a,b]\)上的分割，对任意的\(\varepsilon>0\)，取：

\[\begin{equation*} \delta=\frac{\varepsilon}{f(b)-f(a)+1} \end{equation*}\]

则当\(|P|<\delta\)时有：

\[\begin{equation*} \Omega(f,P)=\sum_{i=1}^{n}\omega_i\Delta x_i<\delta\sum_{i=1}^{n}\omega_i=\delta[f(b)-f(a)]=\frac{\varepsilon[f(b)-f(a)]}{f(b)-f(a)+1}<\varepsilon \end{equation*}\]

所以：

\[\begin{equation*} \lim_{|P|\to0}\Omega(f,P)=0 \end{equation*}\]

由定理 4.9(2)可得\(f\)在\([a,b]\)上可积。

对\(f\)单调减的情况只需在上述过程中取：

\[\begin{equation*} \delta=\frac{\varepsilon}{f(a)-f(b)+1} \end{equation*}\]

\[\begin{equation*} \Omega(f,P)=\sum_{J}^{}\omega_J\Delta x_J<\varepsilon\sum_{J}^{}\Delta x_J=\operatorname{Vol}(Q)\varepsilon \end{equation*}\]

所以：

\[\begin{equation*} \lim_{|P|\to0}\Omega(f,P)=0 \end{equation*}\]

由定理 4.9(2)可得\(f\)在\(Q\)上可积。

(4)设\(f\)的间断点为\(c_1, c_2, \dots, c_{l}\)，对任意给定的充分小的\(\eta\)，取\(l\)个开区间：

\[\begin{equation*} J_j=(c_j-\eta,c_j+\eta),\quad j=1,2,\dots,l \end{equation*}\]

在\([a,b]\)减去\(J_1, J_2, \dots, J_{l}\)后所余下的有限个闭子区间上，\(f\)是连续的，由性质 3.2.2(2)、定理 3.9和性质 3.3.2(4)可得\(f\)在其上一致连续，所以存在\(\delta>0\)，使得只要：

\[\begin{equation*} x_,y\in[a,b]\Big\backslash\left(\underset{j=1}{\overset{l}{\cup}}J_j\right),\;|x-y|<\delta \end{equation*}\]

就有\(|f(x)-f(y)|<\eta\)。取\([a,b]\)上的分割\(P\)使得\(|P|<\min\{\eta,\delta\}\)。因为\(|P|<\eta\)，注意到一个\(J_j\)最多与四个\(P\)的闭子区间相交，所以在\(P\)的各闭子区间中，最多只有总长度不超过\(4l\eta\)的子区间与某个\(J_j\)相交。可以把\(\Omega(f,P)\)分成两部分：

\[\begin{equation*} \Omega(f,P)=\sum_s'\omega_s\Delta x_s+\sum_t''\omega_t\Delta x_t \end{equation*}\]

第一部分与所有的\(J_j\)都不相交，第二部分与某个\(J_j\)相交，于是有：

\[\begin{align*} \Omega(f,P)&=\sum_s'\omega_s\Delta x_s+\sum_t''\omega_t\Delta x_t<\eta\sum_{s}'\omega_s+\omega\sum_{t}''\Delta x_t \\ &\leqslant\eta(b-a)+\omega4l\eta=(b-a+4l\omega)\eta \end{align*}\]

对任意的\(\varepsilon>0\)，只要取：

\[\begin{equation*} \eta<\frac{\varepsilon}{b-a+4l\omega} \end{equation*}\]

就可以得到\(\Omega(f,P)<\varepsilon\)，即：

\[\begin{equation*} \lim_{|P|\to0}\Omega(f,P)=0 \end{equation*}\]

由定理 4.9(2)可得\(f\)在\([a,b]\)上可积。

(5)记：

\[\begin{equation*} K=\max\{|g(c_1)-f(c_1)|,|g(c_2)-f(c_2)|,\dots,|g(c_l)-f(c_l)|\} \end{equation*}\]

设\(P\)是\([a,b]\)上的任意分割，则在\(P\)的各个闭子区间中，最多只有\(2l\)个能够包含某个\(c_i\)（考虑\(|P|\)足够小的情况，这时一个闭子区间只能含有一个\(c_i\)），同时当且仅当\(f\)在\(P\)的包含\(c_i\)的闭子区间上的最大值或最小值是\(f(c_i)\)或\(g\)在该区间上的极值为\(g(c_i)\)时\(\omega_i(f)\)和\(\omega_i(g)\)才会不一样。分类讨论可得此时\(|\omega_i(g)-\omega_i(f)|\leqslant K\)，所以：

\[\begin{align*} |\sigma(g,P,\xi)-\sigma(f,P,\xi)|&\leqslant\sum_{i=1}^{n}|[\omega_i(g)-\omega_i(f)]\Delta x_i| \\ &\leqslant\sum_{i=1}^{n}|[\omega_i(g)-\omega_i(f)]||P|\leqslant2lK|P| \end{align*}\]

于是：

\[\begin{equation*} \int_{a}^bf(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x=\lim_{|P|\to0}\sigma(f,P,\xi)=\lim_{|P|\to0}\sigma(g,P,\xi)=\int_{a}^bg(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x \end{equation*}\]

◻

4.2.3 定积分的性质

Property 4.2.2. 定积分具有如下性质：

设\(a<b<c\)，若\(f\)在\([a,b]\)和\([b,c]\)上都可积，则\(f\)在\([a,c]\)上也可积，且：

\[\begin{equation*} \int_{a}^cf(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x=\int_{a}^bf(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x+\int_{b}^cf(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x \end{equation*}\]
若函数\(f,g\)在闭方块\(Q\subseteq\mathbb{R}^{}\)上可积且\(f\leqslant g\)在\(Q\)上恒成立，则：

\[\begin{equation*} \int_Qf(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x\leqslant\int_Qg(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x \end{equation*}\]
设函数\(f\)在闭方块\(Q\)上可积，由定理 4.8可知\(f\)在闭方块上有界。若\(f\)在\(Q\)上满足\(m\leqslant f\leqslant M\)，则：

\[\begin{equation*} m\operatorname{Vol}(Q)\leqslant\int_Qf(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x\leqslant M\operatorname{Vol}(Q) \end{equation*}\]
若\(f\)在闭方块\(Q\)上连续，则存在\(c\in Q\)使得：

\[\begin{equation*} \int_Qf(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x=f(c)\operatorname{Vol}(Q) \end{equation*}\]
设闭方块\(Q_1,Q_2\subseteq\mathbb{R}^{n}\)满足\(Q_1\subseteq Q_2\)，函数\(f:Q_1\to\mathbb{R}^{}\)。若对\(f\)作如下延拓：

\[\begin{equation*} f(x)= \begin{cases} f(x),&x\in Q_1 \\ 0,&x\in\mathbb{R}^{n}\setminus Q_1 \end{cases} \end{equation*}\]

则\(f\)在\(Q_2\)上可积的充分必要条件为\(f\)在\(Q_1\)上可积。此时还有：

\[\begin{equation*} \int_{Q_1}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x=\int_{Q_2}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x \end{equation*}\]
设闭方块\(Q=V\times W\subseteq\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{p}\)，闭方块\(V\subseteq\mathbb{R}^{n}\)，闭方块\(W\subseteq\mathbb{R}^{p}\)，函数\(f(x,y):Q\to\mathbb{R}^{}\)，\(x\in\mathbb{R}^{n},\;y\in\mathbb{R}^{p}\)，\(\underline{I}_W(\overline{I}_W)\)是将\(f(x,y)\)看作\(y\)的函数在\(W\)上的下（上）积分。若\(f\)在\(Q\)上可积，则\(\underline{I}_E\)和\(\overline{I}_E\)在\(V\)上可积，且有：

\[\begin{equation*} \int_{Q}f(x,y)\mathop{}\!\mathrm{d}(x,y)=\int_{V}\underline{I}_E\mathop{}\!\mathrm{d}x=\int_{V}\overline{I}_E\mathop{}\!\mathrm{d}x \end{equation*}\]

证明. (1)由定理 4.8可知\(f\)在\([a,c]\)上有界，即存在\(M>0\)使得\(|f(x)|\leqslant M\)对任意的\(x\in[a,c]\)成立。

取\([a,c]\)上的一个分割\(P\)，若\(b\)在\(P\)的标志点集\(\xi\)中，则令\(P'=P,\xi'=\xi\)，其中\(\xi'\)是\(P'\)的标志点集。若\(b\)不在\(\xi\)中，则令：

\[\begin{equation*} P':\;a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_j<b<x_{j+1}<\cdots<x_n=c,\quad \xi'=\xi\cup{b} \end{equation*}\]

其中\(x_i\in\xi,\;i=1,2,\dots,n\)。注意到\(\sigma(f,P,\xi)\)和\(\sigma(f,P',\xi')\)的差别至多为：

\[\begin{align*} |\sigma(f,P',\xi')-\sigma(f,P,\xi)|&=|f(\xi'_{j+1})(b-x_j)+f(\xi'_{j+2})(x_{j+1}-b)-f(\xi_{j+1})(x_{j+1}-x_j)| \\ &<|f(\xi'_{j+1})+f(\xi'_{j+2})-f(\xi_{j+1})||P|\leqslant3M|P| \end{align*}\]

即：

\[\begin{equation*} \lim_{|P|\to0}\sigma(f,P,\xi)=\sigma(f,P',\xi') \end{equation*}\]

将\(P'\)分别限制在\([a,b]\)和\([b,c]\)上可以得到分割\(P_1,P_2\)及其对应的标志点组\(\varphi,\psi\)。因为\(f\)在\([a,b]\)和\([b,c]\)上都可积，所以极限：

\[\begin{equation*} \lim_{|P_1|\to0}\sigma(f,P_1,\varphi),\quad\lim_{|P_2|\to0}\sigma(f,P_2,\psi) \end{equation*}\]

存在，因为：

\[\begin{equation*} \sigma(f,P',\xi')=\sigma(f,P_1,\varphi)+\sigma(f,P_2,\psi),\quad|P'|\to0\longrightarrow|P_1|,|P_2|\to0 \end{equation*}\]

由性质 3.3.3(5.b)可得：

\[\begin{equation*} \lim_{|P'|\to0}\sigma(f,P',\xi)=\lim_{|P_1|\to0}\sigma(f,P_1,\varphi)+\lim_{|P_2|\to0}\sigma(f,P_2,\psi)=\int_{a}^bf(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x+\int_{b}^cf(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x \end{equation*}\]

而\(|P|\to0\)包含了\(|P'|\to0\)，所以：

\[\begin{equation*} \lim_{|P|\to0}\sigma(f,P,\xi)=\int_{a}^bf(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x+\int_{b}^cf(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x\in\mathbb{R}^{} \end{equation*}\]

由定积分的定义即可得到：

\[\begin{equation*} \int_{a}^cf(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x=\int_{a}^bf(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x+\int_{b}^cf(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x \end{equation*}\]

(2)因为\(f\leqslant g\)在\(Q\)上恒成立，所以\(\varphi=g-f\geqslant0\)在\(Q\)上恒成立。因为\(f,g\)在\(Q\)上可积，由定理 4.10(1)可知\(\varphi\)在\(Q\)上可积且：

\[\begin{equation*} \int_Q\varphi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x=\int_Qg(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x-\int_Qf(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x \end{equation*}\]

因为\(\varphi\)在\(Q\)上非负，所以对\(Q\)上任意的分割\(P\)及其标志点组\(\xi\)都有\(\sigma(\varphi,P,\xi)\geqslant0\)，由性质 3.3.3(4)可得：

\[\begin{equation*} \int_Q\varphi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x=\lim_{|P|\to0}\sigma(\varphi,P,\xi)\geqslant0 \end{equation*}\]

所以：

\[\begin{equation*} \int_Qg(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x-\int_Qf(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x\geqslant0 \end{equation*}\]

(3)由定积分的定义和(2)可知：

\[\begin{equation*} \int_Qm\mathop{}\!\mathrm{d}x=m\operatorname{Vol}(Q)\leqslant\int_Qf(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x\leqslant\int_QM\mathop{}\!\mathrm{d}x=M\operatorname{Vol}(Q) \end{equation*}\]

(4)由定理 4.11(3)可知\(f\)在\(Q\)上可积。由定理 3.9和性质 3.3.2(3)可知\(f\)在\(Q\)上可以取到下确界\(m\)和上确界\(M\)，根据(3)可得：

\[\begin{equation*} m\operatorname{Vol}(Q)\leqslant\int_Qf(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x\leqslant M\operatorname{Vol}(Q) \end{equation*}\]

即：

\[\begin{equation*} m\leqslant\frac{1}{\operatorname{Vol}(Q)}\int_Qf(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x\leqslant M \end{equation*}\]

由定理 3.24可知存在\(c\in Q\)使得：

\[\begin{equation*} f(c)=\frac{1}{\operatorname{Vol}(Q)}\int_Qf(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x \end{equation*}\]

(5)必要性：由可积的定义，存在\(I_2\in\mathbb{R}^{}\)，对于任意的\(\varepsilon>0\)，存在\(\delta>0\)，只要\(Q_2\)上的分割\(P_2\)满足\(|P_2|<\delta\)，就有\(|\sigma(f,P_2,\xi_2)-I_2|<\varepsilon\)。取一组上述的\(\varepsilon\)和\(\delta\)，对于\(Q_1\)上的分割\(P_1\)满足\(|P_1|<\delta\)，可增加其分界使得\(P_1\)成为\(Q_2\)上的分割\(P_2\)，并满足\(|P_2|<\delta\)，此时有：

\[\begin{equation*} |\sigma(f,P_1,\xi_1)-I_2|=|\sigma(f,P_2,\xi_2)-I_2|<\varepsilon \end{equation*}\]

于是\(f\)在\(Q_1\)上可积且有：

\[\begin{equation*} \int_{Q_1}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x=\int_{Q_2}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x \end{equation*}\]

充分性：由定理 4.9(2)可知，对任意的\(\varepsilon>0\)，存在\(\delta>0\)，使得当\(Q_1\)上的分割\(P_1\)满足\(|P_1|<\delta\)时就有\(\Omega(f,P_1)<\varepsilon\)。对于\(Q_2\)上任意满足\(|P_2|<\delta\)的分割\(P_2\)，可增加分界使其子分割\(P_2'\)成为\(Q_1\)的分割，此时有\(|P_2'|<\delta\)，记增加分界后的\(P_2\)为\(P_3\)，于是有：

\[\begin{equation*} \Omega(f,P_3)=\Omega(f,P_2')<\varepsilon \end{equation*}\]

根据定理 4.9(1)可得\(f\)在\(Q_2\)上可积。

(6)任取\(V\)和\(W\)上的分割\(P_V,P_W\)，则\(P=\{P_V,P_W\}\)构成\(Q\)的一个分割。设\(P_V\)将\(V\)划分为\(V_1, V_2, \dots, V_{arg2}\) ◻