第 1 章线性空间

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1.1 线性空间

本章不可避免地会使用到线性方程组的解、矩阵的运算、矩阵的逆、矩阵对角化的相关预备知识，为了进行统一叙述，请读者先有这部分的预备知识。

1.1.1 线性空间的概念与基本性质

Definition 1.1. 设$S$是一个非空集合，$S\times S$是$S$与自身的一个笛卡尔积（定义可见定义 19.15），则$f:S\times S\rightarrow S$称为$S$上一个二元代数运算（binary algebraic operation），简称为$S$上的一个运算。

1.1.1.1 线性空间的定义

Definition 1.2. 设$X$是一个非空集合，$F$是一个域¹。如果$X$上有一个运算，即$f:(\alpha,\beta)\rightarrow\gamma(\alpha,\beta,\gamma\in X)$，将该运算称为加法（addition），把$\gamma$称为$\alpha$与$\beta$的和（sum），记作$\alpha+\beta=\gamma$；同时$F$与$X$有一个运算，即$g:(k,\alpha)\rightarrow\delta(k\in F,\;\alpha,\delta\in X)$，将该运算称为纯量乘法（scalar multiplication），把$\delta$称为$k$与$\alpha$的纯量乘积（scalar multiple），记作$k\alpha=\delta$。若上述两个运算还满足以下$8$条运算法则：

$\forall\;\alpha,\beta\in X,\;\alpha+\beta=\beta+\alpha$；
$\forall\;\alpha,\beta,\gamma\in X,\;(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)$；
$X$中有一个元素，记作$\mathbf{0}$，称为$X$的零元（zero vector），它使得：

\[\begin{equation*} \forall\;\alpha\in X,\;\alpha+\mathbf{0}=\alpha \end{equation*}\]
对于任意的$\alpha\in X$，存在与之对应的$\beta\in X$，称为$\alpha$的负元（additive inverse），记作$-\alpha$，它使得：

\[\begin{equation*} \alpha+\beta=\mathbf{0} \end{equation*}\]
$F$中的单位元（multiplicative identity）$1$满足$\forall\;\alpha\in X,\;1\alpha=\alpha$；
$\forall\;\alpha\in X,\;k,l\in F,\;(kl)\alpha=k(l\alpha)$；
$\forall\;\alpha\in X,\;k,l\in F,\;(k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha$；
$\forall\;\alpha,\beta\in X,\;k\in F,\;k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta$。

那么称$X$是域$F$上的一个线性空间（linear space），称$X$中的元素为向量（vector）。

1.1.1.2 线性空间的基本性质

Property 1.1.1. 域$F$上的线性空间$X$具有如下性质：

$X$中的零元是唯一的；
$X$中每个元素的负元是唯一的；
$\forall\;\alpha\in X,\;0\alpha=\mathbf{0}$；
$\forall\;k\in F,\;k\mathbf{0}=\mathbf{0}$；
设$k\in F,\;\alpha\in X$。如果$k\alpha=\mathbf{0}$，那么$k=0$或$\alpha=\mathbf{0}$。
$\forall\;\alpha\in X,\;(-1)\alpha=-\alpha$；

证明. (1)假设$X$中有两个零元$\mathbf{0}_1,\mathbf{0}_2$且$\mathbf{0}_1\ne\mathbf{0}_2$，由线性空间运算法则(3)可得：

\[\begin{equation*} \mathbf{0}_1+\mathbf{0}_2=\mathbf{0}_1,\quad\mathbf{0}_2+\mathbf{0}_1=\mathbf{0}_2 \end{equation*}\]

而由线性空间运算法则(1)可得：

\[\begin{equation*} \mathbf{0}_1+\mathbf{0}_2=\mathbf{0}_2+\mathbf{0}_1 \end{equation*}\]

于是$\mathbf{0}_1=\mathbf{0}_2$，产生矛盾，所以$X$中的零元是唯一的。

(2)任取$X$中的一个元素$\alpha$，假设它有两个负元$\beta_1,\beta_2$。由线性空间运算法则(4)(3)(2)可得：

\[\begin{gather*} (\beta_1+\alpha)+\beta_2=\mathbf{0}+\beta_2=\beta_2 \\ (\beta_1+\alpha)+\beta_2=\beta_1+(\alpha+\beta_2)=\beta_1+\mathbf{0}=\beta_1 \end{gather*}\]

所以$\beta_1=\beta_2$，产生矛盾。由$\alpha$的任意性，$X$中每个元素的负元都是唯一的。

(3)由线性空间运算法则(7)可得：

\[\begin{equation*} 0\alpha+0\alpha=(0+0)\alpha=0\alpha \end{equation*}\]

两边同时加上$-0\alpha$可得：

\[\begin{equation*} 0\alpha+0\alpha+(-0\alpha)=0\alpha+(-0\alpha) \end{equation*}\]

由线性空间运算法则(2)(4)和(3)可得：

\[\begin{equation*} 0\alpha=\mathbf{0} \end{equation*}\]

(4)由线性空间运算法则(8)和(3)可得：

\[\begin{equation*} k\mathbf{0}+k\mathbf{0}=k(\mathbf{0}+\mathbf{0})=k\mathbf{0} \end{equation*}\]

两边加上$-k\mathbf{0}$再由线性空间运算法则(2)(4)和(3)可得$k\mathbf{0}=\mathbf{0}$。

(5)如果$k\ne0$，依次由线性空间运算法则(5)、(6)和(4)可得：

\[\begin{equation*} \alpha=1\alpha=(k^{-1}k)\alpha=k^{-1}(k\alpha)=k^{-1}\mathbf{0}=\mathbf{0} \end{equation*}\]

(6)由线性空间运算法则(5)与(7)以及(3)可得：

\[\begin{equation*} \alpha+(-1)\alpha=1\alpha+(-1)\alpha=(1-1)\alpha=0\alpha=\mathbf{0} \end{equation*}\]

再由负元的定义，$(-1)\alpha=-\alpha$。 ◻

Definition 1.3. 设$X$是域$F$上的线性空间。由性质 1.1.1(2)，定义$f:(\alpha,\beta)\rightarrow\alpha+(-\beta)\in X(\alpha,\beta\in X)$，将该运算称为减法（subtraction），把$\alpha+(-\beta)$称为$\alpha$与$\beta$的差（difference），记作$\alpha-\beta$。

1.1.2 线性相关与线性无关

Definition 1.4. 设$X$是域$F$上的线性空间。按照一定顺序写出的有限多个向量（允许有相同的向量）称为$X$的一个向量组（set of vectors），如$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$。

Definition 1.5. 设$X$是域$F$上的线性空间。对于$X$中的一组向量$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$和$F$中的一组元素$k_1, k_2, \dots, k_{n}$，作纯量乘法和加法得到：

\[\begin{equation*} \sum_{i=1}^{n}k_i\alpha_i\in X \end{equation*}\]

称该向量为$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$的一个线性组合（linear combination）。

Definition 1.6. $X$是域$F$上的线性空间。若$\beta\in X$可以表示成向量组$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$的一个线性组合，则称$\beta$可以由$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$线性表出。若$\beta\in X$可以由向量集$W\subseteq X$中有限多个向量构成的向量组线性表出，则称$\beta$可以由向量集$W$线性表出。

Definition 1.7. 如果向量组$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{s}$的每一个向量都可以由向量组$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{r}$线性表出，那么称向量组$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{s}$可以由向量组$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{r}$线性表出。如果向量组$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{s}$和向量组$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{r}$可以互相线性表出，则称两个向量组等价（equivalent），记作：

\[\begin{equation*} \{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{s}\}\cong\{\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{r}\} \end{equation*}\]

Definition 1.8. $X$是域$F$上的线性空间。按照如下方式定义$X$中对象的线性相关（linearly dependent）与线性无关（linearly independent）：

研究对象	线性相关	线性无关
$X$中的向量组$\seq{\alpha}{n}$	$F$中有不全为$0$的元素$\seq{k}{n}$使得$\sum\limits_{i=1}^{n}k_i\alpha_i=\mathbf{0}$	从$\sum\limits_{i=1}^{n}k_i\alpha_i=\mathbf{0}$可以推出$k_1=k_2=\cdots=k_n=0$
空集		定义空集是线性无关的
$X$的非空有限子集	给这个子集的元素一种编号所得的向量组线性相关	给这个子集的元素一种编号所得的向量组线性无关
$X$的无限子集$W$	$W$有一个有限子集线性相关	$W$的任一有限子集都线性无关

Definition 1.9. 设$X$是域$F$上的一个线性空间。向量组$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$中的一个部分组若满足下述条件：

本身线性无关；
若该部分组不等于向量组，则从向量组的其余向量中任取一个向量添加进该部分组都将使部分组线性相关。若该部分组等于向量组，则跳过此条件。

则称该部分组是向量组的一个极大线性无关组（maximal linearly independent system）。

Property 1.1.2. 设$X$是域$F$上的线性空间，则：

如果$X$中向量组的一个部分组线性相关，那么这个向量组线性相关；
包含$\mathbf{0}$的向量组是线性相关的；
元素个数大于$1$的向量集$W$线性相关当且仅当$W$中至少有一个向量可以由其余向量中的有限多个线性表出，从而$W$线性无关当且仅当$W$中的每一个向量都不能由其余向量中的有限多个线性表出；
向量$\beta\in X$可以由向量集$W\subseteq X$线性表出，则表示方法唯一的充分必要条件是$W$线性无关；
若向量组$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$线性无关，则向量$\beta$可以由向量组$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$线性表出的充分必要条件为$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n},\beta$线性相关；
$X$中向量组的等价是$X$中向量组的一个等价关系；
若向量组$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{r}$可以由向量组$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{s}$线性表出，同时$r>s$，那么向量组$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{r}$线性相关；
若向量组$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{r}$可以由向量组$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{s}$线性表出，同时向量组$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{r}$线性无关，就有$r\leqslant s$；
等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同；
一个向量组与它的任意一个极大线性无关组等价；
一个向量组的任意两个极大线性无关组等价；
一个向量组的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相同。

证明. (1)由定义直接得到。

(2)由定义直接得到。

(3)由定义直接得到。

(4)充分性：因为$\beta$可以由向量集$W$线性表出，假设此时$\beta$有以下两种表出方式：

\[\begin{gather*} \beta=k_1\alpha_1+\cdots+k_r\alpha_r+k_{r+1}u_1+\cdots+k_{r+s}u_s \\ \beta=l_1\alpha_1+\cdots+l_r\alpha_r+l_{r+1}v_1+\cdots+l_{r+t}v_t \end{gather*}\]

其中$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{r},u_1, u_2, \dots, u_{s},v_1, v_2, \dots, v_{t}\in W,\;k_1,k_2\dots,k_{r+s},l_1,l_2\dots,l_{r+t}\in F,\;r,s,t\geqslant0$。二式作差可得：

\[\begin{equation*} \mathbf{0}=(k_1-l_1)\alpha_1+\cdots+(k_r-l_r)\alpha_r+k_{r+1}u_1+\cdots+k_{r+s}u_s-l_{r+1}v_1-\cdots-l_{r+t}v_t \end{equation*}\]

因为$W$线性无关，所以向量组$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{r},u_1, u_2, \dots, u_{s},v_1, v_2, \dots, v_{t}$线性无关，于是：

\[\begin{equation*} k_1-l_1=0,\cdots,k_r-l_r=0,k_{r+1}=0,\cdots,k_{r+s}=0,l_{r+1}=0,\dots,l_{r+t}=0 \end{equation*}\]

所以两个表出方式完全相同，$\beta$由$W$线性表出的表示方法唯一。

必要性：如果$W$线性相关，则$W$有一个有限子集$\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}\}$线性相关，于是$F$中有不全为$0$的元素$k_1, k_2, \dots, k_{n}$使得：

\[\begin{equation*} k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n=\mathbf{0} \end{equation*}\]

由于$\beta$可以由$W$线性表出，所以：

\[\begin{equation*} \beta=l_1\alpha_1+\cdots+l_n\alpha_n+l_{n+1}v_1+\cdots+l_{n+s}v_s \end{equation*}\]

其中$l_i\in F,\;i=1,2,\dots,n;\;v_j\in X,\;j=1,2,\dots,s$。将上两式相加可得：

\[\begin{equation*} \beta=(l_1+k_1)\alpha_1+\cdots+(l_n+k_n)\alpha_n+l_{n+1}v_1+\cdots+l_{n+s}v_s \end{equation*}\]

因为$k_1, k_2, \dots, k_{n}$不全为$0$，所以有序元素组：

\[\begin{equation*} (l_1,\dots,l_n,l_{n+1},\dots,l_{n+s})\ne(l_1+k_1,\dots,l_n+k_n,l_{n+1},\dots,l_{n+s}) \end{equation*}\]

于是$\beta$由$W$线性表出的方式不唯一，矛盾，所以$W$线性无关。

(5)充分性：因为$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n},\beta$线性相关，所以域$F$中存在不全为$0$的元素$k_1, k_2, \dots, k_{n},l$使得：

\[\begin{equation*} k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n+l\beta=\mathbf{0} \end{equation*}\]

若$l=0$，则域$F$中存在不全为$0$的元素$k_1, k_2, \dots, k_{n}$使得：

\[\begin{equation*} k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n=\mathbf{0} \end{equation*}\]

这与向量组$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$线性无关矛盾，所以$l\ne0$。于是：

\[\begin{equation*} \beta=-\frac{k_1}{l}\alpha_1-\frac{k_2}{l}\alpha_2-\cdots-\frac{k_n}{l}\alpha_n \end{equation*}\]

即向量$\beta$可以由向量组$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$线性表出。

必要性：因为$\beta$可以由向量组$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$线性表出，所以域$F$中存在$k_1, k_2, \dots, k_{n}$使得：

\[\begin{equation*} \beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n \end{equation*}\]

移项即可得到：

\[\begin{equation*} k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n-\beta=\mathbf{0} \end{equation*}\]

即$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n},\beta$线性相关。

(6)反身性与对称性显然成立。

若向量组$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{s}$可以由向量组$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{r}$线性表出，且向量组$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{r}$可以由向量组$\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_{t}$线性表出，于是有：

\[\begin{equation*} \alpha_i=\sum_{j=1}^{r}k_{j_i}\beta_j,\;i=1,2,\dots,s\quad \beta_j=\sum_{l=1}^{t}q_{l_j}\gamma_l,\;j=1,2,\dots,r \end{equation*}\]

于是：

\[\begin{equation*} \alpha_i=\sum_{j=1}^{r}k_{j_i}\left(\sum_{l=1}^{t}q_{l_j}\gamma_l\right)=\sum_{j=1}^{r}\sum_{l=1}^{t}k_{j_i}q_{l_j}\gamma_l=\sum_{l=1}^{t}\left(\sum_{j=1}^{r}k_{j_i}q_{l_j}\right)\gamma_l,\;i=1,2,\dots,s \end{equation*}\]

即向量组$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{s}$可以由向量组$\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_{t}$线性表出。传递性得证。

(7)考虑方程：

\[\begin{equation*} k_1\beta_1+k_2\beta_2+\cdots+k_r\beta_r=\mathbf{0} \end{equation*}\]

因为向量组$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{r}$可以由向量组$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{s}$线性表出，所以：

\[\begin{equation*} \begin{cases} \beta_1=a_{11}\alpha_1+a_{12}\alpha_2+\cdots+a_{1s}\alpha_s \\ \beta_2=a_{21}\alpha_1+a_{22}\alpha_2+\cdots+a_{2s}\alpha_s \\ \vdots \\ \beta_r=a_{r1}\alpha_1+a_{r2}\alpha_2+\cdots+a_{rs}\alpha_s \end{cases} \end{equation*}\]

则有：

\[\begin{align*} k_1\beta_1+k_2\beta_2+\cdots+k_r\beta_r &=k_1(a_{11}\alpha_1+a_{12}\alpha_2+\cdots+a_{1s}\alpha_s) \\ &\quad+k_2(a_{21}\alpha_1+a_{22}\alpha_2+\cdots+a_{2s}\alpha_s)+\cdots \\ &\quad+k_r(a_{r1}\alpha_1+a_{r2}\alpha_2+\cdots+a_{rs}\alpha_s) \\ &=(k_1a_{11}+k_2a_{21}+\cdots+k_ra_{r1})\alpha_1 \\ &\quad+(k_1a_{12}+k_2a_{22}+\cdots+k_ra_{r2})\alpha_2+\cdots \\ &\quad+(k_1a_{1s}+k_2a_{2s}+\cdots+k_ra_{rs})\alpha_s \\ &=\mathbf{0} \end{align*}\]

将上式看作$k_1, k_2, \dots, k_{r}$的线性方程，考虑如下齐次线性方程组：

\[\begin{equation*} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{r1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{r2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1s} & a_{2s } & \cdots & a_{rs} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \end{equation*}\]

因为$s<r$，由定理 2.3可知上述齐次线性方程组必有非零解。取它的一个非零解$(k_1, k_2, \dots, k_{r})$，由性质 1.1.1(3)和线性空间运算法则(3)即可得：

\[\begin{equation*} k_1\beta_1+k_2\beta_2+\cdots+k_r\beta_r=0\alpha_1+0\alpha_2+\cdots+0\alpha_s=\mathbf{0} \end{equation*}\]

于是向量组$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{r}$线性相关。

(8)由(7)立即可得。

(9)可由(8)直接得到。

(10)设$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{s}$是一个向量组，任取它的一个极大线性无关组$\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\dots,\alpha_{i_n}$。显然$\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\dots,\alpha_{i_n}$可以由$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{s}$线性表出。由极大线性无关组的定义与(5)的充分性可直接得到$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{s}$可以由$\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\dots,\alpha_{i_n}$线性表出。

(11)由(10)(6)可直接推出。

(12)由(9)直接得到。 ◻

Definition 1.10. 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩（rank）。把向量组$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{s}$的秩记作$\operatorname{rank}\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{s}\}$。由零向量组成的向量组的秩规定为$0$。

Property 1.1.3. 设$X$是域$F$上的一个线性空间，则：

向量组$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{s}$线性无关的充分必要条件是它的秩等于它所含向量的个数。
若向量组$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{s}$可以由向量组$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{r}$线性表出，那么：

\[\begin{equation*} \operatorname{rank}\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{s}\}\leqslant\operatorname{rank}\{\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{r}\} \end{equation*}\]
等价的向量组具有相等的秩；
若向量组$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{s}$的秩为$r$，则其中任意$r+1$个向量线性相关；
若向量组$A$的部分组$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$线性无关，则它是$A$的极大线性无关组的充要条件为$\operatorname{rank}(A)=n$。

证明. (1)$\;\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{s}$线性无关$\iff$极大线性无关组就是自身$\iff$秩等于所含向量的个数。

(2)任取向量组$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{s}$的一个极大线性无关组$\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\dots,\alpha_{i_n}$，再取向量组$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{r}$的一个极大线性无关组$\beta_{j_1},\beta_{j_2},\dots,\beta_{j_m}$。因为向量组$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{s}$可以由向量组$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{r}$线性表出，根据性质 1.1.2(10)可知$\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\dots,\alpha_{i_n}$可以由$\beta_{j_1},\beta_{j_2},\dots,\beta_{j_m}$线性表出，因为$\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\dots,\alpha_{i_n}$线性无关，由性质 1.1.2(8)可得，$n\leqslant m$，即$\operatorname{rank}\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{s}\}\leqslant\operatorname{rank}\{\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{r}\}$。

(3)由(2)可直接推得。

(4)由性质 1.1.2(10)(7)可直接推得。

(5)必要性：由向量组秩的定义立即可得。

充分性：由(4)和极大线性无关组的定义即可得到。 ◻

1.1.2.1 基与维数

Definition 1.11. 设$X$是域$F$上的一个线性空间。$X$中的向量集$S$若满足下述条件：

本身线性无关；
$X$中的每一个向量都可以由$S$中有限多个向量线性表出。

则称$S$是向量组的一个基（basis）。

Theorem 1.1. 任一域$F$上的任一线性空间$X$都有一组基。

该定理的证明不提供，涉及Zorn引理。

Definition 1.12. $X$是域$F$上的线性空间。如果$X$有一组基是由有限多个向量组成的，那么称$X$是有限维的（finite-dimensional）；如果$X$有一组基含有无穷多个向量，则称$X$是无限维的（infinite-dimensional）。

Theorem 1.2. 如果域$F$上的线性空间$X$是有限维的，那么$X$的任意两个基所含向量的个数相同。如果域$F$上的线性空间$X$是无限维的，那么$X$的任意一组基都含有无穷多个向量。

证明. 有限维：此时$X$存在一组基只有有限多个向量，记为$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$。再取$X$的一组基$S$，从中取出$n+1$个向量$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n+1}$（考虑$S$可能含有无数个向量的情况）。因为$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$是$X$的基，所以$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n+1}$可以由$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$线性表出，由性质 1.1.2(7)可知$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n+1}$线性相关，而此时$S$也应线性相关，矛盾，所以$S$中的元素小于$n+1$个。设$S=\{\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{m}\}$，则$S$与$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$都线性无关且二者等价，由性质 1.1.2(9)，它们具有相同的秩，即所含向量个数相同。由$S$的任意性，$X$的任意两个基所含向量的个数相同。

无限维：如果$X$有一组基由有限多个向量组成，那么$X$也是一个有限维线性空间，而有限维线性空间所有基所含向量的个数都相同，那么$X$就不可能有一组基含有无穷多个向量，与无穷维线性空间的定义矛盾。 ◻

Definition 1.13. $X$是域$F$上的线性空间。如果$X$是有限维的，那么把$X$的基所含向量的个数称为$X$的维数（dimension），记作$\operatorname{dim}V$；如果$X$是无限维的，那么记$\dim V=+\infty$。

Property 1.1.4. 设$X$是域$F$上的$n$维线性空间，则：

$X$中任意$n+1$个向量都线性相关。
任意$n$个线性无关的向量都是$X$的一组基；
$X$的基不唯一；
如果$X$中任一向量都可以由$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$线性表出，则$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$是$X$的一组基；
$X$中任意一个线性无关的向量组都可以扩充成$X$的一组基。

证明. (1)根据定理 1.1和基的定义，任意$n+1$个向量都可以由一组基线性表出，由定理 1.2可知每一组基所含向量个数都是$n$，由性质 1.1.2(7)，这$n+1$个向量线性相关。

(2)任取$X$中$n$个线性无关的向量$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$，对任意的$\beta\in X$，由(1)可知向量组$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n},\beta$线性相关。由性质 1.1.2(5)，$\beta$可以由$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$线性表出。由基的定义，$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$是$X$的一组基。由$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$的任意性，命题成立。

(3)由定理 1.1可知$X$存在一组基，将其中一个元素乘$F$中任意非零元素它们仍线性无关，由(2)可知这是一组基，于是$X$的基不唯一。

(4)根据定理 1.1和定理 1.2，取$X$的一组基$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n}$，则向量组$\{\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n}\}$和向量组$\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}\}$等价。由性质 1.1.3(3)，$n=\operatorname{rank}\{\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n}\}=\operatorname{rank}\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}\}$，所以$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$线性无关。由(2)，$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$是$X$的一组基。

(5)由定理 1.1，任取$X$中一个线性无关的向量组$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{r}$，若$r=n$，由(2)可知，$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{r}$是$X$的一组基；若$r<n$，由定理 1.2可知$X$中必定存在一个元素不能由$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{r}$线性表出，将其记为$\alpha_{r+1}$。不断重复上述过程即可得到一个向量组$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$，由选取过程可知它们线性无关，根据(2)可知这就是$X$的一组基。 ◻

1.1.2.2 坐标与坐标变换

Definition 1.14. $X$是域$F$上的$n$维线性空间，$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$是$X$的一组基，由性质 1.1.2(4)可知$X$中任一向量$\alpha$由$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$线性表出的方式唯一：

\[\begin{equation*} \alpha=a_1\alpha_1+a_2\alpha_2+\cdots+a_n\alpha_n \end{equation*}\]

把系数构成的$n$元有序数组写成列向量的形式，得到$(a_1, a_2, \dots, a_{n})^{\top}$，该列向量被称为$\alpha$在基$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$下的坐标（coordinate）。

Definition 1.15. $X$是域$F$上的$n$维线性空间。根据性质 1.1.4(3)和定理 1.2，给定$V$的两个基：

\[\begin{equation*} \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}\quad\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n} \end{equation*}\]

因为$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$是$V$的一组基，所以有：

\[\begin{equation*} \begin{cases} \beta_1=a_{11}\alpha_1+a_{12}\alpha_2+\cdots+a_{1n}\alpha_n \\ \beta_2=a_{21}\alpha_1+a_{22}\alpha_2+\cdots+a_{2n}\alpha_n \\ \cdots\cdots\cdots \\ \beta_n=a_{n1}\alpha_1+a_{n2}\alpha_2+\cdots+a_{nn}\alpha_n \end{cases} \end{equation*}\]

模仿矩阵乘法的定义将上式写作：

\[\begin{equation*} (\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n})=(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}) \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \end{equation*}\]

将上式右端的矩阵记作$A$，称它是基$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$到基$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n}$的过渡矩阵（transition matrix）。于是上式可以写作：

\[\begin{equation*} (\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n})=(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n})A \end{equation*}\]

由于这种写法是模仿矩阵乘法的定义，所以矩阵乘法所满足的运算法则对于这种写法也成立。

Theorem 1.3. $X$是域$F$上的$n$维线性空间，$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$是$X$的一组基，且向量组$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n}$满足：

\[\begin{equation*} (\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n})=(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n})A \end{equation*}\]

则$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n}$是$X$的一组基当且仅当$A$是可逆矩阵。

证明. 由性质 1.1.4(2)、定理 2.4和性质 2.1.10(3.b)可得：

\[\begin{align*} &\qquad\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n}\text{是$X$的一组基} \\ &\iff\text{由}\sum_{i=1}^{n}k_i\beta_i=\mathbf{0} \text{可推出}k_1=k_2=\cdots=k_n=0 \\ &\iff\text{由}(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n})A \begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_n \end{pmatrix}=\mathbf{0} \text{可推出}k_1=k_2=\cdots=k_n=0 \\ &\iff\text{由}A \begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_n \end{pmatrix}=\mathbf{0} \text{可推出}k_1=k_2=\cdots=k_n=0 \\ &\iff\text{齐次线性方程组}Ax=\mathbf{0}\text{只有零解} \\ &\iff A\text{可逆} \end{align*}\]

◻

Theorem 1.4. $X$是域$F$上的$n$维线性空间，$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$和$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n}$是$X$上的两个基，$A$是由基$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$到基$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n}$的过渡矩阵。若$X$中向量$\alpha$在这两个基下的坐标分别为：

\[\begin{equation*} x=(x_1, x_2, \dots, x_{n})^{\top},\;y=(y_1, y_2, \dots, y_{n})^{\top} \end{equation*}\]

则有：

\[\begin{equation*} y=A^{-1}x \end{equation*}\]

证明. 因为：

\[\begin{align*} \alpha &=(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n})(x_1, x_2, \dots, x_{n})^{\top} \\ &=(\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n})(y_1, y_2, \dots, y_{n})^{\top} \\ &=(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n})A(y_1, y_2, \dots, y_{n})^{\top} \end{align*}\]

所以：

\[\begin{equation*} (x_1, x_2, \dots, x_{n})^{\top}=A(y_1, y_2, \dots, y_{n})^{\top} \end{equation*}\]

即$x=Ay$。由定理 1.3可知$A$可逆，于是$y=A^{-1}x$。 ◻

1.1.3 子空间

1.1.3.1 子空间的定义及其判别

Definition 1.16. $X$是域$F$上的一个线性空间，$E$是$X$的一个非空子集。若$E$对于$X$上的加法和纯量乘法也构成域$F$上的一个线性空间，则称$E$是$X$的一个线性子空间（linear subspace），简称为子空间（subspace）。

Theorem 1.5. $X$是域$F$上的一个线性空间，$E$是$X$的一个非空子集。$E$是$X$的一个子空间的充分必要条件是$E$对$X$中的加法和纯量乘法封闭，即：

\[\begin{gather*} \alpha,\beta\in E\Rightarrow\alpha+\beta\in E \\ k\in F,\alpha\in E\Rightarrow k\alpha\in E \end{gather*}\]

证明. (1)必要性：因为$E$是$X$的子空间，由子空间的定义，$E$中的加法和纯量乘法就是$X$中的加法和纯量乘法，由加法和纯量乘法的定义，$E$对$X$中的加法和纯量乘法封闭。

(2)充分性：由条件可知此时$X$中的加法和纯量乘法可以成为$E$中的加法和纯量乘法，只需证明$E$中存在零元和负元。

因为$E$不是空集，所以存在$\delta\in E$。因为$\delta\in X$，所以由性质 1.1.1(3)可得$0\delta=\mathbf{0}_X\in E$。对任意的$\alpha\in E$，有$\alpha\in X$，根据$X$中的加法有$\alpha+\mathbf{0}_X=\alpha$，因为$X$上的加法限制在$E$上就是$E$的加法，于是$\mathbf{0}_X$是$E$中的零元，即$E$中存在零元且就等于$X$中的零元。

任取$\alpha\in E$。因为$E$对纯量乘法封闭，所以$(-1)\alpha\in E$。由线性空间运算法则(5)(7)和性质 1.1.1(3)可得$\alpha+(-1)\alpha=[1+(-1)]\alpha=0\alpha=\mathbf{0}_X=\mathbf{0}_E$，所以$(-1)\alpha$是$\alpha$的负元。根据性质 1.1.1(6)进一步可知$E$中元素的负元就是其在$X$中的负元。 ◻

Definition 1.17. 设$X$是域$F$上的一个线性空间，$X_1, X_2, \dots, X_{n}$是$X$的子空间。定义：

\[\begin{equation*} \sum_{i=1}^{n}X_i=\left\{\sum_{i=1}^{n}\alpha_i:\alpha_i\in X_i\right\} \end{equation*}\]

1.1.3.2 张成的子空间

Definition 1.18. 设$X$是域$F$上的一个线性空间，$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}\in X$，称：

\[\begin{equation*} W=\left\{\sum_{i=1}^{n}k_i\alpha_i:k_i\in F\right\} \end{equation*}\]

为向量组$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$张成的线性子空间，记作$<\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}>$。

Property 1.1.5. 设$X$是域$F$上的一个线性空间，$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m},\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n}\in X$，则：

$<\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}>$是$X$中包含$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$的最小的子空间；
$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$的极大线性无关组是$<\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}>$的基；
$\operatorname{dim}<\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}>=\operatorname{rank}\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}\}$；
若$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$是$X$的一组基，则$X=<\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}>$；
$<\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}>=<\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{m}>\iff\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}\}\cong\{\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{m}\}$；
$<\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m}>+<\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n}>=<\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m},\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n}>$；

证明. (1)由定理 1.5立即可得。

(2)由定义即可得到。

(3)由(2)直接得到。

(4)由基的定义即可得到。

(5)由(2)和定义即可得到。

(6)由定义即可得到。 ◻

1.1.3.3 子空间的性质

Property 1.1.6. 设$X$是域$F$上的一个线性空间，$E$是$X$的任意一个子空间，则：

$E$中的零元是$X$中的零元，$E$中元素的负元是其在$X$中的负元；
若$I$是一个指标集，对任意的$i\in I$有$X_i$是$X$的子空间，则

\[\begin{equation*} \underset{i\in I}{\overset{}{\cap}}X_i=\{\alpha:\alpha\in X_i,\;\forall\;i\in I\} \end{equation*}\]

也是$X$的子空间；
若$X_1, X_2, \dots, X_{n}$是$X$的子空间，$n\in\mathbb{N}^+$，则$X_1+X_2+\cdots+X_n$也是$X$的子空间；
若$X$是有限维的，则$\dim(E)\leqslant\dim(X)$，等号成立当且仅当$E=X$；
若$X_1,X_2$为$X$的有限维子空间，则$X_1\cap X_2,\;X_1+X_2$也是有限维的，并且有：

\[\begin{equation*} \dim(X_1)+\dim(X_2)=\dim(X_1+X_2)+\dim(X_1\cap X_2) \end{equation*}\]

证明. (1)由定理 1.5的充分性证明即可得到。

(2)任取$\alpha,\beta\in\underset{i\in I}{\overset{}{\cap}}X_i$和$k_1,k_2\in F$。对任意的$i\in I$，因为$X_i$是$X$的子空间，$\alpha,\beta\in X_i$，所以$k_1\alpha+k_2\beta\in X_i$，于是$k_1\alpha+k_2\beta\in\underset{i\in I}{\overset{}{\cap}}X_i$。由定理 1.5可知$\underset{i\in I}{\overset{}{\cap}}X_i$是$X$的子空间。

(3)任取$\alpha,\beta\in X_1+X_2+\cdots+X_n$和$k_1,k_2\in F$，则：

\[\begin{equation*} \alpha=\gamma_1+\gamma_2+\cdots+\gamma_n,\quad \beta=\delta_1+\delta_2+\cdots+\delta_n \end{equation*}\]

其中$\gamma_i,\delta_i\in X_i,\;i=1,2,\dots,n$，于是：

\[\begin{equation*} k_1\alpha+k_2\beta=\sum_{i=1}^{n}(k_i\gamma_i+k_2\delta_i) \end{equation*}\]

因为$X_i$是$X$的子空间，所以$k_i\gamma_i+k_2\delta_i\in X_i,\;i=1,2,\dots,n$，于是$k_1\alpha+k_2\beta\in X_1+X_2+\cdots+X_n$。由定理 1.5可得$X_1+X_2+\cdots+X_n$是$X$的子空间。

(4)由定理 1.1和性质 1.1.4(5)可得，$E$的一组基可以扩充成$X$的一组基，所以$\dim(E)\leqslant\dim(X)$。当$E=X$时，显然$\dim(E)=\dim(X)$。当$\dim(E)=\dim(X)$时，由性质 1.1.4(2)可知$E$的一组基就是$X$的一组基，所以$X$中的任一向量可以由$E$的基线性表出，于是$X\subseteq E$，从而$E=X$。

(5)由(2)(4)可知$X_1\cap X_2$是$X$的有限维子空间（$X_1\cap X_2\subseteq X_1$）。设$X_1,X_2,X_1\cap X_2$的维数分别为$n_1,n_2,m$。根据定理 1.1，取$X_1\cap X_2$的一组基$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m}$，由(4)和性质 1.1.4(5)把它分别扩充为$X_1$和$X_2$的一组基$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m},\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n_1-m}$与$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m},\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_{n_2-m}$。由性质 1.1.5(4)(6)可得：

\[\begin{align*} X_1+X_2 &=<\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m},\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n_1-m}>+<\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m},\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_{n_2-m}> \\ &=<\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m},\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n_1-m},\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_{n_2-m}> \end{align*}\]

根据性质 1.1.5(3)可得$\operatorname{dim}(X_1+X_2)\leqslant n_1+n_2-m$，即$X_1+X_2$是有限维的。

设：

\[\begin{equation*} k_1\alpha_1+\cdots+k_m\alpha_m+l_1\beta_1+\cdots+l_{n_1-m}\beta_{n_1-m}+q_1\gamma_1+\cdots+q_{n_2-m}\gamma_{n_2-m}=\mathbf{0} \end{equation*}\]

于是：

\[\begin{equation*} k_1\alpha_1+\cdots+k_m\alpha_m+l_1\beta_1+\cdots+l_{n_1-m}\beta_{n_1-m}=-(q_1\gamma_1+\cdots+q_{n_2-m}\gamma_{n_2-m}) \end{equation*}\]

左边属于$X_1$，右边属于$X_2$，所以它们属于$X_1\cap X_2$。于是右边的向量也可以由$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m}$线性表出，即：

\[\begin{equation*} (q_1\gamma_1+\cdots+q_{n_2-m}\gamma_{n_2-m})=p_1\alpha_1+\cdots+p_m\alpha_m \end{equation*}\]

因为$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m},\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_{n_2-m}$是$X_2$的一组基，所以：

\[\begin{equation*} q_1=q_2=\cdots=q_{n_2-m}=p_1=p_2=\cdots=p_m=0 \end{equation*}\]

又因为$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m},\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n_1-m}$是$X_1$的一组基，所以：

\[\begin{equation*} k_1=k_2=\cdots=k_m=l_1=l_2=\cdots=l_{n_1-m}=0 \end{equation*}\]

于是$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m},\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n_1-m},\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_{n_2-m}$线性无关。由基的定义，它们是$X_1+X_2$的一组基，于是有：

\[\begin{align*} &\dim(X_1+X_2) =m+n_1-m+n_2-m \\ =&\dim(X_1\cap X_2)+\dim(X_1)-\dim(X_1\cap X_2)+\dim(X_2)-\dim(X_1\cap X_2) \\ =&\dim(X_1)+\dim(X_2)-\dim(X_1\cap X_2) \end{align*}\]

即：

\[\begin{equation*} \dim(X_1)+\dim(X_2)=\dim(X_1+X_2)+\dim(X_1\cap X_2) \end{equation*}\]

◻

1.1.3.4 子空间的直和

Definition 1.19. 设$X$是域$F$上的线性空间，$X_1, X_2, \dots, X_{n}$是$X$的子空间。如果$X_1+X_2+\cdots+X_n$中的每个向量$\alpha$都能唯一地表示为：

\[\begin{equation*} \alpha=\sum_{i=1}^{n}\alpha_i,\;\alpha_i\in X_i \end{equation*}\]

则称和$X_1+X_2+\cdots+X_n$为直和（direct sum），记为$X_1\oplus X_2\oplus\cdots\oplus X_n$，也可以写作$\oplus_{i=1}^nX_i$。若$X=X_1\oplus X_2$，则称$X_2$为$X_1$的补空间（complement）。

Theorem 1.6. 设$X$是域$F$上的线性空间，$X_1, X_2, \dots, X_{n}$是$X$的有限维子空间，则下列命题等价：

和$X_1+X_2+\cdots+X_n$是直和；
和$X_1+X_2+\cdots+X_n$中零向量的表示方法唯一；
$X_i\cap\left(\sum\limits_{j\ne i}X_j\right)=\mathbf{0},\;i,j=1,2,\dots,n$；
$\dim(X_1+X_2+\cdots+X_n)=\dim(X_1)+\dim(X_2)+\cdots+\dim(X_n)$；
$X_i,\;i=1,2,\dots,n$的基合起来是和$X_1+X_2+\cdots+X_n$的一组基。

前三条在$X_1, X_2, \dots, X_{n}$是无限维子空间时也成立。

证明. $1\Rightarrow2$：由直和的定义是显然的。

$2\Rightarrow3$：任取$\alpha\in X_i\cap\left(\sum\limits_{j\ne i}X_j\right)$。因为$\alpha\in X_i$，$X_i$是一个子空间，所以$-\alpha\in X_i$。因为$\alpha\in\left(\sum\limits_{j\ne i}X_j\right)$，所以$\alpha$可表示为：

\[\begin{equation*} \alpha=\sum_{j\ne i}\alpha_j,\;j=1,2,\dots,i-1,i+1,\dots n \end{equation*}\]

于是：

\[\begin{equation*} \mathbf{0}=\alpha+(-\alpha)=-\alpha+\sum_{j\ne i}\alpha_j \end{equation*}\]

因为$\mathbf{0}=\mathbf{0}+\mathbf{0}+\cdots+\mathbf{0}$，所以$-\alpha=\mathbf{0}$，$\alpha=\mathbf{0}$。由$\alpha$的任意性，$X_i\cap\left(\sum\limits_{j\ne i}X_j\right)=\mathbf{0},\;i,j=1,2,\dots,n$。

$3\Rightarrow1$：假设和$X_1+X_2+\cdots+X_n$不是直和，则存在$\alpha\in X_1+X_2+\cdots+X_n$有两种表示方式，设：

\[\begin{equation*} \alpha=\sum_{i=1}^{n}\alpha_i=\sum_{i=1}^{n}\beta_i,\quad \alpha_i,\beta_i\in X_i,\;\alpha_i\ne\beta_i \end{equation*}\]

则：

\[\begin{equation*} \alpha_i-\beta_i=\sum_{j\ne i}(\beta_j-\alpha_j),\quad i,j=1,2,\dots,n \end{equation*}\]

注意到左边属于$X_i$，右边属于$\sum\limits_{j\ne i}X_j$，所以：

\[\begin{equation*} \alpha_i-\beta_i\in X_i\cap\left(\sum\limits_{j\ne i}X_j\right)=\mathbf{0} \end{equation*}\]

于是$\alpha_i=\beta_i$，矛盾，因此和$X_1+X_2+\cdots+X_n$是直和。

$1\Rightarrow4$：因为和$X_1+X_2+\cdots+X_n$是直和，由(3)可得$X_i\cap\left(\sum\limits_{j\ne i}X_j\right)=\mathbf{0},\;i,j=1,2,\dots,n$。由性质 1.1.6(5)可得：

\[\begin{align*} \dim\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right) &=\dim\left(X_1+\sum_{i=2}^{n}X_i\right) =\dim(X_1)+\dim\left(\sum_{i=2}^{n}X_i\right)-\dim\left(X_1\cap\sum_{i=2}^{n}X_i\right) \\ &=\dim(X_1)+\dim\left(\sum_{i=2}^{n}X_i\right) \end{align*}\]

注意到：

\[\begin{equation*} X_2\cap\sum_{i=3}^{n}X_i\subseteq X_2\cap\left(X_1+\sum_{i=3}^{n}X_i\right)=\mathbf{0} \end{equation*}\]

所以：

\[\begin{equation*} \dim\left(\sum_{i=2}^{n}X_i\right) =\dim(X_2)+\dim\left(\sum_{i=3}^{n}X_i\right) \end{equation*}\]

递推可得：

\[\begin{equation*} \dim(X_1+X_2+\cdots+X_n)=\dim(X_1)+\dim(X_2)+\cdots+\dim(X_n) \end{equation*}\]

$4\Rightarrow5$：根据定理 1.1，在$X_i$中取一组基$\alpha_{i1},\alpha_{i2},\dots,\alpha_{ir_i},\;i=1,2,\dots,n$，由性质 1.1.5(4)(6)可得：

\[\begin{align*} \sum_{i=1}^{n}X_i &=<\alpha_{11},\alpha_{12},\dots,\alpha_{1r_1}>+<\alpha_{21},\alpha_{22},\dots,\alpha_{2r_2}>+\cdots+<\alpha_{n1},\alpha_{n2},\dots,\alpha_{nr_n}> \\ &=<\alpha_{11},\alpha_{12},\dots,\alpha_{1r_1},\alpha_{21},\alpha_{22},\dots,\alpha_{2r_2},\dots,\alpha_{n1},\alpha_{n2},\dots,\alpha_{nr_n}> \end{align*}\]

因为：

\[\begin{equation*} \dim(X_1+X_2+\cdots+X_n)=\dim(X_1)+\dim(X_2)+\cdots+\dim(X_n)=\sum_{i=1}^{n}r_i \end{equation*}\]

由性质 1.1.4(4)可知$\alpha_{ij},\;i=1,2,\dots,n,\;j=1,2,\dots,r_i$是$X_1+X_2+\cdots+X_n$的一组基，即$X_i,\;i=1,2,\dots,n$的基合起来是和$X_1+X_2+\cdots+X_n$的一组基。

$5\Rightarrow1$：根据定理 1.1，在$X_i$中取一组基$\alpha_{i1},\alpha_{i2},\dots,\alpha_{ir_i},\;i=1,2,\dots,n$，则$\alpha_{ij},\;i=1,2,\dots,n,\;j=1,2,\dots,r_i$是$X_1+X_2+\cdots+X_n$的一组基。设:

\[\begin{equation*} \mathbf{0}=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n,\;\alpha_i\in X_i \end{equation*}\]

则有：

\[\begin{equation*} \alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{r_i}k_{ij}\alpha_{ij}=\mathbf{0} \end{equation*}\]

$k_{ij}\in F$。因为$\alpha_{ij},\;i=1,2,\dots,n,\;j=1,2,\dots,r_i$是$X_1+X_2+\cdots+X_n$的一组基，所以$k_{ij}=0,\;i=1,2,\dots,n,\;j=1,2,\dots,r_i$，于是$\alpha_i=\mathbf{0}$，即和$X_1+X_2+\cdots+X_n$中零向量的表示方法唯一，由(2)可得和$X_1+X_2+\cdots+X_n$是直和。 ◻

Theorem 1.7. 设$X$是域$F$上的线性空间，则$X$的任一子空间$E$都有补空间。

证明. (1)$\;\dim(X)=n<+\infty$：根据定理 1.1和性质 1.1.6(4)，取$E$的一组基$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m}$，把它扩充为$X$的一组基$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m},\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n-m}$，由性质 1.1.5(4)(6)可知：

\[\begin{align*} X &=<\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m},\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n-m}> \\ &=<\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m}>+<\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n-m}>=E+W \end{align*}\]

其中$W=<\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n-m}>$。因为$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m},\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n-m}$线性无关，由性质 1.1.2(1)可知$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n-m}$线性无关，所以$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n-m}$是$W$的一组基。于是$E$的一组基和$W$的一组基合起来就是$X$的一组基。由定理 1.6(5)可知$X=E\oplus W$，于是$W$是$E$的补空间。

(2)$\;\dim(X)=+\infty$： 考虑商空间$X/E$，根据定理 1.1，设其一组基为$\alpha_i+E,\;i\in I$，其中$I$是一个指标集。由性质 1.1.8(4)可知$\alpha_i,\;i\in I$线性无关。令：

\[\begin{equation*} W=\left\{\sum_{i=1}^{n}k_i\alpha_{i}:k_i\in F,\;n\in\mathbb{N}^+\right\} \end{equation*}\]

显然$\alpha_i,\;i\in I$是$W$的一组基。下面证明$W$是$E$的一个补空间。

任取$\alpha\in X$，因为$\alpha_i+E,\;i\in I$是$X/E$的一组基，所以：

\[\begin{equation*} \alpha+E=\sum_{i=1}^{m}l_i\alpha_{i}+E,\;l_j\in F \end{equation*}\]

即：

\[\begin{equation*} \alpha-\sum_{i=1}^{m}l_i\alpha_{i}\in E \end{equation*}\]

于是$\alpha$可以表示为$E$和$W$中两个元素的和。由$\alpha$的任意性，$X=E+W$。

任取$\beta\in W\cap E$，因为$\beta\in W$，所以：

\[\begin{equation*} \beta=\sum_{i=1}^{t}p_ia_{i},\;p_i\in F \end{equation*}\]

又因为$\beta\in E$，所以：

\[\begin{equation*} E=\beta+E=\sum_{i=1}^{t}p_ia_{r_i}+E=\sum_{i=1}^{t}p_i(a_{i}+E) \end{equation*}\]

因为$\alpha_i+E,\;i\in I$线性无关，所以$p_i=0,\;i=1,2,\dots,t$（$E$是$X/E$的零元），于是$\beta=\mathbf{0}$。由定理 1.6(3)可知$X=E\oplus W$，$W$是$E$的补空间。

综上，$X$的任一子空间$E$都有补空间。 ◻

1.1.4 线性空间的同构

Definition 1.20. 设$X,Y$为域$F$上的线性空间。如果存在$X$到$Y$的一个双射$\sigma$，使得对于任意的$\alpha,\beta\in X,\;k_1,k_2\in F$，有：

\[\begin{equation*} \sigma(k_1\alpha+k_2\beta)=k_1\sigma(\alpha)+k_2\sigma(\beta) \end{equation*}\]

则称$\sigma$是$X$到$Y$的一个同构映射（isomorphism），此时称$X$与$Y$同构（isomorphic），记作$X\cong Y$。

Property 1.1.7. 设$X,Y$为域$F$上的线性空间，且$X,Y$同构，$\sigma$是$X$到$Y$的同构映射，则：

$\sigma(\mathbf{0}_X)=\mathbf{0}_Y$；
对于任意的$\alpha\in X$，有$\sigma(-\alpha)=-\sigma(\alpha)$；
$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}\in X$线性相关当且仅当$\sigma(\alpha_1),\sigma(\alpha_2),\dots,\sigma(\alpha_n)$线性相关；
如果$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$是$X$的一组基，则$\sigma(\alpha_1),\sigma(\alpha_2),\dots,\sigma(\alpha_n)$是$Y$的一组基；
若$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$是$X$的一组基，则$\alpha\in X$在基$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$下的坐标和$\sigma(\alpha)\in Y$在基$\sigma(\alpha_1),\sigma(\alpha_2),\dots,\sigma(\alpha_n)$下的坐标相同。
若$E$是$X$的一个子空间，则$\sigma(E)$是$Y$的一个子空间。若$\dim(E)=n<+\infty$，则$\dim \sigma(E)=n$；
线性空间的同构是一个等价关系，其等价类被称为同构类。

证明. (1)任取$\alpha\in X$，由性质 1.1.1(3)和同构映射的定义可得$\sigma(\mathbf{0}_X)=\sigma(0\alpha)=0\sigma(\alpha)=\mathbf{0}_Y$。

(2)由性质 1.1.1(6)可知$\sigma(-\alpha)=\sigma[(-1)\alpha]=(-1)\sigma(\alpha)=-\sigma(\alpha)$。

(3)设：

\[\begin{equation*} \sum_{i=1}^{n}k_i\alpha_i=\mathbf{0}_X,\;k_i\in F \end{equation*}\]

由(1)可得：

\[\begin{equation*} \sum_{i=1}^{n}k_i\sigma(\alpha_i)=\sigma(\mathbf{0}_X)=\mathbf{0}_Y \end{equation*}\]

若$k_i$不全为$0$，即$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$或$\sigma(\alpha_1),\sigma(\alpha_2),\dots,\sigma(\alpha_n)$线性相关，此时另一个也线性相关。

(4)由(3)可得$\sigma(\alpha_1),\sigma(\alpha_2),\dots,\sigma(\alpha_n)$线性无关。任取$\beta\in Y$，因为$\sigma$是一个满射，则存在$\alpha\in X$使得$\sigma(\alpha)=\beta$。因为$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$是$X$的一组基，所以存在$k_1, k_2, \dots, k_{n}\in F$使得：

\[\begin{equation*} \alpha=\sum_{i=1}^{n}k_i\alpha_i \end{equation*}\]

由(3)可得：

\[\begin{equation*} \beta=\sigma(\alpha)=\sigma\left(\sum_{i=1}^{n}k_i\alpha_i\right)=\sum_{i=1}^{n}k_i\sigma(\alpha_i) \end{equation*}\]

于是$\beta$可由$\sigma(\alpha_i),\;i=1,2,\dots,n$线性表出。由$\beta$的任意性，$\sigma(\alpha_i),\;i=1,2,\dots,n$是$Y$的一组基。

(5)由定义和(4)直接得到。

(6)任取$\alpha,\beta\in\sigma(E),\;k_1,k_2\in F$，考虑$k_1\alpha+k_2\beta$。因为$\sigma$是$X$到$Y$的一个双射，所以对于$\alpha,\beta$，存在$a,b\in X$满足$\sigma(a)=\alpha,\;\sigma(b)=\beta$。因为$E$是$X$的一个子空间，所以$k_1a+k_2b\in E$，于是$\sigma(k_1a+k_2b)=k_1\alpha+k_2\beta\in\sigma(E)$，由定理 1.5可知$\sigma(E)$是$Y$的一个子空间。由(4)可直接得到有限维情况下$E$与$\sigma(E)$之间的维数关系。

(7)反身性由恒等映射保证，对称性由双射保证，传递性由复合映射可直接得到。 ◻

Theorem 1.8. 设$X,Y$为域$F$上的有限维线性空间，则$X$与$Y$同构的充分必要条件为它们的维数相同，于是维数是有限维线性空间同构类的完全不变量。

证明. (1)必要性：由性质 1.1.7(4)直接得到。

(2)充分性：设二者维数都是$n$，取$X$的一组基$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$和$Y$的一组基$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n}$。令：

\[\begin{equation*} \sigma:\sum_{i=1}^{n}k_i\alpha_i\longrightarrow\sum_{i=1}^{n}k_i\beta_i \end{equation*}\]

显然它是一个线性映射，由性质 1.1.2(4)和基的定义可知它是一个双射，于是$X$与$Y$同构。 ◻

1.1.5 商空间

1.1.5.1 商空间的定义

Theorem 1.9. 设$X$是域$F$上的一个线性空间，$L$是$E$的子空间。对于$\forall\;x,y\in X$，若$x-y\in L$，则称$x,y$是等价的，记为$x\sim y$。该关系是一个等价关系。对于该关系的任意等价类$\alpha$，任取$x\in\alpha$，$\alpha$可由$\{x+y:y\in L\}$来表示，简记为$x+L$。

证明. 任取$x,y,z\in X$。

(1)因为$x-x=\mathbf{0}\in L$，所以该关系满足自反性。

(2)若$x\sim y$，即$x-y\in L$，因为$L$是一个子空间，所以$y-x=(-1)(x-y)\in L$，于是$y\sim x$，该关系满足对称性。

(3)若$x\sim y,\;y\sim z$，则有$x-y\in L,\;y-z\in L$，因为$L$是一个线性空间，所以$x-z=(x-y)+(y-z)\in L$，即$x\sim z$。该关系满足传递性。

综上，该关系是一个等价关系。

下证明表示方法的正确性。

对任意的$a\in\alpha$，因为$x\in\alpha$，所以$x-a\in L$，于是存在$z\in L$使得$x-a=-z$，即$a=x+z$，$\alpha\subseteq\{x+y:y\in L\}$。

对任意的$z\in L$，$x+z\in X$且$x+z-x\in L$，所以$x+z\in\alpha$，即$\{x+y:y\in L\}\subseteq\alpha$。

综上，$\alpha=\{x+y:y\in L\}$。 ◻

Definition 1.21. 设$X$是域$F$上的一个线性空间，$L$是$X$的子空间，$\hat{X}$为$X$中所有等价类构成的集合，确定等价类的关系为定理 1.9中的关系。对任意的$\alpha,\beta\in\hat{X},\;k\in F$，在$\hat{X}$中定义线性运算如下：

\[\begin{gather*} \alpha+\beta=x+y+L,\;x\in\alpha,\;y\in\beta \\ k\alpha=kx+L,\;x\in\alpha \end{gather*}\]

则$\hat{X}$成为一个线性空间，称其为$X$关于$L$的商空间（quotient space），记作$X/L$。

证明. 先证明上述线性运算与$x,y$的选择无关。

(1)任取$x'\in\alpha,\;y'\in\beta$，满足$x\ne x',\;y\ne y'$。于是有：

\[\begin{equation*} x'+y'+L=x+y+(x'-x)+(y'-y)+L \end{equation*}\]

因为$x,x'\in\alpha,\;y,y'\in\beta$，所以$x'-x,y'-y\in L$，于是$x'+y'+L=x+y+L$。

(2)任取$x'\in\alpha$，满足$x\ne x'$。于是有：

\[\begin{equation*} kx'+L=kx+k(x'-x)+L \end{equation*}\]

因为$x,x'\in\alpha$，所以$x'-x\in L$。因为$L$是线性空间，所以$k(x'-x)\in L$，于是$kx'+L=kx+L$。

下证明$\hat{X}$是一个线性空间。

任取$\hat{X}$中的两个元素$\alpha=x+L,\;\beta=y+L$。因为$x,y\in X$，$X$是一个线性空间，所以$x+y=y+x$，于是$\alpha+\beta=x+y+L=y+x+L=\beta+\alpha$。由$\alpha,\beta$的任意性，$\hat{X}$上的加法满足线性空间运算法则(1)；
任取$\hat{X}$中的三个元素$\alpha=x+L,\;\beta=y+L,\;\gamma=z+L$。因为$x,y,z\in X$，$X$是一个线性空间，所以$(x+y)+z=x+(y+z)$，于是$(\alpha+\beta)+\gamma=(x+y)+z+L=x+(y+z)+L=\alpha+(\beta+\gamma)$。由$\alpha,\beta,\gamma$的任意性，$\hat{X}$上的加法满足线性空间运算法则(2)；
任取$\alpha=x+L\in\hat{X}$，则$\alpha+\mathbf{0}+L=x+\mathbf{0}+L=x+L=\alpha$，于是$\mathbf{0}+L$是$\hat{X}$中的零元。$\hat{X}$上的加法满足线性空间运算法则(3)；
任取$\alpha=x+L\in\hat{X}$，则$\alpha+-x+L=x+(-x)+L=\mathbf{0}+L$，于是$-x+L$是$\alpha$的负元。由$\alpha$的任意性，$\hat{X}$上的加法满足线性空间运算法则(4)；
任取$\alpha=x+L\in\hat{X}$。因为$x\in X$，$X$是一个线性空间，所以$1x=x$，于是$1\alpha=1x+L=x+L=\alpha$。由$\alpha$的任意性，$\hat{X}$上的纯量乘法满足线性空间运算法则(5)；
任取$\alpha=x+L\in\hat{X},\;k,l\in F$。因为$x\in X$，$X$是一个线性空间，所以$(kl)x=k(lx)$，于是$(kl)\alpha=(kl)x+L=k(lx)+L=k(l\alpha)$。由$\alpha,k,l$的任意性，$\hat{X}$上的纯量乘法满足线性空间运算法则(6)；
任取$\alpha=x+L\in\hat{X},\;k,l\in F$。因为$x\in X$，$X$是一个线性空间，所以$(k+l)x=kx+lx$，于是$(k+l)\alpha=(k+l)x+L=kx+lx+L=k\alpha+l\alpha$。由$\alpha,k,l$的任意性，$\hat{X}$上的纯量乘法满足线性空间运算法则(7)；
任取$\hat{X}$中的两个元素$\alpha=x+L,\;\beta=y+L$。因为$x,y\in X$，$X$是一个线性空间，所以$k(x+y)=ky+kx$，于是$k(\alpha+\beta)=k(x+y)+L=kx+ky+L=k\beta+k\alpha$。由$\alpha,\beta,k$的任意性，$\hat{X}$上的加法满足线性空间运算法则(8)。

综上，$\hat{X}$是一个线性空间。 ◻

1.1.5.2 商空间的性质

Theorem 1.10. 设$X$是域$F$上的$n$维线性空间，$E$是$X$的$m$维子空间，$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m}$是$E$的一组基，$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$是$X$的一组基，则$\alpha_{m+1}+E,\alpha_{m+2}+E,\dots,\alpha_{n}+E$是$X/E$的一组基且：

\[\begin{equation*} \dim(X/E)=\dim(X)-\dim(E)=n-m \end{equation*}\]

证明. 设$\dim(X)=n,\;\dim(E)=m$，根据定理 1.1和性质 1.1.6(4)，取$E$的一组基$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m}$，把它扩充为$X$的一组基$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$。任取$\beta+E\in X/E$，因为$\beta\in X$，于是：

\[\begin{equation*} \beta+E=\sum_{i=1}^{n}k_i\alpha_i+E=\sum_{i=1}^{m}k_i\alpha_i+\sum_{i=m+1}^{n}k_i\alpha_i+E=\sum_{i=m+1}^{n}k_i\alpha_i+E \end{equation*}\]

其中$k_i\in F,\;i=1,2,\dots,n$。上式表明，对任意的$\beta+E\in X/E$，都可以用$\alpha_i+E,\;i=m+1,m+2,\dots,n$的线性组合表示。下证明它们线性无关。

设：

\[\begin{equation*} \sum_{i=m+1}^{n}k_i\alpha_i+E=E \end{equation*}\]

则$\sum\limits_{i=m+1}^{n}k_i\alpha_i\in E$，于是存在$l_j\in F,\;j=1,2,\dots,m$使得：

\[\begin{equation*} \sum_{j=1}^{m}l_j\alpha_j=\sum_{i=m+1}^{n}k_i\alpha_i \end{equation*}\]

因为$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$线性无关，所以$k_i=l_j=0,\;i=m+1,m+2,\dots,n,\;j=1,2,\dots,m$，因此$\alpha_i+E,\;i=m+1,m+2,\dots,n$线性无关，即它们是$X/E$的一组基，$\dim(X/E)=n-m=\dim(X)-\dim(E)$。 ◻

Definition 1.22. 设$X$是域$F$上的一个线性空间，$E$是$X$的一个子空间。若$X/E$是有限维的，则称$\dim(X/E)$是$E$在$X$中的余维数（codimension），记作$\operatorname{codim}E$。

1.1.5.3 标准映射

Definition 1.23. 设$X$是域$F$上的一个线性空间，$E$是$X$的一个子空间，定义映射：

\[\begin{equation*} \pi:\alpha\longrightarrow\alpha+E,\;\forall\;\alpha\in X \end{equation*}\]

称之为标准映射（canonical mapping）。

Property 1.1.8. 设$X$是域$F$上的一个线性空间，$E$是$X$的一个子空间，$\pi$是$X$到$X/E$的标准映射，则$\pi$具有如下性质：

$X/E$中的一个元素$\alpha+E$在$\pi$下的原像是：

\[\begin{equation*} \{\alpha+\beta:\beta\in E\} \end{equation*}\]
$\pi$是一个满射。当且仅当$E$是零空间时，$\pi$是一个双射；
$\pi$是一个线性映射；
若$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}\in X$线性相关，则$\pi(\alpha_1),\pi(\alpha_2),\dots,\pi(\alpha_n)$线性相关。

证明. (1)由定理 1.9可知：

\[\begin{align*} \gamma\in\pi^{-1}(\alpha+E) &\iff \gamma+E=\alpha+E \iff \gamma-\alpha\in E \\ &\iff \exists\;\beta\in E,\;\gamma=\alpha+\beta \iff \gamma\in\{\alpha+\beta:\beta\in E\} \end{align*}\]

(2)满射是显然的结论。当$E$是零空间时，$\pi$是$X$上的恒等变换，恒等变换显然是双射。当$\pi$是双射时，$\pi$是一个单射，即对任何的$\alpha+E\in X/E$，有且仅有$\alpha\in X$使得$\pi(\alpha)=\alpha+E$，也即不存在$\beta\in X,\;\beta\ne\alpha$，使得$\beta-\alpha\in E$，此时$E$只能为零空间。

(3)$\;\forall\;\alpha,\beta\in X,\;k_1,k_2\in F$，有：

\[\begin{equation*} \pi(k_1\alpha+k_2\beta)=k_1\alpha+k_2\beta+E=k_1\alpha+E+k_2\alpha+E=k_1\pi(\alpha)+k_2\pi(\beta) \end{equation*}\]

于是$\pi$是一个线性映射。

(4)因为$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$线性相关，所以存在不全为零的$k_1, k_2, \dots, k_{n}\in F$使得：

\[\begin{equation*} \sum_{i=1}^{n}k_i\alpha_i=\mathbf{0} \end{equation*}\]

由(3)可得：

\[\begin{equation*} \pi\left(\sum_{i=1}^{n}k_i\alpha_i\right)=\sum_{i=1}^{n}k_i\pi(\alpha_i)=\sum_{i=1}^{n}k_i\alpha_i+E=E \end{equation*}\]

于是$\pi(\alpha_i),\;i=1,2,\dots,n$线性相关。 ◻

1.2 多项式

1.2.1 环

Definition 1.24. 设$X$是一个非空集合。如果$X$上有一个运算，即$f:(\alpha,\beta)\rightarrow\gamma(\alpha,\beta)\in X$，将该运算称为加法，把$\gamma$称为$\alpha$与$\beta$的和，记作$\alpha+\beta=\gamma$；同时$X$有另一个运算，即$g:(\alpha,\beta)\rightarrow\delta(\alpha,\beta)\in X$，将该运算称为乘法，把$\delta$称为$\alpha$与$\beta$的积，记作$\alpha\cdot\beta=\delta$。若上述两个运算还满足以下$6$条运算法则：

$\forall\;\alpha,\beta\in X,\;\alpha+\beta=\beta+\alpha$；
$\forall\;\alpha,\beta,\gamma\in X,\;(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)$；
$X$中有一个元素，记作$\mathbf{0}$，称为$X$的零元，它使得：

\[\begin{equation*} \forall\;\alpha\in X,\;\alpha+\mathbf{0}=\alpha \end{equation*}\]
对于任意的$\alpha\in X$，存在与之对应的$\beta\in X$，称为$\alpha$的逆元，记作$-\alpha$，它使得：

\[\begin{equation*} \alpha+\beta=\mathbf{0} \end{equation*}\]
$\forall\;\alpha,\beta,\gamma\in X,\;(\alpha\beta)\gamma=\alpha(\beta\gamma)$；
$\forall\;\alpha,\beta,\gamma\in X,\;(\alpha+\beta)\gamma=\alpha\gamma+\beta\gamma,\;\alpha(\beta+\gamma)=\alpha\gamma+\alpha\gamma$。

那么称$X$是一个环。

Property 1.2.1. 环$X$具有如下性质：

$X$中的零元是唯一的；
$X$中每个元素的逆元是唯一的；
$\forall\;\alpha\in X,\;\mathbf{0}\alpha=\alpha\mathbf{0}=\mathbf{0}$；
$\forall\;\alpha\in X,\;-(-\alpha)=\alpha$；
若$X$中有一个元素$e$满足：

\[\begin{equation*} \forall\;\alpha\in X,\;\alpha e=e\alpha=\alpha \end{equation*}\]

则称$e$是$X$的单位元，单位元是唯一的。

证明. (1)假设$X$中有两个零元$\mathbf{0}_1,\mathbf{0}_2$且$\mathbf{0}_1\ne\mathbf{0}_2$，由环运算法则(3)可得：

\[\begin{equation*} \mathbf{0}_1+\mathbf{0}_2=\mathbf{0}_1,\quad\mathbf{0}_2+\mathbf{0}_1=\mathbf{0}_2 \end{equation*}\]

而由环运算法则(1)可得：

\[\begin{equation*} \mathbf{0}_1+\mathbf{0}_2=\mathbf{0}_2+\mathbf{0}_1 \end{equation*}\]

于是$\mathbf{0}_1=\mathbf{0}_2$，产生矛盾，所以$X$中的零元是唯一的。

(2)任取$X$中的一个元素$\alpha$，假设它有两个负元$\beta_1,\beta_2$。由环运算法则(4)(1)(3)(2)可得：

\[\begin{gather*} (\beta_1+\alpha)+\beta_2=\mathbf{0}+\beta_2=\beta_2 \\ (\beta_1+\alpha)+\beta_2=\beta_1+(\alpha+\beta_2)=\beta_1+\mathbf{0}=\beta_1 \end{gather*}\]

所以$\beta_1=\beta_2$，产生矛盾。由$\alpha$的任意性，$X$中每个元素的负元都是唯一的。

(3)由环运算法则(6)(3)可得：

\[\begin{equation*} \mathbf{0}\alpha+\mathbf{0}\alpha=(\mathbf{0}+\mathbf{0})\alpha=\mathbf{0}\alpha \end{equation*}\]

两边同时加上$-(\mathbf{0}\alpha)$可得：

\[\begin{equation*} \mathbf{0}\alpha+\mathbf{0}\alpha+[-(\mathbf{0}\alpha)]=\mathbf{0}\alpha+[-(\mathbf{0}\alpha)] \end{equation*}\]

由环运算法则(2)(4)(3)可得：

\[\begin{equation*} \mathbf{0}\alpha=\mathbf{\mathbf{0}} \end{equation*}\]

由环运算法则(6)中的左分配律同理可得$\alpha\mathbf{0}=\mathbf{0}$。

(4)由环运算法则(4)可得$-\alpha+[-(-\alpha)]=\mathbf{0}$，在两边同时加上$\alpha$由(4)(1)(3)即可得出结论。

(5)假设$X$中有两个单位元$e_1,e_2$，由单位元的定义可得：

\[\begin{equation*} e_1e_2=e_1,\quad e_1e_2=e_2 \end{equation*}\]

于是$e_1=e_2$，产生矛盾，所以$X$中的单位元是唯一的。 ◻

Definition 1.25. 设$X$是一个环。由性质 1.2.1(2)，定义$f:(\alpha,\beta)\rightarrow\alpha+(-\beta)\in X$，将该运算称为减法，把$\alpha+(-\beta)$称为$\alpha$与$\beta$的差，记作$\alpha-\beta$。

Definition 1.26. $X$是一个环。对于$\alpha\in X$，若存在$\beta\in X$使得$\alpha\beta=\mathbf{0}$（$\beta\alpha=\mathbf{0}$），则称$\alpha$是一个左零因子（右零因子）。根据性质 1.2.1(3)，称$X$中的零元$\mathbf{0}$是平凡的零因子，称其余的左零因子和右零因子为非平凡的零因子。

Definition 1.27. 若环$X$还满足乘法交换律，则称$X$为交换环。

Definition 1.28. 有单位元的无非平凡零因子的交换环称为整环。

1.2.1.1 子环

Definition 1.29. 如果环$X$的一个非空子集$E$对于$X$上的加法和乘法也构成一个环，则称$E$是$X$的一个子环。

Theorem 1.11. 环$X$的一个非空子集$E$是$X$的子环的充分必要条件是$E$对于$X$的减法和乘法都封闭，即：

\[\begin{equation*} \forall\;\alpha,\beta\in E,\;\alpha-\beta,\alpha\beta\in E \end{equation*}\]

证明. (1)必要性：因为$E$是$X$的子环，所以$E$对$X$上的加法和乘法封闭，于是只需要证明$E$对$X$的减法封闭。因为$E$是环，所以$E$中存在零元$\mathbf{0}_E$，由环运算法则(3)可得$\mathbf{0}_E+\mathbf{0}_E=\mathbf{0}_E$。因为$\mathbf{0}_E\in E\subseteq X$，由环运算法则(4)可知$\mathbf{0}_E$存在$X$中的逆元$-\mathbf{0}_E$，于是根据环运算法则(2)(4)(3)可得：

\[\begin{gather*} \mathbf{0}_E+\mathbf{0}_E+(-\mathbf{0}_E)=\mathbf{0}_E+(-\mathbf{0}_E) \\ \mathbf{0}_E+\mathbf{0}_X=\mathbf{0}_X \end{gather*}\]

即$\mathbf{0}_E=\mathbf{0}_X$。

任取$a,b\in E$，对于$X$的减法，由减法的定义可知$a-b=a+(-b)_X$。因为$\mathbf{0}_E=\mathbf{0}_X$，所以$b+(-b)_E=\mathbf{0}_E=\mathbf{0}_X$，由性质 1.2.1(2)可知$(-b)_E=(-b)_X$，所以$a+(-b)_X=a+(-b)_E$。因为$E$对$X$上的加法封闭，所以$a-b\in E$，即$E$对$X$的减法封闭。

(2)充分性：因为$E$对于$X$的减法封闭且$E\ne\varnothing$，所以存在$c\in E$且$c-c=\mathbf{0}_X\in E$，由定义验证可知$\mathbf{0}_X$即为$E$中的零元$\mathbf{0}_E$。

因为$E$对于$X$的减法封闭且$E\ne\varnothing$，所以对于任意的$a\in E$，$\mathbf{0}_X-a=-a\in E$，即$E$中的元素都存在逆元，其在$E$中的逆元就等于在$X$中的逆元。

任取$a,b\in E$，由之前的证明可得$-b\in E$。对于$X$上的加法和减法有$a+b=a-(-b)\in E$，于是$X$上的加法可以成为$E$上的加法，同理$X$上的乘法可以成为$E$上的乘法。

综上，充分性得证。 ◻

1.2.2 一元多项式

Definition 1.30. 数域$K$上的一元多项式（univariate polynomial）指的是如下形式的表达式：

\[\begin{equation*} a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0 \end{equation*}\]

其中$x$是一个符号，$n\in\mathbb{N}^+$，$a_i\in K,\;i=0,1,\dots,n$。规定$x^0=1$，称$x$为不定元（indeterminate），$a_i$为系数（coefficient），$a_ix^i$为$i$次项（term of degree i），$a_0$也称为常数项（constant term）或零次项。两个这种形式的表达式相等当且仅当它们在除去系数为$0$的项后含有完全相同的项。系数全为$0$的一元多项式称为零多项式（zero polynomial），记作$0$。

Definition 1.31. 将数域$K$上所有一元多项式组成的集合记作$K[x]$。设$m>n$，对于任意的$f(x)=\sum\limits_{i=0}^{m}a_ix_i,g(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}b_ix_i\in K[x]$，在$K[x]$中定义如下运算：

加法：$f(x)+g(x)=\sum\limits_{i=0}^{m}(a_i+b_i)x_i$；
乘法：$f(x)g(x)=\sum\limits_{k=0}^{m+n}\left(\sum\limits_{i+j=k}^{}a_ib_j\right)x^k$；

那么$K[x]$构成一个环。

证明. 由数域中加法和乘法的封闭性可知如上定义的加法和乘法对$K[x]$是封闭的。

接下来证明如上定义的加法和乘法满足环中的$6$条运算法则：

因为数域内的数满足加法交换律与加法结合律，所以$K[x]$上的加法满足环运算法则(1)(2)；
对任意的$f(x)\in K[x]$，有$f(x)+0=f(x)$，因此$K[x]$中存在零元且它就是$0$，$K[x]$上的加法满足环运算法则(3)；
对任意的$f(x)=\sum\limits_{i=0}^{m}a_ix_i\in K[x]$，取$-f(x)=\sum\limits_{i=0}^{m}(-a_i)x_i$，则有$f(x)+[-f(x)]=0$。由$f(x)$的任意性，$K[x]$中的每个元素都具有负元。因此，$K[x]$上的加法满足环运算法则(4)；
因为数域内的数满足乘法结合律和乘法分配律，所以$K[x]$上的乘法满足环运算法则(5)(6)。

证明完毕。 ◻

Definition 1.32. 设$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$。若$a_n\ne0$，那么称$a_nx^n$是$f(x)$的首项（leading term），称$n$是$f(x)$的次数（degree），记作$\deg f(x)$。零多项式的次数定义为$-\infty$。

Property 1.2.2. $K[x]$具有如下性质：

若$f(x),g(x)\in K[x]$，则：

\[\begin{equation*} \deg[(f(x)\pm g(x))]\leqslant\max\{\deg f(x)+\deg g(x)\},\quad\deg[f(x)g(x)]=\deg f(x)+\deg g(x) \end{equation*}\]
若$f(x),g(x)\in K[x]$且$f(x)g(x)=0$，则$f(x)=0$或$g(x)=0$；
$K[x]$中的乘法适合消去率，即若$f(x)g(x)=f(x)h(x)$且$f(x)\ne0$，则有$g(x)=h(x)$；
$K[x]$是一个整环；

证明. (1)设$\deg f(x)\geqslant\deg g(x)$。

若$g(x)\ne0$，则$f(x),g(x)$存在首项，设$f(x)$的首项为$a_mx^m$，$g(x)$的首项为$b_nx^n$。
1. 当$m>n$时，$f(x)\pm g(x)$的首项为$a_mx^m$，所以$\deg[f(x)\pm g(x)]=m\leqslant\max\{\deg f(x)+\deg g(x)\}$；$f(x)g(x)$的首项为$a_mb_nx^{m+n}$，所以$\deg[f(x)g(x)]=m+n=\deg f(x)+\deg g(x)$；
2. 当$m=n$时，$f(x)g(x)$的首项为$a_mb_nx^{m+n}$，所以$\deg[f(x)g(x)]=m+n=\deg f(x)+\deg g(x)$。
  1. 若$a_m\pm b_m\ne0$，则$f(x)\pm g(x)$的首项为$(a_m\pm b_m)x^m$，所以$\deg[f(x)\pm g(x)]=m\leqslant\max\{\deg f(x)+\deg g(x)\}$；
  2. 若$a_m\pm b_m=0$，则$f(x)\pm g(x)$的首项为更低次的项或不存在首项，所以$\deg[f(x)\pm g(x)]<m\leqslant\max\{\deg f(x)+\deg g(x)\}$；
若$g(x)=0$，则$f(x)\pm g(x)=f(x)$，$f(x)g(x)=0$，结论成立。

(2)由(1)可知$\deg f(x)+\deg g(x)=-\infty$，所以$f(x)=0$或$g(x)=0$。

(3)由环运算法则(6)可得$f(x)[g(x)-h(x)]=0$，根据(2)可知$g(x)=h(x)$。

(4)$\;K[x]$有单位元$1$，根据(2)可知$K[x]$无非平凡零因子，由$K[x]$中乘法的定义可知$K[x]$是一个交换环，所以$K[x]$是整环。 ◻

1.2.2.1 除法

Definition 1.33. 设$f(x),g(x)\in K[x]$。若存在$h(x)\in K[x]$使得$f(x)=h(x)g(x)$，则称$g(x)$整除（divide）$f(x)$，记作$g(x)\mid f(x)$；否则称$g(x)$不能整除$f(x)$，记作$g(x)\nmid f(x)$。当$g(x)\mid f(x)$时，称$g(x)$是$f(x)$的一个因式（factor），称$f(x)$是$g(x)$的一个倍式（multiple）。

Definition 1.34. 设$f(x),g(x)\in K[x]$。若$f(x)\mid g(x)$且$g(x)\mid f(x)$，则称$f(x)$与$g(x)$相伴（associate），$f(x)$和$g(x)$互为彼此的相伴元，记作$f(x)\sim g(x)$。

Property 1.2.3. 整除具有如下性质：

对任意的$f(x)\in K[x]$，$f(x)\mid0$；
对任意的$f(x)\in K[x]$，$0\mid f(x)$当且仅当$f(x)=0$；
对任意的$f(x)\in K[x]$，任取不为$0$的$a\in K$，有$a\mid f(x)$；
对任意的$f(x)\in K[x]$，$f(x)\mid f(x)$；
若$f(x),g(x),h(x)\in K[x]$，$f(x)\mid g(x),\;g(x)\mid h(x)$，则有$f(x)\mid h(x)$；
若$f(x),g(x),h(x),u(x),v(x)\in K[x]$，$f(x)\mid g(x)$且$f(x)\mid h(x)$，则$f(x)\mid u(x)g(x)+v(x)h(x)$；
若$f(x),g(x)\in K[x]$，则$f(x)\sim g(x)$当且仅当存在不为$0$的$a\in K$使得$f(x)=ag(x)$；
若$f(x),g(x)\in K[x]$且$g(x)\ne0$，则在$K[x]$中存在唯一的一对$h(x),r(x)$使得$f(x)=h(x)g(x)+r(x)$，且有$\deg r(x)<\deg g(x)$；
若$f(x),g(x)\in K[x]$，数域$K\subseteq F$，则在$K[x]$中有$g(x)\mid f(x)$的充分必要条件为在$F[x]$中有$g(x)\mid f(x)$；

证明. (1)由性质 1.2.1(3)立即可得。

(2)由性质 1.2.1(3)立即可得。

(3)对任意的$f(x)\in K[x]$，当$a\ne0$时有$f(x)=a\dfrac{1}{a}f(x)$。

(4)由性质 1.2.2(4)可知$f(x)=1f(x)$。

(5)由整除的定义可知存在$p(x),q(x)\in K[x]$使得$g(x)=p(x)f(x),h(x)=q(x)g(x)$，于是$h(x)=q(x)p(x)f(x)$，所以$f(x)\mid h(x)$。

(6)由整除的定义可知存在$p(x),q(x)\in K[x]$使得$g(x)=p(x)f(x),h(x)=q(x)f(x)$，于是：

\[\begin{equation*} u(x)g(x)+v(x)h(x)=u(x)p(x)f(x)+v(x)q(x)f(x)=[u(x)p(x)+v(x)q(x)]f(x) \end{equation*}\]

(7)充分性：代入验证即可。

必要性：设$f(x)\sim g(x)$，则$f(x)\mid g(x)$且$g(x)\mid f(x)$，于是存在$h_1(x),h_2(x)$使得$g(x)=h_1(x)f(x),f(x)=h_2(x)g(x)$，所以有：

\[\begin{equation*} f(x)=h_2(x)h_1(x)f(x) \end{equation*}\]

当$f(x)=0$时，由(2)可知$g(x)=0$，满足条件。当$f(x)\ne0$时，由性质 1.2.2(4)和性质 1.2.1(5)可得$h_2(x)h_1(x)=1$，根据性质 1.2.2(1)可知$\deg h_1(x)=\deg h_2(x)=0$，于是$h_1(x),h_2(x)\in K\setminus\{0\}$，令$a=h_2(x)$即可。

(8)存在性：若$\deg f(x)<\deg g(x)$，取$h(x)=0,r(x)=f(x)$即可。当$\deg f(x)\geqslant\deg g(x)$时，对$f(x)$的次数作数学归纳法。若$\deg f(x)=0$，则$\deg g(x)=0$，注意到：

\[\begin{equation*} f(x)=\frac{f(x)}{g(x)}g(x)+0 \end{equation*}\]

即可。假设当$\deg f(x)=m-1$时结论成立，接下来证明$\deg f(x)=m$时结论也成立。

设：

\[\begin{gather*} f(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_1x+a_0,\quad a_m\ne0 \\ g(x)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_1x+b_0,\quad b_n\ne0 \end{gather*}\]

因为$m\geqslant n$，所以可以令：

\[\begin{equation*} p(x)=f(x)-a_mb_n^{-1}x^{m-n}g(x) \end{equation*}\]

则$\deg p(x)<m$。由归纳假设，存在唯一的一对$h_1(x),r_1(x)$使得：

\[\begin{equation*} p(x)=h_1(x)g(x)+r_1(x) \end{equation*}\]

且$\deg r_1(x)<\deg g(x)$。变形可得：

\[\begin{gather*} h_1(x)g(x)+r_1(x)=f(x)-a_mb_n^{-1}x^{m-n}g(x) \\ f(x)=[h_1(x)+a_mb_n^{-1}x^{m-n}]g(x)+r_1(x) \end{gather*}\]

存在性得证。

唯一性：假设还有一对不同于$h(x),r(x)$的$u(x),v(x)$使得$f(x)=u(x)g(x)+v(x)$，且有$\deg v(x)<\deg g(x)$，则：

\[\begin{gather*} u(x)g(x)+v(x)=h(x)g(x)+r(x) \\ [h(x)-u(x)]g(x)=v(x)-r(x) \end{gather*}\]

由性质 1.2.2(1)可知$v(x)=r(x)$，否则无法满足$\deg v(x)<\deg g(x)$。因为$g(x)\ne0$，根据性质 1.2.2(2)可知$h(x)=u(x)$，唯一性得证。

(9)必要性：因为在$K[x]$中有$g(x)\mid f(x)$，所以存在$h(x)\in K[x]$使得$f(x)=h(x)g(x)$。因为$K\subseteq F$，所以$f(x),g(x),h(x)\in F[x]$，于是在$F[x]$中有$g(x)\mid f(x)$。

充分性：设在$F[x]$中有$g(x)\mid f(x)$。

当$g(x)=0$时，由(2)可知$f(x)=0$，所以在$K[x]$中有$g(x)\mid f(x)$。

当$g(x)\ne0$时，由(8)可得在$K[x]$中存在唯一的一对$h(x),r(x)$使得$f(x)=h(x)g(x)+r(x)$，且$\deg r(x)<\deg g(x)$。因为$K\subseteq F$，所以$f(x),g(x),h(x),r(x)\in F[x]$。考虑到在$F[x]$中有$g(x)\mid f(x)$，所以$r(x)=0$，于是在$K[x]$中有$g(x)\mid f(x)$。 ◻

Definition 1.35. 设$f(x),g(x),h(x),r(x)\in K[x]$。若$f(x)=h(x)g(x)+r(x)$，称$f(x)$为被除式（dividend），$g(x)$为除式（divisor），$h(x)$为商式（quotient），$r(x)$为余式（remainder）。

1.2.2.2 公因式

Definition 1.36. 设$f(x),g(x),c(x)\in K[x]$。若$c(x)\mid f(x)$且$c(x)\mid g(x)$，则称$c(x)$是$f(x)$和$g(x)$的一个公因式（common divisor）。

Definition 1.37. 设$f(x),g(x)\in K[x]$，$d(x)$是$f(x)$和$g(x)$的一个公因式。若对于$f(x)$和$g(x)$的任一公因式$c(x)$，都有$c(x)\mid d(x)$，则称$d(x)$是$f(x)$和$g(x)$的最大公因式（greatest common divisor）。用$(f(x),g(x))$表示$f(x)$和$g(x)$首项系数为$1$的最大公因式。

Definition 1.38. 设$f(x),g(x),c(x)\in K[x]$。若$(f(x),g(x))=1$，则称$f(x)$与$g(x)$互素（coprime）。

Property 1.2.4. 设$f(x),g(x),h(x)\in K[x]$，$a,b\in K$。公因式有如下性质：

若$f(x)=h(x)g(x)+r(x)$，$h(x),r(x)\in K[x]$，则$c(x)$是$f(x)$和$g(x)$的公因式的充要条件为$c(x)$是$g(x)$和$r(x)$的公因式；
若$f(x)=h(x)g(x)+r(x)$，$h(x),r(x)\in K[x]$，则$c(x)$是$f(x)$和$g(x)$的最大公因式的充要条件为$c(x)$是$g(x)$和$r(x)$的最大公因式；
$f(x)$和$g(x)$在$K[x]$中存在最大公因式$c(x)$，且存在$u(x),v(x)\in K[x]$使得²：

\[\begin{equation*} c(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x) \end{equation*}\]
$c(x)$是$f(x)$和$g(x)$的最大公因式的充要条件为$c(x)$是$af(x)$和$bg(x)$的最大公因式；
$c(x)$是$f(x)$和$g(x)$的最大公因式的充要条件为$ac(x)$是$f(x)$和$g(x)$的最大公因式；
若$K\subseteq F$，则$f(x)$和$g(x)$在$K[x]$中的首项系数为$1$的最大公因式等于在$F[x]$中的首项系数为$1$的最大公因式；
$f(x)$和$g(x)$互素的充要条件为存在$u(x),v(x)\in K[x]$使得：

\[\begin{equation*} 1=u(x)f(x)+v(x)g(x) \end{equation*}\]
若$f(x)\mid g(x)h(x)$且$(f(x),g(x))=1$，则$f(x)\mid h(x)$；
若$f(x)\mid h(x)$、$g(x)\mid h(x)$且$(f(x),g(x))=1$，则$f(x)g(x)\mid h(x)$；
若$(f(x),h(x))=1$且$(g(x),h(x))=1$，则$(f(x)g(x),h(x))=1$；

证明. (1)由性质 1.2.3(6)立即可得。

(2)必要性：由(1)可知$c(x)$是$g(x)$和$r(x)$的公因式，任取$g(x)$和$r(x)$的公因式$d(x)$，由(1)可知$d(x)$是$f(x)$和$g(x)$的公因式，所以$d(x)\mid c(x)$，由$d(x)$的任意性可知$c(x)$是$g(x)$和$r(x)$的最大公因式。

充分性：由(1)可知$c(x)$是$f(x)$和$g(x)$的公因式，任取$f(x)$和$g(x)$的公因式$d(x)$，由(1)可知$d(x)$是$g(x)$和$r(x)$的公因式，所以$d(x)\mid c(x)$，由$d(x)$的任意性可知$c(x)$是$f(x)$和$g(x)$的最大公因式。

(3)若$g(x)=0$，由性质 1.2.3(1)(4)可知$f(x)$为$f(x)$和$g(x)$的最大公因式，根据性质 1.2.1(2)可取$u(x)=1$和$v(x)=0$。

若$g(x)\ne0$，由性质 1.2.3(8)可知在$K[x]$中存在唯一的一对$h_1(x),r_1(x)$使得：

\[\begin{equation*} f(x)=h_1(x)g(x)+r_1(x),\quad\deg r_1(x)<\deg g(x) \end{equation*}\]

根据(1)可知$f(x)$和$g(x)$的最大公因式即为$g(x)$和$r_1(x)$的最大公因式。若$r_1(x)=0$，由性质 1.2.3(4)可知$g(x)$就是$f(x)$和$g(x)$的最大公因式，根据性质 1.2.1(2)可取$u(x)=0$和$v(x)=1$。若$r_1(x)\ne0$，则由性质 1.2.3(8)可知在$K[x]$中存在唯一的一对$h_2(x),r_2(x)$使得：

\[\begin{equation*} g(x)=h_2(x)r_1(x)+r_2(x),\quad\deg r_2(x)<\deg r_1(x) \end{equation*}\]

根据(1)可知$g(x)$和$r_1(x)$的最大公因式即为$r_1(x)$和$r_2(x)$的最大公因式。若$r_2(x)=0$，由性质 1.2.3(4)可知$r_1(x)$就是$g(x)$和$r_1(x)$的最大公因式，也即$r_1(x)$就是$f(x)$和$g(x)$的最大公因式，此时可取$u(x)=1$和$v(x)=-h_1(x)$。若$r_2(x)\ne0$，则可以继续重复上述步骤。

由于余式的次数总是小于上一次除法余式的次数，所以一定存在$n\in\mathbb{N}^+$满足$r_{n+1}(x)=0$（否则可以进行无穷次除法，此时所得余式不为$0$但次数为$-\infty$），此时$r_n(x)$就是$f(x)$和$g(x)$的最大公因式。

由前面重复的过程可以看出所有的余式都可以由$f(x)$和$g(x)$表示，所以：

\[\begin{align*} r_n(x)=r_{n-2}(x)-h_n(x)r_{n-1}(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x) \end{align*}\]

(4)必要性：因为$c(x)$是$f(x)$和$g(x)$的最大公因式，所以$c(x)$是$f(x)$和$g(x)$的公因式，由性质 1.2.3(6)和性质 1.2.1(3)可知$c(x)$是$af(x)$和$bg(x)$的公因式。任取$af(x)$和$bg(x)$的公因式$d(x)$，由性质 1.2.3(6)和性质 1.2.1(3)可知$d(x)$是$f(x)$和$g(x)$的公因式，所以$d(x)\mid c(x)$。由$d(x)$的任意性可知$c(x)$是$af(x)$和$bg(x)$的最大公因式。

充分性：完全类似必要性。

(5)必要性：因为$c(x)$是$f(x)$和$g(x)$的最大公因式，所以$c(x)$是$f(x)$和$g(x)$的公因式，由定义可验证得到$ac(x)$是$f(x)$和$g(x)$的最大公因式。

充分性：由定义即可验证得到。

(6)若$f(x)$和$g(x)$全为$0$，由性质 1.2.3(4)(1)可知$f(x)$和$g(x)$在$K[x]$中的最大公因式为$0$，而数域的扩大并不会改变$0$，于是结论成立。

若$f(x)$和$g(x)$不全为$0$，根据(3)(5)对$f(x)$和$g(x)$作辗转相除法，得到$(f(x),g(x))$。因为辗转相除法中涉及到的所有多项式都在$K[x]$中，而$K[x]\subseteq F[x]$，所以上述辗转相除法可以看作是在$F[x]$中进行的，于是结论成立。

(7)必要性：由(3)立即可得。

充分性：由性质 1.2.3(8)可知$(f(x),g(x))\mid1$，根据性质 1.2.2(1)可知$\deg(f(x),g(x))=0$，所以$(f(x),g(x))=1$，即$f(x)$和$g(x)$互素。

(8)由(7)可知存在$u(x),v(x)\in K[x]$使得$1=u(x)f(x)+v(x)g(x)$，即：

\[\begin{equation*} h(x)=u(x)f(x)h(x)+v(x)g(x)h(x) \end{equation*}\]

因为$f(x)\mid g(x)h(x)$，所以$f(x)\mid h(x)$。

(9)由(7)可知存在$u(x),v(x)\in K[x]$使得$1=u(x)f(x)+v(x)g(x)$，即：

\[\begin{equation*} h(x)=u(x)f(x)h(x)+v(x)g(x)h(x) \end{equation*}\]

因为$f(x)\mid h(x)$且$g(x)\mid h(x)$，所以$f(x)g(x)\mid h(x)$。

(10)由(7)可知存在$u_1(x),u_2(x),v_1(x),v_2(x)\in K[x]$使得：

\[\begin{equation*} 1=u_1(x)f(x)+v_1(x)h(x),\quad1=u_2(x)g(x)+v_2(x)h(x) \end{equation*}\]

将两式相乘得到：

\[\begin{equation*} 1=u_1(x)u_2(x)f(x)g(x)+u_1(x)v_2(x)f(x)h(x)+v_1(x)u_2(x)h(x)g(x)+v_1(x)v_2(x)h(x)h(x) \end{equation*}\]

取$u(x)=u_1(x)u_2(x)$和$v(x)=u_1(x)v_2(x)f(x)+v_1(x)u_2(x)g(x)+v_1(x)v_2(x)h(x)$，根据(7)即可得出结论。 ◻

note 1.1. 引入$(f(x),g(x))$的原因在于由性质 1.2.4(5)可知$f(x)$和$g(x)$的最大公因式是不唯一的，可以由一个非零的常数因子进行缩放。$(f(x),g(x))$是唯一的。

1.2.2.3 因式

Definition 1.39. 设$f(x)$是$K[x]$中一个次数大于$0$的多项式。若$f(x)$在$K[x]$中的因式只有零次多项式及其相伴元，则称$f(x)$是数域$K$上的一个不可约多项式（irreducible polynomial）。

Property 1.2.5. 设$f(x)$是$K[x]$中的一个次数大于$0$的多项式，则下列叙述等价：

$f(x)$是不可约多项式；
对任意的$g(x)\in K[x]$，有$f(x)\mid g(x)$或$(f(x),g(x))=1$；
若$g(x),h(x)\in K[x]$且$f(x)\mid g(x)h(x)$，则$f(x)\mid g(x)$或$f(x)\mid h(x)$；
$f(x)$在$K[x]$中不能分解成两个次数低于$\deg f(x)$的多项式的乘积。

证明. $1\to2$：对于任意的$g(x)\in K[x]$，$f(x)$和$g(x)$要么互素要么有公因式。如果$f(x)$和$g(x)$有公因式$d(x)$，根据不可约多项式的定义，$d(x)$只能是零次多项式或者$f(x)$的相伴元。若$d(x)$是零次多项式则$(f(x),g(x))=1$，若$d(x)$是$f(x)$的相伴元，由性质 1.2.3(5)可得$f(x)\mid g(x)$。

$2\to3$：由性质 1.2.4(8)立即可得。

$3\to4$：若此时$f(x)=p_1(x)p_2(x)$，其中$\deg p_1(x),\deg p_2(x)<\deg f(x)$，由性质 1.2.3(4)可知$f(x)\mid p_1(x)p_2(x)$，于是$f(x)\mid p_1(x)$或$f(x)\mid p_2(x)$。根据性质 1.2.1(3)可知$p_1(x),p_2(x)\ne0$，由性质 1.2.2(1)可知$\deg p_1(x)\geqslant\deg f(x)$或$\deg p_2(x)\geqslant\deg f(x)$，矛盾。

$4\to1$：若此时$f(x)$不是不可约多项式，则$f(x)$在$K[x]$中存在非零次多项式以及其相伴元的因式$g(x)$，于是$f(x)=h(x)g(x)$，$h(x)\in K[x]$。由性质 1.2.2(1)和条件可知$h(x)$和$g(x)$中一个是零次多项式一个与$f(x)$同次，根据性质 1.2.3(7)可知矛盾。 ◻

Theorem 1.12. $K[x]$中任意次数大于$0$的多项式$f(x)$都能唯一地分解为数域$K$上有限多个不可约多项式的乘积，唯一性指的是若$f(x)$有两个满足条件的分解式：

\[\begin{equation*} f(x)=\prod_{i=1}^{s}p_i(x)=\prod_{i=1}^{t}q_i(x),\quad p_i(x),q_i(x)\in K[x] \end{equation*}\]

则$s=t$且排列因式顺序后有$p_i(x)\sim q_i(x),\;i=1,2,\dots,s$。

证明. 存在性：设$\deg f(x)=n$。当$n=1$时，由性质 1.2.2(1)可得$f(x)$不可约，结论成立。若结论对$n-1$次多项式成立，下证明对$n$次也成立。

若$f(x)$不可约，由性质 1.2.2(1)可知结论成立。若$f(x)$可约，根据定义和性质 1.2.2(1)可知存在$f_1,f_2(x)\in K[x]$满足：

\[\begin{equation*} f(x)=f_1(x)f_2(x),\quad\deg f_i(x)<\deg f(x),\;i=1,2 \end{equation*}\]

根据归纳假设，$f_1(x)$和$f_2(x)$都可以被分解为有限个不可约多项式的乘积，于是$f(x)$可被分解为有限个不可约多项式的乘积。

唯一性：若$f(x)$有两个不同的分解式：

\[\begin{equation*} f(x)=\prod_{i=1}^{s}p_i(x)=\prod_{i=1}^{t}q_i(x),\quad p_i(x),q_i(x)\in K[x] \end{equation*}\]

当$s=1$时有$f(x)=p_1(x)$，因为$p_1(x),q_1(x)$不可约，$q_1(x)\mid f(x)=p_1(x)$，所以$p_1(x)\sim q_1(x)$。由性质 1.2.3(7)可知此时只能有$s=t=1$、$p_1(x)=q_1(x)$，唯一性成立。若结论对$s-1$成立，下证明对$s$也成立。

因为$p_1(x)$是不可约多项式且$p_1(x)\mid f(x)=\prod\limits_{i=1}^{t}q_i(x)$，由性质 1.2.5(3)可知存在$q_i(x)$满足$p_1(x)\mid q_i(x)$。因为$p_1(x),q_i(x)$不可约，所以$p_1(x)\sim q_i(x)$。交换顺序使得$i=1$，由性质 1.2.3(7)和性质 1.2.2(3)可知存在$a\in K$使得：

\[\begin{equation*} \prod_{i=2}^{s}p_i(x)=a\prod_{i=2}^{t}q_i(x) \end{equation*}\]

根据归纳假设可知$s-1=t-1$且排列因式顺序后有$p_i(x)\sim q_i(x),\;i=2,3,\dots,s$，结论成立。 ◻

Definition 1.40. 设$f(x),p(x)\in K[x]$，$p(x)$为不可约多项式。若$p^k(x)\mid f(x)$且$p^{k+1}\nmid f(x)$，其中$k\geqslant1$，则称$p(x)$为$f(x)$的k重因式（k-fold factor）。若$k=1$，则称$p(x)$为$f(x)$的单因式（simple factor），否则称$p(x)$为$f(x)$的重因式（multiple factor）。

Definition 1.41. 设：

\[\begin{equation*} f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\in K[x] \end{equation*}\]

称：

\[\begin{equation*} na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+2a_2x+a_1 \end{equation*}\]

为$f(x)$的一阶导数，记作$f'(x)$。称$f'(x)$的导数为$f(x)$的二阶导数，更高阶的情况可类似定义。

note 1.2. 可以验证上述定义满足导数的运算法则。

Property 1.2.6. 设$f(x)\in K[x]$，则；

若$p(x)\in K[x]$是$f(x)$的重因式，则$p(x)$是$f'(x)$的$k-1$重因式；
不可约多项式$p(x)\in K[x]$是$f(x)$的重因式当且仅当$p(x)$是$f(x)$和$f'(x)$的公因式；
若$\deg f(x)>0$，则$f(x)$有重因式当且仅当$f(x)$与$f'(x)$有次数大于$0$的公因式；
若$\deg f(x)>0$，则$f(x)$没有重因式当且仅当$f(x)$与$f'(x)$互素；
若$\deg f(x)>0$，则$f(x)$有无重因式不会随数域的扩大而改变。

证明. (1)由条件可知存在$g(x)\in K[x]$满足$f(x)=p^k(x)g(x)$，其中$p(x)\nmid g(x)$，于是：

\[\begin{equation*} f'(x)=kp^{k-1}(x)p'(x)g(x)+p^k(x)g'(x)=p^{k-1}[kp'(x)g(x)+p(x)g'(x)] \end{equation*}\]

即$p^{k-1}\mid f'(x)$，下只需证明$p^k(x)\nmid f'(x)$，即$p(x)\nmid kp'(x)g(x)$。由性质 1.2.5(3)可知只需证明$p(x)\nmid kp'(x)$。

若$p(x)\mid kp'(x)$，则存在$h(x)\in K[x]$满足$kp'(x)=h(x)p(x)$，由性质 1.2.2(1)可知此时只能有$p'(x)=0$，于是$\deg p(x)=0$，矛盾，所以$p(x)\nmid kp'(x)$。

(2)必要性：若$p(x)$不是$f(x)$和$f'(x)$的公因式，由条件可知此时$p(x)\nmid f'(x)$，根据(1)可知矛盾。

充分性：由条件可知存在$g(x)\in K[x]$使得：

\[\begin{equation*} f(x)=g(x)p(x),\quad f'(x)=g'(x)p(x)+g(x)p'(x) \end{equation*}\]

因为$p(x)\mid f'(x)$，所以$p(x)\mid g(x)p'(x)$。仿照(1)中的证明可以得到$p(x)\nmid p'(x)$，由性质 1.2.5(3)可知$p(x)\mid g(x)$，所以$p(x)$是$f(x)$的重因式。

(3)必要性：若$f(x)$有重因式，则存在不可约多项式$p(x)\in K[x]$和整数$k\geqslant2$，使得$p(x)$是$f(x)$的$k$重因式。由(2)可知，$p(x)$是$f(x)$和$f'(x)$的公因式。又因为$p(x)$不可约，所以$\deg p(x)>0$，即$f(x)$与$f'(x)$有次数大于$0$的公因式。

充分性：若$f(x)$与$f'(x)$有次数大于$0$的公因式，则存在$g(x)\in K[x]$满足：

\[\begin{equation*} \deg g(x)>0,\quad g(x)\mid f(x),\quad g(x)\mid f'(x) \end{equation*}\]

根据定理 1.12可知$g(x)$至少有一个不可约因式。取不可约多项式$p(x)$满足$p(x)\mid g(x)$，由性质 1.2.3(5)可知：

\[\begin{equation*} p(x)\mid f(x),\quad p(x)\mid f'(x) \end{equation*}\]

因此$p(x)$是$f(x)$和$f'(x)$的公因式。由(2)可知$p(x)$是$f(x)$的重因式，即$f(x)$有重因式。 (4)由(3)立即可得。

(5)由定理 19.3可知多项式的导数不会随数域的扩大而发生变化，根据性质 1.2.3(9)或性质 1.2.4(6)立即可得出结论。 ◻

1.3 线性映射

Definition 1.42. 设$X,Y$是域$F$上的线性空间，$X$到$Y$上的一个映射$\mathcal{T}$如果对任意的$\alpha,\beta\in X$和任意的$k_1,k_2\in F$，有：

\[\begin{equation*} \mathcal{T}(k_1\alpha+k_2\beta)=k_1\mathcal{T}\alpha+k_2\mathcal{T}\beta \end{equation*}\]

则称$\mathcal{T}$是$X$到$Y$的一个线性映射（linear mapping）。若$Y=X$，则称$\mathcal{T}$为$X$上的线性变换（linear transformation）；若$Y=F$，则称$\mathcal{T}$为$X$上的线性函数（linear function）。

1.3.0.1 线性映射空间与线性映射的运算

Definition 1.43. 设$X,Y$是域$F$上的线性空间，将$X$到$Y$的所有线性映射组成的集合记为$\operatorname{Hom}(X,Y)$。设$\mathcal{T}_1,\mathcal{T}_2\in\operatorname{Hom}(X,Y),\;k\in F$，定义线性映射的加法与纯量乘法如下：

\[\begin{gather*} (\mathcal{T}_1+\mathcal{T}_2)\alpha=\mathcal{T}_1\alpha+\mathcal{T}_2\alpha,\;\forall\;\alpha\in X \\ (k\mathcal{T}_1)\alpha=k\mathcal{T}_1\alpha,\;\forall\;\alpha\in X \end{gather*}\]

容易验证$\operatorname{Hom}(X,Y)$成为域$F$上的一个线性空间。$X=Y$时将$\operatorname{Hom}(X,Y)$简记为$\operatorname{Hom}(X)$。

Definition 1.44. 设$X,Y$是域$F$上的线性空间，$\mathcal{T}_1,\mathcal{T}_2\in\operatorname{Hom}(X,Y)$，定义线性映射的减法如下：

\[\begin{equation*} \mathcal{T}_1-\mathcal{T}_2=\mathcal{T}_1+(-\mathcal{T}_2) \end{equation*}\]

Definition 1.45. 设$X,Y$是域$F$上的线性空间，$\mathcal{T}\in\operatorname{Hom}(X,Y)$，若对任意的$\alpha\in X$，有$\mathcal{T}\alpha=\mathbf{0}_Y$，则称$\mathcal{T}$为$X$到$Y$的零映射（zero mapping），记作$\mathcal{O}$。

Definition 1.46. 设$X$是域$F$上的线性空间，$\mathcal{T}\in\operatorname{Hom}(X)$。若对任意的$\alpha\in X$，有$\mathcal{T}\alpha=\alpha$，则称$\mathcal{T}$为$X$上的恒等变换（identity transformation），记作$\mathcal{I}$；

Definition 1.47. 设$X,Y,Z$是域$F$上的线性空间，$\mathcal{T}_1\in\operatorname{Hom}(X,Y),\mathcal{T}_2\in\operatorname{Hom}(Z,Y)$，定义线性映射乘法如下：

\[\begin{equation*} \forall\;\alpha\in X,\;(\mathcal{T}_2\mathcal{T}_1)\alpha=\mathcal{T}_2(\mathcal{T}_1\alpha) \end{equation*}\]

Definition 1.48. 设$X,Y$是域$F$上的线性空间，$\mathcal{T}_1\in\operatorname{Hom}(X,Y)$，若存在$\mathcal{T}_2\in\operatorname{Hom}(Y,X)$使得$\mathcal{T}_1\mathcal{T}_2=\mathcal{I}_Y,\;\mathcal{T}_2\mathcal{T}_1=\mathcal{I}_X$，则称$\mathcal{T}_1$是可逆的，$\mathcal{T}_2$是$\mathcal{T}_1$的逆映射。

Definition 1.49. 设$X$是域$F$上的线性空间，$\mathcal{T}_1,\mathcal{T}_2\in\operatorname{Hom}(X)$。若$\mathcal{T}_1\mathcal{T}_2=\mathcal{T}_2\mathcal{T}_1$，则称$\mathcal{T}_1$与$\mathcal{T}_2$可交换。

Theorem 1.13. 设$X,Y,Z$是域$F$上的线性空间，$\mathcal{T}_1\in\operatorname{Hom}(X,Y),\mathcal{T}_2\in\operatorname{Hom}(Z,Y)$，则$\mathcal{T}_2\mathcal{T}_1\in\operatorname{Hom}(X,Z)$。

证明. 只需注意到对任意的$\alpha,\beta\in X,\;k_1,k_2\in F$，有：

\[\begin{align*} (\mathcal{T}_2\mathcal{T}_1)(k_1\alpha+k_2\beta) &=\mathcal{T}_2[\mathcal{T}_1(k_1\alpha+k_2\beta)] =\mathcal{T}_2(k_1\mathcal{T}_1\alpha+k_2\mathcal{T}_1\beta) \\ &=k_1\mathcal{T}_2(\mathcal{T}_1\alpha)+k_2\mathcal{T}_2(\mathcal{T}_1\beta) =k_1(\mathcal{T}_2\mathcal{T}_1)\alpha+k_2(\mathcal{T}_2\mathcal{T}_1)\beta \end{align*}\]

◻

Definition 1.50. 设$X,Y$是域$F$上的线性空间，$\mathcal{T}$是$X$到$Y$上的一个线性映射，分别称：

\[\begin{equation*} \{\alpha\in X:\mathcal{T}\alpha=\mathbf{0}_Y\},\quad \{\mathcal{T}\alpha:\alpha\in X\} \end{equation*}\]

为$\mathcal{T}$的核（kernel）与象（image），将它们分别记作$\operatorname{Ker}\mathcal{T}$和$\operatorname{Im}\mathcal{T}$。

1.3.0.2 线性空间上线性映射的性质

Property 1.3.1. 设$X,Y$是域$F$上的线性空间，$\mathcal{T}$是$X$到$Y$上的线性映射，则：

若$\mathcal{T}$可逆，则$\mathcal{T}$是$X$到$Y$上的同构映射；
$\mathcal{T}\mathbf{0}_X=\mathbf{0}_Y$；
对于任意的$\alpha\in X$，有$\mathcal{T}(-\alpha)=-\mathcal{T}\alpha$；
对于任意的$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}\in X,\;k_1, k_2, \dots, k_{n}\in F$，有：

\[\begin{equation*} \mathcal{T}\left(\sum_{i=1}^{n}k_i\alpha_i\right)=\sum_{i=1}^{n}k_i\mathcal{T}\alpha_i \end{equation*}\]

这表明，如果$X$是有限维的，那么只要知道$X$的一组基在$\mathcal{T}$下的象，那么$X$中所有向量在$\mathcal{T}$下的象就都确定了；
若$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}\in X$线性相关，则$\mathcal{T}\alpha_1, \mathcal{T}\alpha_2, \dots, \mathcal{T}\alpha_{n}$线性相关；
$\operatorname{Ker}\mathcal{T}$和$\operatorname{Im}\mathcal{T}$分别是$X$和$Y$的子空间；
$\mathcal{T}$是单射当且仅当$\operatorname{Ker}\mathcal{T}=\mathbf{0}_X$；
$\mathcal{T}$是满射当且仅当$\operatorname{Im}\mathcal{T}=Y$。
$X/\operatorname{Ker}\mathcal{T}$与$\operatorname{Im}\mathcal{T}$在映射：

\[\begin{equation*} \sigma:\alpha+\operatorname{Ker}\mathcal{T}\longrightarrow\mathcal{T}\alpha \end{equation*}\]

下同构；
若$X$是有限维的，则$\operatorname{Ker}\mathcal{T}$和$\operatorname{Im}\mathcal{T}$都是有限维的，且有：

\[\begin{equation*} \dim(X)=\dim(\operatorname{Ker}\mathcal{T})+\dim(\operatorname{Im}\mathcal{T}) \end{equation*}\]
若$\dim(X)=\dim(Y)=n<+\infty$，则$\mathcal{T}$是单射当且仅当$\mathcal{T}$是满射；
设$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}\in X$，则有$\mathcal{T}<\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}>=<\mathcal{T}\alpha_1, \mathcal{T}\alpha_2, \dots, \mathcal{T}\alpha_{n}>$；

证明. (1)(2)(3)(4)(5)(8)证明都是显然的，只需参考性质 1.1.7即可，这是因为线性映射只比同构映射少了双射这一条件，所以同构映射不涉及双射条件的性质对于线性映射也成立。

(6)任取$\alpha,\beta\in\operatorname{Ker}\mathcal{T}$和$k_1,k_2\in F$，则有：

\[\begin{equation*} \mathcal{T}(k_1\alpha+k_2\beta)=k_1\mathcal{T}\alpha+k_2\mathcal{T}\beta=\mathbf{0} \end{equation*}\]

于是$k_1\alpha+k_2\beta\in\operatorname{Ker}\mathcal{T}$，所以$\operatorname{Ker}\mathcal{T}$是$X$的子空间。

任取$\mathcal{T}\alpha,\mathcal{T}\beta\in\operatorname{Im}\mathcal{T}$和$k_1,k_2\in F$，则有：

\[\begin{equation*} k_1\mathcal{T}\alpha+k_2\mathcal{T}\beta=\mathcal{T}(k_1\alpha+k_2\beta) \end{equation*}\]

因为$X$是一个线性空间，所以$k_1\alpha+k_2\beta\in X$，于是$\mathcal{T}(k_1\alpha+k_2\beta)\in\operatorname{Im}\mathcal{T}$，因此$\operatorname{Im}\mathcal{T}$是$Y$的子空间。

(7)充分性：假设此时$\mathcal{T}$不是单射，则存在$\mathcal{T}\alpha,\mathcal{T}\beta\in\mathcal{T}$使得$\mathcal{T}\alpha=\mathcal{T}\beta$且$\alpha\ne\beta$，而此时$\mathcal{T}\alpha-\mathcal{T}\beta=\mathcal{T}(\alpha-\beta)=\mathbf{0}_Y$，由已知条件可得$\alpha-\beta=\mathbf{0}_X$，即$\alpha=\beta$，矛盾。

必要性：由(2)可知$\mathcal{T}\mathbf{0}_X=\mathbf{0}_Y$，因为$\mathcal{T}$是一个单射，所以$\operatorname{Ker}\mathcal{T}=\mathbf{0}_X$。

(9)先证明$\sigma$是一个映射。若$\alpha+\operatorname{Ker}\mathcal{T}=\beta+\operatorname{Ker}\mathcal{T}$，则$\alpha-\beta\in\operatorname{Ker}\mathcal{T}$，即$\mathcal{T}(\alpha-\beta)=\mathcal{T}\alpha-\mathcal{T}\beta=\mathbf{0}_Y$，于是$\mathcal{T}\alpha=\mathcal{T}\beta$，所以$\sigma$是一个映射。

任取$\alpha+\operatorname{Ker}\mathcal{T},\beta+\operatorname{Ker}\mathcal{T}\in X/\operatorname{Ker}\mathcal{T}$和$k_1,k_2\in F$，则有：

\[\begin{align*} \sigma[k_1(\alpha+\operatorname{Ker}\mathcal{T})+k_2(\beta+\operatorname{Ker}\mathcal{T})] &=\sigma(k_1\alpha+k_2\beta+\operatorname{Ker}\mathcal{T}) =\mathcal{T}(k_1\alpha+k_2\beta) \\ &=k_1\mathcal{T}\alpha+k_2\mathcal{T}\beta =k_1\sigma(\alpha+\operatorname{Ker}\mathcal{T})+k_2(\beta+\operatorname{Ker}\mathcal{T}) \end{align*}\]

所以$\sigma$是一个线性映射。

显然$\sigma$是一个满射。

若存在$\alpha+\operatorname{Ker}\mathcal{T},\beta+\operatorname{Ker}\mathcal{T}\in X$满足$\alpha+\operatorname{Ker}\mathcal{T}\ne\beta+\operatorname{Ker}\mathcal{T}$且$\mathcal{T}\alpha=\mathcal{T}\beta$，则此时有$\mathcal{T}(\alpha-\beta)=\mathcal{T}\alpha-\mathcal{T}\beta=\mathbf{0}_Y$，所以$\alpha-\beta\in\operatorname{Ker}\mathcal{T}$，即$\alpha+\operatorname{Ker}\mathcal{T}=\beta+\operatorname{Ker}\mathcal{T}$，矛盾，因此$\sigma$是个单射。

综上，$\sigma$是一个双射且是一个线性映射，于是$X/\operatorname{Ker}\mathcal{T}$与$\operatorname{Im}\mathcal{T}$在$\sigma$下同构。

(10)因为$X$是有限维的，由定理 1.10可知$X/\operatorname{Ker}\mathcal{T}$和$\operatorname{Ker}\mathcal{T}$都是有限维的。由定理 1.8和(9)可知$\dim(X/\operatorname{Ker}\mathcal{T})=\dim(\operatorname{Im}\mathcal{T})$，于是$\operatorname{Im}\mathcal{T}$也是有限维的。由定理 1.10可得：

\[\begin{equation*} \dim(\operatorname{Im}\mathcal{T})=\dim(X/\operatorname{Ker}\mathcal{T})=\dim(X)-\dim(\operatorname{Ker}\mathcal{T}) \end{equation*}\]

(11)由(7)(10)(6)、性质 1.1.6(4)和(8)可得：

\[\begin{align*} \mathcal{T}\text{是单射} &\iff\operatorname{Ker}\mathcal{T}=\mathbf{0}_X \iff\dim(\operatorname{Ker}\mathcal{T})=0 \\ &\iff\dim(Y)=\dim(X)=\dim(\operatorname{Im}\mathcal{T}) \iff\mathcal{T}\text{是满射} \end{align*}\]

(12)由(4)可得；

\[\begin{align*} <\mathcal{T}\alpha_1, \mathcal{T}\alpha_2, \dots, \mathcal{T}\alpha_{n}>&=\left\{\sum_{i=1}^{n}c_i\mathcal{T}\alpha_i:c_i\in F\right\}=\left\{\mathcal{T}\left(\sum_{i=1}^{n}c_i\alpha_i\right):c_i\in F\right\} \\ &=\mathcal{T}<\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}> \end{align*}\]

◻

Definition 1.51. 设$X,Y$是域$F$上的线性空间，$X$是有限维的，$\mathcal{T}\in\operatorname{Hom}(X,Y)$，由性质 1.3.1(10)可知$\operatorname{Ker}(\mathcal{T}),\operatorname{Im}(\mathcal{T})$都是有限维的，称$\dim(\operatorname{Ker}\mathcal{T})$为$\mathcal{T}$的零度（nullity），称$\dim(\operatorname{Im}\mathcal{T})$为$\mathcal{T}$的秩，记为$\operatorname{rank}(\mathcal{T})$。

1.3.0.3 线性映射的矩阵表示

Definition 1.52. 设$X,Y$分别为域$F$上的$m$维、$n$维线性空间，$\mathcal{T}$是$X$到$Y$的一个线性映射。由性质 1.3.1(4)可知$\mathcal{T}$被它在$X$的一组基上的作用所决定。取$X$的一组基$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m}$和$Y$的一组基$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n}$，则：

\[\begin{equation*} (\mathcal{T}\alpha_1, \mathcal{T}\alpha_2, \dots, \mathcal{T}\alpha_{m})=(\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n}) \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm} \\ \end{pmatrix} \end{equation*}\]

将$(\mathcal{T}\alpha_1, \mathcal{T}\alpha_2, \dots, \mathcal{T}\alpha_{m})$记作$\mathcal{T}(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m})$，将上式右端矩阵记为$A$，称$A$为$\mathcal{T}$在$X$的基$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m}$和$Y$的基$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n}$下的矩阵。若$X=Y$，取$(\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n})$为$(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m})$，称$A$为$\mathcal{T}$在基$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m}$下的矩阵。

Theorem 1.14. 设$X,Y$分别为域$F$上的$m$维、$n$维线性空间，$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m}$和$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n}$分别是$X$和$Y$的一组基，则映射$\sigma:\mathcal{T}\in\operatorname{Hom}(X,Y)\longrightarrow\mathcal{T}$在$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m}$和$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n}$下的矩阵$A$是$\operatorname{Hom}(X,Y)$到$M_{n\times m}(F)$的一个同构映射，于是有：

\[\begin{equation*} \operatorname{Hom}(X,Y)\cong M_{n\times m}(F),\quad\dim[\operatorname{Hom}(X,Y)]=\dim(X)\dim(Y)=mn \end{equation*}\]

证明. 任意的$\mathcal{T}\in\operatorname{Hom}(X,Y)$都存在对应的$A\in M_{n\times m}(F)$使得：

\[\begin{equation*} (\mathcal{T}\alpha_1, \mathcal{T}\alpha_2, \dots, \mathcal{T}\alpha_{m})=(\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n})A \end{equation*}\]

因为$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n}$是$Y$的一组基，由性质 1.1.2(4)可知$T\alpha_i$由$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n}$表出的方式唯一，所以$A$是唯一的，$\sigma$是一个映射。

若$\sigma$不是一个单射，则存在不同的$\mathcal{T}_1,\mathcal{T}_2$使得$\sigma(\mathcal{T}_1)=\sigma(\mathcal{T}_2)=A$，此时有：

\[\begin{equation*} (\mathcal{T}_1\alpha_1, \mathcal{T}_1\alpha_2, \dots, \mathcal{T}_1\alpha_{m})=(\mathcal{T}_2\alpha_1, \mathcal{T}_2\alpha_2, \dots, \mathcal{T}_2\alpha_{m})=(\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n})A \end{equation*}\]

于是$\mathcal{T}_1=\mathcal{T}_2$，矛盾。

若$\sigma$不是一个满射，则存在$A=(a_{ij})\in M_{m\times n}(F)$不是$\operatorname{Hom}(X,Y)$中任意一个线性映射在$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m}$和$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n}$下的矩阵。定义映射：

\[\begin{equation*} \mathcal{T}:\alpha=\sum_{i=1}^{m}k_i\alpha_i\to\beta=\sum_{i=1}^{m}k_i\sum_{j=1}^{n}a_{ji}\beta_j,\quad k_1, k_2, \dots, k_{m}\in F \end{equation*}\]

由定义可以验证$\mathcal{T}$是一个线性映射，$A$就是其在$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m}$和$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n}$下的矩阵，矛盾。

综上，$\sigma$是一个双射。

任取$\mathcal{T}_1,\mathcal{T}_2\in\operatorname{Hom}(X,Y),\;\sigma(\mathcal{T}_1)=A,\;\sigma(\mathcal{T}_2)=B$，则对任意的$k_1,k_2\in F$有：

\[\begin{align*} &[(k_1\mathcal{T}_1+k_2\mathcal{T}_2)\alpha_1, (k_1\mathcal{T}_1+k_2\mathcal{T}_2)\alpha_2, \dots, (k_1\mathcal{T}_1+k_2\mathcal{T}_2)\alpha_{m}] \\ =&(k_1\mathcal{T}_1\alpha_1+k_2\mathcal{T}_2\alpha_1,k_1\mathcal{T}_1\alpha_2+k_2\mathcal{T}_2\alpha_2,\dots,k_1\mathcal{T}_1\alpha_m+k_2\mathcal{T}_2\alpha_m) \\ =&(k_1\mathcal{T}_1\alpha_1,k_1\mathcal{T}_1\alpha_2,\dots,k_1\mathcal{T}_1\alpha_m)+(k_2\mathcal{T}_2\alpha_1,k_2\mathcal{T}_2\alpha_2,\dots,k_2\mathcal{T}_2\alpha_m) \\ =&k_1(\mathcal{T}_1\alpha_1,\mathcal{T}_1\alpha_2,\dots,\mathcal{T}_1\alpha_m)+k_2(\mathcal{T}_2\alpha_1,\mathcal{T}_2\alpha_2,\dots,\mathcal{T}_2\alpha_m) \\ =&k_1(\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n})A+k_2(\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n})B=(\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n})(k_1A+k_2B) \end{align*}\]

即:

\[\begin{equation*} \sigma(k_1\mathcal{T}_1+k_2\mathcal{T}_2)=k_1A+k_2B=k_1\sigma(\mathcal{T}_1)+k_2\sigma(\mathcal{T}_2) \end{equation*}\]

所以$\sigma$是一个线性映射。

综上，映射$\sigma$是$\operatorname{Hom}(X,Y)$到$M_{n\times m}(F)$的一个同构映射，$\operatorname{Hom}(X,Y)\cong M_{n\times m}(F)$，由定理 1.8可得$\dim[\operatorname{Hom}(X,Y)]=mn=\dim(X)\dim(Y)$。 ◻

Theorem 1.15. 设$X,Y$分别为域$F$上的$m$维、$n$维线性空间，$\mathcal{T}$是$X$到$Y$的一个线性映射，$\mathcal{T}$在$X$的一组基$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m}$和$Y$的一组基$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n}$下的矩阵为$A$，向量$\alpha$在$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m}$下的坐标为$x$，则$\mathcal{T}\alpha$在$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n}$下的坐标为$Ax$。

证明. $\mathcal{T}\alpha=\mathcal{T}[(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m})x]=[\mathcal{T}\alpha_1, \mathcal{T}\alpha_2, \dots, \mathcal{T}\alpha_{m}]x=(\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n})Ax$。 ◻

1.4 线性变换

Definition 1.53. 设$X$是域$F$上的线性空间，$\mathcal{T}\in\operatorname{Hom}(X)$，定义$\mathcal{T}$的正整数指数幂如下：

\[\begin{equation*} \mathcal{T}^n=\underbrace{\mathcal{T} \cdot \mathcal{T} \cdots \mathcal{T}}_{n\text{个}\mathcal{T}} ,\;n\in\mathbb{N}^+ \end{equation*}\]

若$\mathcal{T}$可逆，还可以定义$\mathcal{T}$的负整数指数幂如下：

\[\begin{equation*} \mathcal{T}^{-n}=(\mathcal{T}^{-1})^n,\;n\in\mathbb{N}^+ \end{equation*}\]

Definition 1.54. 设$X$是域$F$上的线性空间，$\mathcal{T}\in\operatorname{Hom}(X)$。

给定$k\in F$，若对任意的$\alpha\in X$，有$\mathcal{T}\alpha=k\alpha$，则称$\mathcal{T}$为$X$上的数乘变换（scalar transformation），记作$\mathcal{K}$；
若$E$和$W$是$X$的子空间，且有$X=E\oplus W$，若对任意的$\alpha=\alpha_1+\alpha_2\in X,\;\alpha_1\in E,\;\alpha_2\in W$，有：

\[\begin{equation*} \mathcal{T}\alpha=\alpha_1 \end{equation*}\]

则称$\mathcal{T}$为平行于$W$在$E$上的投影变换（projection transformation），记为$\mathcal{P}_E$。
若$\mathcal{T}^2=\mathcal{I}$，则称$\mathcal{T}$为对合变换（involution）；
若$\mathcal{T}^2=\mathcal{T}$，则称$\mathcal{T}$为幂等变换（idempotent transformation）；
若存在$n\in\mathbb{N}^+$使得$\mathcal{T}^n=\mathcal{O}$，则称$\mathcal{T}$为幂零变换（nilpotent transformation），使得$\mathcal{T}^n=\mathcal{O}$成立的最小正整数$n$被称为是$\mathcal{T}$的幂零指数（nilpotent index）。

1.4.1 线性变换的性质

1.4.1.1 线性变换保持的矩阵关系

Theorem 1.16. 线性变换对其对应的矩阵保持加法、纯量乘法和乘法的运算。

证明. 设$X$是域$F$上的$n$维线性空间，$\sigma:\mathcal{T}\in\operatorname{Hom}(X)\longrightarrow\mathcal{T}$在$X$的一组基$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m}$下的矩阵。加法和纯量乘法的情况略去证明。取$\mathcal{T}_1,\mathcal{T}_2\in\operatorname{Hom}(X),\;\sigma(\mathcal{T}_1)=A,\;\sigma(\mathcal{T}_2)=B$，于是有：

\[\begin{align*} &[(\mathcal{T}_1\mathcal{T}_2)\alpha_1, (\mathcal{T}_1\mathcal{T}_2)\alpha_2, \dots, (\mathcal{T}_1\mathcal{T}_2)\alpha_{n}] =[\mathcal{T}_1(\mathcal{T}_2\alpha_1),\mathcal{T}_1(\mathcal{T}_2\alpha_2),\dots,\mathcal{T}_1(\mathcal{T}_2\alpha_n)] \\ =&\mathcal{T}_1(\mathcal{T}_2\alpha_1, \mathcal{T}_2\alpha_2, \dots, \mathcal{T}_2\alpha_{n}) =\mathcal{T}_1[(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n})B] =(\mathcal{T}_1\alpha_1, \mathcal{T}_1\alpha_2, \dots, \mathcal{T}_1\alpha_{n})B \\ =&(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n})AB \end{align*}\]

于是$\sigma(\mathcal{T}_1\mathcal{T}_2)=AB$，即线性变换对其对应的矩阵保持乘法运算。 ◻

1.4.1.2 线性变换的秩与矩阵的秩

Theorem 1.17. 设$X$是域$F$上的一个$n$维线性空间，$\mathcal{T}\in\operatorname{Hom}(X)$在$X$的一组基$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$下的矩阵为$A$，则$\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(\mathcal{T})$。

证明. 由性质 1.3.1(12)可得：

\[\begin{align*} \operatorname{rank}(\mathcal{T})&=\dim(\operatorname{Im}\mathcal{T})=\dim(\mathcal{T}X)=\dim(\mathcal{T}<\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}>) \\ &=\dim<\mathcal{T}\alpha_1, \mathcal{T}\alpha_2, \dots, \mathcal{T}\alpha_{n}> \end{align*}\]

因为$\dim(X)=n$，由定理 1.8可知$X\cong F^n$，映射：

\[\begin{equation*} \sigma:\sum_{i=1}^{n}b_i\beta_i\longrightarrow(b_1, b_2, \dots, b_{n})^{\top} \end{equation*}\]

是$X$到$F^n$的一个同构映射。注意到：

\[\begin{equation*} (\mathcal{T}\alpha_1, \mathcal{T}\alpha_2, \dots, \mathcal{T}\alpha_{n})=(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n})A \end{equation*}\]

$T\alpha_i$在基$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$下的坐标就是$A$的第$i$列，所以$\sigma(\mathcal{T}\alpha_i)=A_i$，其中$A_i$表示$A$的第$i$列，于是由性质 1.3.1(12)可得$\sigma<\mathcal{T}\alpha_1, \mathcal{T}\alpha_2, \dots, \mathcal{T}\alpha_{n}>=<A_1, A_2, \dots, A_{n}>$，所以由性质 1.1.7(6)可得：

\[\begin{align*} \operatorname{rank}(\mathcal{T})&=\dim<\mathcal{T}\alpha_1, \mathcal{T}\alpha_2, \dots, \mathcal{T}\alpha_{n}>=\dim(\sigma<\mathcal{T}\alpha_1, \mathcal{T}\alpha_2, \dots, \mathcal{T}\alpha_{n}>) \\ &=\dim<A_1, A_2, \dots, A_{n}>=\operatorname{rank}(A) \end{align*}\]

◻

1.4.1.3 线性变换在不同基下的矩阵的关系

Theorem 1.18. 设$X$是域$F$上的$n$维线性空间，$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$和$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n}$是$X$的两组基，$P$为$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$到$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n}$的过渡矩阵，$\mathcal{T}\in\operatorname{Hom}(X)$，则$\mathcal{T}$在$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$下的矩阵$A$与在$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n}$下的矩阵$B$满足：

\[\begin{equation*} B=P^{-1}AP \end{equation*}\]

证明. 由已知条件可得：

\[\begin{gather*} (\mathcal{T}\alpha_1, \mathcal{T}\alpha_2, \dots, \mathcal{T}\alpha_{n})=(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n})A \\ (\mathcal{T}\beta_1, \mathcal{T}\beta_2, \dots, \mathcal{T}\beta_{n})=(\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n})B \\ (\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n})=(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n})P \end{gather*}\]

根据定理 1.3可知$P$可逆。设$P$的列向量为$P_1, P_2, \dots, P_{n}$，所以：

\[\begin{align*} &(\mathcal{T}\beta_1, \mathcal{T}\beta_2, \dots, \mathcal{T}\beta_{n}) \\ =&\{\mathcal{T}[(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n})P_1],\mathcal{T}[(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n})P_2],\dots,\mathcal{T}[(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n})P_n]\} \\ =&\{[\mathcal{T}(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n})]P_1,[\mathcal{T}(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n})]P_2,\dots,[\mathcal{T}(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n})]P_n\} \\ =&(\mathcal{T}\alpha_1, \mathcal{T}\alpha_2, \dots, \mathcal{T}\alpha_{n})P =(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n})AP =(\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n})P^{-1}AP \end{align*}\]

由定理 1.14可知$\mathcal{T}$在$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n}$下的矩阵是唯一的，所以$B=P^{-1}AP$。 ◻

Definition 1.55. 设$A,B\in M_{n}(F)$。如果存在可逆矩阵$P\in M_{n}(F)$，使得：

\[\begin{equation*} P^{-1}AP=B \end{equation*}\]

则称$A$与$B$相似（similar）。

1.4.2 线性变换的分解与矩阵表示

线性变换作用在空间上时，最直观的现象是向量的位置发生改变。原来沿着某个方向的向量，经过变换之后可能转到别的方向；原来位于某个子空间中的向量，经过变换之后也可能离开这个子空间。因此，在研究线性变换时，一个非常自然的问题是：空间中是否存在某些部分，在变换作用以后仍然留在自身内部？如果存在这样的部分，线性变换在这个部分上的作用便可以脱离整个空间而单独研究。

Definition 1.56. 设$X$是域$F$上的线性空间，$\mathcal{T}\in\operatorname{Hom}(X)$，$E$是$X$的一个子空间。若对于任意的$\alpha\in E$都有$\mathcal{T}\alpha\in E$，则称$E$是$X$的一个不变子空间（invariant subspace），简称为$\mathcal{T}$-子空间。

Definition 1.57. 设$X$是域$F$上的线性空间，$\mathcal{T}\in\operatorname{Hom}(X)$，$E$是$\mathcal{T}$-子空间。根据不变子空间的定义，$\mathcal{T}$限制在$E$上是一个线性变换，记此时的限制线性变换为$\mathcal{T}\mid E$。

根据定理 1.6(3)，若$X$能够分解为若干个子空间的直和：

\[\begin{equation*} X=E_1\oplus E_2\oplus\cdots\oplus E_n \end{equation*}\]

并且每个$E_i$都是$\mathcal{T}$-子空间，那么此时应当是最理想的情况，$\mathcal{T}$在$X$上的作用被分解为它在各个$E_i$上的作用。此时，整个空间不再被看作一个不可拆分的整体，而是由若干个在$\mathcal{T}$作用下彼此封闭的部分组成。

研究线性变换还有另一个自然的角度：选择一组合适的基，使得线性变换在这组基下的矩阵尽可能简单。因为矩阵是线性变换在坐标下的表示，矩阵形式越简单，线性变换对向量的作用方式就越直观。一般矩阵中的非零元素越分散，说明各个基向量的像之间耦合越复杂；而矩阵越接近分块形式或对角形式，说明线性变换越能够被拆开理解。

Definition 1.58. 设$X$是域$F$上的线性空间，$\mathcal{T}\in\operatorname{Hom}(X)$，$E$是$\mathcal{T}$-子空间。定义：

\[\begin{equation*} \mathcal{T}/E:\alpha+E\to\mathcal{T}\alpha+E,\quad\alpha+E\in X/E \end{equation*}\]

Property 1.4.1. 设$X$是域$F$上的线性空间，$\mathcal{T}\in\operatorname{Hom}(X)$，则：

$X$、$X$的零子空间$\{\mathbf{0}\}$是$\mathcal{T}$-子空间，称二者为平凡的$\mathcal{T}$-子空间；
$\operatorname{Ker}(\mathcal{T}),\operatorname{Im}(\mathcal{T})$是$\mathcal{T}$-子空间；
若$\mathcal{T}_1,\mathcal{T}_2\in\operatorname{Hom}(X)$且$\mathcal{T}_1$和$\mathcal{T}_2$是可交换的，则$\operatorname{Ker}(\mathcal{T}_2),\operatorname{Im}(\mathcal{T}_2)$是$\mathcal{T}_1$-子空间；
$\mathcal{T}$-子空间的和与交是$\mathcal{T}$-子空间；
$\mathcal{T}/E$是$X/E$上的线性变换；
若$\dim(X)=n$，$E$是非平凡的$\mathcal{T}$-子空间，$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{r}$是$E$的一组基，把它扩充成$X$的一组基$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{r},\alpha_{r+1},\alpha_{r+2},\dots,\alpha_n$，则$\mathcal{T}$在这组基下的矩阵$A$是一个分块上三角矩阵：

\[\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} A_1 & A_3 \\ \mathbf{0} & A_2 \end{pmatrix},\quad A_1\in M_{r\times r}(F) \end{equation*}\]

其中$A_1$是$\mathcal{T}\mid E$在$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{r}$下的矩阵，$A_2$是$\mathcal{T}/E$在$X/E$的基$\alpha_{r+1}+E,\alpha_{r+2}+E,\dots,\alpha_n+E$下的矩阵；
若$\dim(X)=n$，$\mathcal{T}$在$X$的一组基$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{r},\alpha_{r+1},\alpha_{r+2},\dots,\alpha_n$下的矩阵$A$是一个分块上三角矩阵：

\[\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} A_1 & A_3 \\ \mathbf{0} & A_2 \end{pmatrix} \end{equation*}\]

令$E=<\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{r}>$，则$E$是$\mathcal{T}$的一个非平凡不变子空间，且$\mathcal{T}\mid E$在$E$的基$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{r}$下的矩阵为$A_1$；

证明. (1)由定理 1.5和性质 1.3.1(2)立即可得。

(2)由性质 1.3.1(6)和定义即可验证得到。

(3)根据性质 1.3.1(6)，任取$\alpha\in\operatorname{Ker}(\mathcal{T}_2)$，由性质 1.3.1(2)可得：

\[\begin{equation*} \mathcal{T}_2(\mathcal{T}_1\alpha)=\mathcal{T}_1(\mathcal{T}_2\alpha)=\mathcal{T}_1\mathbf{0}=\mathbf{0} \end{equation*}\]

所以$\mathcal{T}_1\alpha\in\operatorname{Ker}(\mathcal{T}_2)$，$\operatorname{Ker}(\mathcal{T}_2)$是$\mathcal{T}_1$-子空间。

根据性质 1.3.1(6)，任取$\alpha\in\operatorname{Im}(\mathcal{T}_2)$，则存在$\beta\in X$使得$\mathcal{T}_2\beta=\alpha$，所以：

\[\begin{equation*} \mathcal{T}_1\alpha=\mathcal{T}_1(\mathcal{T}_2\beta)=\mathcal{T}_2(\mathcal{T}_1\beta)\in\operatorname{Im}(\mathcal{T}_2) \end{equation*}\]

于是$\operatorname{Im}(\mathcal{T}_2)$是$\mathcal{T}_1$-子空间。

(4)任取$\mathcal{T}$-子空间$X_1,X_2$。

任取$\alpha_1\in X_1,\alpha_2\in X_2$，有$\mathcal{T}\alpha_1\in X_1,\mathcal{T}\alpha_2\in X_2$。因为：

\[\begin{equation*} \mathcal{T}(\alpha_1+\alpha_2)=\mathcal{T}\alpha_1+\mathcal{T}\alpha_2\in X_1+X_2 \end{equation*}\]

所以$X_1+X_2$是$\mathcal{T}$-子空间。

任取$\alpha\in X_1\cap X_2$，有$\mathcal{T}\alpha\in X_1\cap X_2$，所以$X_1\cap X_2$是$\mathcal{T}$-子空间。

多个子空间的和与交的情况可递推得出结论。

(5)先证明$\mathcal{T}/E$是良定义的。

若$\alpha+E=\beta+E$，则$\alpha-\beta\in E$。因为$E$是$\mathcal{T}$-子空间，所以$\mathcal{T}(\alpha-\beta)=\mathcal{T}\alpha-\mathcal{T}\beta\in E$，即$\mathcal{T}\alpha+E=\mathcal{T}\beta+E$，$\mathcal{T}/E$是良定义的。

线性性由定义即可验证得到。

(6)因为$E$是$\mathcal{T}$-子空间，所以$\mathcal{T}\alpha_i\in E,\;i=1,2,\dots,r$。由基的定义可知：

\[\begin{gather*} \mathcal{T}(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{r},\alpha_{r+1},\alpha_{r+2},\dots,\alpha_n)=(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{r},\alpha_{r+1},\alpha_{r+2},\dots,\alpha_n)\cdot \\ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1r} & a_{1r+1} & a_{1r+2} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2r} & a_{2r+1} & a_{2r+2} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{r1} & a_{r2} & \cdots & a_{rr} & a_{r(r+1)} & a_{r(r+2)} & \cdots & a_{rn} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{(r+1)(r+1)} & a_{(r+1)(r+2)} & \cdots & a_{(r+1)n} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{(r+2)(r+1)} & a_{(r+2)(r+2)} & \cdots & a_{(r+2)n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{n(r+1)} & a_{n(r+2)} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} \end{gather*}\]

将上式矩阵记作：

\[\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} A_1 & A_3 \\ \mathbf{0} & A_2 \end{pmatrix} \end{equation*}\]

A为$\mathcal{T}$在$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{r},\alpha_{r+1},\alpha_{r+2},\dots,\alpha_n$下的矩阵，并且：

\[\begin{equation*} \mathcal{T}\mid E(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{r})=(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{r})A_1 \end{equation*}\]

即$A_1$是$\mathcal{T}\mid E$在$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{r}$下的矩阵。

由定理 1.10可知$\alpha_{r+1}+E,\alpha_{r+2}+E,\dots,\alpha_{n}+E$是$X/E$的一组基。因为$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{r}$的线性组合都在$E$中，由(5)可得：

\[\begin{align*} &\mathcal{T}/E(\alpha_{r+1}+E,\alpha_{r+2}+E,\dots,\alpha_{n}+E) \\ =&(\mathcal{T}\alpha_{r+1}+E,\mathcal{T}\alpha_{r+2}+E,\dots,\mathcal{T}\alpha_{n}+E) \\ =&(\alpha_{r+1}+E,\alpha_{r+2}+E,\dots,\alpha_{n}+E)A_2 \end{align*}\]

即$A_2$是$\mathcal{T}/E$在$X/E$的基$\alpha_{r+1}+E,\alpha_{r+2}+E,\dots,\alpha_n+E$下的矩阵。

(7)由条件可知$\mathcal{T}\alpha_i\in E,\;i=1,2,\dots,r$，根据性质 1.3.1(4)可知$E$是$\mathcal{T}$-子空间。由性质 1.1.5(2)可知$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{r}$是$E$的基，根据定义即可得到$\mathcal{T}\mid E$在$E$的基$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{r}$下的矩阵为$A_1$。 ◻

Theorem 1.19. 设$X$是域$F$上的$n$维线性空间，$\mathcal{T}\in\operatorname{Hom}(X)$，则$\mathcal{T}$在$X$的一组基下的矩阵为分块对角矩阵：

\[\begin{equation*} A= \begin{pmatrix} A_1 &\mathbf{0} & \cdots & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & A_2 & \cdots & \mathbf{0} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \cdots & A_s \end{pmatrix} \end{equation*}\]

当且仅当$X$能分解为$\mathcal{T}$的非平凡不变子空间的直和：

\[\begin{equation*} X=E_1\oplus E_2\oplus\cdots\oplus E_s \end{equation*}\]

此时$A_i$是$\mathcal{T}\mid E_i$在$E_i$的一组基下的矩阵。

证明. (1)必要性：设$\mathcal{T}$在$X$的一组基$a_{11},a_{12},\dots,a_{1r_1},a_{21},a_{22},\dots,a_{2r_2},\dots,a_{s1},a_{s2},\dots,a_{sr_s}$的矩阵为分块对角矩阵：

其中$\sum\limits_{i=1}^{s}r_i=n$。令$E_i=<a_{i1},a_{i2},\dots,a_{ir_i}>,\;i=1,2,\dots,s$，由性质 1.1.5(6)(2)和定理 1.6(5)可知$X=E_1\oplus E_2\oplus\cdots\oplus E_s$。注意到：

\[\begin{equation*} \mathcal{T}(a_{i1},a_{i2},\dots,a_{ir_i})=(a_{i1},a_{i2},\dots,a_{ir_i})A_i,\;i=1,2,\dots,s \end{equation*}\]

即$A_i$是$\mathcal{T}\mid E_i$在$E_i$的一组基下的矩阵。由上式、性质 1.1.5(2)和定义可验证得到$E_i,\;i=1,2,\dots,s$为$\mathcal{T}$的非平凡不变子空间。

(2)充分性：取$E_i$的一组基$a_{i1},a_{i2},\dots,a_{ir_i},\;i=1,2,\dots,s$，由定理 1.6(5)可知它们拼起来是$X$的一组基。由不变子空间的定义可知对任意的$i$和$j$有$\mathcal{T}a_{ij}\in E_i$，于是$\mathcal{T}$在这组基下对应其余方向的元素必须全为$0$，即$\mathcal{T}$在这组基下的矩阵为条件中所述的分块对角矩阵。 ◻

1.4.2.1 对角化

分块对角矩阵中最简单的情况是对角矩阵。

Definition 1.59. 设$X$是域$F$上的一个$n$维线性空间，$\mathcal{T}\in\operatorname{Hom}(X)$，若$X$中存在一组基使得$\mathcal{T}$在这组基下的矩阵是对角矩阵，则称$\mathcal{T}$可对角化（diagonalizable）。

根据定理 1.18，我们直观地定义：

Definition 1.60. 如果$A\in M_{n}(F)$能够相似于一个对角矩阵，那么称$A$可对角化。

对角矩阵意味着对向量做直线上的放缩，于是研究：

Definition 1.61. 设$A\in M_{n}(F)$。如果$F^n$中存在非零向量$\alpha$，使得：

\[\begin{equation*} A\alpha=\lambda\alpha,\;\lambda\in F \end{equation*}\]

则称$\lambda$是$A$的一个特征值（eigenvalue），$\alpha$是$A$属于特征值$\lambda$的一个特征向量（eigenvector）。

Definition 1.62. 设$A\in M_{n}(F)$，称$|\lambda I-A|$为$A$的特征多项式（characteristic polynomial）。

Theorem 1.20. 设$A\in M_{n}(F)$，则：

$\lambda$是$A$的一个特征值当且仅当$\lambda$是$A$的特征多项式在域$F$中的一个根；
$\alpha$是$A$属于特征值$\lambda$的一个特征向量当且仅当$\alpha$是齐次线性方程组$(\lambda I-A)x=\mathbf{0}$的一个非零解。

证明. 注意到：：

\[\begin{align*} &\lambda\text{是}A\text{的一个特征值，}\alpha\text{是}A\text{属于}\lambda\text{的一个特征向量} \\ \iff&A\alpha=\lambda\alpha,\;\alpha\ne\mathbf{0},\;\lambda\in F \\ \iff&(\lambda I-A)\alpha=\mathbf{0},\;a\ne\mathbf{0},\;\lambda\in F \\ \iff&\alpha\text{是齐次线性方程组}(\lambda I-A)x=\mathbf{0}\text{的一个非零解，}\lambda\in F \\ \iff&|\lambda I-A|=0,\;\alpha\text{是齐次线性方程组}(\lambda I-A)x=\mathbf{0}\text{的一个非零解，}\lambda\in F \\ \iff&\lambda\text{是多项式}|\lambda I-A|\text{在}F\text{中的一个根，} \\ &\alpha\text{是齐次线性方程组}(\lambda I-A)x=\mathbf{0}\text{的一个非零解，}\lambda\in F \end{align*}\]

◻

Definition 1.63. 设$X$是域$F$上的一个线性空间，$\mathcal{T}\in\operatorname{Hom}(X)$。若$X$中存在非零向量$\xi$，$F$中存在元素$\lambda$，使得：

\[\begin{equation*} \mathcal{T}\xi=\lambda\xi \end{equation*}\]

则称$\lambda$是$\mathcal{T}$的一个特征值，$\xi$是$\mathcal{T}$属于特征值$\lambda$的一个特征向量，$\mathcal{T}$在一组基下的矩阵的特征多项式被称为$\mathcal{T}$的特征多项式。

Theorem 1.21. 设$X$是域$F$上的一个$n$维线性空间，$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$是$X$的一组基，$\mathcal{T}\in\operatorname{Hom}(X)$，$A$是$\mathcal{T}$在$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$下的矩阵，则：

$\lambda$是$\mathcal{T}$的特征值$\iff\lambda$是$A$的特征值；
$\xi$是$\mathcal{T}$属于$\lambda$的特征向量$\iff\xi$在$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$下的坐标是$A$属于$\lambda$的特征向量；
相似的矩阵具有相同的特征多项式和特征值，即$\mathcal{T}$的特征多项式在不同的基下是唯一的。

证明. (1)(2)由定理 1.15立即可得。

(3)设$A,B\in M_{n}(F)$且$A$与$B$相似，于是存在可逆矩阵$P\in M_{n}(F)$使得$P^{-1}AP=B$，由性质 2.1.7(11)就有：

\[\begin{align*} &|\lambda I-B|=|\lambda I-P^{-1}AP|=|P^{-1}\lambda IP-P^{-1}AP| \\ =&|P^{-1}(\lambda I-A)P|=|P^{-1}|\;|\lambda I-A|\;|P|=|\lambda I-A|\;|P^{-1}|\;|P| \\ =&|\lambda I-A|\;|P^{-1}P|=|\lambda I-A|\;|I|=|\lambda I-A| \end{align*}\]

根据定理 1.18即可得出结论。 ◻

Property 1.4.2. 设$X$是域$F$上的一个线性空间，$\mathcal{T}\in\operatorname{Hom}(X)$，$\lambda$是$\mathcal{T}$的一个特征值，则：

$\mathcal{T}$属于特征值$\lambda$的特征向量构成$X$的一个子空间，称该子空间为$\mathcal{T}$属于特征值$\lambda$的特征子空间（eigenspace），记为$X_{\lambda}$；
$X_{\lambda}=\operatorname{Ker}(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{T})$；
若$\dim(X)=n$，则$\dim(X_{\lambda})=n-\operatorname{rank}(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{T})$；
$X_{\lambda}$是$\mathcal{T}$-子空间；
若$\mathcal{T}_1,\mathcal{T}_2\in\operatorname{Hom}(X)$且$\mathcal{T}_1$和$\mathcal{T}_2$是可交换的，则$\mathcal{T}_2$的特征子空间是$\mathcal{T}_1$-子空间；
$\mathcal{T}$属于不同特征值的特征向量是线性无关的。

证明. (1)任取$\mathcal{T}$属于$\lambda$的两个特征向量$\xi_1,\xi_2$以及域$F$上的任意两个元素$k_1,k_2$，则：

\[\begin{equation*} \mathcal{T}(k_1\xi_1+k_2\xi_2)=k_1\mathcal{T}\xi_1+k_2\mathcal{T}\xi_2=k_1\lambda\xi_1+k_2\lambda\xi_2=\lambda(k_1\xi_1+k_1\xi_2) \end{equation*}\]

所以$k_1\xi_1+k_2\xi_2$也是$\mathcal{T}$属于$\lambda$的特征向量，由定理 1.5可知$\mathcal{T}$属于$\lambda$的特征向量构成$X$的一个子空间。

(2)$\;\xi\in X_{\lambda}\iff\mathcal{T}\xi=\lambda\xi\iff(\mathcal{T}-\lambda\mathcal{I})\xi=\mathbf{0}\iff\xi\in\operatorname{Ker}(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{T})$。

(3)由(2)和性质 1.3.1(10)可得：

\[\begin{equation*} \dim(X_{\lambda})=\dim[\operatorname{Ker}(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{T})]=n-\dim[\operatorname{Im}(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{T})]=\operatorname{rank}(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{T}) \end{equation*}\]

(4)由定义即可验证得到。

(5)根据性质 1.4.2(1)，任取$\mathcal{T}_2$的特征子空间$X_\lambda$及其中的向量$\alpha$，则：

\[\begin{equation*} \mathcal{T}_2(\mathcal{T}_1\alpha)=\mathcal{T}_1(\mathcal{T}_2\alpha)=\mathcal{T}_1(\lambda\alpha)=\alpha(\mathcal{T}_1\alpha) \end{equation*}\]

即$\mathcal{T}_1\alpha\in X_\lambda$，于是$X_\lambda$是$\mathcal{T}_1$-子空间。

(6)任取$\mathcal{T}$属于不同特征值$\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_{n}$的特征向量$\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_{n}$，$n\in\mathbb{N}^+$且$n$小于等于$\mathcal{T}$的特征值的个数。若$\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_{n}$线性相关，则存在不全为$0$的$k_1, k_2, \dots, k_{n}\in F$使得：

\[\begin{equation*} k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_n\xi_n=\mathbf{0} \end{equation*}\]

由性质 1.3.1(2)可得：

\[\begin{align*} &\prod_{i\ne 1}^{}(\lambda_i\mathcal{I}-\mathcal{T})\left(k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_n\xi_n\right)=k_1\prod_{i\ne 1}^{}(\lambda_i\mathcal{I}-\mathcal{T})\xi_1 \\ =&k_1\prod_{i\notin{1,2}}^{}(\lambda_i\mathcal{I}-\mathcal{T})(\lambda_2\mathcal{I}-\mathcal{T})\xi_1=k_1\prod_{i\notin{1,2}}^{}(\lambda_i\mathcal{I}-\mathcal{T})(\lambda_2-\lambda_1)\xi_1 \\ =&\prod_{i=2}^{n}(\lambda_i-\lambda_1)\xi_1=\prod_{i\ne j}^{}(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{T})\mathbf{0}=\mathbf{0} \end{align*}\]

由于$\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_{n}$之间互不相同，根据性质 1.1.1(5)可知$k_1=0$。依此类推可得$k_1=k_2=\cdots=k_n=0$，矛盾，即$\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_{n}$线性无关。根据$\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_{n}$的任意性可知结论成立。 ◻

Definition 1.64. 设$X$是域$F$上的一个线性空间，$\mathcal{T}\in\operatorname{Hom}(X)$，$\lambda$是$\mathcal{T}$的一个特征值，称$\lambda$作为$\mathcal{T}$的特征多项式的根的重数称为$\lambda$的代数重数（algebraic multiplicity），将$X_{\lambda}$的维数称为$\lambda$的几何重数（geometric multiplicity）。

Theorem 1.22. 设$X$是域$F$上的一个$n$维线性空间，$\mathcal{T}\in\operatorname{Hom}(X)$，$\mathcal{T}$可对角化当且仅当：

$X$中存在一组基使得$\mathcal{T}$在这组基下的矩阵可对角化；
$\mathcal{T}$有$n$个线性无关的特征向量；
$X$中存在由$\mathcal{T}$的特征向量构成的一组基；
$X$可表为$\mathcal{T}$属于不同特征值的特征子空间的直和；
$\mathcal{T}$属于不同特征值的特征子空间的维数之和为$n$；
$\mathcal{T}$的特征多项式在$F[x]$中可分解为：

\[\begin{equation*} (x-\lambda_1)^{r_1}(x-\lambda_2)^{r_2}\cdots(x-\lambda_m)^{r_m} \end{equation*}\]

其中$\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_{m}$两两不等且$\mathcal{T}$的每个特征值$\lambda_i$的几何重数等于它的代数重数，$i=1,2,\dots,m$。

此时$(\mathcal{T}\xi_1, \mathcal{T}\xi_2, \dots, \mathcal{T}\xi_{n})=(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_{n})\operatorname{diag}\{\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_{n}\}$，$\lambda_i$为$\xi_i$所属的特征值，$A=\operatorname{diag}\{\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_{n}\}$被称为$\mathcal{T}$的标准形。除了主对角线上元素的排列顺序外，$A$是由$\mathcal{T}$唯一决定的。

证明. (1)必要性由定理 1.18立即可得。下证明充分性。

设$\mathcal{T}$在基$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n}$下的矩阵$A$可对角化，即存在可逆矩阵$P$与对角矩阵$\varLambda$使得$A=P\varLambda P^{-1}$，设$P$的列为$P_1, P_2, \dots, P_{n}$，于是有：

\[\begin{gather*} (\mathcal{T}\alpha_1, \mathcal{T}\alpha_2, \dots, \mathcal{T}\alpha_{n})=(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n})A \\ (\mathcal{T}\alpha_1, \mathcal{T}\alpha_2, \dots, \mathcal{T}\alpha_{n})=(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n})P\varLambda P^{-1} \\ (\mathcal{T}\alpha_1, \mathcal{T}\alpha_2, \dots, \mathcal{T}\alpha_{n})P=(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n})P\varLambda \\ \begin{aligned} &[(\mathcal{T}\alpha_1, \mathcal{T}\alpha_2, \dots, \mathcal{T}\alpha_{n})P_1, (\mathcal{T}\alpha_1, \mathcal{T}\alpha_2, \dots, \mathcal{T}\alpha_{n})P_2, \dots, (\mathcal{T}\alpha_1, \mathcal{T}\alpha_2, \dots, \mathcal{T}\alpha_{n})P_{n}] \\ =&[(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n})P_1, (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n})P_2, \dots, (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n})P_{n}]\varLambda \end{aligned}\\ \begin{aligned} &\{\mathcal{T}[(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n})P_1],\mathcal{T}[(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n})P_2],\dots,\mathcal{T}[(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n})P_n]\} \\ =&[(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n})P_1, (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n})P_2, \dots, (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n})P_{n}]\varLambda \end{aligned} \end{gather*}\]

由定理 1.3可知$(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n})P_1, (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n})P_2, \dots, (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n})P_{n}$还是$X$的一组基，于是$\mathcal{T}$在这组基下的矩阵是对角矩阵$\varLambda$，$\mathcal{T}$可对角化，充分性得证。

(2)由$\mathcal{T}$可对角化的定义可得：

\[\begin{align*} &\mathcal{T}\text{可对角化}\iff\mathcal{T}\text{在$X$的一组基}\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_{n}\text{下的矩阵为}\operatorname{diag}\{\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_{n}\} \\ \iff&(\mathcal{T}\xi_1, \mathcal{T}\xi_2, \dots, \mathcal{T}\xi_{n})=(\lambda_1\xi_1,\lambda_2\xi_2,\dots,\lambda_n\xi_n) \\ &\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_{n}\text{线性无关} \\ \iff&\mathcal{T}\xi_i=\lambda_i\xi_i\text{且}\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_{n}\text{线性无关} \\ \iff&\mathcal{T}\text{有$n$个线性无关的特征向量}\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_{n} \end{align*}\]

(3)由(2)和性质 1.1.4(2)立即可得。

(4)必要性：由(3)可知$X$可表为$\mathcal{T}$属于不同特征值的特征子空间的和，根据特征值的定义、定理 1.6(3)和性质 1.1.1(5)可知结论成立。

充分性：由性质 1.4.2(4)和定理 1.19即可得出结论。

(5)必要性由(4)和定理 1.6(4)立即可得，充分性由性质 1.4.2(6)和(2)即可得出。

(6)由(1)和定理 2.14(3)立即可得。 ◻

1.4.2.2 零化多项式

当$\mathcal{T}$不可对角化时该怎么找不变子空间呢？

Theorem 1.23. 设$X$是域$F$上的线性空间，$\mathcal{T}\in\operatorname{Hom}(X)$，在$F[x]$中有：

\[\begin{equation*} f(x)=f_1(x)f_2(x)\cdots f_n(x) \end{equation*}\]

其中$f_i(x),\;i=1,2,\dots,n$两两互素，则：

\[\begin{equation*} \operatorname{Ker}[f(\mathcal{T})]=\operatorname{Ker}[f_1(\mathcal{T})]\oplus\operatorname{Ker}[f_2(\mathcal{T})]\oplus\cdots\oplus\operatorname{Ker}[f_n(\mathcal{T})] \end{equation*}\]

证明. 只需证明$n=2$的情况，其余情况可以递推得到。

若$x\in\operatorname{Ker}[f_i(\mathcal{T})],\;i=1,2$，因为$f(x)=f_1(x)f_2(x)$，所以$x\in\operatorname{Ker}[f(\mathcal{T})]$。由性质 1.3.1(6)可知$\operatorname{Ker}[f_i(\mathcal{T})],\;i=1,2$是$\operatorname{Ker}[f(\mathcal{T})]$的子空间。

任取$\alpha\in\operatorname{Ker}[f(\mathcal{T})]$。因为$(f_1(x),f_2(x))=1$，由性质 1.2.4(7)可知存在$u(x),v(x)\in F[x]$使得：

\[\begin{equation*} u(x)f_1(x)+v(x)f_2(x)=1 \end{equation*}\]

即：

\[\begin{equation*} u(\mathcal{T})f_1(\mathcal{T})+v(\mathcal{T})f_2(\mathcal{T})=\mathcal{I} \end{equation*}\]

所以：

\[\begin{equation*} \alpha=\mathcal{I}\alpha=u(\mathcal{T})f_1(\mathcal{T})\alpha+v(\mathcal{T})f_2(\mathcal{T})\alpha \end{equation*}\]

由性质 1.3.1(1)可得：

\[\begin{gather*} f_2(\mathcal{T})[u(\mathcal{T})f_1(\mathcal{T})]\alpha=u(\mathcal{T})[f_1(\mathcal{T})f_2(\mathcal{T})]\alpha=\mathbf{0} \\ f_1(\mathcal{T})[v(\mathcal{T})f_2(\mathcal{T})]\alpha=v(\mathcal{T})[f_2(\mathcal{T})f_1(\mathcal{T})]\alpha=\mathbf{0} \end{gather*}\]

所以：

\[\begin{equation*} u(\mathcal{T})f_1(\mathcal{T})\alpha\in\operatorname{Ker}[f_2(\mathcal{T})],\quad v(\mathcal{T})f_2(\mathcal{T})\alpha\in\operatorname{Ker}[f_1(\mathcal{T})] \end{equation*}\]

于是$\alpha$可以分解为$\operatorname{Ker}[f_1(\mathcal{T})]$和$\operatorname{Ker}[f_2(\mathcal{T})]$中元素的和。根据$\alpha$的任意性，$\operatorname{Ker}[f(\mathcal{T})]=\operatorname{Ker}[f_1(\mathcal{T})]+\operatorname{Ker}[f_2(\mathcal{T})]$。

任取$\alpha\in\operatorname{Ker}[f_1(\mathcal{T})]\cap\operatorname{Ker}[f_2(\mathcal{T})]$，由性质 1.3.1(1)可得：

\[\begin{equation*} \beta=\mathcal{I}\beta=u(\mathcal{T})f_1(\mathcal{T})\beta+v(\mathcal{T})f_2(\mathcal{T})\beta=\mathbf{0} \end{equation*}\]

根据定理 1.6(3)可知$\operatorname{Ker}[f(\mathcal{T})]=\operatorname{Ker}[f_1(\mathcal{T})]\oplus\operatorname{Ker}[f_2(\mathcal{T})]$。 ◻

note 1.3. 根据性质 1.4.1(3)和定理 1.23，我们只需要找到$f(x)\in F[x]$使得$\operatorname{Ker}[f(\mathcal{T})]=X$即可，也即$f(\mathcal{T})=\mathcal{O}$。

Definition 1.65. 设$X$是域$F$上的线性空间，$\mathcal{T}\in\operatorname{Hom}(X)$。若$f(x)\in F[x]$使得$f(\mathcal{T})=\mathcal{O}$，则称$f(x)$为$\mathcal{T}$的一个零化多项式（annihilating polynomial）。

Definition 1.66. 设$A\in M_{n}(F)$，$F$是一个域。若$f(x)\in F[x]$使得$f(A)=\mathbf{0}$，则称$f(x)$为$A$的一个零化多项式。

Property 1.4.3. 设$X$是域$F$上的$n$维线性空间，$\mathcal{T}\in\operatorname{Hom}(X)$，$\mathcal{T}$在$X$的一组基下的矩阵为$A$，则$f(x)\in F[x]$是$\mathcal{T}$的零化多项式的充要条件为$f(x)$是$A$的零化多项式。

证明. 由线性变换的矩阵的定义和定理 1.16立即可得。 ◻

Theorem 1.24. （Hamilton-Cayley Theorem）

设$X$是域$F$上的$n$维线性空间，$\mathcal{T}\in\operatorname{Hom}(X)$，$\mathcal{T}$在$X$的一组基下的矩阵为$A$，则$A$的特征多项式$f(\lambda)$是$A$的一个零化多项式，也即$\mathcal{T}$的特征多项式是$\mathcal{T}$的一个零化多项式。

证明. 根据性质 1.4.3，只需证明关于矩阵的结论。

设$B$是$\lambda I_n-A$的伴随矩阵，根据性质 2.1.10(3)可知：

\[\begin{equation*} B(\lambda I_n-A)=|\lambda I_n-A|I_n=f(\lambda)I_n \end{equation*}\]

由伴随矩阵的定义可知$B$的元素都是$\lambda I_n-A$的代数余子式，所以$B$的元素都是次数不超过$n-1$次的关于$\lambda$的一元多项式，于是：

\[\begin{equation*} B=\lambda^{n-1}B_{n-1}+\lambda^{n-2}B_{n-2}+\cdots+\lambda B_1+B_0 \end{equation*}\]

其中$B_0,B_1, B_2, \dots, B_{n-1}$为域$F$上的$n$阶矩阵。注意到：

\[\begin{equation*} B(\lambda I_n-A)=\lambda^nB_{n-1}+\lambda^{n-1}(B_{n-2}-B_{n-1}A)+\cdots+\lambda(B_0-B_1A)-B_0A \end{equation*}\]

设：

\[\begin{equation*} f(\lambda)=\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0 \end{equation*}\]

则：

\[\begin{equation*} f(\lambda)I_n=\lambda^nI_n+a_{n-1}\lambda^{n-1}I_n+\cdots+a_1\lambda I_n+a_0I_n \end{equation*}\]

将上式与$B(\lambda I_n-A)$进行对应可得：

\[\begin{equation*} B_{n-1}=I_n,\;B_{n-2}-B_{n-1}A=a_{n-1}I_n,\;\dots,\;B_0-B_1A=a_1I_n,\;-B_0A=a_0I_n \end{equation*}\]

用$A^n,A^{n-1},\dots,I_n$依次乘上式的两端即可得到：

\[\begin{equation*} B_{n-1}A^n=A^n,\;B_{n-2}A^{n-1}-B_{n-1}A^n=a_{n-1}A^{n-1},\;\dots,\;B_0A-B_1A^2=a_1A,\;-B_0A=a_0I_n \end{equation*}\]

将上式相加可得：

\[\begin{equation*} f(A)=A^n+a_{n-1}A^{n-1}+\cdots+a_1A+a_0I_n=\mathbf{0} \end{equation*}\]

◻

零化多项式有很多，我们当然应该去分析最简单的那个。

Definition 1.67. 设$X$是域$F$上的线性空间，$\mathcal{T}\in\operatorname{Hom}(X)$。称$\mathcal{T}$的所有非零零化多项式中次数最低且首项系数为$1$的多项式为$\mathcal{T}$的最小多项式（minimal polynomial）。

Property 1.4.4. 设$X$是域$F$上的线性空间，$\mathcal{T}\in\operatorname{Hom}(X)$。最小多项式具有如下性质：

若$\mathcal{T}$在$X$的一组基下的矩阵为$A$，则$f(x)$为$\mathcal{T}$的最小多项式当且仅当$f(x)$为$A$的最小多项式；
$\mathcal{T}$的最小多项式是唯一的；
相似的矩阵有相同的最小多项式；
$F[x]$中的多项式$g(x)$是$\mathcal{T}$的零化多项式当且仅当$g(x)$是$\mathcal{T}$的最小多项式$f(x)$的倍式；
若$\dim(X)=n<+\infty$，域$E\supseteq F$，则$\mathcal{T}$的最小多项式$f(x)$与特征多项式$g(x)$在$E$中有相同的根；
若$X$可以分解为$\mathcal{T}$的非平凡不变子空间的直和：

\[\begin{equation*} X=E_1\oplus E_2\oplus\cdots\oplus E_m \end{equation*}\]

则$\mathcal{T}$的最小多项式为$\mathcal{T}\mid E_i,\;i=1,2,\dots,m$最小多项式的首项系数为$1$的最小公倍式；
若$A$是域$F$上的一个分块对角矩阵：

\[\begin{equation*} A= \begin{pmatrix} A_1 &\mathbf{0} & \cdots & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & A_2 & \cdots & \mathbf{0} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \cdots & A_m \end{pmatrix} \end{equation*}\]

则$A$的最小多项式为$A_i,\;i=1,2,\dots,m$最小多项式的首项系数为$1$的最小公倍式；

证明. (1)由性质 1.4.3立即可得。

(2)设$f(x),g(x)\in F[x]$是$\mathcal{T}$不同的最小多项式，则$h(x)=f(x)-g(x)$满足$\deg h(x)<\deg f(x)$，同时$h(\mathcal{T})=f(\mathcal{T})-g(\mathcal{T})=\mathcal{O}$，即$h$是比$f(x),g(x)$次数更低的$\mathcal{T}$的零化多项式，矛盾。

(3)由定理 1.18和(1)(2)立即可得。

(4)必要性：若$g(x)$不是$f(x)$的倍式，由性质 1.2.3(8)可知存在唯一的一对$h(x),r(x)\in F[x]$使得：

\[\begin{equation*} g(x)=h(x)f(x)+r(x),\quad r(x)\ne0,\;\deg r(x)<\deg g(x) \end{equation*}\]

于是根据性质 1.3.1(2)可得：

\[\begin{equation*} \mathcal{O}=g(\mathcal{T})=h(\mathcal{T})f(\mathcal{T})+r(\mathcal{T})=r(\mathcal{T}) \end{equation*}\]

所以$r(x)=0$，矛盾，$g(x)$是$f(x)$的倍式。

充分性：由性质 1.3.1(2)立即可得。

(5)由定理 1.24和(4)可知$f(x)$的根都是$g(x)$的根。

设$\mathcal{T}$在$X$的一组基下的矩阵为$A$，将$A$视作$E$上的矩阵。任取$g(x)$在$E$中的根$\lambda$，于是$\lambda$是$A$的特征值，即存在非零的$\xi\in E^n$使得$A\xi=\lambda\xi$。设$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$，因为$f(x)$是$\mathcal{T}$的最小多项式，由(1)可得：

\[\begin{equation*} \mathbf{0}=f(A)\xi=(a_nA^n+a_{n-1}A^{n-1}+\cdots+a_0I_n)\xi=(a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_0)\xi=f(\lambda)\xi \end{equation*}\]

因为$\xi\ne\mathbf{0}$，根据性质 1.1.1(5)可知$f(\lambda)=0$³。由$\lambda$的任意性可知$g(x)$在$E$上的根都是$f(x)$在$E$上的根。

(6)设$f_i(x)$是$\mathcal{T}\mid E_i$的最小多项式，$i=1,2,\dots,m$，$f(x)$为$\mathcal{T}$的最小多项式。对于任意的$\alpha\in E_i$，根据性质 1.3.1(2)可知：

\[\begin{equation*} \mathbf{0}=f(\mathcal{T})\alpha=f(\mathcal{T}\mid E_i)\alpha \end{equation*}\]

所以$f(x)$是$\mathcal{T}\mid E_i$的零化多项式。由(4)可知$f(x)$是$f_i(x)$的倍式，$i=1,2,\dots,m$，根据性质 1.2.3$f_1(x),f_2(x),\dots,f_m(x)$首项系数为$1$的最小公倍式$g(x)$满足$g(x)\mid f(x)$。

任取$\alpha\in X$，则$\alpha$有分解式：

\[\begin{equation*} \alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_s,\quad\alpha_i\in E_i,\;i=1,2,\dots,m \end{equation*}\]

于是由性质 1.3.1(2)可得：

\[\begin{equation*} g(\mathcal{T})\alpha=g(\mathcal{T})\sum_{i=1}^{m}\alpha_i=\sum_{i=1}^{m}g(\mathcal{T})\alpha_i=\sum_{i=1}^{m}g(\mathcal{T}\mid E_i)\alpha_i=\mathbf{0} \end{equation*}\]

由$\alpha$的任意性可知$g(x)$是$\mathcal{T}$的零化多项式，根据(4)可知$g(x)$是$f(x)$的倍式，即$f(x)\mid g(x)$。由性质 1.2.3(7)可知$f(x)=g(x)$。

(7)由定理 1.14、定理 1.19和(6)(1)立即可得。 ◻

设$X$是域$F$上的$n$维线性空间，$\mathcal{T}\in\operatorname{Hom}(X)$，$\mathcal{T}$的最小多项式为$f(x)$。由定理 1.12可知$f(x)$可唯一地分解为域$F$上有限多个不可约多项式的乘积⁴，根据性质 1.2.5(2)将相伴的不可约多项式进行合并后，可以将$f(x)$写成如下的互素多项式分解（性质 1.2.4(10)）：

\[\begin{equation*} f(x)=\prod_{i=1}^{m}p_i^{t_i}(x) \end{equation*}\]

根据定理 1.23可知：

\[\begin{equation*} X=\operatorname{Ker}[f(x)]=\operatorname{Ker}[p_1^{t_1}(\mathcal{T})]\oplus\operatorname{Ker}[p_2^{t_2}(\mathcal{T})]\oplus\cdots\oplus\operatorname{Ker}[p_m^{t_m}(\mathcal{T})] \end{equation*}\]

首先讨论$f(x)$可在$F[x]$中分解为一次多项式乘积的情况，即$p_i(x),\;i=1,2,\dots,m$为一次多项式且彼此互素。由性质 1.4.1(3)可知$\operatorname{Ker}[p_i^{t_i}(\mathcal{T})]$是$\mathcal{T}$-子空间，在$\operatorname{Ker}[p_i^{t_i}(\mathcal{T})],\;i=1,2,\dots,m$下取一组基，根据定理 1.6(5)可知它们构成了$X$的一组基，由定理 1.19的充分性可知$\mathcal{T}$在这组基下的矩阵$A$为分块对角矩阵：

$A_i$是$\mathcal{T}\mid E_i$在$E_i$的一组基下的矩阵。我们希望$A$的结构尽可能的简单，那么就要使得$A_i,\;i=1,2,\dots,m$的结构尽可能的简单，于是转而关注$\mathcal{T}\mid E_i$。

因为$p_i(x)$是一次多项式，所以$p_i(x)$可以表示为$x-\alpha_i$的形式，于是$p_i^{t_i}(\mathcal{T})=(\mathcal{T}-\alpha_i\mathcal{I})^{t_i}$。对任意的$\alpha\in\operatorname{Ker}[p_i^{t_i}(\mathcal{T})]$有：

\[\begin{equation*} (\mathcal{T}-\alpha_i\mathcal{I})^{t_i}\alpha=(\mathcal{T}\mid E_i-\alpha_i\mathcal{I}\mid E_i)^{t_i}\alpha=\mathbf{0} \end{equation*}\]

所以$(\mathcal{T}\mid E_i-\alpha_i\mathcal{I}\mid E_i)^{t_i}=\mathcal{O}\mid E_i$，$(x-\alpha_i)^{t_i}$是$\mathcal{T}\mid E_i$的一个零化多项式。由性质 1.4.4(4)可知$\mathcal{T}\mid E_i$的最小多项式为$(x-\alpha_i)^{s_i},\;s_i\in\{1,2,\dots,t_i\}$，根据性质 1.4.4(7)可知$\mathcal{T}$的最小多项式为：

\[\begin{equation*} f(x)=\prod_{i=1}^{m}(x-\alpha_i)^{s_i} \end{equation*}\]

由$f(x)$分解的唯一性可以得到$s_i=t_i,\;i=1,2,\dots,m$，于是$\mathcal{T}\mid E_i$的最小多项式为$(x-\alpha_i)^{t_i}$，即：

\[\begin{equation*} \mathcal{T}\mid E_i=\alpha_i\mathcal{I}+\mathcal{B}_i \end{equation*}\]

其中$\mathcal{B}_i$为$E_i$上幂零指数为$t_i$的幂零变换。根据定理 1.16可知$\mathcal{B}_i$在前述$E_i$下的矩阵$B_i$满足：

\[\begin{equation*} B_i=A_i-\alpha_iI_{n_i} \end{equation*}\]

其中$n_i=\dim(E_i)$。要使得$A$的形式最简单，就要使得$B_i$的形式最简单，于是我们去分析幂零变换的最简矩阵形式。

1.4.2.3 幂零变换的最简矩阵形式

Theorem 1.25. 设$X$是域$F$上的$n$维线性空间，$\mathcal{T}\in\operatorname{Hom}(X)$。$\mathcal{T}$可对角化当且仅当$\mathcal{T}$的最小多项式可以在$F[x]$中分解为不同的一次因式的乘积。

证明. 必要性：由定理 1.22(4)可知：

\[\begin{equation*} X=X_{\lambda_1}\oplus X_{\lambda_2}\oplus\cdots\oplus X_{\lambda_m} \end{equation*}\]

其中$\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_{m}$是$\mathcal{T}$的全部特征值。对任意的$\alpha\in X_{\lambda_i},\;i=1,2,\dots,m$有：

\[\begin{equation*} (\mathcal{T}\mid X_{\lambda_i})\alpha=\mathcal{T}\alpha=\lambda_i\alpha \end{equation*}\]

所以$\mathcal{T}\mid X_{\lambda_i}=\lambda_i\mathcal{I}$，其最小多项式为$f_i(x)=x-\lambda_i$。由性质 1.4.4(7)可知$\mathcal{T}$的最小多项式$f(x)$满足：

\[\begin{equation*} f(x)=\prod_{i=1}^{m}f_i(x)=\prod_{i=1}^{m}(x-\lambda_i) \end{equation*}\]

充分性：设$\mathcal{T}$的最小多项式$f(x)$为：

\[\begin{equation*} f(x)=\prod_{i=1}^{m}f_i(x)=\prod_{i=1}^{m}(x-\alpha_i) \end{equation*}\]

其中$\alpha_i$是$F$中两两不等的元素，则$x-\alpha_i$两两互素。根据定理 1.23可知：

\[\begin{align*} X&=\operatorname{Ker}[f(\mathcal{T})]=\operatorname{Ker}[f_1(\mathcal{T})]\oplus\operatorname{Ker}[f_2(\mathcal{T})]\oplus\cdots\oplus\operatorname{Ker}[f_m(\mathcal{T})] \\ &=\operatorname{Ker}(\mathcal{T}-\alpha_1\mathcal{I})\oplus\operatorname{Ker}(\mathcal{T}-\alpha_2\mathcal{I})\oplus\cdots\oplus\operatorname{Ker}(\mathcal{T}-\alpha_m\mathcal{I}) \end{align*}\]

注意到$\operatorname{Ker}(\mathcal{T}-\alpha_i\mathcal{I})$是$\mathcal{T}$属于特征值$\alpha_i$的特征子空间，根据定理 1.22(4)可知$\mathcal{T}$可对角化。 ◻

Corollary 1.1. 根据定理 1.25可得出如下结论：

域$F$上的$n$阶矩阵$A$可对角化当且仅当$A$的最小多项式可在$F[x]$中分解为不同的一次因式的乘积；
设$X$为域$F$上的$n$维线性空间，$\mathcal{T}\in\operatorname{Hom}(X)$。若$\mathcal{T}$可对角化，则对于任意的$\mathcal{T}$-子空间$E$都有$\mathcal{T}\mid E$可对角化。

证明. (1)由定理 1.14、定理 1.25和性质 1.4.4(1)立即可得。

(2)设$\mathcal{T}$的最小多项式为$f(x)$，$\mathcal{T}\mid E$的最小多项式为$g(x)$。对任意的$\alpha\in E$有：

\[\begin{equation*} f(\mathcal{T})\alpha=f(\mathcal{T}\mid E)\alpha=\mathbf{0} \end{equation*}\]

所以$f(x)$是$\mathcal{T}\mid E$的零化多项式。由性质 1.4.4(4)可知$g(x)\mid f(x)$，根据定理 1.25可知$f(x)$可在$F[x]$中分解为不同的一次因式的乘积，于是$g(x)$可在$F[x]$中分解为不同的一次因式的乘积，由性质 1.1.6(4)和定理 1.25即可得出结论。 ◻

Definition 1.68. 设$A$是域$F$上的$n$阶矩阵。若：

\[\begin{equation*} A= \begin{pmatrix} k & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & k & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & k & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & k & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & k & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & k \\ \end{pmatrix} \end{equation*}\]

则称$A$为$n$阶Jordan块（Jordan block），记作$J_n(k)$。称Jordan块组成的分块对角矩阵为Jordan形矩阵（matrix in Jordan form）。

1.4.3 投影变换

Definition 1.69. 设$X$是域$F$上的线性空间，$\mathcal{T}_1,\mathcal{T}_2\in\operatorname{Hom}(X)$。若$\mathcal{T}_1\mathcal{T}_2=\mathcal{T}_2\mathcal{T}_1=\mathcal{O}$，则称$\mathcal{T}_1$和$\mathcal{T}_2$正交。

Property 1.4.5. 设$X$是域$F$上的线性空间，$E$和$W$是$X$的子空间，且有$X=E\oplus W$，$\mathcal{P}_E$是平行于$W$在$E$上的投影变换，$\mathcal{P}_W$是平行于$E$在$W$上的投影变换，则：

$\mathcal{P}_E$是线性变换；
$\mathcal{P}_E$是幂等变换；
$\mathcal{P}_E$与$\mathcal{P}_W$正交；
$\mathcal{P}_E+\mathcal{P}_W=\mathcal{I}$；
平行于$W$在$E$上的投影变换是唯一的；
若$X=E\oplus W$，$\mathcal{P}_E$为平行于$W$在$E$上的投影变换，则：

\[\begin{equation*} E=\operatorname{Im}\mathcal{P}_E,\;W=\operatorname{Ker}\mathcal{P}_E \end{equation*}\]
$X$的任一子空间$E$是平行于$E$的一个补空间在$E$上的投影变换的象；
$X$的任一子空间$E$是平行于$E$在$E$的一个补空间上的投影变换的核。
幂等变换$\mathcal{T}\in\operatorname{Hom}(X)$是平行于$\operatorname{Ker}\mathcal{T}$在$\operatorname{Im}\mathcal{T}$上的投影变换，此时$X=\operatorname{Im}\mathcal{T}\oplus\operatorname{Ker}\mathcal{T}$；
若$\mathcal{T}_1,\mathcal{T}_2\in\operatorname{Hom}(X)$，$\mathcal{T}_1$和$\mathcal{T}_2$是正交的幂等变换，且$\mathcal{T}_1+\mathcal{T}_2=\mathcal{I}$，则$X=\operatorname{Im}\mathcal{T}_1\oplus\operatorname{Im}\mathcal{T}_2$，并且有$\mathcal{T}_1$是平行于$\operatorname{Im}\mathcal{T}_2$在$\operatorname{Im}\mathcal{T}_1$上的投影，$\mathcal{T}_2$是平行于$\operatorname{Im}\mathcal{T}_1$在$\operatorname{Im}\mathcal{T}_2$上的投影；

证明. (1)任取$\alpha,\beta\in X$和$k_1,k_2\in F$，其中$\alpha=\alpha_1+\alpha_2,\;\beta=\beta_1+\beta_2,\;\alpha_1,\beta_1\in E,\;\alpha_2,\beta_2\in W$，于是有：

\[\begin{align*} \mathcal{P}_E(k_1\alpha+k_2\beta) =\mathcal{P}_E[(k_1\alpha_1+k_2\beta_1)+(k_1\alpha_2+k_2\beta_2)] =k_1\alpha_1+k_2\beta_1 =k_1\mathcal{P}_E\alpha+k_2\mathcal{P}_E\beta \end{align*}\]

所以$\mathcal{P}_E$是线性变换。

(2)任取$\alpha=\alpha_1+\alpha_2\in X,\;\alpha_1\in E,\;\alpha_2\in W$，则：

\[\begin{equation*} \mathcal{P}_E(\mathcal{P}_E\alpha)=\mathcal{P}_E(\alpha_1)=\alpha_1=\mathcal{P}_E\alpha \end{equation*}\]

所以$\mathcal{P}_E$是幂等变换。

(3)任取$\alpha=\alpha_1+\alpha_2\in X,\;\alpha_1\in E,\;\alpha_2\in W$，则：

\[\begin{equation*} \mathcal{P}_E(\mathcal{P}_W\alpha)=\mathcal{P}_E\alpha_2=\mathbf{0},\; \mathcal{P}_W(\mathcal{P}_E\alpha)=\mathcal{P}_W\alpha_2=\mathbf{0} \end{equation*}\]

所以$\mathcal{P}_E\mathcal{P}_W=\mathcal{P}_W\mathcal{P}_E=\mathcal{O}$，即$\mathcal{P}_E$与$\mathcal{P}_W$正交。

(4)任取$\alpha=\alpha_1+\alpha_2\in X,\;\alpha_1\in E,\;\alpha_2\in W$，则：

\[\begin{equation*} (\mathcal{P}_E+\mathcal{P}_W)\alpha=\mathcal{P}_E\alpha+\mathcal{P}_W\alpha=\alpha_1+\alpha_2=\alpha \end{equation*}\]

于是$\mathcal{P}_E+\mathcal{P}_W=\mathcal{I}$。

(5)若存在另一平行于$W$在$E$上的投影变换，则它与$\mathcal{P}_E$的作用完全相同，于是二者相等，唯一性得证。

(6)任取$\alpha=\alpha_1+\alpha_2\in X,\;\alpha_1\in E,\;\alpha_2\in W$，则$\mathcal{P}_E\alpha=\alpha_1\in E$，所以$\operatorname{Im}\mathcal{P}_E\subseteq E$。任取$\beta\in E$，有$\mathcal{P}_E\beta=\beta\in\operatorname{Im}\mathcal{P}_E$，所以$E\subseteq\operatorname{Im}\mathcal{P}_E$。因此$E=\operatorname{Im}\mathcal{P}_E$。

任取$\gamma\in W$，有$\mathcal{P}_E\gamma=\mathbf{0}$，所以$\gamma\in\operatorname{Ker}\mathcal{P}_E$，于是$W\subseteq\operatorname{Ker}\mathcal{P}_E$。任取$\delta=\delta_1+\delta_2\in\operatorname{Ker}\mathcal{P}_E,\;\delta_1\in E,\;\delta_2\in W$，则$\mathcal{P}_E\delta=\delta_1=\mathbf{0}$，所以$\delta=\delta_2\in W$，于是$\operatorname{Ker}\mathcal{P}_E\subseteq W$。因此$W=\operatorname{Ker}\mathcal{P}_E$。

(7)由定理 1.7可知$E$必定存在一个补空间$W$，于是$X=E\oplus W$，由(1)即可得到$E=\operatorname{Im}\mathcal{P}_E$。

(8)与(2)类似可得。 (9)任取$\alpha\in X$，则$\mathcal{T}\alpha\in\operatorname{Im}\mathcal{T}$。因为：

\[\begin{equation*} \mathcal{T}(\alpha-\mathcal{T}\alpha)=\mathcal{T}\alpha-\mathcal{T}^2\alpha=\mathcal{T}\alpha-\mathcal{T}\alpha=\mathbf{0} \end{equation*}\]

所以$\alpha-\mathcal{T}\alpha\in\operatorname{Ker}\mathcal{T}$。因为$\alpha=\mathcal{T}\alpha+\alpha-\mathcal{T}\alpha$，所以$X=\operatorname{Im}\mathcal{T}+\operatorname{Ker}\mathcal{T}$。

任取$\beta\in\operatorname{Im}\mathcal{T}\cap\operatorname{Ker}\mathcal{T}$，则存在$\gamma\in X$使得$\mathcal{T}\gamma=\beta$，且有$\mathcal{T}\beta=\mathbf{0}$，于是：

\[\begin{equation*} \mathbf{0}=\mathcal{T}\beta=\mathcal{T}(\mathcal{T}\gamma)=\mathcal{T}^2\gamma=\mathcal{T}\gamma=\beta \end{equation*}\]

所以$\operatorname{Im}\mathcal{T}\cap\operatorname{Ker}\mathcal{T}=\mathbf{0}$，由定理 1.6(3)可知$X=\operatorname{Im}\mathcal{T}\oplus\operatorname{Ker}\mathcal{T}$。

记$\operatorname{Im}\mathcal{T}=E,\;\operatorname{Ker}\mathcal{T}=W$，对上述$\alpha=\mathcal{T}\alpha+\alpha-\mathcal{T}\alpha$，有$\mathcal{P}_E\alpha=\mathcal{T}\alpha$。由$\alpha$的任意性，$\mathcal{T}=\mathcal{P}_E$。

(10)任取$\alpha\in X$，则$\alpha=(\mathcal{T}_1+\mathcal{T}_2)\alpha=\mathcal{T}_1\alpha+\mathcal{T}_2\alpha$，所以$X=\operatorname{Im}\mathcal{T}_1+\operatorname{Im}\mathcal{T}_2$。

任取$\beta\in\operatorname{Im}\mathcal{T}_1\cap\operatorname{Im}\mathcal{T}_2$，则存在$\gamma,\delta\in X$使得$\mathcal{T}_1\gamma=\beta,\;\mathcal{T}_2\delta=\beta$，于是有$\beta=\mathcal{T}_1\gamma=\mathcal{T}_1^2\gamma=\mathcal{T}_1(\mathcal{T}_1\gamma)=\mathcal{T}_1\beta$。因为$\mathcal{T}_1$与$\mathcal{T}_2$正交，所以：

\[\begin{equation*} \mathcal{T}_1\beta=\mathcal{T}_1(\mathcal{T}_2\delta)=(\mathcal{T}_1\mathcal{T}_2)\delta=\mathbf{0} \end{equation*}\]

于是$\beta=\mathbf{0}$，即$\operatorname{Im}\mathcal{T}_1\cap\operatorname{Im}\mathcal{T}_2=\mathbf{0}$。由定理 1.6可得$X=\operatorname{Im}\mathcal{T}_1\oplus\operatorname{Im}\mathcal{T}_2$。

任取$\varepsilon=\mathcal{T}_1\varepsilon_1+\mathcal{T}_2\varepsilon_2\in X$，其中$\varepsilon_1,\varepsilon_2\in X$。因为$\mathcal{T}_1$与$\mathcal{T}_2$正交、$\mathcal{T}_1$是幂等变换，所以显然有：

\[\begin{equation*} \mathcal{T}_1\varepsilon=\mathcal{T}_1(\mathcal{T}_1\varepsilon_1+\mathcal{T}_2\varepsilon_2)=\mathcal{T}_1^2\varepsilon_1+(\mathcal{T}_1\mathcal{T}_2)\varepsilon_2=\mathcal{T}_1\varepsilon_1 \end{equation*}\]

于是$\mathcal{T}_1$是平行于$\operatorname{Im}\mathcal{T}_2$在$\operatorname{Im}\mathcal{T}_1$上的投影。$\mathcal{T}_2$同理。 ◻

略去域的概念，可自行搜索。实际上类比为数域就可以了，统计学不会有什么抽象代数的内容。↩︎
证明过程中的递推除法被称之为辗转相除法。↩︎
$E^n$为$E$上的线性空间。↩︎
和矩阵一样略去域与数域的问题。↩︎

研究对象	线性相关	线性无关
\(X\)中的向量组\(\seq{\alpha}{n}\)	\(F\)中有不全为\(0\)的元素\(\seq{k}{n}\)使得\(\sum\limits_{i=1}^{n}k_i\alpha_i=\mathbf{0}\)	从\(\sum\limits_{i=1}^{n}k_i\alpha_i=\mathbf{0}\)可以推出\(k_1=k_2=\cdots=k_n=0\)
空集		定义空集是线性无关的
\(X\)的非空有限子集	给这个子集的元素一种编号所得的向量组线性相关	给这个子集的元素一种编号所得的向量组线性无关
\(X\)的无限子集\(W\)	\(W\)有一个有限子集线性相关	\(W\)的任一有限子集都线性无关