第 3 章 度量空间
Definition 3.1. 设\(X\)为一个非空集合。若对任意的\(x,y\in X\)，都存在\(\rho(x,y)\in\mathbb{R}\)与\(x,\;y\)对应，且满足以下三个条件：
非负性：\(\rho(x,y)\geqslant0\)，等号成立当且仅当\(x=y\)。
对称性：\(\rho(x,y)=\rho(y,x)\)。
三角不等式：\(\rho(x,y)\leqslant\rho(x,z)+\rho(z,y),\;\forall\;z\in X\)。
则称\(\rho\)是\(X\)上的一个距离，\(X\)是以\(\rho\)为距离的度量空间（metric space），记为\((X,\rho)\)。度量空间中的元素又称之为点。
Definition 3.2. 度量空间\((X,\rho)\)中的点集：
\[\begin{equation*} \{P\in X:\rho(P,P_0)<\delta\}\qquad (\delta>0) \end{equation*}\]
被称之为点\(P_0\)的\(\delta\;\)邻域（neighbourhood）或开邻域，记为\(U(P_0,\delta)\)。若在上式中取小于等于号，则称之为闭邻域，用\(\bar{U}(P,\delta)\)表示1。
Property 3.0.1. 设\((X,\rho)\)是度量空间，\(P\in X\)，则有：
\(\forall\;\delta>0,\;P\in U(P,\delta)\)；
\(\forall\;\delta_1,\delta_2>0,\;\exists\;\delta_3>0,\;U(P,\delta_3)\subseteq U(P,\delta_1)\cap U(P,\delta_2)\)；
\(\forall\;P_0\in X,\;P_0\ne P,\;\exists\;U(P),U(P_0),\;U(P)\cap U(P_0)=\varnothing\)。
证明. (1)显然。(2)取\(\delta_3\leqslant\min(\delta_1,\delta_2)\)即可。(3)取\(\delta\in\left(0,\frac{\rho(P,P_0)}{2}\right)\)即可。 ◻
Definition 3.3. 设\((X,\rho)\)是度量空间，\(E\subseteq X\)。称：
\[\begin{equation*} \delta_E=\sup_{x,y\in E}\rho(x,y) \end{equation*}\]
为点集\(E\)的直径（diameter）。
Definition 3.4. 设\((X,\rho)\)是度量空间，\(E\subseteq X\)。若\(\delta_E<+\infty\)或\(E\)包含在\(X\)中某一点的某一邻域内或\(E\)包含在\(X\)中任意一点的某一邻域内，则称\(E\)是\((X,\rho)\)中的有界集（bounded set）。
note 3.1. 三者的等价性很直观：
\((1)\to(3)\)：任取\(x\in E\)，取\(\delta=\delta_E\)构造闭邻域\(\bar{U}(x,\delta)\)或取\(\delta=\delta_E+\varepsilon(\forall\;\varepsilon>0)\)构造开邻域\(U(x,\delta)\)。
\((1)\to(2)\)：\((1)\to(3)\to(2)\)。
\((2)\to(1)\)：设关于该点满足条件的开邻域或闭邻域的直径为\(\delta\)，显然\(\delta_E\leqslant\delta<+\infty\)。
\((3)\to(1)\)：\((3)\to(2)\to(1)\)。
3.1 度量空间上的收敛点列
Definition 3.5. 设\((X,\rho)\)是度量空间，从正整数集\(\mathbb{N}^+\)到\(X\)的一个映射，相当于用正整数编号的\(X\)中的点\(x_1,x_2,\cdots\)被称为一个点列（sequence of points），记为\(\{x_n\}\)。
Definition 3.6. 设\(\{x_n\}\)是度量空间\((X,\rho)\)中的一个点列，而
\[\begin{equation*} n_1<n_2<\cdots<n_k<n_{k+1}<\cdots \end{equation*}\]
是一串严格递增的自然数，则
\[\begin{equation*} x_{n_1}<x_{n_2}<\cdots<x_{n_k}<x_{n_{k+1}}<\cdots \end{equation*}\]
也形成一个\((X,\rho)\)中的点列，我们把\(\{x_{n_k}\}\)称之为点列\(\{x_n\}\)的一个子列（subsequence）。
Definition 3.7. 设\(\{x_n\}\)是度量空间\((X,\rho)\)中的点列，\(x\in X\)。如果对任意的\(\varepsilon>0\)，\(\exists\; N\in\mathbb{N}^+\)，当\(n>N\)时有：
\[\begin{equation*} \rho(x_n,x)<\varepsilon \end{equation*}\]
则称\(\{x_n\}\)是度量空间\((X,\rho)\)中的收敛点列（convergent sequence of points），\(x\)是点列\(\{x_n\}\)的极限（limit），记作\(\{x_n\}\to x\)或\(\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=x\)。
Property 3.1.1. 设\(\{x_n\}\)是度量空间\((X,\rho)\)中的一个收敛点列，则：
\(\{x_n\}\)的极限是唯一的；
对任意的\(y\in X\)，数列\(\{\rho(x_n,y)\}\)有界；
\(\{x_n\}\)是有界点集；
\(\{x_n\}\)是收敛点列的充要条件为\(\{x_n\}\)的任一子列是收敛点列且极限相同；
设\(\{x_n\},\{y_n\}\subseteq X\)，\(\{x_n\}\to x\)，若存在\(N_1\in\mathbb{N}^+\)使得当\(n>N_1\)时有\(\rho(y_n,x)\leqslant\rho(x_n,x)\)，则\(\{y_n\}\to x\)；
证明. (1)假设极限不唯一，\(\{x_n\}\)既收敛到\(a\)又收敛到\(b\)，则对任意的\(\varepsilon>0\)，\(\exists\; N_1\in\mathbb{N}^+\)，当\(n>N_1\)时有\(\rho(x_n,a)<\frac{\varepsilon}{2}\)；\(\exists\; N_2\in\mathbb{N}^+\)，当\(n>N_2\)时有\(\rho(x_n,b)<\frac{\varepsilon}{2}\)。取\(N=\max\{N1,N2\}\)，则当\(n>N\)时，有：
\[\begin{equation*} \rho(a,b)\leqslant\rho(a,x_n)+\rho(x_n,b)<\varepsilon \end{equation*}\]
即\(a=b\)。
(2)设\(\{x_n\}\to x\)，由距离的定义：
\[\begin{equation*} \rho(x_n,y)\leqslant\rho(x_n,x)+\rho(x,y) \end{equation*}\]
由于\(\{x_n\}\)收敛，所以对\(\varepsilon=1\)：
\[\begin{equation*} \exists\;N\in\mathbb{N}^+,\;\forall\;n>N,\;\rho(x_n,x)<\varepsilon=1 \end{equation*}\]
取\(K=\max\{\rho(x_1,x),\rho(x_2,x),\dots,\rho(x_N,x),1\}\)，则有：
\[\begin{equation*} \forall\;n\in\mathbb{N}^+,\;\rho(x_n,y)\leqslant K+\rho(x,y) \end{equation*}\]
即数列\(\{\rho(x_n,y)\}\)有界。
(3)任取\(y\in X\)，由(2)数列\(\{\rho(x_n,y)\}\)有界，即\(\exists\;\delta>0,\;\forall\;n\in\mathbb{N}^+,\;\rho(x_n,y)<\delta\)，则\(\{x_n\}\subseteq U(y,\delta)\)，即\(\{x_n\}\)有界。
(4)必要性：设\(\{x_n\}\)的极限为\(x\)，则对任意的\(\varepsilon>0\)，\(\exists\; N\in\mathbb{N}^+\)，当\(n>N\)时有\(\rho(x_n,x)<\varepsilon\)，当\(k>N\)时就有\(n_k\geqslant k>N\)，也即\(\rho(x_{n_k},x)<\varepsilon\)。
充分性：\(\;\{x_n\}\)也是它自己的一个子列。
(5)因为\(\{x_n\}\to x\)，所以对任意的\(\varepsilon>0\)，存在\(N_2\in\mathbb{N}^+\)使得当\(n>N_2\)时有\(\rho(x_n,x)<\varepsilon\)，取\(N=\max\{N_1,N_2\}\)即有\(\rho(y_n,x)\leqslant\rho(x_n,x)<\varepsilon\)，于是\(\{y_n\}\to x\)。 ◻
3.2 度量空间上的点集
3.2.1 基础知识
3.2.1.1 点的定义
Definition 3.8. 设\((X,\rho)\)是度量空间，\(E\subseteq X\)。若对于点\(P\in X\)，存在\(U(P)\subseteq E\)，则称点\(P\)为\(E\)的内点（interior point）。
Definition 3.9. 设\((X,\rho)\)是度量空间，\(E\subseteq X\)。若点\(P\in X\)为\(E^c\)的内点，则称点\(P\)为\(E\)的外点（exterior point）。
Definition 3.10. 设\((X,\rho)\)是度量空间，\(E\subseteq X\)。若对于点\(P\in X\)，它的任意邻域中都既有\(E\)中的点，又有\(E^c\)中的点，则称点\(P\)为\(E\)的界点（boundary point）。
Definition 3.11. 设\((X,\rho)\)是度量空间，\(E\subseteq X\)。若点\(P\in X\)满足以下任一条件：
\(P\)的任何邻域内都存在无穷个\(E\)中的点。
\(P\)的任何邻域内都存在一个\(E\)中异于\(P\)的点。
\(E\)中有一个不包含\(P\)且极限为\(P\)的点列。
则\(P\)是\(E\)的一个聚点（limit point）。
这三个条件实际上是等价的：
证明. \((1)\to(2)\)显然，\((3)\to(1)\)显然，下证\((2)\to(3)\)。 取\(\delta_n=\dfrac{1}{n}\)，在\(U(P,\delta_n)\)中至少有一点\(P_n\)，\(P_n\in E\)且\(P_n\ne P\)，显然\(\{P_n\}\to P\)。 ◻
Definition 3.12. 设\((X,\rho)\)是度量空间，\(E\subseteq X\)。若点\(P\in E\)但不是\(E\)的聚点，即存在\(P\)的邻域\(U(P)\)，使得\(E\cap U(P)=\{P\}\)，则称\(P\)为\(E\)的孤立点（isolated point）。
Theorem 3.1. 设\((X,\rho)\)是度量空间，\(E\subseteq X\)。\(E\)的界点不是聚点就是孤立点。
证明. 若\(P\)是\(E\)的一个界点，则它的任意邻域中都既有\(E\)中的点，又有\(E^c\)中的点。若它的任意邻域中都只含有有限个\(E\)中的点，则一定存在一个邻域，使得只有自身属于\(E\)，那么它是孤立点；若它的任意邻域中都含有无限个\(E\)中的点，由聚点定义，它是聚点。 ◻
3.2.1.2 点集的定义
Definition 3.13. 设\((X,\rho)\)是度量空间，\(E\subseteq X\)。\(E\)的全体内点所组成的集合称为\(E\)的内核（interior），记为\(\mathring{E}\)。
Definition 3.14. 设\((X,\rho)\)是度量空间，\(E\subseteq X\)。\(E\)的全体聚点所组成的集合称为\(E\)的导集（derived set），记为\(E'\)。
Definition 3.15. 设\((X,\rho)\)是度量空间，\(E\subseteq X\)。\(E\)的全体界点所组成的集合称为\(E\)的边界（boarder），记为\(\partial E\)。
Definition 3.16. 设\((X,\rho)\)是度量空间，\(E\subseteq X\)。\(E\cup E'\)称为\(E\)的闭包（closure），记为\(\overline{E}\)。
Property 3.2.1. 设\((X,\rho)\)是度量空间，\(E\subseteq X\)，\(A\cup B\subseteq X\)，则：
\((\mathring{E})^c=\overline{E^c}\)；
\(\partial E = \partial E^c\)；
\(\overline{\overline E}=\overline{E}\)；
若\(A\subseteq B\)，则\(\mathring{A}\subseteq\mathring{B}\)，\(A'\subseteq B'\)，\(\overline{A}\subseteq\overline{B}\)；
\((A\cup B)'=A'\cup B'\)；
\(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup \overline{B}\)。
证明. (1)\(\;\overline{E^c}=E^c\cup (E^c)'\)。
对任意的\(P\in\overline{E^c}\cap\mathring{E}\)，应有\(P\in(E^c)'\)，即\(P\)的任意邻域中都有\(E^c\)中的点，而这与\(P\in\mathring{E}\)矛盾，由\(P\)的任意性有\(\overline{E^c}\cap\mathring{E}=\varnothing\)，即\(\overline{E^c}\subseteq(\mathring{E})^c\)；
对任意的\(P\in(\mathring{E})^c\)，应有\(P\in\mathring{(E^c)}\cup\partial E\)。若\(P\in\mathring{(E^c)}\)，显然\(P\in\mathring{(E^c)}\subseteq E^c\subseteq\overline{E^c}\)；若\(P\in\partial E\)，要么\(P\in E\)，要么\(P\notin E\)，如果此时\(P\in E\)，则由界点定义它必然是\(E^c\)的聚点，即\(P\in \overline{E^c}\)；如果此时\(P\notin E\)，则\(P\in E^c\)，即\(P\in \overline{E^c}\)。由\(P\)的任意性有\((\mathring{E})^c\subseteq\overline{E^c}\)。
综上\((\mathring{E})^c=\overline{E^c}\)。
(2)由定义直接可得。
(3)\(\;\overline{\overline E}=\overline{E}\cup (\overline{E})'\)，由性质 3.2.2(3)，\(\overline{E}\)是闭集，因此\((\overline{E})'\subseteq\overline{E}\)，即\(\overline{\overline E}=\overline{E}\)。
(4)由内点、聚点的定义直接可得。
(5)\(\;A\subseteq (A\cup B)\)，\(B\subseteq (A\cup B)\)，由(4)可知，\(A'\subseteq(A\cup B)'\)，\(B'\subseteq(A\cup B)'\)，因此\(A'\cup B'\subset(A\cup B)'\)。
另一方面，对任意的\(P\in (A\cup B)'\)，应有\(P\in A'\cup B'\)。否则就有\(P\notin A'\)且\(P\notin B'\)，因此存在\(U_1(P)\)和\(U_2(P)\)使得\(U_1(P)\)中不含除了\(P\)以外的\(A\)中的点、\(U_2(P)\)中不含除了\(P\)以外的\(B\)中的点，由性质 3.0.1(2)，存在\(U_3(P)\)使得其内不含除了\(P\)以外\(A\cup B\)中的点，而这与\(P\in (A\cup B)'\)矛盾。由\(P\)的任意性有\((A\cup B)'\subseteq A'\cup B'\)。
综上\((A\cup B)'=A'\cup B'\)。
(6)由(5)可知：
\[\begin{equation*} \overline{A}\cup \overline{B}=A\cup A'\cup B\cup B' =(A\cup B)\cup(A'\cup B')=(A\cup B)\cup(A\cup B)' =\overline{A\cup B} \end{equation*}\]
◻
Definition 3.17. 设\((X,\rho)\)是度量空间，\(E\subseteq X\)。若\(E=\mathring{E}\)，则称E是开集（open set）。
Definition 3.18. 设\((X,\rho)\)是度量空间，\(E\subseteq X\)。若\(E'\subseteq E\)，则称E是闭集（closed set）。
Property 3.2.2. 设\((X,\rho)\)是度量空间，\(P\in X,\;E\subseteq X\)，则有：
\(\forall\;P_0\in U(P),\;\exists\;U(P_0)\subseteq U(P)\)，即开邻域是开集。
\(\forall\;P_0\in[\bar{U}(P)]',\;P_0\in \bar{U}(P_0)\)，即闭邻域是闭集；
\(\mathring{E}\)是开集，\(E'\)和\(\overline{E}\)是闭集；
\(X\)和\(\varnothing\)是唯二既开又闭的集合；
若\(E\)是开集，则\(E^c\)是闭集；若\(E\)是闭集，则\(E^c\)是开集；
任意个开集的并是开集，有限个开集的交是开集；任意个闭集的交是闭集，有限个闭集的并是闭集。
证明. (1)要使得\(U(P_0)\subseteq U(P)\)，则\(\forall\;x\in U(P_0),\;\rho(x,P)<\delta_P\)，而\(\rho(x,P)<\rho(x,P_0)+\rho(P_0,P)<\delta_{P_0}+\rho(P_0,P)\)，故只要使\(\delta_{P_0}+\rho(P_0,P)<\delta_P\)即可。注意到\(\rho(P_0,P)<\delta_P\)，由实数的稠密性可知这样的\(\delta_{P_0}\)总是存在的，于是结论成立。
(2)对任意的\(P_0\in\left(\bar{U}(P)\right)'\)，\(\exists\;\bar{U}(P)\)中的点列\(\{P_n\}\to P_0\)。若\(P_0\notin \bar{U}(P)\)，则\(\rho(P_0,P)>\delta_P\)。取\(\varepsilon=\rho(P_0,P)-\delta_P\)，则必然\(\exists\;N\in\mathbb{N}^+\)，当\(n>N\)时，有\(\rho(P_n,P_0)<\varepsilon\)，那么\(\rho(P_n,P)>\delta_P\)，即\(P_n\notin U(P)\)，矛盾。因此\(P_0\in \bar{U}(P)\)。由\(P_0\)的任意性，闭邻域是闭集。
(3)\(\;\mathring{E}\)是开集：对任意的\(P\in\mathring{E}\)，存在\(U(P)\subseteq E\)，对任意的\(Q\in U(P)\)，由(1)可得存在\(U(Q)\subseteq U(P)\subseteq E\)，因此\(Q\in\mathring{E}\)，即存在\(U(P)\subseteq\mathring{E}\)，\(P\)是\(\mathring{E}\)的内点。由\(P\)的任意性，\(\mathring{E}\)是开集。
\(\;E'\)是闭集：对任意的\(P\in (E')'\)，由聚点定义，任意\(U(P)\)中都含有\(E'\)中的点，任取\(Q\in U(P)\cap E'\)，任意\(U(Q)\)都含\(E\)中的点，而\(Q\in U(P)\)，由(1)可知存在\(U(Q)\subset U(P)\)，因此任意\(U(P)\)中都含有\(E\)中的点，即\(P\)是\(E\)的聚点，\(P\in E'\)。由\(P\)的任意性，\(E'\)是闭集。
\(\;\overline{E}\)是闭集：\(\overline{E}=E\cup E'\)，由性质 3.2.1(5)可知\((\overline{E})'=E'\cup (E')'\)，显然\(E'\subseteq \overline{E}\)，而\(E'\)是闭集，\((E')'\subseteq E'\subset\overline{E}\)。因此，\((\overline{E})'\subseteq\overline{E}\)，即\(\overline{E}\)是闭集。
(4)未完成
(5)\(\;E\)是开集：\(\forall\; P\in (E^c)'\)，应有\(P\notin E\)，即\(P\)不会是\(E\)的内点。否则由内点定义，存在\(U(P)\)使得\(U(P)\subseteq E\)，即\(U(P)\)中不含\(E^c\)中的点，这与点\(P\in (E^c)'\)矛盾。由\(P\)的任意性有\((E^c)'\subseteq E^c\)，即\(E^c\)是闭集。
\(E\)是闭集：\(\forall\; P\in E^c\)，应有\(P\)是\(E^c\)的一个内点。否则任意\(U(P)\)中都存在\(E\)中的点，则\(P\)应该是\(E\)的一个聚点，而此时\(P\in E^c\)，与\(E\)是闭集矛盾。由\(P\)的任意性可得\(E^c\)是开集。
(6)任意个开集的并是开集：对于在任意个开集的并集中的点\(P\)，\(P\)必属于其中一个开集，因而存在一个邻域\(U(P)\)使得其中的点都在那个开集中，进而\(U(P)\)都在任意个开集的并集中，即\(P\)是任意个开集的并集的内点。由\(P\)的任意性，任意个开集的并集是开集。
有限个开集的交是开集：设这有限个开集为\(A_i,i=1,2,\dots,n\)。对任意的\(P\in\underset{i=1}{\overset{n}{\cap}}A_i\)，则\(P\)是所有\(A_i\)的内点，因此存在\(U_i(P)\subseteq A_i\)。由性质 3.0.1(2)可知存在\(U(P)\)满足\(U(P)\subseteq\underset{i=1}{\overset{n}{\cap}}U_i(P)\subseteq\underset{i=1}{\overset{n}{\cap}}A_i\)，因此\(P\)是\(\underset{i=1}{\overset{n}{\cap}}A_i\)的内点。由\(P\)的任意性，\(\underset{i=1}{\overset{n}{\cap}}A_i\)是开集。
任意个闭集的交是闭集，有限个闭集的并是闭集：可由(5)以及性质 5.1.1(7)在开集的基础上直接得出。 ◻
Definition 3.19. 设\((X,\rho_X)\)是度量空间。若\(E\subseteq X\)，且在\(E\)上定义距离\(\rho_E\)使得\(E\)中任意点对\(x,y\)之间的距离\(\rho_E(x,y)=\rho_X(x,y)\)，则称\((E,\rho_E)\)是\((X,\rho_X)\)的一个子空间（subspace）。若\(E\)是开集，则称\(E\)是\(X\)的一个开子空间（open subspace）；\(E\)是闭集，则称\(E\)是\(X\)的一个闭子空间（closed subspace）。
3.2.2 稠密、稀疏、可分、全有界、准紧性
3.2.2.1 稠密性
Definition 3.20. 设\((X,\rho)\)是度量空间，\(A,B\subseteq X\)。若\(A\subseteq\overline{B}\)，则称\(B\)在\(A\)中稠密（dense）。
Theorem 3.2. 设\((X,\rho)\)是度量空间，\(A,B\subseteq X\)。以下四个命题等价：
\(B\)在\(A\)中稠密。
对任意的\(x\in A\)，\(x\)的任意邻域中都存在\(B\)中的点。
对任意的\(x\in A\)，\(B\)中存在一个点列\(\{x_n\}\)收敛于\(x\)。
对任意的\(\varepsilon>0\)，\(B\)中每个点的\(\varepsilon\)开球邻域的并包含了\(A\)。
证明. \((1)\to(2)\)因为\(\overline{B}=B\cup B'\)，所以若\(x\in A\)，则\(x\in B\)或\(x\in B'\)，此时显然(2)成立。
\((2)\to(3)\)显然。
\((3)\to(4)\)若此时(4)不成立，即存在\(x\in A\)对于某个\(\varepsilon\)，满足条件\(x\)不在任何\(B\)中点的\(\varepsilon\)开球邻域内，则存在\(U(x)\)使得\(U(x)\)中不含\(B\)中的点，那么(3)也不可能成立，矛盾。
\((4)\to(1)\)对任意的\(x\in A\)，如果\(x\notin \overline{B}\)，那么存在\(U(x,\delta)\)使得\(U(x,\delta)\)中不含\(B\)中的点，记\(x\)与\(B\)中点之间的最小距离为\(\rho\)，此时只要取\(\varepsilon<\rho\)，\(x\)就不在那些邻域的并集中了，矛盾。由\(x\)的任意性，\(A\subseteq\overline{B}\)。 ◻
3.2.2.2 稀疏性
Definition 3.21. 设\((X,\rho)\)是度量空间，\(A\)是\(X\)的一个子集。若\(A\)在\(X\)的任何一个非空开集中均不稠密，则称\(A\)为\(X\)中的稀疏集（nowhere dense set）。
下述定理中的邻域既可以是开邻域也可以是闭邻域：
Theorem 3.3. 度量空间\((X,\rho)\)的子集\(A\)为稀疏集的充分必要条件是：对任意的\(x\in X\)和\(x\)的任意邻域\(U(x)\)，存在一个包含于邻域\(U(x)\)的邻域\(U(y)\)使得\(A\cap U(y)=\varnothing\)。
证明. (1)开邻域：
充分性：假设此时\(A\)在\(X\)中的某非空开集\(B\)中稠密，则\(B\subseteq\overline{A}\)。任取\(x\in B\)和\(U(x)\subseteq B\)，则\(x\in\overline{A}\)。如果此时存在包含于\(U(x)\)的\(U(y)\)使得条件成立，则\(y\notin\overline{A}\)，这与\(y\in U(y)\subseteq U(x)\subseteq B\subseteq\overline{A}\)矛盾。
必要性：若\(A\)是稀疏集，由性质 3.2.2(1)可得\(A\)在\(U(x)\)中不稠密。由定理 3.2(2)可知\(\exists\;y\in U(x),\;\exists\;U(y)\subseteq U(x)\)使得\(A\cap U(y)=\varnothing\)。
(2)闭邻域：
充分性：
必要性：有空证明 ◻
3.2.2.3 可分性
Definition 3.22. 设\((X,\rho)\)是度量空间，\(A\subseteq X\)。若存在可列集\(B\subset X\)使得\(B\)在\(A\)中稠密，则称\(A\)是可分的（separable）。若\(X\)中存在一个在\(X\)中稠密的可列子集，则称\(X\)是可分的度量空间。
3.2.2.4 全有界性
Definition 3.23. 设\((X,\rho)\)是度量空间，\(A\)和\(B\)都是\(X\)的子集，\(\varepsilon>0\)。如果对任意的\(x\in A\)，都存在\(y\in B\)，使得\(\rho(x,y)<\varepsilon\)，则称\(B\)是\(A\)的一个\(\varepsilon\)-网。即：以\(B\)中的点为中心，\(\varepsilon\)为半径的所有开邻域的并包含了\(A\)。
Definition 3.24. 设\((X,\rho)\)是度量空间，\(A\)是\(X\)的子集。如果对任意的\(\varepsilon>0\)，\(X\)中总存在\(A\)的\(\varepsilon\)-网，且该\(\varepsilon\)-网只有有限个点，则称\(A\)是全有界集（totally bounded set）。
Property 3.2.3. 设\((X,\rho)\)是度量空间。全有界集具有如下性质：
(1)任何有限集都是全有界集。
(2)全有界集的子集也是全有界集。
(3)设\(A\)是全有界集，则对任意的\(\varepsilon>0\)，总存在\(A\)的一个有限子集成为\(A\)的一个\(\varepsilon\)-网。
(4)全有界集有界且可分。
证明. (1)(2)是显然的。
(3)因为\(A\)是全有界集，所以对任意的\(\varepsilon>0\)，存在一个\(A\)的\(\frac{\varepsilon}{2}\)-网\(\{x_1,x_2,\dots,x_n\}\)。依次取\(a_i\in A\)使得\(a_i\in U(x_i,\frac{\varepsilon}{2}),\;i=1,2,\dots,n\)，则\(\{a_1, a_2, \dots, a_{n}\}\)即构成\(A\)的一个\(\varepsilon\)-网：
\[\begin{equation*} \forall\;a\in U\left(x_i,\frac{\varepsilon}{2}\right),\;\rho(a,a_i)\leqslant\rho(a,x_i)+\rho(x_i,a_i)<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon,\;i=1,2,\dots,n \end{equation*}\]
(4)设\(A\subseteq X\)是全有界集，则\(A\)应有一个\(1\)-网\(\{x_1,x_2,\dots,x_n\}\)，于是：
\[\begin{equation*} \forall\;a\in A,\;\exists\;x_{k}\in\{x_1,x_2,\dots,x_n\},\;\rho(a,x_k)<1 \end{equation*}\]
所以（下式中\(x_k\)是与点\(a\)对应的\(1\)-网中的点）：
\[\begin{equation*} \forall\;a\in A,\;\rho(a,x_1)\leqslant\rho(a,x_k)+\rho(x_k,x_1)<1+\max_{k}\rho(x_k,x_1) \end{equation*}\]
记\(\max\limits_{k}\rho(x_k,x_1)=K\)，则对任意的\(a\in A,\;a\in U(x_1,1+K)\)，所以\(A\)是有界的。
因为\(A\)是全有界集，所以对任意的\(\varepsilon=\frac{1}{n},\;n\in\mathbb{N}^+\)，\(X\)中都存在\(A\)的一个只含有限个点的\(\varepsilon\)-网\(B_n\)。记：
\[\begin{equation*} B=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n \end{equation*}\]
由定理 19.7可知\(B\)是可列的。对任意的\(x\in A\)，存在\(x_n\in B_n\subset B\)满足对任意的\(n\in\mathbb{N}^+\)有\(\rho(x,x_n)<\frac{1}{n}\)，因此\(\{x_n\}\to x\)。由\(x\)的任意性和定理 3.2(3)，\(B\)在\(A\)中稠密。综上，\(A\)是可分的。 ◻
3.2.2.5 准紧集
Definition 3.25. \((X,\rho)\)是度量空间，\(A\)是\(X\)的一个子集。如果\(A\)的每个点列都有一个子列收敛于\(X\)中的某一点，则称\(A\)是准紧集（precompact set）。
Property 3.2.4. 设\((X,\rho)\)是度量空间。准紧集具有如下性质：
准紧集的子集也是准紧集；
准紧集是全有界集。
证明. (1)由定义立即可得。
(2)如果准紧集\(A\)不是全有界集，则存在\(\varepsilon>0\)，使得\(A\)没有只有有限点的\(\varepsilon\)-网。任取\(x_1\in A\)，则存在\(x_2\in A\)使得\(\rho(x_1,x_2)\geqslant\varepsilon\)，否则\(\{x_1\}\)就是\(A\)的一个\(\varepsilon\)-网。同理，存在\(x_3\in A\)使得\(\rho(x_3,x_j)\geqslant\varepsilon,\;j=1,2\)，否则\(\{x_1,x_2\}\)就是\(A\)的一个\(\varepsilon\)-网。重复这一步骤就得到点列\(\{x_n\}\)，当\(m\ne n\)时，\(\rho(x_m,x_n)\geqslant\varepsilon\)。由性质 3.2.5(1)\(\{x_n\}\)没有收敛的子列，这与\(A\)的准紧性矛盾。 ◻
3.2.3 完备的度量空间
3.2.3.1 Cauchy点列
Definition 3.26. \((X,\rho)\)是度量空间，\(\{x_n\}\)是\(X\)中的点列。若对任意的\(\varepsilon>0\)，\(\exists\;N\in\mathbb{N}^+\)，当\(n,m>N\)时，有：
\[\begin{equation*} \rho(x_n,x_m)<\varepsilon \end{equation*}\]
则称点列\(\{x_n\}\)是柯西点列（Cauchy sequence）或基本点列（foundamental sequence）。
Property 3.2.5. 设\((X,\rho_X)\)是度量空间。Cauchy点列具有如下性质：
若\(\{x_n\}\)是\(X\)中的收敛点列，则\(\{x_n\}\)是Cauchy点列；
若\(\{x_n\}\)是\(X\)中的Cauchy点列，它的一个子列\(\{x_{n_k}\}\)收敛，则其本身也收敛，并且极限相同；
Cauchy点列是有界的。
证明. (1)令\(n<m\)。因为\(\{x_n\}\)是\(X\)中的收敛点列，假设其极限为\(x\)，则对任意的\(\varepsilon>0\)，\(\exists\; N_1\in\mathbb{N}^+\)，当\(n>N_1\)时有\(\rho(x_n,x)<\frac{\varepsilon}{2}\)；\(\exists\; N_2\in\mathbb{N}^+\)，当\(m>N_2\)时有\(\rho(x_m,x)<\frac{\varepsilon}{2}\)。取\(N=\max\{N_1,N_2\}\)，则当\(n>N\)时，有
\[\begin{equation*} \rho(x_n,x_m)\leqslant\rho(x_n,x)+\rho(x_m,x)<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \end{equation*}\]
即点列\(\{x_n\}\)是Cauchy点列。
(2)设\(\{x_{n_k}\}\)极限为\(x\)，则
\[\begin{equation*} \rho(x_n,x)\leqslant\rho(x_n,x_{n_k})+\rho(x_{n_k},x) \end{equation*}\]
对任意的\(\varepsilon>0\)，因为\(x_{n_k}\)收敛于\(x\)，所以\(\exists\;N_1\in\mathbb{N}^+\)，使得当\(k>N_1\)时，有\(\rho(x_{n_k},x)<\frac{\varepsilon}{2}\)。又因\(\{x_n\}\)是\(X\)中的Cauchy点列，因此\(\exists\;N_2\in\mathbb{N}^+\)，使得当\(n,k>N_2\)时，有\(\rho(x_n,x_{n_k})<\frac{\varepsilon}{2}\)。取\(N=\max\{N_1,N_2\}\)，当\(n,k>N\)时，即有
\[\begin{equation*} \rho(x_n,x)\leqslant\rho(x_n,x_{n_k})+\rho(x_{n_k},x)<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \end{equation*}\]
(3)设\((X,\rho)\)是度量空间，\(\{x_n\}\)是\(X\)中的Cauchy点列，则对任意的\(\varepsilon>0\)，\(\exists\;N\in\mathbb{N}^+\)，当\(n,m>N\)时，有：
\[\begin{equation*} \rho(x_n,x_m)<\varepsilon \end{equation*}\]
取\(m=N+1\)，令\(\alpha=\max\limits_{i=1,2,\dots,N}\rho(x_m,x_i)\)，\(\delta=\max\{\varepsilon,\alpha\}\)，则\(\{x_n\}\)中的所有点都在闭邻域\(\overline{U}(x_m,\delta)\)中，所以\(\{x_n\}\)有界。 ◻
3.2.3.2 完备度量空间
Definition 3.27. \((X,\rho)\)是度量空间。若\(X\)中的任意Cauchy点列\(\{x_n\}\)都收敛到\(X\)中的某一点，则称\(X\)是完备的（complete）度量空间。
Theorem 3.4. （闭球套定理）
\((X,\rho)\)是度量空间。\(X\)完备的充分必要条件为对任何满足下列条件的一列闭邻域\(\{E_n=\overline{U}(x_n,\delta_n)\}\)：
\(E_1\supseteq E_2\supseteq\cdots\supseteq E_n\supseteq\cdots\)；
\(\{\delta_n\}\to0\)；
\(X\)中都存在唯一的\(x\)满足\(x\in\underset{n\in\mathbb{N}^+}{\cap}E_n\)。
证明. 充分性：任取\(X\)中的一个Cauchy点列\(\{x_n\}\)。因为\(\{x_n\}\)是Cauchy点列，所以对任意的\(\varepsilon>0,\;\exists\;N\in\mathbb{N}^+,\;\forall\;n,m>N,\;\rho(x_m,x_n)<\varepsilon\)。取\(\{N_k\}\)使得\(N_k\)是使得\(\rho(x_m,x_n)<\dfrac{1}{2^k}\)的临界条件，取\(x_{n_k}>N_k,\;x_{n_k+1}>N_{k+1}\)，即可产生一个子列 \(\{x_{n_k}\}\)，满足：
\[\begin{equation*} \rho(x_{n_k},x_{n_{k+1}})<\frac{1}{2^k} \end{equation*}\]
取闭邻域列：
\[\begin{equation*} \left\{E_k=\bar{U}\left(x_{n_k},\frac{1}{2^{k-1}}\right)\right\} \end{equation*}\]
于是：
\[\begin{equation*} \forall\;y\in E_{k+1},\;\rho(y,x_{n_k})\leqslant\rho(y,x_{n_{k+1}})+\rho(x_{n_{k+1}},x_{n_k})<\frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^k}=\frac{1}{2^{k-1}} \end{equation*}\]
所以\(E_k\supseteq E_{k+1}\)。由条件，此时存在唯一的\(x\in X\)满足\(x\in E_k,\;\forall\;k\in\mathbb{N}^+\)。下证\(\{x_n\}\to x\)：
\[\begin{equation*} \rho(x_n,x)\leqslant\rho(x_n,x_{n_k})+\rho(x_{n_k},x)\leqslant\rho(x_n,x_{n_k})+\frac{1}{2^{k-1}} \end{equation*}\]
因为\(\{x_n\}\)是Cauchy点列，因此当\(n\)和\(k\)足够大时，上式右端两项均趋于\(0\)。因此\(\{x_n\}\to x\)。由\(\{x_n\}\)的任意性，\(X\)是完备的度量空间。
必要性中的存在性：在每个\(E_n\)中取一点\(y_n\)构成点列\(\{y_n\}\)。设\(m>n\)，因为\(E_m\subseteq E_n\)，所以\(y_m\in E_n\)，于是有：
\[\begin{equation*} \rho(y_n,y_m)\leqslant2\delta_n\to0 \end{equation*}\]
因此\(\{y_n\}\)是Cauchy点列。因为\(X\)完备，所以\(\{y_n\}\to x\in X\)。对任意的\(n_0\in\mathbb{N}^+\)，当\(n>n_0\)时，\(y_n\in E_n\subseteq E_{n_0}\)。由性质 3.2.2(2)可得闭邻域\(E_{n_0}\)是闭集，因此\(x\in E_{n_0}\)。由\(n_0\)的任意性，\(x\in E_n,\;\forall\;n\in\mathbb{N}^+\)。
必要性中的唯一性：若还有一点\(y\)满足上述条件，则：
\[\begin{equation*} \rho(x,y)\leqslant\rho(x,y_n)+\rho(y_n,y)\to0 \end{equation*}\]
唯一性得证。 ◻
Definition 3.28. 称满足下述条件的闭邻域序列\(\{E_n=\overline{U}(x_n,\delta_n)\}\)为闭邻域套（nested closed neighborhoods）：
\(E_1\supseteq E_2\supseteq\cdots\supseteq E_n\supseteq\cdots\)；
\(\{\delta_n\}\to0\)。
Definition 3.29. 设\(A\)是度量空间\((X,\rho)\)的子集。若\(A\)可表示为至多可列个稀疏集的并，则称\(A\)是第一型集（set of first category）。反之则为第二型集（set of second category）。
Property 3.2.6. 设\((X,\rho)\)是完备的度量空间，则：
\((X,\rho)\)的子空间\(E\)是完备度量空间的充要条件为\(E\)是\(X\)中的一个闭子空间；
\(X\)是第二型集；
\(A\subseteq X\)是全有界集的充要条件为\(A\)是准紧集；
\(A\subseteq X\)为准紧集的充分必要条件是对任意的\(\varepsilon>0\)，\(A\)都有准紧的\(\varepsilon\)-网。
证明. (1)必要性：因为\(E\)是完备子空间，则对任意的\(x\in E'\)，存在\(E\)中的一个收敛点列\(\{x_n\}\to x\)。由性质 3.2.5(1)和\(E\)的完备性可知\(x\in E\)。由\(x\)的任意性，\(E'\subseteq E\)，故\(E\)是闭集，即\(E\)是\(X\)的一个闭子空间。
充分性：任取\(\{x_n\}\)为\(E\)中的一个Cauchy点列，那么它也是\(X\)中的Cauchy点列，因此存在\(x\in X\)使得\(\{x_n\}\to x\)，即\(x\)是\(E\)的一个聚点。又因\(E\)是闭的，所以\(x\in E\)，即Cauchy点列\(\{x_n\}\)收敛于\(E\)中的一点。由\(\{x_n\}\)的任意性，\(E\)是完备的度量空间。
(2)假设不成立，即存在完备的度量空间\(X\)使得\(X\)是第一型集。也就是说\(X=\underset{i=1}{\overset{+\infty}{\cup}}F_i\)，其中\(F_i,\;\forall\;i\in\mathbb{N}^+\)是稀疏集。因为\(F_1\)是稀疏集，由定理 3.2(2)，存在\(x_1\in X\)，使得闭邻域\(U(x_1,r_1)\)中不含\(F_1\)中的点。对于闭邻域\(U(x_1,r_1)\)，由于\(F_2\)是稀疏集，因此存在\(x_2\in U(x_1,r_1)\)，使得闭邻域\(U(x_2,r_2)\)中不含\(F_2\)中的点。如此重复下去，实际上可以取\(r_n=\dfrac{1}{n}\)，便可以得到一个闭球套：
\[\begin{equation*} U(x_1,r_1)\supseteq U(x_2,r_2)\supseteq\cdots\supseteq U(x_n,r_n)\supseteq\cdots \end{equation*}\]
且\(\{r_n\}\to0\)。由完备度量空间的闭球套定理，存在一个\(X\)中的点\(x\in U(x_n,r_n),\;\forall\;n\in\mathbb{N}^+\)。而由闭球套的取法，\(x\notin X\)，矛盾。
(3)根据性质 3.2.4(2)可知只需证明必要性。任取\(A\)中的点列\(\{x_n\}\)。如果\(\{x_n\}\)中只有有限个互不相同的元素，则\(\{x_n\}\)显然有收敛的子列。如果\(\{x_n\}\)中有无限个互不相同的元素，记这些元素构成的集合为\(B_0\)。由性质 3.2.3(2)，\(B_0\)也是全有界集。由性质 3.2.3(3)，\(B_0\)中存在有限个元素使得以它们为球心、\(\dfrac{1}{2}\)为半径的开邻域的并包含\(B_0\)，显然\(B_0\)中至少存在一个点\(y_1\)使得以它为半径、\(\dfrac{1}{2}\)为半径的开邻域包含了无穷多个\(A\)中的点。记被\(y_1\)包含的这无穷多个点构成的集合为\(B_1\)，显然\(B_1\)的直径小于等于\(1\)。因为\(B_1\)是\(B_0\)的子集，所以\(B_1\)也是全有界的，重复上述论证，则存在\(B_2\subseteq B_1\)，使得\(B_2\)中含有\(B_1\)无穷多个元素且\(B_2\)的直径小于等于\(\frac{1}{2}\)。依次类推，可以得到一系列集合满足如下条件：
\(B_1\supseteq B_2\supseteq\cdots\supseteq B_n\supseteq\cdots\)。
\(B_n\)的直径小于等于\(\dfrac{1}{2^{n-1}}\)。
每个\(B_n\)中都含有\(\{x_n\}\)中无限个元素。
取\(x_{n_k}\in B_k\)，便得到\(\{x_n\}\)的一个子列\(\{x_{n_k}\}\)。显然\(\{x_{n_k}\}\)是Cauchy点列：
\[\begin{equation*} \forall\;p>q,\;x_{n_p}\in B_p\subseteq B_q,\;\rho(x_{n_p},x_{n_q})<\frac{1}{2^{q-1}}\to0 \end{equation*}\]
因为\(X\)完备，所以\(\{x_{n_k}\}\)在\(X\)中收敛。由\(\{x_n\}\)的任意性，\(A\)准紧。
(4)必要性：\(A\)就是它自身的准紧的\(\varepsilon\)-网。
充分性：若对任意的\(\varepsilon>0\)，\(A\)都有准紧的\(\varepsilon\)-网\(B\)。因为\(B\)准紧，同时\(X\)完备，由性质 3.2.4(2)可知\(B\)全有界，即\(B\)有只有有限个元素的\(\varepsilon\)-网\(C=\{c_1,c_2,\dots,c_n\}\)。则：
\[\begin{equation*} \forall\;a\in A,\;\rho(a,c_i)\leqslant\rho(a,b)+\rho(b,c_i),\;\forall\;i=1,2,\dots,n \end{equation*}\]
可以选取\(c_i\)和\(b\in B\)使得\(\rho(a,b)<\varepsilon,\;\rho(b,c_i)<\varepsilon\)（先选择\(b\)，再根据\(b\)即可选得\(c_i\)），即对于任意的\(a\in A\)，存在\(c_i\in\{c_1,c_2,\dots,c_n\}\)使得\(\rho(a,c_i)<2\varepsilon\)，于是\(\{c_1,c_2,\dots,c_n\}\)中的点为中心、\(2\varepsilon\)为半径构成的\(2\varepsilon\)-网必然是\(A\)的一个\(2\varepsilon\)-网。由\(\varepsilon\)的任意性，\(A\)全有界。又因为\(X\)是完备的，由(3)可知\(A\)准紧。 ◻
3.2.4 紧度量空间
Definition 3.30. 设\((X,\rho)\)是度量空间，\(A\)是\(X\)的一个子集。如果\(A\)的每个点列都有一个子列收敛于\(A\)中的某一点，则称\(A\)是紧集（compact set）。若\(X\)是紧集，则称\(X\)是紧度量空间（compact metric space）。
Property 3.2.7. 设\((X,\rho)\)是度量空间。紧集具有如下性质：
紧集是准紧集；
紧集是有界且可分的；
紧集是完备的，紧度量空间是完备度量空间；
若\(\{E_n\}\)是\(X\)中的一列非空紧集，满足\(E_1\supseteq E_2\supseteq\dots\supseteq E_n\supseteq\dots\)，则\(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}E_n\ne\varnothing\)。
证明. (1)由定义立即可得。
(2)由(1)、性质 3.2.4(2)和性质 3.2.3(4)立即可得。
(3)设\(X\)是紧集，\(\{x_n\}\)是\(X\)中的一个Cauchy点列。由紧集定义和性质 3.2.5(2)立即可得。
(4)在每个\(E_n\)中选择一点\(x_n\)，构成序列\(\{x_n\}\)。因为\(\forall\;n\in\mathbb{N}^+,\;x_n\in E_n\subseteq E_1\)，又\(E_1\)是紧集，所以\(\{x_n\}\)存在子列\(\{x_{n_k}\}\rightarrow x_0\in E_1\)。对任意的\(n\in\mathbb{N}^+\)，当\(n_k>n\)时，有\(x_{n_k}\in E_{n_k}\subseteq E_n\)，又由性质 3.2.5(1)、(3)，所以\(x_0\in E_n\)。由\(n\)的任意性，\(x_0\in\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}E_n\)，所以\(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}E_n\ne\varnothing\)。 ◻
3.2.4.1 有限覆盖
Definition 3.31. \((X,\rho)\)是度量空间，\(A\subseteq X\)，\(\{G_i:i\in I\}\)（其中\(I\)是指标集）是\(X\)中某些开集组成的集族。如果：
\[\begin{equation*} A\subseteq\underset{i\in I}{\cup}G_i \end{equation*}\]
则称\(\{G_i:i\in I\}\)为\(A\)的开覆盖（open cover）。如果\(I\)是有限集，则称\(\{G_i:i\in I\}\)为\(A\)的有限开覆盖（finite open cover）。
Theorem 3.5. （有限覆盖定理）
度量空间\((X,\rho)\)的子集\(A\)是紧集的充分必要条件是从\(A\)的任一开覆盖\(\{G_i:i\in I\}\)中必可选出一个有限子覆盖。
证明. (1)必要性：先来证明\(\exists\;\varepsilon>0,\;\forall\;x\in A,\;\exists\;i\in I,\;U(x,\varepsilon)\in G_i\)。若不成立，则：
\[\begin{equation*} \forall\;\varepsilon>0,\;\exists\;x\in A,\;\forall\;i\in I,\;U(x,\varepsilon)\notin G_i \end{equation*}\]
依次选择\(\varepsilon_n=\dfrac{1}{2^n},\;n\in\mathbb{N}^+\)，即可构造出序列\(\{x_n\}\)满足其中的每个元素都不在任何\(G_i\)中。因为\(A\)是紧集，所以\(\{x_n\}\)存在收敛于\(A\)中某点\(x_0\)的子列\(\{x_{n_k}\}\)。又因为\(A\subseteq\underset{i\in I}{\cup}G_i\)，所以\(\exists\;i\in I,\;x_0\in G_i\)。因为\(G_i\)是开集，所以\(x_0\)是\(G_i\)的内点，由性质 3.2.2(1)可知可取充分大的\(k\)使得\(U\left(x_{n_k},\dfrac{1}{2^{n_k}}\right)\subseteq U(x_0)\subseteq G_i\)，这与\(x_{n_k}\)的取法矛盾。
记使上述命题成立的\(\varepsilon=\varepsilon_0\)。因为\(A\)是紧集，则\(A\)也是全有界集，故能选择\(A\)中有限个点，使得对任意的\(\varepsilon>0\)，这有限个点的开\(\varepsilon\)邻域能够包含整个\(A\)。取\(\varepsilon=\varepsilon_0\)，此时只要对这有限个点的开邻域选择对应的\(G_i\)，即可选出有限子覆盖。
(2)充分性：设\(\{x_n\}\)是\(A\)中的一个点列。如果\(\{x_n\}\)没有子列在\(A\)中收敛，则：
\[\begin{equation*} \forall\;y\in A,\;\exists\;\varepsilon_y>0,\;\exists\;n_y\in\mathbb{N}^+,\;\forall\;n>n_y,\;x_n\notin U(y,\varepsilon_y) \end{equation*}\]
因为\(\{U(y,\varepsilon_y):y\in A\}\supseteq A\)，所以可以选择\(A\)中有限个点，分别记为\(y_1,y_2,\dots,y_{n_0}\)，使得\(\{U(y_i,\varepsilon_y):i=1,2,\dots,n_0\}\supseteq A\)。当\(n\geqslant \max\{n_{y_1},\;n_{y_2},\dots,n_{y_{n_0}}\}\)时，\(x_n\notin A\)，与\(\{x_n\}\subseteq A\)矛盾。 ◻
3.2.4.2 有限交
Definition 3.32. \(\mathscr{F}\)是度量空间\((X,\rho)\)中的一个集族。如果从\(\mathscr{F}\)中选择任意有限个集合，它们都有非空的交集，则称\(\mathscr{F}\)具有有限交性质。
Theorem 3.6. 度量空间\((X,\rho)\)的闭子集\(A\)是紧集的充分必要条件是\(A\)中具有有限交性质的闭子集族\(\mathscr{F}\)有非空的交。
证明. 设\(\mathscr{F}=\{F_i\}_{i\in I}\)是具有有限交性质的闭子集族。
(1)必要性：假设该闭子集族的交集为空集。令\(G_i=X\setminus F_i\)，由性质 3.2.2(5)可知\(\{G_i\}_{i\in I}\)为开集族。由性质 5.1.1(6)(4)(7)可得：
\[\begin{equation*} \underset{i\in I}{\overset{}{\cup}}G_i=\underset{i\in I}{\overset{}{\cup}}(X\setminus F_i)=X\setminus \underset{i\in I}{\overset{}{\cap}}F_i=X \end{equation*}\]
所以\(\{G_i\}_{i\in I}\supseteq A\)。因为\(A\)是紧集，所以可从\(\{G_i\}_{i\in I}\)中选择出\(A\)的有限子覆盖\(\{G_{i_j}\}_{j=1}^n\)。由性质 5.1.1(6)(2)(7)可得：
\[\begin{equation*} \underset{j=1}{\overset{n}{\cap}}F_{i_j}=\underset{j=1}{\overset{n}{\cap}}(X\setminus G_{i_j})=X\setminus\underset{j=1}{\overset{n}{\cup}}G_{i_j}\subseteq X\setminus A \end{equation*}\]
又因为\(F_{i_j}\subseteq A\)，所以：
\[\begin{equation*} \underset{j=1}{\overset{n}{\cap}}F_{i_j}\subseteq A \end{equation*}\]
综合上两式可得：
\[\begin{equation*} \underset{j=1}{\overset{n}{\cap}}F_{i_j}\subseteq(X\setminus A)\cap A=\varnothing \end{equation*}\]
这与\(\mathscr{F}\)具有有限交性质矛盾。
(2)充分性：设闭集\(A\)中任一具有有限交性质的闭子集族具有非空的交。设\(\{G_i\}_{i\in I}\)为\(A\)的任一开覆盖，令\(F_i=A\setminus G_i\)，因为\(A\)是闭集，由性质 5.1.1(6)和性质 3.2.2(5)(6)可知\(F_i\)也是闭集。由性质 5.1.1(6)(2)(7)可得：
\[\begin{equation*} \underset{i\in I}{\overset{}{\cap}}F_i=\underset{i\in I}{\overset{}{\cap}}(A\setminus G_i)=A\setminus\underset{i\in I}{\overset{}{\cup}}G_i=\varnothing \end{equation*}\]
所以，\(A\)的闭子集族\(\{F_i\}_{i\in I}\)不具有有限交性质，否则的话根据假设应有\(\underset{i\in I}{\overset{}{\cap}}F_i\ne\varnothing\)。于是存在有限子集族\(\{F_{i_j}\}_{j=1}^n\)使得：
\[\begin{equation*} \underset{j=1}{\overset{n}{\cap}}F_{i_j}=\varnothing \end{equation*}\]
由性质 5.1.1(6)(4)(7)可得它对应的开集族\(\{F_{i_j}\}_{j=1}^n\)则满足：
\[\begin{equation*} \underset{j=1}{\overset{n}{\cup}}G_{i_j}=\underset{j=1}{\overset{n}{\cup}}(A\setminus F_{i_j})=A\setminus\underset{j=1}{\overset{n}{\cap}}F_{i_j}=A \end{equation*}\]
即\(\{G_{i_j}\}\)是\(A\)的一个有限开覆盖，由\(\{G_i\}_{i\in I}\)的任意性和定理 3.5可知\(A\)是紧集。 ◻
3.2.5 \(\mathbb{R}^{},\overline{\mathbb{R}^{}}\)与\(\mathbb{R}^{n}\)
在\(\mathbb{R}^{n}\)中若涉及点列，规定用下标表示点列顺序，上标表示坐标维度。
3.2.5.1 距离
Definition 3.33. 在\(\mathbb{R}^{n}\)中定义向量\(x=(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n)\)和向量\(y=(\eta_1,\eta_2,\dots,\eta_n)\)之间的距离为：
\[\begin{equation*} \rho(x,y)=\left[\sum_{i=1}^n(\xi_i-\eta_i)^2\right]^{\frac{1}{2}} \end{equation*}\]
则\((\mathbb{R}^{n},\rho)\)是度量空间，称该距离为欧几里得距离，简称为欧氏距离。
证明. (1)显然\(\rho\in R\)；(2)非负性直接可得；(3)对称性直接可得；
(4)三角不等式：由不等式 1可得：
\[\begin{align*} \sum_{i=1}^n(a_i+b_i)^2&=\sum_{i=1}^na_i^2+2\sum_{i=1}^na_ib_i+\sum_{i=1}^nb_i^2 \\ &\leqslant\sum_{i=1}^na_i^2+2\left(\sum_{i=1}^na_i^2\cdot\sum_{i=1}^nb_i^2\right)^{\frac{1}{2}}+\sum_{i=1}^nb_i^2 \\ &=\left[\left(\sum_{i=1}^na_i^2\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\sum_{i=1}^nb_i^2\right)^{\frac{1}{2}}\right]^2 \end{align*}\]
设\(x=(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n),y=(\eta_1,\eta_2,\dots,\eta_n),z=(\zeta_1,\zeta_2,\dots,\zeta_n)\)是\(\mathbb{R}^{n}\)中的任意三点，在上式中令\(a_i=\xi_i-\zeta_i,b_i=\zeta_i-\eta_i\)，则
\[\begin{equation*} \left[\sum_{i=1}^n(\xi_i-\eta_i)^2\right]^{\frac{1}{2}}\leqslant \left[\sum_{i=1}^n(\xi_i-\zeta_i)^2\right]^{\frac{1}{2}}+\left[\sum_{i=1}^n(\zeta_i-\eta_i)^2\right]^{\frac{1}{2}} \end{equation*}\]
即
\[\begin{equation*} \rho(x,y)\leqslant\rho(x,z)+\rho(z,y) \end{equation*}\]
◻
Definition 3.34. 设\(\{x_n\}\)是\(\mathbb{R}^{}\)中的点列。
若存在\(m\in\mathbb{R}^{}\)使得对任意的\(n\in\mathbb{N}^+\)有\(x_n\geqslant m\)，则称\(\{x_n\}\)有下界（lower bound），\(m\)是它的一个下界；
若存在\(M\in\mathbb{R}^{}\)使得对任意的\(n\in\mathbb{N}^+\)有\(x_n\leqslant M\)，则称\(\{x_n\}\)有上界（upper bound），\(M\)是它的一个上界。
Definition 3.35. 设\(\{x_n\}\)是\(\mathbb{R}^{}\)中的点列。若\(\{x_n\}\to0\)，则称\(\{x_n\}\)为无穷小序列（null sequence）。
Definition 3.36. 设\(\{x_n\}\)是\(\mathbb{R}^{}\)中的点列。
若对任意的\(M\in\mathbb{R}^{+}\)，存在\(N\in\mathbb{N}^+\)使得当\(n>N\)时有\(x_n>M\)，则称\(\{x_n\}\)发散（divergent）于\(+\infty\)，记为\(\{x_n\}\to+\infty\)或\(\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=+\infty\)；
若对任意的\(M\in\mathbb{R}^{+}\)，存在\(N\in\mathbb{N}^+\)使得当\(n>N\)时有\(x_n<-M\)，则称\(\{x_n\}\)发散于\(-\infty\)，记为\(\{x_n\}\to-\infty\)或\(\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=-\infty\)；
若\(\{|x_n|\}\to+\infty\)，则称\(\{x_n\}\)为无穷大序列（divergent sequence to infinity）2。
Definition 3.37. 规定：
若\(x\in\mathbb{R}^{}\)，则\(-\infty<x<+\infty\)；
若\(x\in\mathbb{R}^{}\)，则：
\[\begin{equation*} x+(+\infty)=+\infty,\quad x-(+\infty)=-\infty,\quad x+(-\infty)=-\infty,\quad x-(-\infty)=+\infty \end{equation*}\]
若\(x\in\mathbb{R}^{+}\)，则：
\[\begin{equation*} x\cdot(+\infty)=(+\infty)\cdot x=+\infty,\quad x\cdot(-\infty)=(-\infty)\cdot x=-\infty \end{equation*}\]
若\(x\in\mathbb{R}^{-}\)，则：
\[\begin{equation*} x\cdot(+\infty)=(+\infty)\cdot x=-\infty,\quad x\cdot(-\infty)=(-\infty)\cdot x=+\infty \end{equation*}\]
若\(x\in\mathbb{R}^{}\)，则：
\[\begin{equation*} \frac{x}{+\infty}=\frac{x}{-\infty}=0 \end{equation*}\]
对于无穷的运算：
\[\begin{gather*} (+\infty)+(+\infty)=+\infty,\quad(+\infty)-(-\infty)=+\infty \\ (-\infty)+(-\infty)=-\infty,\quad(-\infty)-(+\infty)=-\infty \\ (+\infty)\cdot(+\infty)=(-\infty)\cdot(-\infty)=+\infty,\quad(+\infty)\cdot(-\infty)=(-\infty)\cdot(+\infty)=-\infty \\ -\infty\leqslant-\infty,\quad-\infty\leqslant+\infty,\quad+\infty\leqslant+\infty \end{gather*}\]
其余涉及无穷的运算皆无意义。
Definition 3.38. \(\overline{\mathbb{R}^{}}=\mathbb{R}^{}\cup\{+\infty,-\infty\}=\mathbb{R}^{}\cup\{\infty\}\)。
note 3.2. 需要注意：\(\overline{\mathbb{R}^{}}\)按欧式距离无法构成一个度量空间，不满足距离的有限性。
Definition 3.39. 定义\(U(-\infty,\delta)=(-\infty,-\delta),\;\bar{U}(-\infty,\delta)=(-\infty,-\delta],\;U(+\infty,\delta)=(\delta,+\infty)\)，\(\bar{U}(+\infty,\delta)=(\delta,+\infty]\)。
Property 3.2.8. 设\(\{x_n\}\subseteq\mathbb{R}^{}\)，则：
若\(\{x_n\}\to+\infty(-\infty)\)，则\(\{x_n\}\)任意子列\(\{x_{n_k}\}\to+\infty(-\infty)\)；
\(\{x_n\}\)是无穷大序列的充要条件为\(\{1/x_n\}\)是无穷小序列。
证明. 仅给出\(\{x_n\}\to+\infty\)时的证明，\(\{x_n\}\to-\infty\)时的结论类似可得。
(1)因为\(\{x_n\}\to+\infty\)，所以对任意的\(M\in\mathbb{R}^{+}\)存在\(N\in\mathbb{N}^+\)使得当\(n>N\)时有\(x_n>M\)，取\(k>N\)就有\(x_{n_k}>M\)，即\(\{x_{n_k}\}\to+\infty\)。
(2)因为\(\{x_n\}\to+\infty\)，所以对任意的\(\dfrac{1}{\varepsilon}\in\mathbb{R}^{+}\)存在\(N\in\mathbb{N}^+\)使得当\(n>N\)时有\(x_n>\dfrac{1}{\varepsilon}\)，即\(\dfrac{1}{x_n}<\varepsilon\)，于是\(\{1/x_n\}\to0\)。 ◻
Definition 3.40. 设\(\{x_n\}\)是\(\mathbb{R}^{}\)中的点列。若对任意的\(n\in\mathbb{N}^+\)都有\(x_{n+1}\geqslant x_n\)，则称\(\{x_n\}\)为单调递增序列（monotone increasing sequence），若满足严格的不等式，则称\(\{x_n\}\)为严格单调递增序列（strictly increasing sequence）；若对任意的\(n\in\mathbb{N}^+\)都有\(x_n\geqslant x_{n+1}\)，则称\(\{x_n\}\)为单调递减序列（monotone decreasing sequence），若满足严格的不等式，则称\(\{x_n\}\)为严格单调递减序列（strictly decreasing sequence）。称单调递增序列或单调递减序列为单调序列（monotone sequence）。
3.2.5.2 一般性质
Property 3.2.9. 对于\(\mathbb{R}^{}\)中的序列，有：
设\(\{x_n\}\subseteq\mathbb{R}^{}\)，若\(\{x_n\}\)有极限，则其极限唯一；
设\(\{x_n\},\{y_n\}\subseteq \mathbb{R}^{}\)且为有界序列，则\(\{x_n+y_n\},\{x_ny_n\}\)都是有界序列；
设\(\{x_n\},\{y_n\}\subseteq\mathbb{R}^{}\)且分别为有界序列与无穷小序列，则\(\{x_ny_n\}\)是无穷小序列；
(Squeeze Theorem) 设\(\{x_n\},\{y_n\},\{z_n\}\subseteq\mathbb{R}^{}\)。
若存在\(N\in\mathbb{N}^+\)使得当\(n>N\)时有\(x_n\leqslant y_n\leqslant z_n\)，且\(\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=\lim\limits_{n\to+\infty}z_n=a\in\mathbb{R}^{}\)，则\(\lim\limits_{n\to+\infty}y_n=a\)；
若存在\(N\in\mathbb{N}^+\)使得当\(n>N\)时有\(y_n\geqslant x_n\)，且\(\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=+\infty\)，则\(\lim\limits_{n\to+\infty}y_n=+\infty\)；
若存在\(N\in\mathbb{N}^+\)使得当\(n>N\)时有\(x_n\leqslant y_n\)，且\(\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=-\infty\)，则\(\lim\limits_{n\to+\infty}y_n=-\infty\)；
设\(\{x_n\},\{y_n\}\)是\(\mathbb{R}^{}\)中的收敛点列，\(\lim\limits_{n\to+\infty}x_n<\lim\limits_{n\to+\infty}y_n\)，则存在\(N\in\mathbb{N}^+\)，当\(n>N\)时有\(x_n<y_n\)；
设\(\{x_n\},\{y_n\}\)是\(\mathbb{R}^{}\)中的收敛点列，若存在\(N\in\mathbb{N}^+\)使得当\(n>N\)时有\(x_n\leqslant y_n\)，则\(\lim\limits_{n\to+\infty}x_n\leqslant\lim\limits_{n\to+\infty}y_n\)；
单调序列必有极限；单调序列有有限极限的充要条件是其有界，此时其极限即为其上确界（单调递增）或下确界（单调递减）；
设\(\{x_n\},\{y_n\}\)极限存在，若下式右侧有意义，则公式成立：
\(\lim\limits_{n\to+\infty}|x_n|=\Big|\lim\limits_{n\to+\infty}x_n\Big|\)；
\(\lim\limits_{n\to+\infty}(x_n\pm y_n)=\lim\limits_{n\to+\infty}x_n\pm \lim\limits_{n\to+\infty}y_n\)；
\(\lim\limits_{n\to+\infty}x_ny_n=\lim\limits_{n\to+\infty}x_n\lim\limits_{n\to+\infty}y_n\)；
\(\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{y_n}{x_n}=\dfrac{\lim\limits_{n\to+\infty}y_n}{\lim\limits_{n\to+\infty}x_n}\)；
证明. (1)极限有限时由性质 3.1.1(1)立即可得，极限无限时用反证法即可得出。
(2)和：对任意的\(n\in\mathbb{N}^+\)有：
\[\begin{equation*} \rho(x_n+y_n,0)=|x_n+y_n|\leqslant|x_n|+|y_n|=\rho(x_n,0)+\rho(y_n,0)<+\infty \end{equation*}\]
所以\(\{x_n+y_n\}\)有界。
乘积：因为\(\{x_n\}\)有界，所以\(\rho(x_n,0)=|x_n|<+\infty\)，即存在\(K\in\mathbb{R}^{+}\)使得\(|x_n|<K\)，同理可得存在\(L\in\mathbb{R}^{+}\)使得\(|y_n|<L\)，于是对任意的\(n\in\mathbb{N}^+\)有：
\[\begin{equation*} \rho(x_ny_n,0)=|x_ny_n|<KL<+\infty \end{equation*}\]
所以\(\{x_ny_n\}\)有界。
(3)因为\(\{x_n\}\)有界，所以\(\rho(x_n,0)=|x_n|<+\infty\)，即存在\(K\in\mathbb{R}^{+}\)使得\(|x_n|<K\)。因为\(\{y_n\}\)是无穷小序列，于是对任意的\(\varepsilon>0\)，有\(\dfrac{\varepsilon}{K}>0\)，所以存在\(N\in\mathbb{N}^+\)，当\(n>N\)时有\(\rho(y_n,0)=|y_n|<\dfrac{\varepsilon}{K}\)，即\(\rho(x_ny_n,0)=|x_ny_n|<\varepsilon\)，\(\{x_ny_n\}\to0\)。
(4)因为\(\{x_n\}\to a,\;\{z_n\}\to a\)，所以对任意的\(\varepsilon>0\)，存在\(N_1,N_2\in\mathbb{N}^+\)，当\(n>N_1\)时有\(a-\varepsilon<x_n<a+\varepsilon\)，当\(n>N_2\)时有\(a-\varepsilon<z_n<a+\varepsilon\)，于是当\(n>\max\{N_1,N_2,N\}\)时有：
\[\begin{equation*} a-\varepsilon<x_n\leqslant y_n\leqslant z_n<a+\varepsilon \end{equation*}\]
即\(\rho(y_n,a)=|y_n-a|<\varepsilon\)，于是有\(\{y_n\}\to a\)。另外两种情况同理可得。
(5)先考虑存在极限都有限时的情况。设\(\{x_n\}\to a,\{y_n\}\to b\)，取\(\varepsilon=\dfrac{b-a}{2}\)。由极限的定义可知：
\[\begin{gather*} \exists\;N_1\in\mathbb{N}^+,\;\forall\;n>N,\;|x_n-a|<\varepsilon \\ \exists\;N_2\in\mathbb{N}^+,\;\forall\;n>N,\;|y_n-b|<\varepsilon \end{gather*}\]
于是当\(n>\max\{N_1,N_2\}\)时有：
\[\begin{equation*} x_n<\frac{a+b}{2}<y_n \end{equation*}\]
结论成立。
对于存在极限为无穷的情况，此时仅有三种可能：
\[\begin{gather*} \lim_{n\to+\infty}x_n=-\infty,\;\lim_{n\to+\infty}y_n=a\in\mathbb{R}^{} \\ \lim_{n\to+\infty}x_n=a\in\mathbb{R}^{},\;\lim_{n\to+\infty}y_n=+\infty \\ \lim_{n\to+\infty}x_n=-\infty,\;\lim_{n\to+\infty}y_n=+\infty \end{gather*}\]
结论可类似前述讨论得出。
(6)反证法，与(5)矛盾。
(7)仅证明单调递增的情况，单调递减的情况类似可得。设\(\{x_n\}\)是单调递增序列。
若\(\{x_n\}\)有界，由确界原理可得\(\{x_n\}\)存在上确界\(a\in\mathbb{R}^{}\)。根据上确界与单调递增序列的定义，对任意的\(\varepsilon>0\)存在\(N\in\mathbb{N}^+\)使得\(n>N\)时有\(a-\varepsilon<x_n<a\)，于是\(\{x_n\}\to a\)。
若\(\{x_n\}\to a\in\mathbb{R}^{}\)，由性质 3.1.1(2)可得\(\{x_n\}\)是有界的。
若\(\{x_n\}\)无界，则对任意的\(M\in\mathbb{R}^{}\)存在\(N\in\mathbb{N}^+\)使得当\(n>N\)时有\(x_n\geqslant M\)，即\(\{x_n\}\to+\infty\)。
(8)设\(\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=a,\lim\limits_{n\to+\infty}y_n=b\)。仅讨论极限都有限时的情况。
a：根据：
\[\begin{equation*} \Big||x_n|-|a|\Big|\leqslant|x_n-a| \end{equation*}\]
即可得出结论。
b：根据：
\[\begin{equation*} |x_n\pm y_n-(a\pm b)|\leqslant|x_n-a|+|y_n-b| \end{equation*}\]
即可得出结论。
c：根据：
\[\begin{equation*} |x_ny_n-ab|=|x_ny_n-ay_n+ay_n-ab|=|(x_n-a)y_n+a(y_n-b)|\leqslant|x_n-a||y_n|+|a||y_n-b| \end{equation*}\]
和性质 3.1.1(2)即可得出结论。
d：先证明\(y_n=1\)时的情况。因为\(\{x_n\}\to a\)，所以对于\(\dfrac{|a|}{2}\)存在\(N\in\mathbb{N}^+\)使得当\(n>N\)时有：
\[\begin{equation*} |x_n-a|<\frac{|a|}{2} \end{equation*}\]
于是：
\[\begin{equation*} |x_n|=|a-(a-x_n)|\geqslant|a|-|a-x_n|>\frac{|a|}{2} \end{equation*}\]
所以：
\[\begin{equation*} \Big|\frac{1}{x_n}-\frac{1}{a}\Big|=\Big|\frac{a-x_n}{ax_n}\Big|<\frac{2}{|a|^2}|a-x_n|\to0 \end{equation*}\]
\(\{y_n\}\)为一般收敛点列时，由c和上述证明即可得出结论。 ◻
Property 3.2.10. \(\mathbb{R}^{m}\)中的收敛具有如下性质：
\(\mathbb{R}^{m}\)中的收敛序列极限是唯一的；
\(\mathbb{R}^{m}\)在欧氏距离下的收敛等价于按坐标收敛；
设\(\{x_n\},\{y_n\}\subseteq\mathbb{R}^{m},\;\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\mathbb{R}^{}\)，若\(\{x_n\}\to x,\{y_n\}\to y,\{a_n\}\to a,\{b_n\}\to b,\;a,b\in\mathbb{R}^{}\)，则\(a_nx_n+b_ny_n\to ax+by\)；
证明. (1)极限有限时的结论由性质 3.1.1(1)立即可得，极限无限时用反证法即可得出。
(2)由下式即可推出极限有限时的结论：
\[\begin{equation*} \max_i|\xi_i-\eta_i|\leqslant \left[\sum_{i=1}^m(\xi_i-\eta_i)^2\right]^{\frac{1}{2}}\leqslant\left\{\left[\sum_{i=1}^{m}|\xi_i-\eta_i|\right]^2\right\}^{\frac{1}{2}}=\sum_{i=1}^{m}|\xi_i-\eta_i| \end{equation*}\]
极限无限时用反证法即可得出。
(3)由性质 3.4.1(3)立即可得重新证明。 ◻
3.2.5.3 完备性
Definition 3.41. 设\(I_i=[a_i,b_i]\subseteq\mathbb{R}^{},\;i=1,2,\dots,n\)，称：
\[\begin{equation*} I=I_1\times I_2\times\cdots\times I_n\subseteq\mathbb{R}^{n} \end{equation*}\]
为\(\mathbb{R}^{n}\)中的闭方块（closed cube），称实数：
\[\begin{equation*} l(I)=\max\{b_1-a_1,b_2-a_2,\dots,b_n-a_n\} \end{equation*}\]
为闭方块\(I\)的线度。
Theorem 3.7. （Closed Cube Theorem）
设\(\{x_n\},\{y_n\}\subseteq\mathbb{R}^{}\)满足：
对任意的\(n>1\)有\(x_{n-1}\leqslant x_n\leqslant y_n\leqslant y_{n-1}\)；
\(\lim\limits_{n\to+\infty}(y_n-x_n)=0\)；
那么：
\(\{x_n\}\)和\(\{y_n\}\)收敛于同一极限：
\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}x_n=\lim_{n\to+\infty}y_n=a \end{equation*}\]
\(a\)是满足以下条件的唯一实数：
\[\begin{equation*} \forall\;n\in\mathbb{N}^+,\;x_n\leqslant a\leqslant y_n \end{equation*}\]
上述结论可推广为：设\(\{I_n\}\)是\(\mathbb{R}^{m}\)中的一列闭方块，满足：
\(I_1\supseteq I_2\supseteq\cdots\supseteq I_n\supseteq I_{n+1}\supseteq\cdots\)；
\(\lim\limits_{n\to+\infty}l(I_n)=0\)；
则存在唯一一点\(c\in\mathbb{R}^{m}\)满足\(c\in\underset{n\in\mathbb{N}^+}{\cap}I_n\)。
证明. (1)由条件1可知：
\[\begin{equation*} x_1\leqslant x_2\leqslant\cdots\leqslant x_n\leqslant\cdots\leqslant y_n\leqslant\cdots\leqslant y_2\leqslant y_1 \end{equation*}\]
于是\(\{x_n\}\)单调递增且有上界\(y_1\)，\(\{y_n\}\)单调递减且有下界\(x_1\)，根据性质 3.2.9(7)可知\(\{x_n\}\)和\(\{y_n\}\)收敛于有限值。由条件2和性质 3.2.9(8.b)(8.c)即可得到：
\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}x_n=\lim_{n\to+\infty}y_n=a=\sup_nx_n=\inf_ny_n\in\mathbb{R}^{} \end{equation*}\]
根据确界的唯一性即可得到\(a\)的唯一性。
(2)记\(I_i^j\)是第\(i\)个闭方块中第\(j\)维闭区间。因为\(\lim\limits_{n\to+\infty}l(I_n)=0\)，所以\(\{I_n\}\)的每一个维度都满足(1)的条件，于是存在\(c_i\in\mathbb{R}^{}\)满足\(c_i\in\underset{n\in\mathbb{N}^+}{\cap}I_n^i\)。令\(c=(c_1, c_2, \dots, c_{m})\)，则有：
\[\begin{equation*} c\in\left(\underset{n\in\mathbb{N}^+}{\cap}I_n^1\right)\times\left(\underset{n\in\mathbb{N}^+}{\cap}I_n^2\right)\times\cdots\times\left(\underset{n\in\mathbb{N}^+}{\cap}I_n^m\right) \end{equation*}\]
\(c\)即为满足条件的点。 ◻
Definition 3.42. 称满足下述条件的闭区间序列\(\{[x_n,y_n]\}\)为闭区间套（nested closed intervals）：
对任意的\(n>1\)有\(x_{n-1}\leqslant x_n\leqslant y_n\leqslant y_{n-1}\)；
\(\lim\limits_{n\to+\infty}(y_n-x_n)=0\)；
称满足下述条件的闭方块序列\(\{I_n\}\)为闭方块套（nested closed cubes）：
\(I_1\supseteq I_2\supseteq\cdots\supseteq I_n\supseteq I_{n+1}\supseteq\cdots\)；
\(\lim\limits_{n\to+\infty}l(I_n)=0\)。
Theorem 3.8. \(\mathbb{R}^{},\mathbb{R}^{m}\)是完备的度量空间。
证明. 由定理 3.7和定理 3.4可得\(\mathbb{R}^{}\)的完备性。
任取\(\mathbb{R}^{m}\)中的Cauchy点列\(\{x_n\}\)，则对任意的\(\varepsilon>0\)，存在\(N\in\mathbb{N}^+\)，当\(n_1,n_2>N\)时有\(\rho(x_{n_1},x_{n_2})<\varepsilon\)，于是\(|x_{n_1}^i-x_{n_2}^i|\leqslant\rho(x_{n_1},x_{n_2})<\varepsilon\)，\(\{x_{n}^i\}\)构成\(\mathbb{R}^{}\)上的Cauchy点列。由\(\mathbb{R}^{}\)的完备性可知：
\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}x_n^i=a_i\in\mathbb{R}^{},\quad i=1,2,\dots,m \end{equation*}\]
记\(a=(a_1, a_2, \dots, a_{m})\)，由性质 3.2.9(6)(8.b)可得：
\[\begin{align*} &0\leqslant\lim_{n\to+\infty}\rho(x_n,a)=\lim_{n\to+\infty}\left[\sum_{i=1}^m(x_n^i-a_i)^2\right]^{\frac{1}{2}}\leqslant\lim_{n\to+\infty}\left\{\left[\sum_{i=1}^{m}|x_n^i-a_i|\right]^2\right\}^{\frac{1}{2}} \\ =&\lim_{n\to+\infty}\left(\sum_{i=1}^{m}|x_n^i-a_i|\right)=\sum_{i=1}^{m}\lim_{n\to+\infty}|x_n^i-a_i|=0 \end{align*}\]
即\(\{x_n\}\to a\)。由\(\{x_n\}\)的任意性即可得出结论。 ◻
3.2.5.4 紧性
Theorem 3.9. 设\(E\subseteq\mathbb{R}^{m}\)，则\(E\)是有界闭集的充要条件为\(E\)是紧集。
证明. 必要性：因为\(E\)有界，所以\(E\)可以包含在\(\mathbb{R}^{m}\)中一个闭方块\(I_0\)中。任取\(\{x_n\}\subseteq E\)。将\(I_0\)划分为\(2^n\)个闭子方块，则其中至少有一个闭子方块\(I_1\)包含\(\{x_n\}\)中无穷个点且其线度为\(l(I_1)=\dfrac{1}{2}l(I_0)\)，取\(x_{n_1}\in I_1\)；再将\(I_1\)分成\(2^n\)个闭子方块，其中至少有一个闭子方块\(I_2\)包含\(\{x_n\}\)中无穷个点，取\(x_{n_2}\in I_1\)满足\(n_2>n_1\)（可以验证这样的\(n_2\)一定是存在的，如果不存在那么\(I_2\)中只有\(\{x_n\}\)中有限个点）。以此类推可得一个闭方块套\(\{I_n\}\)和\(\{x_n\}\)的子列\(\{x_{n_k}\}\)，由定理 3.7可知存在唯一的\(c\in\mathbb{R}^{}\)满足\(c\in\underset{n\in\mathbb{N}^+}{\cap}I_n\)。注意到：
\[\begin{equation*} 0\leqslant\rho(x_{n_k},c)\leqslant\sqrt{m[l(I_k)]^2}=\sqrt{m}l(I_k)=\frac{\sqrt{m}}{2^k}l(I_0)\to0 \end{equation*}\]
于是有\(\lim\limits_{k\to+\infty}x_{n_k}=c\)。因为\(E\)是闭集，所以\(c\in E\)，即\(\{x_n\}\)存在收敛的子列\(\{x_{n_k}\}\)，由\(\{x_n\}\)的任意性可得\(E\)是紧集。
充分性：由性质 3.2.7(2)可知\(E\)是有界的，根据性质 3.2.7(3)和性质 3.2.6(1)可知\(E\)是闭的，所以\(E\)是有界闭集。 ◻
3.2.5.5 可分性
Theorem 3.10. \(\mathbb{R}^{n}\)是可分的。
证明. 坐标由有理数构成的点的全体是\(\mathbb{R}^{n}\)的一个可列稠密子集未完成。 ◻
3.2.5.6 极限点
Definition 3.43. 设\(\{x_n\}\subseteq\mathbb{R}^{}\)，\(a\in\overline{\mathbb{R}^{}}\)。若存在\(\{x_n\}\)的子列\(\{x_{n_k}\}\)使得\(\{x_{n_k}\}\to a\)，则称\(a\)是\(\{x_n\}\)的极限点（cluster point）。
Definition 3.44. 设\(\{x_n\}\subseteq\mathbb{R}^{}\)。根据性质 3.2.9(7)，将：
\[\begin{gather*} \varliminf x_n=\lim_{n\to+\infty}\inf_{k\geqslant n}x_k=\sup_n\inf_{k\geqslant n}x_k \\ \varlimsup x_n=\lim_{n\to+\infty}\sup_{k\geqslant n}x_k=\inf_n\sup_{k\geqslant n}x_k \end{gather*}\]
分别称之为\(\{x_n\}\)的下极限（lower limit）和上极限（upper limit）。
Property 3.2.11. 设\(\{x_n\},\{y_n\}\subseteq\mathbb{R}^{}\)。上下极限具有如下性质：
\(\{x_n\}\)的任何极限点\(\xi\)都介于\(\eta=\varliminf x_n\)和\(\zeta=\varlimsup x_n\)之间；
\(\{x_n\}\)的下极限\(\eta=\varliminf x_n\)和上极限\(\zeta=\varlimsup x_n\)是其自身的两个极限点；
以下三条陈述互相等价：
\(\varliminf x_n=\varlimsup x_n=\xi\)；
\(\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=\xi\)；
\(\{x_n\}\)只有一个极限点；
若\(a\in\overline{\mathbb{R}^{}}\)，则：
如果\(\varliminf x_n>\lambda\)，则\(\exists\;N\in\mathbb{N}^+,\;\forall\;n>N,\;x_n>\lambda\)。
如果\(\varliminf x_n<\rho\)，则\(\forall\;N\in\mathbb{N}^+,\;\exists\;n>N,\;x_n<\rho\)。
如果\(\varlimsup x_n<\rho\)，则\(\exists\;N\in\mathbb{N}^+,\;\forall\;n>N,\;x_n<\rho\)。
如果\(\varlimsup x_n>\lambda\)，则\(\forall\;N\in\mathbb{N}^+,\;\exists\;n>N,\;x_n>\lambda\)。
只要以下各式等号或不等号两侧的都有意义，则结论成立：
上下极限的加法运算：
\[\begin{align*} \varliminf x_n+\varliminf y_n &\leqslant\varliminf(x_n+y_n) \\ &\leqslant \begin{cases} \varlimsup x_n+\varliminf v_k \\ \varliminf x_n+\varlimsup v_k \end{cases} \\ &\leqslant\varlimsup(x_n+y_n) \\ &\leqslant\varlimsup x_n+\varlimsup y_n \end{align*}\]
上下极限的减法运算：
\[\begin{gather*} -\varliminf x_n=\varlimsup(-x_n) \\ -\varlimsup x_n=\varliminf(-x_n) \end{gather*}\]
上下极限的乘法运算：
\[\begin{align*} \varliminf x_n\cdot\varliminf y_n &\leqslant\varliminf(x_n\cdot y_n) \\ &\leqslant \begin{cases} \varlimsup x_n\cdot\varliminf v_k \\ \varliminf x_n\cdot\varlimsup v_k \end{cases} \\ &\leqslant\varlimsup(x_n\cdot y_n) \\ &\leqslant\varlimsup x_n\cdot\varlimsup y_n \end{align*}\]
上下极限的分式运算（\(\varliminf x_n>0\)）：
\[\begin{gather*} \frac{1}{\varliminf x_n}=\varlimsup\frac{1}{x_n} \\ \frac{1}{\varlimsup x_n}=\varliminf\frac{1}{x_n} \end{gather*}\]
上下极限与极限混合的加法运算（\(\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=u\)）：
\[\begin{gather*} \varliminf(x_n+y_n)=u+\varliminf y_n \\ \varlimsup(x_n+y_n)=u+\varlimsup y_n \end{gather*}\]
上下极限与极限混合的乘法运算（\(\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=u>0,\;y_n\geqslant0,\;\forall\;n\in\mathbb{N}^+\)）：
\[\begin{gather*} \varliminf(x_n\cdot y_n)=u\cdot\varliminf y_n \\ \varlimsup(x_n\cdot y_n)=u\cdot\varlimsup y_n \end{gather*}\]
上下极限的不等式性（\(x_n\leqslant y_n\)）：
\[\begin{gather*} \varliminf x_n\leqslant\varliminf y_n \\ \varlimsup x_n\leqslant\varlimsup y_n \end{gather*}\]
证明. (1)任取\(\{x_n\}\)的一个极限点\(\xi\)，由极限点定义可知，\(\{x_n\}\)中存在一个子列\(\{x_{n_k}\}\)满足：
\[\begin{equation*} \lim_{k\to+\infty}x_{n_k}=\xi \end{equation*}\]
令：
\[\begin{equation*} y_k=\inf_{n\geqslant k}x_n,\quad z_k=\sup_{n\geqslant k}x_n \end{equation*}\]
于是有\(y_k\leqslant x_{n_k}\leqslant z_k\)，由性质 3.2.9(4)即可得到\(\eta\leqslant\xi\leqslant\zeta\)。
(2)下给出下极限的证明，上极限可类似得出。
若\(\{x_n\}\)下方无界，则对于\(M=1\)，存在\(n_1\geqslant1\)使得\(x_{n_1}<-1\)，否则\(\{x_n\}\)下方有界；对于\(M=2\)，存在\(n_2\geqslant n_1\)使得\(x_{n_2}<-2\)，否则\(\{x_n\}\)下方有界，依次可构造出子列\(\{x_{n_k}\}\)使得：
\[\begin{equation*} \lim_{k\to+\infty}x_{n_k}=-\infty \end{equation*}\]
于是\(-\infty\)是\(\{x_n\}\)的一个极限点。如果\(\varliminf x_n\ne-\infty\)，则存在\(M\in\mathbb{R}^{+}\)对任意的\(N\in\mathbb{N}^+\)存在\(n>N\)使得\(\inf_{k\geqslant n}x_k\geqslant-M\)，此时\(\{x_n\}\)下方有界，矛盾，所以\(\varliminf x_n=-\infty\)，即\(\{x_n\}\)的下极限是自身的极限点。
当\(\{x_n\}\)下方有界时，记：
\[\begin{equation*} y_m=\inf_{n\geqslant m}x_n \end{equation*}\]
设\(n_0=0\)，对\(n_{k-1}\)选取\(m_k\in\mathbb{N}^+\)满足\(m_k>n_{k-1}\)，再由下确界的定义选取\(n_k\geqslant m_k\)使得：
\[\begin{equation*} y_{m_k}\leqslant x_{n_k}\leqslant y_{m_k}+\frac{1}{k} \end{equation*}\]
\[\begin{equation*} \lim_{k\to+\infty}x_{n_k}=\lim_{k\to+\infty}y_{m_k}=\eta \end{equation*}\]
所以\(\eta\)是\(\{x_n\}\)的极限点。
(3)\(\;(a)\rightarrow(b)\)：令：
\[\begin{equation*} y_n=\inf_{k\geqslant n}x_k,\quad z_n=\sup_{k\geqslant n}x_k \end{equation*}\]
则有\(y_n\leqslant x_n\leqslant z_n\)。又因为：
\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}y_n=\lim_{n\to+\infty}z_n=\xi \end{equation*}\]
由性质 3.2.9(4)可得：
\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}x_n=\xi \end{equation*}\]
\(\;(b)\rightarrow(c)\)：由性质 3.1.1(4)立即可得。
\(\;(c)\rightarrow(a)\)：反证法，由(2)立即可得。
(4)利用上下极限定义中的\(\sup\)和\(\inf\)即可。 ◻
3.2.6 数项级数
Definition 3.45. 设\(a_n\in\mathbb{R},\;\forall\;n\in\mathbb{N}^+\)。称：
\[\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}a_n=a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots \end{equation*}\]
为以\(a_1, a_2, \dots, a_{n},\dots\)为项的级数（series）。称：
\[\begin{equation*} \left\{S_n=\sum_{i=1}^na_i\right\} \end{equation*}\]
为级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)的部分和序列（sequence of partial sums）。如果\(\{S_n\}\)收敛，则称级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)收敛，同时将级数的值记为\(\{S_n\}\)的极限。
Definition 3.46. 对级数的收敛做如下划分：
(1)如果级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}|a_n|\)收敛，则称级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)绝对收敛（absolute convergence）。
(2)如果级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}|a_n|\)发散，但级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)收敛，则称级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)条件收敛（conditional convergence）。
Property 3.2.12. 级数具有如下性质：
级数和实数序列在收敛性上是相通的：
序列\(\{a_n\}\)的敛散性与级数\(a_1+\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(a_{n+1}-a_n)\)的敛散性相同；
序列\(\{a_n\}\to a\)可以转化为级数\(a_1+\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(a_{n+1}-a_n)=a\)；
级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)收敛的必要条件为：
\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}a_n=0 \end{equation*}\]
级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)收敛的充分必要条件为：
\[\begin{equation*} \forall\;\varepsilon>0,\;\exists\;N\in\mathbb{N}^+,\;\forall\;n,m>N,\;m>n,\;\left|\sum_{i=n}^ma_i\right|<\varepsilon \end{equation*}\]
级数的运算满足线性性，即：若\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}^{}\)，\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n,\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n\in\overline{\mathbb{R}^{}}\)，如果下式右侧有定义，则公式成立：
\[\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}(\alpha a_n+\beta b_n)=\alpha\sum_{n=1}^{+\infty}a_n+\beta\sum_{n=1}^{+\infty}b_n \end{equation*}\]
证明. (1)只需注意到所述级数满足\(S_n=a_{n+1}\)即可。
(2)因为级数收敛，所以部分和序列\(\{S_n\}\)收敛。由性质 3.2.9(8.b)可得：
\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}a_n=\lim_{n\to+\infty}(S_n-S_{n-1})=\lim_{n\to+\infty}S_n-\lim_{n\to+\infty}S_{n-1}=0 \end{equation*}\]
(3)由定理 3.8立即可得。
(4)利用部分和序列以及无穷的运算性质进行分类讨论即可得到。 ◻
3.2.6.1 正项级数
Definition 3.47. 如果级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)的每一项都是非负数，则称该级数为正项级数（positive series）；若每一项都严格为正，则称该级数为严格正项级数（strictly positive series）。
Property 3.2.13. 正项级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)收敛的充分必要条件为它的部分和序列\(\{S_n\}\)有上界。
证明. 由性质 3.2.9(7)立即可得。 ◻
Theorem 3.11. （Comparison Test）
设\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)和\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n\)都是正项级数。
（一般形式）
若\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n\)收敛，且\(\exists\;N\in\mathbb{N}^+,\;\forall\;n>N,\;a_n\leqslant cb_n,\;c\in[0,+\infty)\)，那么\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)也收敛；
若\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n\)发散，且\(\exists\;N\in\mathbb{N}^+,\;\forall\;n>N,\;a_n\geqslant cb_n,\;c\in(0,+\infty]\)，那么\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)也发散。
（上下极限形式）
若\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n\)收敛且\(\varlimsup\dfrac{a_n}{b_n}=\gamma\in[0,+\infty)\)，则\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)收敛；
若\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n\)发散且\(\varliminf\dfrac{a_n}{b_n}=\gamma\in(0,+\infty]\)，则\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)发散。
（极限形式）
若\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n\)收敛且\(\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=\gamma\in[0,+\infty)\)，则\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)收敛；
若\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n\)发散且\(\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=\gamma\in(0,+\infty]\)，则\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)发散。
证明. (1.a)若条件得到满足，则：
\[\begin{align*} \sum_{n=1}^{+\infty}a_n&=\sum_{n=1}^Na_n+\sum_{n=N+1}^{+\infty}a_n\leqslant\sum_{n=1}^Na_n+\sum_{n=N+1}^{+\infty}cb_n \\ &\leqslant\sum_{n=1}^Na_n+\sum_{n=1}^{+\infty}cb_n =\sum_{n=1}^Na_n+c\sum_{n=1}^{+\infty}b_n \end{align*}\]
于是\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)有上界，由性质 3.2.13可知其收敛。
(1.b)若此时\(a_n\)收敛，则：
\[\begin{equation*} \exists\;N\in\mathbb{N}^+,\;\forall\;n>N,\;b_n\leqslant\frac{1}{c}a_n,\;\frac{1}{c}\in[0,+\infty) \end{equation*}\]
由(1.a)可知\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n\)收敛，矛盾。
(2)由性质 3.2.11(4)即可得到。
(3)由(2)即可得到。 ◻
引理 4.1 Lemma 3.1. 若\(0\leqslant r<1\)，则\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}r^{n-1}\)收敛。
证明. 由等比数列求和公式和性质 3.2.9(8.c)可得：
\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}S_n=\lim_{n\to+\infty}\sum_{i=1}^{n}r^n=\lim_{n\to+\infty}\frac{r(1-r^n)}{1-r}=\frac{r}{1-r} \end{equation*}\]
◻
note 3.3. 基于定理 3.11和引理 3.1，衍生出了Cauchy 根式判别法和比值判别法。
Cauchy 根式判别法（Root Test）：
若\(\exists\;r<1,\;\exists\;N\in\mathbb{N}^+,\;\forall\;n>N,\;\sqrt[n]{a_n}<r\)，则\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)收敛；
若对于无穷个\(n\)有\(\sqrt[n]{a_n}\geqslant1\)，则\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)发散。
(1)若条件满足，则\(\forall\;n>N,\;a_n<r^n\)。由定理 3.11(1.a)和引理 3.1可得\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)收敛。
(2)由条件可知\(S_n-S_{n-1}\)不以\(0\)为极限，根据性质 3.2.12(2)可知\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)不收敛。
比值判别法（Ratio Test）：
设\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)和\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n\)是严格正项级数。
若\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n\)收敛，且\(\exists\;N\in\mathbb{N}^+\)，当\(n>N\)时满足：
\[\begin{equation*} \frac{a_{n+1}}{a_n}\leqslant\frac{b_{n+1}}{b_n} \end{equation*}\]
则\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)也收敛。
若\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n\)发散，且\(\exists\;N\in\mathbb{N}^+\)，当\(n>N\)时满足：
\[\begin{equation*} \frac{a_{n+1}}{a_n}\geqslant\frac{b_{n+1}}{b_n} \end{equation*}\]
则\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)也发散。
(1)由条件可得：
\[\begin{equation*} \frac{a_{N+2}}{a_{N+1}}\leqslant\frac{b_{N+2}}{b_{N+1}},\; \frac{a_{N+3}}{a_{N+2}}\leqslant\frac{b_{N+3}}{b_{N+2}},\; \cdots,\; \frac{a_{n+1}}{a_n}\leqslant\frac{b_{n+1}}{b_n} \end{equation*}\]
作乘法即可得：
\[\begin{equation*} \frac{a_{n+1}}{a_{N+1}}\leqslant\frac{b_{n+1}}{b_{N+1}} \end{equation*}\]
即：
\[\begin{equation*} a_{n+1}\leqslant\frac{a_{N+1}}{b_{N+1}}b_{n+1},\;\forall\;n>N \end{equation*}\]
由定理 3.11(1.a)即可得出\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)收敛。
(2)类似(1)。
3.2.6.2 任意项级数
Definition 3.48. 称不对各项的正负性做出要求的级数为任意项级数（arbitrary series）。
引理 4.2 Lemma 3.2. 设\(\alpha_i,\beta_i,\;i=1,2,\dots,p\)是实数，且：
\[\begin{equation*} B_k=\sum_{i=1}^k\beta_i,\;k=1,2,\dots,p \end{equation*}\]
则有：
\(\sum\limits_{i=1}^p\alpha_i\beta_i=\sum\limits_{i=1}^{p-1}(\alpha_i-\alpha_{i+1})B_i+\alpha_pB_p\)
如果\(\{\alpha_i\}\)单调，并且有：
\[\begin{equation*} |B_k|\leqslant L,\;k=1,2,\dots,p \end{equation*}\]
那么就有：
\[\begin{equation*} \left|\sum_{i=1}^p\alpha_i\beta_i\right|\leqslant L\left(|\alpha_1|+2|\alpha_p|\right) \end{equation*}\]
证明. 记\(B_0=0\)。
(1)注意到：
\[\begin{align*} \sum_{i=1}^p\alpha_i\beta_i &=\sum_{i=1}^p\alpha_i(B_i-B_{i-1})=\sum_{i=1}^p\alpha_iB_i-\sum_{i=1}^p\alpha_iB_{i-1} \\ &=\sum_{i=1}^p\alpha_iB_i-\sum_{i=0}^{p-1}\alpha_{i+1}B_{i}=\sum_{i=1}^p\alpha_iB_i-\sum_{i=1}^{p-1}\alpha_{i+1}B_{i} \\ &=\sum_{i=1}^{p-1}(\alpha_i-\alpha_{i+1})B_i+\alpha_pB_p \end{align*}\]
(2)下第三行到第四行利用了\(\{\alpha_i\}\)的单调性。
\[\begin{align*} \left|\sum_{i=1}^p\alpha_i\beta_i\right| &=\left|\sum_{i=1}^{p-1}(\alpha_i-\alpha_{i+1})B_i+\alpha_pB_p\right|\leqslant\sum_{i=1}^{p-1}|\alpha_i-\alpha_{i+1}|\;|B_i|+|\alpha_p|\;|B_p| \\ &\leqslant L\left(\sum_{i=1}^{p-1}|\alpha_i-\alpha_{i+1}|+|\alpha_p|\right)=L\left(|\alpha_1-\alpha_p|+|\alpha_p|\right)\leqslant L\left(|\alpha_1|+2|\alpha_p|\right) \end{align*}\]
◻
note 3.4. (1)这个公式又称为阿贝尔变换（Abel transformation）、分部求和公式（summation by parts）。之所以被称之为分部求和公式，是因为它可以写为如下形式：
\[\begin{equation*} \sum_{i=1}^p\alpha_i\Delta B_i = \alpha_jB_j\Big|_{j=0}^p-\sum_{i=1}^{p-1}B_i\Delta\alpha_i \end{equation*}\]
其中：
\[\begin{gather*} a_0=0,\quad B_0=0 \\ \Delta B_k=B_k-B_{k-1}=\beta_k,\quad k=1,2,\dots,p, \\ \Delta\alpha_i=\alpha_{i+1}-\alpha_i,\quad i=1,2,\dots,p-1 \end{gather*}\]
Theorem 3.12. （Dirichlet Test）
对于级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_nb_n\)，如果：
序列\(\{a_n\}\)单调收敛于\(0\)；
序列\(\left\{\sum\limits_{i=1}^nb_i\right\}\)有界；
那么级数收敛。
证明. 我们来估计：
\[\begin{equation*} \left|\sum_{i=n+1}^{n+p}a_ib_i\right| \end{equation*}\]
令：
\[\begin{equation*} B_k=\sum_{i=1}^{n+p}b_i \end{equation*}\]
因为序列\(\left\{\sum\limits_{i=1}^nb_i\right\}\)有界，因此有：
\[\begin{equation*} \left|\sum\limits_{i=1}^nb_i\right|\leqslant L,\;n\in\mathbb{N}^+ \end{equation*}\]
也就有：
\[\begin{equation*} |B_k|=\left|\sum_{i=1}^{n+p}b_i-\sum_{i=1}^nb_i\right|\leqslant 2L \end{equation*}\]
因为\(\{\alpha_i\}\)单调，于是：
\[\begin{equation*} \left|\sum_{i=n+1}^{n+p}a_ib_i\right|\leqslant 2L(|\alpha_{n+1}|+2|\alpha_{n+p}|) \end{equation*}\]
又因为\(\{\alpha_i\}\rightarrow0\)，所以对任意的\(\varepsilon>0\)，当\(n\)足够大时可以有：
\[\begin{equation*} \left|\sum_{i=n+1}^{n+p}a_ib_i\right|<\varepsilon \end{equation*}\]
由性质 3.2.12(3)可知级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_nb_n\)收敛。 ◻
Theorem 3.13. （Abel Test）
对于级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_nb_n\)，如果：
序列\(\{a_n\}\)单调有界；
级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n\)收敛；
那么级数收敛。
证明. 因为\(\{a_n\}\)单调有界，由性质 3.2.9(7)可知可以设：
\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}a_n=a\in\mathbb{R}^{} \end{equation*}\]
则序列\(\{a_n-a\}\)单调趋于\(0\)。又因级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n\)收敛，所以序列\(\left\{\sum\limits_{i=1}^nb_i\right\}\)有界。由定理 3.12可知\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(a_n-a)b_n\)收敛。根据性质 3.2.12(4)可知\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}ab_n\)收敛且：
\[\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}a_nb_n=\sum_{n=1}^{+\infty}\left[(a_n-a)b_n+ab_n\right]=\sum_{n=1}^{+\infty}\left[(a_n-a)b_n\right]+\sum_{n=1}^{+\infty}ab_n \end{equation*}\]
因此级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_nb_n\)收敛。 ◻
3.2.6.3 收敛级数的性质
对于两个无穷级数：
\[\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}a_n,\quad\sum_{n=1}^{+\infty}b_n \end{equation*}\]
它们的乘积可以写作如下形式：
\[\begin{equation*} \begin{aligned} &a_1b_1 &&a_1b_2 &&a_1b_3 &&\cdots\\ &a_2b_1 &&a_2b_2 &&a_2b_3 &&\cdots\\ &\vdots &&\vdots &&\vdots\\ &a_nb_1 &&a_nb_2 &&a_nb_3 &&\cdots\\ &\vdots &&\vdots &&\vdots \end{aligned} \end{equation*}\]
这些数可以用很多种方式排成数列。
我们称以下排列方式为三角形排列：
\[\begin{equation*} a_1b_1,a_1b_2,a_2b_1,a_1b_3,a_2b_2,a_3b_1,a_1b_4\dots \end{equation*}\]
称以下排列方式为正方形排列：
\[\begin{equation*} a_1b_1,a_1b_2,a_2b_2,a_2b_1,a_1b_3,a_2b_3,a_3b_3\dots \end{equation*}\]
Property 3.2.14. 设\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)收敛，则：
若把\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\)的若干个相继的项归并为一项，即将该级数变为如下形式：
\[\begin{equation*} (a_1+a_2+\cdots+a_{n_1})+(a_{n_1+1}+a_{n_1+2}+\cdots+a_{n_2})+\cdots+(a_{n_k+1}+a_{n_k+2}+\cdots+a_{n_{k+1}})+\cdots \end{equation*}\]
则结合后的级数仍然收敛，且与原级数有相等的和。如果原级数为定号级数（即正项级数或负项级数），逆命题也成立；
若\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)绝对收敛，则重排后的级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n'\)也绝对收敛，并且二者值相等。重排的含义是把该序列中的所有项无重复、无遗漏地改变一个顺序重新排出来，用符号表示即为\(\alpha_n'=\alpha_{\varphi(n)}\)，其中\(\varphi\)是从\(\mathbb{N}^+\)到\(\mathbb{N}^+\)的双射；
若\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)条件收敛，则对任意的\(\xi\in\overline{\mathbb{R}}\)，都存在\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)的一个重排级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n'\)，使得\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n'=\xi\)；
如果级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)和级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n\)绝对收敛，并且：
\[\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}a_n=A,\quad\sum_{n=1}^{+\infty}b_n=B \end{equation*}\]
则这两个级数的无穷乘积中的元素\(a_ib_j\)按任意方式排列成的级数都是绝对收敛的，并且其和为\(AB\)。
证明. (1)结合后级数的部分和序列是原级数部分和序列的子列，根据性质 3.1.1(4)即可得出结论。
对于定号级数的逆命题，根据性质 3.2.12(4)可知只需证明正号级数的情况即可。将归并后的级数记作\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n\)，部分和序列记为\(\{T_n\}\)，原级数部分和序列记为\(\{S_n\}\)，则有：
\[\begin{equation*} \forall\;m\in\mathbb{N}^+,\;\exists\;n\in\mathbb{N}^+,\;T_n\leqslant S_m\leqslant T_{n+1} \end{equation*}\]
由性质 3.2.9(4.a)即可得出结论。
(2)我们先来讨论正项级数，再来讨论任意项级数：
正项级数：设级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)为绝对收敛的正项级数，则级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n'\)也是正项级数。因为：
\[\begin{equation*} \sum_{n=1}^Na_n'\leqslant\sum_{n=1}^{+\infty}a_n,\;\forall\;N\in\mathbb{N}^+ \end{equation*}\]
由性质 3.2.9(6)可知：
\[\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}a_n'\leqslant\sum_{n=1}^{+\infty}a_n \end{equation*}\]
于是级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n'\)收敛。反之，也可认为级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)是由级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n'\)重排后的结果，因此也可得到：
\[\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}a_n\leqslant\sum_{n=1}^{+\infty}a_n' \end{equation*}\]
于是：
\[\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}a_n=\sum_{n=1}^{+\infty}a_n' \end{equation*}\]
任意项级数：设级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)为绝对收敛的任意项级数。令：
\[\begin{equation*} p_n=\frac{|a_n|+a_n}{2},\;q_n=\frac{|a_n|-a_n}{2},\;n\in\mathbb{N}^+ \end{equation*}\]
于是有：
\[\begin{equation*} 0\leqslant p_n\leqslant|a_n|,\;0\leqslant q_n\leqslant|a_n|,\;n\in\mathbb{N}^+ \end{equation*}\]
取比较级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}|a_n|\)，由定理 3.11(1.a)可知\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}p_n\)与\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}q_n\)都是正项收敛级数。由(1)，任意重排后的级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}p_n'\)和\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}q_n'\)也都收敛，并且有：
\[\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}p_n'=\sum_{n=1}^{+\infty}p_n,\quad \sum_{n=1}^{+\infty}q_n'=\sum_{n=1}^{+\infty}q_n \end{equation*}\]
由性质 3.2.12(4)可知级数：
\[\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}|a_n'|=\sum_{n=1}^{+\infty}(p_n'+q_n') \end{equation*}\]
收敛，即级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n'\)绝对收敛，并且有：
\[\begin{align*} &\sum_{n=1}^{+\infty}a_n'=\sum_{n=1}^{+\infty}(p_n'-q_n')=\sum_{n=1}^{+\infty}p_n'-\sum_{n=1}^{+\infty}q_n' \\ =&\sum_{n=1}^{+\infty}p_n-\sum_{n=1}^{+\infty}q_n=\sum_{n=1}^{+\infty}(p_n-q_n)=\sum_{n=1}^{+\infty}a_n \end{align*}\]
(3)\(\;\xi\in\mathbb{R}\)：令：
\[\begin{equation*} p_n=\frac{|a_n|+a_n}{2},\;q_n=\frac{|a_n|-a_n}{2},\;n\in\mathbb{N}^+ \end{equation*}\]
由(2)和性质 3.2.12(2)(4)可知\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}p_n\)与\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}q_n\)都是正项级数，并且有：
\[\begin{gather*} \lim_{n\to+\infty}p_n=\lim_{n\to+\infty}\frac{|a_n|+a_n}{2}=0 \\ \lim_{n\to+\infty}q_n=\lim_{n\to+\infty}\frac{|a_n|-a_n}{2}=0 \\ \sum_{n=1}^{+\infty}p_n=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{|a_n|+a_n}{2}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}|a_n|+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}a_n=+\infty \\ \sum_{n=1}^{+\infty}q_n=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{|a_n|-a_n}{2}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}|a_n|-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}a_n=+\infty \end{gather*}\]
接下来来考察序列：
\[\begin{equation*} a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots \end{equation*}\]
令\(P_n\)表示这个序列中第\(n\)个非负项，以\(Q_n\)表示其中第\(n\)个负项的绝对值，则\(\{P_n\}\)是\(\{p_n\}\)去除一部分值为\(0\)的项后剩下的子序列，\(\{Q_n\}\)是\(\{q_n\}\)去除所有值为\(0\)的项后剩下的子序列，且有：
\[\begin{gather*} \lim_{n\to+\infty}P_n=\lim_{n\to+\infty}Q_n=0 \\ \sum_{n=1}^{+\infty}P_n=\sum_{n=1}^{+\infty}Q_n=+\infty \end{gather*}\]
同时注意到，\(\{P_n\}\)与\(\{-Q_n\}\)的各项其实都是原本\(\{a_n\}\)中的某项。我们依次考察\(P_1,P_2,\dots\)中的各项，设\(P_{m_1}\)是第一个满足以下条件的项（存在性由\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}P_n=+\infty\)保证）：
\[\begin{equation*} P_1+P_2+\cdots+P_{m_1}>\xi \end{equation*}\]
再依次考察\(Q_1,Q_2,\dots\)中的各项，设\(Q_{n_1}\)是第一个满足以下条件的项（存在性由\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}Q_n=+\infty\)保证）：
\[\begin{equation*} P_1+P_2+\cdots+P_{m_1}-Q_1-Q_2-\cdots-Q_{n_1}<\xi \end{equation*}\]
再考虑考察\(P_{m_1+1},P_{m_1+2},\dots\)中的各项，设\(P_{m_2}\)是第一个满足以下条件的项（存在性由\(\sum\limits_{n=m_1+1}^{+\infty}P_n=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}P_n-\sum\limits_{n=1}^{m_1}P_n=+\infty\)保证）：
\[\begin{gather*} P_1+P_2+\cdots+P_{m_1}-Q_1-Q_2-\cdots-Q_{n_1} \\ +P_{m_1+1}+P_{m_1+2}+\cdots+P_{m_2}>\xi \end{gather*}\]
不断重复下去，我们可以得到\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)的一个重排级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n'\)：
\[\begin{gather*} P_1+P_2+\cdots+P_{m_1}-Q_1-Q_2-\cdots-Q_{n_1} \\ +P_{m_1+1}+P_{m_1+2}+\cdots+P_{m_2}-Q_{n_1+1}-Q_{n_1+2}-\cdots-Q_{n_2} \\ \vdots \end{gather*}\]
令\(R_k\)和\(L_k\)分别表示级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n'\)末项为\(P_{m_k}\)的部分和与末项为\(Q_{n_k}\)的部分和，则有：
\[\begin{gather*} |R_k-\xi|\leqslant P_{m_k},\;k=2,3,\dots,\quad|L_k-\xi|\leqslant Q_{n_k},\;k=1,2,3,\dots, \end{gather*}\]
而：
\[\begin{equation*} \lim_{k\to+\infty}P_{m_k}=\lim_{k\to+\infty}Q_{n_k}=0 \end{equation*}\]
所以：
\[\begin{equation*} \lim_{k\to+\infty}R_k=\lim_{k\to+\infty}L_k=\xi \end{equation*}\]
由重排级数的排列情况（连续正连续负），任取\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n'\)的一个部分和\(S_n'\)，当\(S_n'\)处于连续正片段时，必定存在\(k\in\mathbb{N}^+\)使得：
\[\begin{equation*} L_{k-1}\leqslant S_n'\leqslant R_k, \end{equation*}\]
当\(S_n'\)处于连续负片段时，必定存在\(k\in\mathbb{N}^+\)使得：
\[\begin{equation*} L_{k}\leqslant S_n'\leqslant R_{k-1}, \end{equation*}\]
因此由性质 3.2.9(4.a)可知：
\[\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}a_n'=\xi \end{equation*}\]
\(\xi=\infty\)：仅对正无穷情况进行讨论，负无穷类似。
任取一个单调上升且趋于无穷的实数数列\(\{\xi_n\}\)。沿用\(\xi\in\mathbb{R}^{}\)中的记号。设\(P_{m_1}\)是第一个满足以下条件的项：
\[\begin{equation*} P_1+P_2+\cdots+P_{m_1}>\xi_1 \end{equation*}\]
再依次考察\(Q_1,Q_2,\dots\)中的各项，设\(Q_{n_1}\)是第一个满足以下条件的项（：
\[\begin{equation*} P_1+P_2+\cdots+P_{m_1}-Q_1-Q_2-\cdots-Q_{n_1}<\xi_1 \end{equation*}\]
再考虑考察\(P_{m_1+1},P_{m_1+2},\dots\)中的各项，设\(P_{m_2}\)是第一个满足以下条件的项：
\[\begin{gather*} P_1+P_2+\cdots+P_{m_1}-Q_1-Q_2-\cdots-Q_{n_1} \\ +P_{m_1+1}+P_{m_1+2}+\cdots+P_{m_2}>\xi_2 \end{gather*}\]
不断重复下去，我们可以得到\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\)的一个重排级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n'\)：
\[\begin{gather*} P_1+P_2+\cdots+P_{m_1}-Q_1-Q_2-\cdots-Q_{n_1} \\ +P_{m_1+1}+P_{m_1+2}+\cdots+P_{m_2}-Q_{n_1+1}-Q_{n_1+2}-\cdots-Q_{n_2} \\ \vdots \end{gather*}\]
而这个重排级数即满足\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n'=+\infty\)。
(4)设\(a_{i_k}b_{j_k},\;k\in\mathbb{N}^+\)是\(a_ib_j,\;i,j\in\mathbb{N}^+\)的任意一种排列。把\(i_1,i_2,\dots,i_n,\;j_1,j_2,\dots,j_n\)中最大的记为\(N\)，由不等式 1可得：
\[\begin{equation*} \sum_{k=1}^n|a_{i_k}b_{j_k}|\leqslant\sum_{i=1}^N|a_i|\sum_{j=1}^N|b_j|\leqslant\sum_{i=1}^{+\infty}|a_i|\sum_{j=1}^{+\infty}|b_j| \end{equation*}\]
由性质 3.2.9(6)可知\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_{i_k}b_{j_k}\)绝对收敛。根据性质 3.2.14(2)和性质 3.2.9(8.c)，按正方形形式重排该级数可得到：
\[\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}a_{i_k}b_{j_k}=\lim_{n\to+\infty}\left(\sum_{i=1}^na_i\right)\left(\sum_{i=1}^nb_i\right)=\left(\sum_{i=1}^{+\infty}a_i\right)\left(\sum_{i=1}^{+\infty}b_i\right)=AB \end{equation*}\]
◻
note 3.5. 对于性质 3.2.14(1)的逆否命题，若收敛级数不定号，考虑级数：
\[\begin{equation*} (1-1)+(1-1)+\cdots+(1-1)+\cdots \end{equation*}\]
这个级数当然是收敛的，但级数：
\[\begin{equation*} 1-1+1-1+\cdots+(-1)^{n-1}+\cdots \end{equation*}\]
显然还是发散的。
3.3 度量空间上的映射
3.3.1 映射的定义与性质
Definition 3.49. 设\(X,Y\)是任意给定的集合。如果对于任意的\(x\in X\)，都存在唯一的\(f(x)\in Y\)与之对应，则称对应关系\(f\)是从\(X\)到\(Y\)的映射（mapping）。对任何\(E\subseteq Y\)，称：
\[\begin{equation*} f^{-1}(E)=\{x:f(x)\in E\} \end{equation*}\]
为集合\(B\)在映射\(f\)下的原像（preimage）3。
Theorem 3.14. 设\(X,Y\)是任意给定的集合，\(f\)是从\(X\)到\(Y\)的映射。集合的原像有下列性质：
\(f^{-1}(\varnothing)=\varnothing,\;f^{-1}(Y)=X\)；
若\(E_1\subseteq E_2\subseteq Y\)，则\(f^{-1}(E_1)\subseteq f^{-1}(E_2)\)；
对任意的\(E\subset Y\)，\([f^{-1}(E)]^c=f^{-1}(E^c)\)；
设\(T\)是指标集，对\(\{A_t\in\ Y:t\in T\}\)，有：
\[\begin{equation*} f^{-1}\left(\underset{t\in T}{\bigcup}A_t\right)=\underset{t\in T}{\bigcup}f^{-1}(A_t), \quad f^{-1}\left(\underset{t\in T}{\bigcap}A_t\right)=\underset{t\in T}{\bigcap}f^{-1}(A_t) \end{equation*}\]
证明. (1)(2)是显然的，下证(3)(4)。
(3)对任意的\(x\in[f^{-1}(E)]^c\)，有\(x\notin f^{-1}(E)\)，即\(f(x)\notin E\)，所以\(x\in f^{-1}(E^c)\)。由\(x\)的任意性，\([f^{-1}(E)]^c\subseteq f^{-1}(E^c)\)。对任意的\(x\in f^{-1}(E^c)\)，有\(f(x)\in E^c\)，所以\(x\notin f^{-1}(E)\)，于是\(x\in[f^{-1}(E)]^c\)。由\(x\)的任意性，\(f^{-1}(E^c)\subseteq[f^{-1}(E)]^c\)。综上，\([f^{-1}(E)]^c=f^{-1}(E^c)\)。
(4)对任意的\(x\in f^{-1}\left(\underset{t\in T}{\cup}A_t\right)\)，有\(f(x)\in\underset{t\in T}{\cup}A_t\)，即存在\(t\in T\)，使得\(f(x)\in A_t,\;x\in f^{-1}(A_t)\)，于是\(x\in\underset{t\in T}{\cup}f^{-1}(A_t)\)。由\(x\)的任意性，\(f^{-1}\left(\underset{t\in T}{\cup}A_t\right)\subseteq\underset{t\in T}{\cup}f^{-1}(A_t)\)。对任意的\(x\in\underset{t\in T}{\cup}f^{-1}(A_t)\)，则存在\(t\in T\)，使得\(x\in f^{-1}(A_t)\)，于是\(x\in f^{-1}\left(\underset{t\in T}{\cup}A_t\right)\)。由\(x\)的任意性，\(\underset{t\in T}{\cup}f^{-1}(A_t)\subseteq f^{-1}\left(\underset{t\in T}{\cup}A_t\right)\)。综上，\(f^{-1}\left(\underset{t\in T}{\cup}A_t\right)=\underset{t\in T}{\cup}f^{-1}(A_t)\)。交的情形同理可证。 ◻
Definition 3.50. 设\(T\)是\(X\)到\(Y\)的映射。如果对任意的\(y\in Tx\)，只有唯一的\(x\)使得\(Tx=y\)，那么称映射\(T\)为单射（injective function）。
Definition 3.51. 设\(T\)是\(X\)到\(Y\)的映射。如果对任意的\(y\in Y\)，都存在\(X\)中的\(x\)使得\(Tx=y\)，那么称映射\(T\)为满射（surjective function）。
Definition 3.52. 设\(T\)是\(X\)到\(Y\)的映射。如果\(T\)既是单射，又是满射，则称之为双射（bijective function）。
Definition 3.53. 设\(T\)是\(X\)到\(Y\)的双射，即对任意的\(y\in Y\)，都存在唯一的\(x\in X\)使得\(Tx=y\)，此时可以得到一个新的映射，它将\(Y\)映成\(X\)，称这个映射为\(T\)的逆映射（inverse mapping）。
Theorem 3.15. 设\(T\)是\(X\)到\(Y\)的映射。\(T\)存在逆映射的充要条件是\(T\)是双射。
Definition 3.54. 设\(T_1\)是\(X\)到\(Y\)的映射，\(T_2\)是\(Y\)到\(Z\)的映射。定义映射\(T_3\)满足\(T_3x=T_2(T_1x)\)，其中\(x\in X\)，则称映射\(T_3\)是映射\(T_1\)和映射\(T_2\)的复合映射（composite mapping），记作\(T_2\circ T_1\)或\(T_2T_1\)。
3.3.2 映射的极限
Definition 3.55. 设\((X,\rho_X)\)和\((Y,\rho_Y)\)都是度量空间，\(T\)是\(E\subseteq X\)到\(Y\)的映射，\(x_0\in X\)是\(E\)的一个聚点，\(y\in Y\)。若对任意的\(\varepsilon>0\)，存在\(\delta>0\)，使得对\(E\setminus\{x_0\}\)中一切满足条件\(\rho(x,x_0)<\delta\)的\(x\)，都有\(\rho_Y(Tx,y)<\varepsilon\)，则称\(T\)沿\(E\)趋于\(x_0\)时，\(T\)的极限为\(y\)，记为：
\[\begin{equation*} \lim_{\substack{x\to x_0 \\ E}}Tx=y \end{equation*}\]
当\(E\)自明时，可简记为：
\[\begin{equation*} \lim_{x\to x_0}Tx=y \end{equation*}\]
Theorem 3.16. （Sequential Characterization of Function Limits）
设\((X,\rho_X)\)和\((Y,\rho_Y)\)都是度量空间，\(T\)是\(E\subseteq X\)到\(Y\)的映射，\(x_0\in X\)是\(E\)的一个聚点，\(y\in Y\)。\(T\)沿\(E\)趋于\(x_0\)时\(T\)的极限为\(y\)的充分必要条件为：对于任意满足\(\{x_n\}\to x_0\)的点列\(\{x_n\}\subseteq E\setminus\{x_0\}\)都有\(\{Tx_n\}\to y\)。
证明. 必要性：若存在满足\(\{x_n\}\to x_0\)的点列\(\{x_n\}\subseteq E\setminus\{x_0\}\)不满足\(\{Tx_n\}\to y\)，则存在\(\varepsilon>0\)对任意的\(N_1\in\mathbb{N}^+\)都存在\(n>N_1\)使得\(\rho_Y(Tx_n,y)\geqslant\varepsilon\)。取定一个满足上述条件的\(\varepsilon\)，因为\(T\)沿\(E\)趋于\(x_0\)时极限为\(y\)，所以存在\(\delta>0\)，当\(\rho_X(x,x_0)<\delta\)时（\(x\in E\setminus\{x_0\}\)）有\(\rho_Y(Tx,y)<\varepsilon\)。因为\(\{x_n\}\to x_0\)，所以存在\(N_2\in\mathbb{N}^+\)满足当\(n>N_2\)时有\(\rho_X(x_n,x_0)<\delta\)，此时就有\(\rho_Y(Tx_n,y)<\varepsilon\)。取\(N_1=N_2\)，矛盾，所以必要性成立。
充分性：若此时\(T\)沿\(E\)趋于\(x_0\)时极限不为\(y\)，那么存在\(\varepsilon>0\)对任意的\(\delta>0\)都存在满足条件\(\rho_X(x,x_0)<\delta\)的点\(x\in E\setminus\{x_0\}\)使得\(\rho_Y(Tx,Tx_0)\geqslant\varepsilon\)，因此可取一个点列\(\{x_n\}\)，满足\(\rho_X(x_n,x_0)<\dfrac{1}{n}\)。注意到此时满足\(\{x_n\}\to x\)但不满足\(\{Tx_n\}\to y\)，矛盾。 ◻
Theorem 3.17. （Cauchy-Type Condition for Function Limits）
设\((X,\rho_X)\)是度量空间，\((Y,\rho_Y)\)是完备的度量空间，\(T\)是\(E\subseteq X\)到\(Y\)的映射，\(x_0\in X\)是\(E\)的一个聚点。\(T\)沿\(E\)趋于\(x_0\)时存在极限的充要条件为：对任意的\(\varepsilon>0\)，存在\(\delta>0\)使得对于任意满足条件\(\rho_X(x,x_0)<\delta,\rho_X(x',x_0)<\delta\)的\(x,x'\in E\setminus\{x_0\}\)有\(\rho_Y(Tx,Tx')<\varepsilon\)。
证明. 必要性：设\(T\)沿\(E\)趋于\(x_0\)时极限为\(y\in Y\)，则对于任意的\(\varepsilon>0\)，存在\(\delta_1\)使得当\(\rho_X(x,x_0)<\delta_1\)时有\(\rho_Y(Tx,y)<\dfrac{\varepsilon}{2}\)，存在\(\delta_1\)使得当\(\rho_X(x',x_0)<\delta_2\)时有\(\rho_Y(Tx',y)<\dfrac{\varepsilon}{2}\)。取\(\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}\)则当\(\rho_X(x,x_0)<\delta\)且\(\rho_X(x',x_0)<\delta\)时有\(\rho_Y(Tx,y)<\dfrac{\varepsilon}{2}\)和\(\rho_Y(Tx',y)<\dfrac{\varepsilon}{2}\)，于是：
\[\begin{equation*} \rho_Y(Tx,Tx')\leqslant\rho_Y(Tx,y)+\rho_Y(Tx',y)<\varepsilon \end{equation*}\]
充分性：因为\(x_0\)是\(E\)的聚点，所以存在\(\{x_n\}\subseteq E\setminus\{x_0\}\)满足\(\{x_n\}\to x_0\)。对于任意的\(\varepsilon>0\)，取任意一个满足上述条件的\(\{x_n\}\)，则对于条件中给定的\(\delta>0\)，存在\(N\in\mathbb{N}^+\)使得当\(n>N\)时有\(\rho_X(x_n,x_0)<\delta\)，于是当\(m,n>N\)时就有\(\rho_Y(Tx_n,Tx_m)<\varepsilon\)。因为\((Y,\rho_Y)\)是完备的度量空间，所以\(\{Tx_n\}\)有极限。下面证明所有\(\{Tx_n\}\)的极限都相同。假设存在不同的\(\{x_n'\}\)和\(\{x_n''\}\)满足：
\[\begin{equation*} \{x_n'\},\{x_n''\}\subseteq E\setminus\{x_0\},\quad\{x_n'\},\{x_n''\}\to x_0,\quad\lim_{n\to+\infty}Tx_n'\ne\lim_{n\to+\infty}Tx_n'' \end{equation*}\]
定义\(\{x_n\}\)：
\[\begin{equation*} x_n= \begin{cases} x_n',&n\text{为奇数} \\ x_n'',&n\text{为偶数} \end{cases} \end{equation*}\]
则\(\{x_n\}\subseteq E\setminus\{x_0\}\)且\(\{x_n\}\to x_0\)，但由性质 3.1.1可知\(\{Tx_n\}\)不收敛，矛盾，所以所有\(\{Tx_n\}\)的极限都相同，充分性得证。 ◻
Property 3.3.1. 设\((X,\rho_X)\)和\((Y,\rho_Y)\)都是度量空间，\(T\)是\(E\subseteq X\)到\(Y\)的映射，则：
若\(T\)沿\(E\)趋于某一点时有极限，则极限唯一；
若\(x_0\)是\(E\)的聚点，\(T\)沿\(E\)趋于\(x_0\)时极限为\(y\in Y\)，则存在\(\delta>0\)使得\(T[U(x_0,\delta)\setminus\{x_0\}]\)有界；
设\((Z,\rho_Z)\)是度量空间，\(S\)是\(F\subseteq Y\)到\(Z\)的映射，\(x_0\in X\)是\(E\)的聚点，\(y\in Y\)是\(T(E\setminus\{x_0\})\)的聚点，\(T(E\setminus\{x_0\})\subseteq F\setminus\{y\}\)，\(z\in Z\)。若\(T\)沿\(E\)趋于\(x_0\)时极限为\(y\)，\(S\)沿\(F\)趋于\(y\)时极限为\(z\)，则：
\[\begin{equation*} \lim_{\substack{x\to x_0 \\ E}}S(Tx)=z \end{equation*}\]
证明. (1)由定理 3.16和性质 3.1.1(1)立即可得。
(2)由定义立即可得。
(3)由映射极限的定义，\(E\setminus x_0\)中任意满足\(\{x_n\}\to x_0\)的点列\(\{x_n\}\)都有\(\{Tx_n\}\subseteq F\setminus\{y\}\)且\(\{Tx_n\}\to y\)，根据定理 3.16可知\(\{S(Tx_n)\}\to z\)，于是结论成立。 ◻
3.3.3 映射的连续性
Definition 3.56. 设\((X,\rho_X)\)和\((Y,\rho_Y)\)都是度量空间，\(T\)是\(E\subseteq X\)到\(Y\)的映射，\(x_0\in E\)是\(E\)的一个聚点。若对任意的\(\varepsilon>0\)，存在\(\delta>0\)使得对\(E\)中一切满足条件\(\rho(x,x_0)<\delta\)的\(x\)都有\(\rho_Y(Tx,Tx_0)<\varepsilon\)，或对于任意满足\(\{x_n\}\to x_0\)的点列\(\{x_n\}\subseteq E\)都有\(\{Tx_n\}\to Tx_0\)，则称\(T\)沿\(E\)在\(x_0\)处连续的（continuous）。
两个条件的等价性类似定理 3.16即可得到。
Definition 3.57. 设\(T\)是\((X,\rho_X)\)到\((Y,\rho_Y)\)的映射，若\(T\)在\(E\subseteq X\)的每一点都连续，则称\(T\)是\(E\)上的连续映射（continuous mapping）。
Theorem 3.18. 度量空间\((X,\rho_X)\)到\((Y,\rho_Y)\)上的映射\(T\)是\(X\)上的连续映射的充要条件为：
\(Y\)中任意开集\(E\)的原像\(T^{-1}E\)是\(X\)中的开集。
\(Y\)中任意闭集\(E\)的原像\(T^{-1}E\)是\(X\)中的闭集。
证明. (1)必要性：设\(T\)是连续映射，\(E\subseteq Y\)是开集，如果\(T^{-1}E=\varnothing\)，则\(T^{-1}E\)是开集；若\(T^{-1}E\ne\varnothing\)，任取\(x\in T^{-1}E\)，令\(Tx=y\)，则\(y\in E\)，因为\(E\)是开集，所以存在\(y\)的\(\varepsilon\)邻域\(U\)，使得\(U\subseteq E\)，由\(T\)的连续性，存在\(x\)的\(\delta\)邻域\(V\)，使得\(TV\subseteq U\)，因此\(V\subseteq T^{-1}U\subseteq T^{-1}E\)，即\(x\)是\(T^{-1}E\)的内点。由\(x\)的任意性，\(T^{-1}E\)是\(X\)中的开集。
充分性：对任意的\(x\in X\)及\(Tx\)的任意\(\varepsilon\)邻域\(U\)，由性质 3.2.2(1)可知\(U\)是开集，因此\(T^{-1}U\)是\(X\)中的开集，所以\(x\)是\(T^{-1}U\)的内点，于是存在\(x\)的某个\(\delta\)邻域\(V\)，使得\(V\subseteq T^{-1}U\)，因此\(TV\subseteq U\)，即\(T\)在\(x\)处连续。由\(x\)的任意性，\(T\)是\(X\)上的连续映射。
(2)由(1)、定理 3.14(3)和性质 3.2.2(5)立即可得。 ◻
Theorem 3.19. 设\((X,\rho_X),(Y,\rho_Y),(Z,\rho_Z)\)都是度量空间，\(T\)是\(E\subseteq X\)到\(Y\)的映射，\(S\)是\(F\subseteq Y\)到\(Z\)的映射。若\(T\)在\(E\)上连续、\(S\)在\(F\)上连续且\(TE\subseteq F\)，则\(ST\)在\(E\)上连续。
证明. 任取\(x\in E\)和\(\{x_n\}\subseteq E\)满足\(\{x_n\}\to x\)，因为\(T\)在\(E\)上连续，所以\(\{Tx_n\}\to Tx\)。由\(TE\subseteq F\)和\(S\)在\(F\)上连续可得\(\{STx_n\}\to STx\)，即\(ST\)在\(x\)处连续。根据\(x\)的任意性可得\(ST\)在\(E\)上连续。 ◻
3.3.4 压缩映射原理
Definition 3.58. 若点\(\varphi\)在映射\(T\)的作用下满足\(T\varphi=\varphi\)，则称\(\varphi\)是映射\(T\)的一个不动点（fixed point）。
Definition 3.59. 设\((X,\rho)\)是度量空间，\(T\)是\(X\)到\(X\)的一个映射，如果存在一个数\(\alpha\)，\(0\leqslant\alpha<1\)，使得对任意的\(x,y\in X\)，有：
\[\begin{equation*} \rho(Tx,Ty)\leqslant\alpha\rho(x,y) \end{equation*}\]
则称\(T\)是压缩映射（contraction mapping）。
Theorem 3.20. （Contraction Mapping Theorem）
设\((X,\rho)\)是完备的度量空间，\(T\)是\(X\)到\(X\)的一个压缩映射，那么\(T\)有且只有一个不动点，该不动点为任取\(x_0\in X\)序列\(\{x_n=T^nx_0\}\)的极限\(x\in X\)，并有下述两种误差估计：
\[\begin{equation*} \rho(x_n,x)\leqslant\frac{\alpha^n}{1-\alpha}\rho(x_0,x_1),\quad\rho(x_n,x)\leqslant\frac{1}{1-\alpha}\rho(x_{n+1},x_{n}) \end{equation*}\]
证明. 存在性：任取\(x_0\in X\)，令\(x_n=T^nx_0\)，由此产生一个点列\(\{x_n\}\)。下面我们来证明这个点列是Cauchy点列，它的极限就是不动点。
\[\begin{align*} \rho(x_{m+1},x_m)&=\rho(Tx_m,Tx_{m-1})\leqslant\alpha\rho(x_m,x_{m+1}) \\ &=\cdots \\ &=\alpha^{m-1}\rho(Tx_1,Tx_0)\leqslant\alpha^m\rho(x_1,x_0) \end{align*}\]
取\(n>m\)，由距离的三角不等式：
\[\begin{align*} \rho(x_m,x_n) &\leqslant\rho(x_m,x_{m+1})+\cdots+\rho(x_{n-1},x_n) \\ &\leqslant(\alpha^m+\alpha^{m+1}+\cdots+\alpha^{n-1})\rho(x_0,x_1) \\ &=\alpha^m\frac{1-\alpha^{n-m}}{1-\alpha}\rho(x_0,x_1) \\ &\leqslant\frac{\alpha^m}{1-\alpha}\rho(x_0,x_1) \end{align*}\]
因为\(0\leqslant\alpha<1\)，所以当\(m\)足够大的时候，\(\rho(x_m,x_n)\rightarrow 0\)，即\(\{x_n\}\)是\(X\)中的Cauchy点列。又因为\(X\)完备，所以\(\{x_n\}\rightarrow x\in X\)。由三角不等式：
\[\begin{equation*} \rho(x,Tx)\leqslant\rho(x,x_m)+\rho(x_m,Tx)\leqslant\rho(x,x_m)+\alpha\rho(x_{m-1},x) \end{equation*}\]
当\(m\to+\infty\)时上式右端趋于0，因此\(\rho(x,Tx)=0\)，即\(Tx=x\)，\(T\)存在一个不动点。由上上式可得：
\[\begin{equation*} \rho(x_m,x_{m+k})\leqslant\frac{\alpha^m}{1-\alpha}\rho(x_0,x_1) \end{equation*}\]
令\(k\to+\infty\)，由性质 3.2.9(6)可得：
\[\begin{equation*} \rho(x_m,x)\leqslant\frac{\alpha^m}{1-\alpha}\rho(x_0,x_1) \end{equation*}\]
唯一性：假设\(T\)还有一个不动点\(y\)，则
\[\begin{equation*} \rho(x,y)=\rho(Tx,Ty)\leqslant\alpha\rho(x,y) \end{equation*}\]
因为\(0\leqslant\alpha<1\)，所以\(\rho(x,y)=0\)，即\(x=y\)，唯一性得证。
对于第二种误差估计，只需注意到：
\[\begin{equation*} \rho(x_n,x_{n+p})\leqslant(\alpha^{p-1}+\alpha^{p-2}+\cdots+1)\rho(x_n,x_{n+1})\leqslant\frac{1}{1-\alpha}\rho(x_n,x_{n+1}) \end{equation*}\]
令\(p\to+\infty\)，由性质 3.2.9(6)可得：
\[\begin{equation*} \rho(x_n,x)\leqslant\frac{1}{1-\alpha}\rho(x_n,x_{n+1}) \end{equation*}\]
◻
压缩映射原理有一个推广：
Theorem 3.21. 设\(T\)是完备度量空间\(X\)到自身的映射，如果存在常数\(\alpha\)及\(n\in\mathbb{N}^+\)，\(0\leqslant\alpha<1\)，使得对任意\(x,y\in X\)，有：
\[\begin{equation*} \rho(T^{n}x,T^{n}y)\leqslant\alpha\rho(x,y) \end{equation*}\]
那么\(T\)在\(X\)中有且只有一个不动点。
证明. 存在性：\(T^{n}\)满足定理 3.20的条件，因此\(T^{n}\)有且只有一个不动点\(x_0\)。下证\(x_0\)也是\(T\)在\(X\)中唯一的不动点。因为
\[\begin{equation*} T^{n}(Tx_0)=T^{n+1}x_0=T(T^{n}x_0)=Tx_0 \end{equation*}\]
所以\(Tx_0\)是\(T^{n}\)的一个不动点，由不动点的唯一性，\(Tx_0=x_0\)，所以\(x_0\)是\(T\)的一个不动点。
唯一性：若\(T\)存在另一个不动点\(x_1\)，则
\[\begin{equation*} T^{n}x_1=T^{n-1}Tx_1=T^{n-1}x_1=\cdots=Tx_1=x_1 \end{equation*}\]
即\(x_1\)也是\(T^{n}\)的一个不动点，由\(T^{n}\)不动点的唯一性，\(x_0=x_1\)。 ◻
3.3.5 紧集上的连续映射
Definition 3.60. 设\((X,\rho_X)\)和\((Y,\rho_Y)\)为度量空间，\(T\)是\(E\subseteq X\)到\(Y\)上的映射。若对于任意的\(\varepsilon>0\)，存在只与\(\varepsilon\)有关的\(\delta>0\)，使得对任意的\(x,y\in E\)，只要\(\rho_X(x,y)<\delta\)，就有\(\rho_Y(Tx,Ty)<\varepsilon\)，则称\(T\)在\(E\)上一致连续（uniformly continuous）。
Theorem 3.22. （Sequential Characterization of Uniformly Continuous）
设\((X,\rho_X)\)和\((Y,\rho_Y)\)为度量空间，\(T\)是\(E\subseteq X\)到\(Y\)上的映射。\(T\)在\(E\)上一致连续的充分必要条件为：对于任意满足条件\(\lim\limits_{n\to+\infty}\rho_X(x_n,y_n)\)的点列\(\{x_n\},\{y_n\}\subseteq E\)，都有：
\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}\rho_Y(Tx_n,Ty_n)=0 \end{equation*}\]
证明. 必要性：设\(T\)在\(E\)上一致连续，则对于任意的\(\varepsilon>0\)，存在只与\(\varepsilon\)有关的\(\delta>0\)，使得对任意的\(x,y\in E\)，只要\(\rho_X(x,y)<\delta\)，就有\(\rho_Y(Tx,Ty)<\varepsilon\)。因为\(\lim\limits_{n\to+\infty}\rho_X(x_n,y_n)=0\)，所以存在\(N\in\mathbb{N}^+\)，当\(n>N\)时有\(\rho_X(x_n,y_n)<\delta\)，于是\(\rho_Y(Tx_n,Ty_n)<\varepsilon\)，即\(\{\rho_Y(Tx_n,Ty_n)\}\to 0\)。
充分性：若此时\(T\)不在\(E\)上一致连续，则存在\(\varepsilon>0\)，无论\(\delta=\dfrac{1}{n}\)多小，总存在满足\(\rho_X(x_n,y_n)<\delta\)的\(x_n,y_n\in E\)使得\(\rho_Y(Tx_n,Ty_n)\geqslant\varepsilon\)。此时满足\(\lim\limits_{n\to+\infty}\rho_X(x_n,y_n)\)，但没有\(\lim\limits_{n\to+\infty}\rho_Y(Tx_n,Ty_n)=0\)，矛盾。 ◻
Property 3.3.2. 设\((X,\rho_X)\)为度量空间，\(A\)是\(X\)中的紧集，\(T\)是\(A\)到\(\mathbb{R}^{}\)上的映射，则：
\(TA\)是\(Y\)中的紧集；
\(T\)在\(A\)上有界；
\(T\)在\(A\)上可达到其上、下确界；
\(T\)在\(A\)上一致连续。
证明. (1)设\(\{y_n\}\)为\(TA\)中的一个点列，则有\(X\)中的点列\(\{x_n\}\)使得\(y_n=Tx_n,\;n\in\mathbb{N}^+\)。因为\(A\)是紧集，所以\(\{x_n\}\)存在子列\(\{x_{n_k}\}\to x_0\in A\)。因为\(T\)连续，所以：
\[\begin{equation*} \lim_{k\to+\infty}y_{n_k}=\lim_{k\to+\infty}Tx_{n_k}=T\left(\lim_{k\to+\infty}x_{n_k}\right)=Tx_0\in TA \end{equation*}\]
所以\(TA\)是紧集。
(2)由(1)可知\(TA\)是紧集，根据性质 3.2.7(2)可得\(T\)在\(A\)上有界。
(3)由(1)和定理 3.9可知\(TA\)是有界闭集，所以\(T\)在\(A\)上可达到其上、下确界。
(4)假设此时\(T\)不一致连续，则存在\(\varepsilon_0>0\)以及点列\(\{x_n\},\{y_n\}\subseteq A\)，使得：
\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}\rho_X(x_n,y_n)=0,\quad\rho_Y(Tx_n,Ty_n)\geqslant\varepsilon_0,\;\forall\;n\in\mathbb{N}^+ \end{equation*}\]
因为\(A\)是紧集，所以\(\{x_n\}\)存在子列\(\{x_{n_k}\}\to x_0\in A\)，即\(\rho_X(x_{n_k},x_0)\to 0\)，于是由性质 3.2.9(8.b)可得：
\[\begin{equation*} \rho_X(y_{n_k},x_0)\leqslant\rho_X(y_{n_k},x_{n_k})+\rho_X(x_{n_k},x_0)\to0 \end{equation*}\]
因为\(T\)是连续的，所以：
\[\begin{equation*} \rho_Y(Tx_{n_k},Tx_0)\to0,\;\rho_Y(Ty_{n_k},Tx_0)\to0 \end{equation*}\]
于是由性质 3.2.9(8.b)可得：
\[\begin{equation*} \rho_Y(Tx_{n_k},Ty_{n_k})\leqslant\rho_Y(Tx_{n_k},Tx_0)+\rho_Y(Tx_0,Ty_{n_k})\to 0 \end{equation*}\]
与第一个式子中的第二部分矛盾，所以\(T\)一致连续。 ◻
3.3.6 值域为\(\mathbb{R}^{},\mathbb{R}^{n}\)的映射
请自行给出定义在\(\mathbb{R}^{}\)且值域为\(\mathbb{R}^{}\)的映射极限的32个定义（趋于的点为实数、负无穷、正无穷、无穷，极限为实数、负无穷、正无穷、无穷，组合共16种，再考虑序列式与\(\varepsilon-\delta\)语言，一共32种）。
对于定义在\(\mathbb{R}^{}\)上的函数，考虑映射\(f\)沿\(E\)趋于\(x_0\in\mathbb{R}^{}\)时的极限，当\(E\)在数轴上完全位于\(x_0\)的左侧或右侧时，我们将极限分别简记为：
\[\begin{equation*} \lim_{x\to x_0^-}f(x),\quad\lim_{x\to x_0^+}f(x) \end{equation*}\]
Property 3.3.3. 设\((X,\rho_X)\)是度量空间，\(E\subseteq X\)，\(x_0\)是\(E\)的一个聚点，\(f,g,h\)是\(E\)到\(\mathbb{R}^{}\)上的映射，则：
若\(\lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\ E}}f(x)\)存在，则其极限唯一；
(Squeeze Theorem) 若存在\(\delta>0\)，使得对任意的\(x\in U(x_0,\delta)\cap E\setminus\{x_0\}\)都有如下之一成立，则对应的结论也成立：
\(f(x)\leqslant h(x)\leqslant g(x)\)，且\(\lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\ E}}f(x)=\lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\ E}}g(x)=a\in\mathbb{R}^{}\)，则\(\lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\ E}}h(x)=a\)；
\(h(x)\geqslant f(x)\)，且\(\lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\ E}}f(x)=+\infty\)，则\(\lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\ E}}h(x)=+\infty\)；
\(h(x)\leqslant f(x)\)，且\(\lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\ E}}f(x)=-\infty\)，则\(\lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\ E}}h(x)=-\infty\)；
若\(\lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\ E}}f(x)\)和\(\lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\ E}}g(x)\)存在，且有：
\[\begin{equation*} \lim_{\substack{x\to x_0 \\ E}}f(x)<\lim_{\substack{x\to x_0 \\ E}}g(x) \end{equation*}\]
则存在\(\delta>0\)，使得当\(x\in U(x_0,\delta)\cap E\setminus\{x_0\}\)时，\(f(x)<g(x)\)；
若存在\(\delta>0\)使得当\(x\in U(x_0,\delta)\cap E\setminus\{x_0\}\)时有\(f(x)\leqslant g(x)\)，且\(\lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\ E}}f(x)\)和\(\lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\ E}}g(x)\)都存在，则：
\[\begin{equation*} \lim_{\substack{x\to x_0 \\ E}}f(x)\leqslant\lim_{\substack{x\to x_0 \\ E}}g(x) \end{equation*}\]
若\(\lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\ E}}f(x)\)和\(\lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\ E}}g(x)\)存在，且下式右侧有意义，则公式成立：
\(\lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\ E}}|f(x)|=\Big|\lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\ E}}f(x)\Big|\)；
\(\lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\ E}}[f(x)\pm g(x)]=\lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\ E}}f(x)\pm\lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\ E}}g(x)\)；
\(\lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\ E}}f(x)g(x)=\lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\ E}}f(x)\lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\ E}}g(x)\)；
\(\lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\ E}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\ E}}f(x)}{\lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\ E}}g(x)}\)；
该性质内蕴了连续函数四则运算的连续性问题。
Property 3.3.4. 值域为\(\mathbb{R}^{n}\)的函数的收敛等价于按坐标收敛度量空间补充笛卡尔积的情况。
note 3.6. 考虑到极限情况很多，上面的性质证明起来特别麻烦，故略去。但作一点说明：定理 3.16和定理 3.17都可以推广到趋于的点坐标含无穷的情况，其中定理 3.16还可以推广到极限为无穷，证明过程类似之前的叙述。之后我们在引用定理 3.16和定理 3.17时，将包含无穷的情况，不做额外的说明。上述性质的证明在使用定理 3.16和定理 3.17的推广后，都可以由性质 3.2.9和性质 3.2.10(2)推出。
Definition 3.61. 称多项式函数、有理分式函数、三角函数、反三角函数、对数函数、指数函数为基本初等函数（basic elementary function），经基本初等函数经过有限次四则运算和复合而成的函数被称为初等函数（elementary function）。
Theorem 3.23. 初等函数在其定义域内连续。
3.3.6.1 连通性与介值性
Definition 3.62. 设\((X,\rho)\)是度量空间，\(E\subseteq X\)，\(x_0,x_1\in E\)。若连续映射\(\gamma:[0,1]\to E\)满足\(\gamma(0)=x_0,\;\gamma(1)=x_1\)，则称\(\gamma\)为\(E\)中联结\(x_0\)和\(x_1\)的一条路径（path）。
Definition 3.63. 设\((X,\rho)\)是度量空间，\(E\subseteq X\)。若对于任意的\(x_0,x_1\in E\)，都存在一条联结它们的路径，则称\(E\)路径连通（path connected）。定义\(\varnothing\)也是路径连通的。
引理 4.3 Lemma 3.3. 设函数\(f:\mathbb{R}^{}\to\mathbb{R}^{}\)在区间\([a,b]\)上连续。
若\(f(a)f(b)<0\)，则存在\(c\in(a,b)\)使得\(f(c)=0\)；
若\(f(a)\ne f(b)\)，则\(f\)在\([a,b]\)上能取到介于\(f(a)\)和\(f(b)\)之间的所有值。
证明. (1)仅讨论\(f(a)<0<f(b)\)时的情况，\(f(b)<0<f(a)\)时完全类似。
取\(c_0=\dfrac{a+b}{2}\)，则\(f(c_0)=0\)或\(f(c_0)\)与\(f(a),f(b)\)中的一个异号。若\(f(c_0)\)与\(f(a)\)异号，则设\(a_1=a,\;b_1=c_0\)；若\(f(c_0)\)与\(f(b)\)异号，则设\(a_1=c_0,\;b_1=b\)。取\(c_1=\dfrac{a_1+b_1}{2}\)，则\(f(c_1)=0\)或\(f(c_1)\)与\(f(a_1),f(b_1)\)中的一个异号。若\(f(c_1)\)与\(f(a_1)\)异号，则设\(a_2=a_1,\;b_2=c_1\)；若\(f(c_1)\)与\(f(b_1)\)异号，则设\(a_2=c_1,\;b_2=b_1\)。
不断重复上述讨论，要么存在一个\(c_n\)使得\(f(c_n)=0\)，结论成立，要么得到一个闭区间套\(\{[a_n,b_n]\}\)和一个点列\(\{c_n\}\)，满足\(a_n\leqslant c_n\leqslant b_n\)。由定理 3.7和性质 3.2.9(4.a)可得：
\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}a_n=\lim_{n\to+\infty}c_n=\lim_{n\to+\infty}b_n\coloneq c\in(a,b) \end{equation*}\]
因为\(f\)在区间\([a,b]\)上连续，由性质 3.2.9(6)可得：
\[\begin{equation*} f(c)=\lim_{n\to+\infty}f(a_n)\leqslant0\leqslant\lim_{n\to+\infty}f(b_n)=f(c) \end{equation*}\]
所以\(f(c)=0\)。
(2)对任意介于\(f(a),f(b)\)之间的\(\alpha\)，取辅助函数\(f(x)-\alpha\)。由性质 3.3.3(5.b)可得\(f(x)-\alpha\)是区间\([a,b]\)上的连续函数，由(1)即可得出结论。 ◻
Theorem 3.24. （Intermidiate Value Theorem）
设\((X,\rho)\)是度量空间，\(E\subseteq X\)路径连通，\(f:E\to\mathbb{R}^{}\)是连续函数，则\(f(E)\)是区间（允许退化为单点）。
证明. 任取\(y_0,y_1\in f(E)\)，设\(f(x_0)=y_0,\;f(x_1)=y_1\)。因为\(E\)路径连通，所以存在连续映射\(\gamma:[0,1]\to E\)满足\(\gamma(0)=x_0,\;\gamma(1)=x_1\)。考虑复合映射\(f\circ\gamma\)，由定理 3.19可知\(f\circ\gamma\)在\([0,1]\)上连续。因为：
\[\begin{equation*} f\circ\gamma(0)=f(x_0)=y_0,\quad f\circ\gamma(1)=f(x_1)=y_1 \end{equation*}\]
由引理 3.3可知\(f\circ\gamma\)在\([0,1]\)上可以取到介于\(y_0\)和\(y_1\)之间的所有值，即\(f\)在\(E\)上可以取到介于\(y_0\)和\(y_1\)之间的所有值。由\(y_0,y_1\)的任意性，结论成立。 ◻
3.3.6.2 无穷小与有界记号
Definition 3.64. 设\(f(x)\)是在\(U(a,\delta)\)上有定义，\(a\in\overline{\mathbb{R}^{}},\;\delta>0\)。若\(\lim\limits_{x\to a}f(x)=0\)，则称\(f(x)\)是\(x\to a\)时的无穷小量（infinitesimal）；若\(\lim\limits_{x\to a}f(x)=\infty\)，则称\(f(x)\)是\(x\to a\)时的无穷大量（infinite quantity）。
Definition 3.65. 设\(f(x),g(x)\)是在\(U(a,\delta)\)上有定义，\(a\in\overline{\mathbb{R}^{}},\;\delta>0\)，\(g(x)\)在\(U(a,\delta)\)上不为\(0\)。
若\(\dfrac{f(x)}{g(x)}\)是\(x\to a\)时的有界变量，则记\(f(x)=\operatorname{O}(g(x))\)；
若\(\dfrac{f(x)}{g(x)}\)是\(x\to a\)时的无穷小量，则记\(f(x)=\operatorname{o}(g(x))\)；
若\(\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=1\)，则记\(f(x)\sim g(x)\)。
note 3.7. 使用无穷小量、无穷大量以及上述记号时需要说明涉及的极限过程，如\(f(x)=\operatorname{O}(g(x))(x\to a)\)。等式两边都存在记号时需要注意此时等号的含义并不是等于，而是也是。
Definition 3.66. 设\(f(x),g(x)\)是无穷小（大）量。若\(f(x)=o(g(x))\)，则称\(f(x)\)是比\(g(x)\)更高（低）阶的无穷小（大）量；若\(f(x)\sim g(x)\)，则称\(f(x)\)是与\(g(x)\)等价的无穷小（大）量。
Property 3.3.5. 设\(f(x),g(x),h(x),p(x)\)是在\(U(a,\delta)\)上有定义，\(a\in\overline{\mathbb{R}^{}},\;\delta>0\)，\(g(x)\sim h(x)\)，则：
\(\operatorname{o}(f(x))=\operatorname{O}(f(x))\)；
\(\operatorname{o}(f(x))+\operatorname{o}(f(x))=\operatorname{o}(f(x)),\;\operatorname{O}(f(x))+\operatorname{O}(f(x))=\operatorname{O}(f(x))\)；
\(\operatorname{o}(f(x))\operatorname{O}(1)=\operatorname{o}(f(x)),\;\operatorname{o}(1)\operatorname{O}(f(x))=\operatorname{o}(f(x))\)；
\(\lim\limits_{x\to a}f(x)g(x)=\lim\limits_{x\to a}f(x)h(x)\)；
\(\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)g(x)}{p(x)}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)h(x)}{p(x)}\)；
\(\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)p(x)}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{h(x)p(x)}\)。
证明. (1)由定义立即可得。
(2)由性质 3.3.3(5.b)即可得到。
(3)由性质 3.3.3(5.c)即可得到。
(4)由性质 3.3.3(5.c)可得：
\[\begin{equation*} \lim_{x\to a}f(x)g(x)=\lim_{x\to a}f(x)\frac{h(x)}{g(x)}g(x)=\lim_{x\to a}f(x)h(x) \end{equation*}\]
(5)由(4)立即可得。
(6)由性质 3.3.3(5.c)可得：
\[\begin{equation*} \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)p(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)h(x)}{g(x)h(x)p(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{h(x)p(x)} \end{equation*}\]
◻
3.4 范数
Definition 3.67. 设\(X\)是数域\(K\)上的线性空间。如果对于\(X\)中的每个元素\(x\)，都有一个实数与之对应，记为\(||x||\)，且满足：
非负性：\(||x||\geqslant 0\)，等号成立当且仅当\(x=\mathbf{0}\)。
数乘：\(||\alpha x||=|\alpha|\;||x||\)，\(\alpha\in K\)。
三角不等式：\(||x+y||\leqslant||x||+||y||\)。
则称\(X\)为数域\(K\)上的赋范线性空间（normed linear space），\(||x||\)为元素\(x\)的范数（norm）。
Definition 3.68. 对于数域\(K\)上的赋范线性空间\(X\)，我们定义\(X\)中元素\(x\)和\(y\)之间的距离为它们差的范数，即：
\[\begin{equation*} \rho(x,y)=||x-y|| \end{equation*}\]
证明. (1)非负性可由范数的非负性直接验证。
(2)对称性：由定理 19.3可知\(-1\in K\)，根据范数定义中的条件(2)可得\(\rho(x,y)=||x-y||=|-1|\;||x-y||=||y-x||=\rho(y,x)\)。
(3)三角不等式：由范数定义中的条件(3)可得\(\rho(x,y)=||x-y||=||x-z+z-y||\leqslant||x-z||+||z-y||=\rho(x,z)+\rho(z,y)\)。 ◻
Definition 3.69. 设\(X\)是赋范线性空间。若点列\(\{x_n\}\subseteq X\)收敛于点\(x\)，则称\(\{x_n\}\)依范数收敛（convergence in norm）于\(x\)，也称\(\{x_n\}\)强收敛（strong convergence）于\(x\)。
Definition 3.70. 完备的赋范线性空间称之为Banach空间（Banach space）。
Definition 3.71. 设\(X\)是线性空间，\(||\cdot||_1,\;||\cdot||_2\)是定义在\(X\)上的两个范数，\(X\)按照这两个范数均为赋范线性空间。若：
\[\begin{equation*} \exists\;K_1,K_2>0,\;\forall\;x\in X,\;K_1||x||_1\leqslant||x_2||\leqslant K_2||x||_1 \end{equation*}\]
则称范数\(||\cdot||_1,\;||\cdot||_2\)等价。
Property 3.4.1. 设\(X\)是数域\(K\)上的赋范线性空间。范数具有如下性质：
若\(x,y\in X\)，则有\(|\;||x||-||y||\;|\leqslant||x-y||\)；
范数是连续映射；
设\(\{x_n\}\)和\(\{y_n\}\)都是赋范线性空间\(X\)中的点列，且\(\{x_n\}\rightarrow x\)，\(\{y_n\}\rightarrow y\)，\(\{a_n\}\)和\(\{b_n\}\)是\(K\)中的点列，且\(\{a_n\}\to a,\;\{b_n\}\to b,\;a,b\in K\)，则\(a_nx_n+b_ny_n\to ax+bx\)；
等价范数定义的收敛是等价的；
证明. (1)\(\;||x||=||x-y+y||\leqslant||x-y||+||y||\)，即\(||x||-||y||\leqslant||x-y||\)；\(||y||=||y-x+x||\leqslant||x-y||+||x||\)，即\(-||x-y||\leqslant||x||-||y||\)。
综上，\(-||x-y||\leqslant||x||-||y||\leqslant||x-y||\)，即\(|\;||x||-||y||\;|\leqslant||x-y||\)。
(2)由(1)可知\(|\;||x_n||-||x||\;|\leqslant||x_n-x||\)。因此当\(\{x_n\}\)依范数收敛于\(x\)时，\(||x_n||\to||x||\)。
(3)由范数的定义：
\[\begin{align*} ||a_nx_n+b_ny_n-(ax+by)|| &\leqslant||a_nx_n-ax||+||b_ny_n-by|| \\ &=||a_nx_n-a_nx+a_nx-ax||+||b_ny_n-b_ny+b_ny-by|| \\ &\leqslant|a_n|\;||x_n-x||+|a_n-a|\;||x||+|b_n|\;||y_n-y||+|b_n-b|\;||y|| \end{align*}\]
由\(\{a_n\}\)和\(\{b_n\}\)的收敛性以及\(\{x_n\}\)和\(\{y_n\}\)的收敛性立即可得\(a_nx_n+b_ny_n\to ax+bx\)。
(4)由定义即可得到。 ◻
Definition 3.72. 在\(\mathbb{R}^{n}\)中定义元素\(x=(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n)\)的范数为：
\[\begin{equation*} ||x||_2=\left(\sum_{i=1}^n\xi_i^2\right)^{\frac{1}{2}} \end{equation*}\]
则\(\mathbb{R}^{n}\)成为一个赋范线性空间。称上述范数为欧式范数。
证明. (1)\(\;||x||_2\in\mathbb{R}\)、(2)非负性和(3)数乘显然，(4)三角不等式的证明可见欧式距离三角不等式的证明。 ◻
Theorem 3.25. \(\mathbb{R}^{n}\)上的任意两个范数都等价。
证明. 只需证明\(\mathbb{R}^{n}\)上的任意一个范数都与欧式范数等价（传递性自行验证）。取\(\mathbb{R}^{n}\)上的范数\(N(x)\)。
先证明\(\{x:||x||_2=1\}\)是有界闭集。有界性立即可得。因为\(\{1\}\)是闭集，根据性质 3.4.1(2)和定理 3.18可知\(\{x;||x||_2=1\}\)是闭集。
由定理 3.9可知\(\{x:||x||_2=1\}\)是紧集，根据性质 3.4.1(2)和性质 3.3.2(3)可知\(N(x)\)在\(\{x:||x||_2=1\}\)上存在最小值\(a\)和最大值\(b\)。对于任意不为\(\mathbf{0}\)的\(x\in\mathbb{R}^{n}\)有\(\dfrac{x}{||x||_2}\in\{x:||x||_2=1\}\)，于是有：
\[\begin{equation*} a\leqslant N\left(\frac{x}{||x||_2}\right)\leqslant b \end{equation*}\]
即：
\[\begin{equation*} a||x||_2\leqslant N(x)\leqslant b||x||_2 \end{equation*}\]
当\(x=\mathbf{0}\)时，上式也成立，所以\(N(x)\)与欧式范数\(||x||_2\)等价。 ◻
3.4.1 线性算子
Definition 3.73. 设\(X\)和\(Y\)是数域\(K\)上的线性空间，\(E\subseteq X\)，\(T:E\to Y\)是映射。若对任意的\(x,y\in E\)，有：
\[\begin{equation*} T(x+y)=Tx+Ty \end{equation*}\]
则称\(T\)可加。若对任意的\(\alpha\in K\)和任意的\(x\in E\)，有：
\[\begin{equation*} T(\alpha x)=\alpha Tx \end{equation*}\]
则称\(T\)齐次。称可加齐次映射为线性算子（linear operator）。
note 3.8. 其实就是线性映射。
3.4.1.1 线性算子的连续性
Definition 3.74. 设\(X\)和\(Y\)是数域\(K\)上的赋范线性空间，\(E\subseteq X\)，\(T:E\to Y\)是映射。若\(T\)是连续的，则称\(T\)为连续线性算子（continuous linear operator）。
Property 3.4.2. 设\(X\)和\(Y\)是数域\(K\)上的赋范线性空间，\(E\subseteq X\)，\(T:E\to Y\)是映射。
若\(K=\mathbb{R}^{}\)，\(T\)是连续可加算子，则\(T\)是连续线性算子；
若\(K=\mathbb{C}^{}\)，\(T\)是连续可加算子且\(T(ix)=iTx\)，则\(T\)是连续线性算子。
证明. (1)由可加性可以得到：
\[\begin{equation*} \forall\;n\in\mathbb{N}^+,\;\forall\;x\in X,\;T(nx)=nTx \end{equation*}\]
所以\(T\)对正整数集满足齐次性。
取\(x_1=\dfrac{x}{n}\)，代入上式可得：
\[\begin{equation*} Tx=nT\left(\frac{x}{n}\right) \end{equation*}\]
即：
\[\begin{equation*} T\left(\frac{x}{n}\right)=\frac{Tx}{n} \end{equation*}\]
所以\(T\)对正有理数集满足齐次性。
取\(\mathbf{0}_X\in X\)，由\(T\)对正有理数的齐次性，\(T\mathbf{0}_X=T(2\mathbf{0}_X)=2T\mathbf{0}_X\)，所以\(T\mathbf{0}_X=\mathbf{0}_Y\)。由\(T\)的可加性可得：
\[\begin{equation*} T\mathbf{0}_X=T[x+(-x)]=Tx+T(-x)=\mathbf{0}_Y\in Y \end{equation*}\]
即：
\[\begin{equation*} T(-x)=-Tx \end{equation*}\]
所以\(T\)对有理数集满足齐次性。
因为任意无理数都可用一个有理数序列去逼近，由\(T\)的连续性，\(T\)对无理数集也满足齐次性。
综上，\(T\)是连续线性算子。
(2)设\(a=a_1+ia_2\in\mathbb{C}\)，由(1)可得：
\[\begin{align*} T(ax)&=T[(a_1+ia_2)x]=T(a_1x+ia_2x)=T(a_1x)+T(ia_2x) \\ &=a_1Tx+iT(a_2x)=a_1Tx+ia_2Tx=(a_1+ia_2)Tx=aTx \end{align*}\]
◻
3.4.1.2 线性算子的有界性
Definition 3.75. 设\(X\)和\(Y\)是数域\(K\)上的赋范线性空间，\(E\subseteq X\)，\(T:E\to Y\)是映射。若\(T\)将\(E\)中的任一有界集映成\(Y\)中的有界集，则称\(T\)是有界线性算子（bounded linear operator）。如果存在\(E\)中的有界集\(A\)，使得\(TA\)是\(Y\)中的无界集，则称\(T\)是无界线性算子（unbounded linear operator）。
Property 3.4.3. 设\(X\)和\(Y\)是\(\mathbb{R}^{}\)上的赋范线性空间，\(E\subseteq X\)，\(T:E\to Y\)是映射。\(T\)有界的充分必要条件为：
\[\begin{equation*} \exists\;M>0,\;\forall\;x\in E,\;||Tx||_Y\leqslant M||x||_X \end{equation*}\]
证明. (1)充分性：任取\(A\subseteq E\)是有界集，由赋范线性空间上距离的定义和有界集的定义可知：
\[\begin{equation*} \exists\;K>0,\;\forall\;x\in A,\;||x||_X\leqslant K \end{equation*}\]
因此：
\[\begin{equation*} \exists\;M>0,\;\exists\;K>0,\;\forall\;x\in A,\;||Tx||_Y\leqslant M||x||_X\leqslant MK \end{equation*}\]
所以\(TA\)是\(Y\)中的有界集。由\(A\)的任意性，\(T\)有界。
(2)必要性：在\(E\)中取单位球面\(S=\{x\in E:||x||_X=1\}\)，\(S\)有界，因此\(TS\)有界。于是：
\[\begin{equation*} \exists\;M>0,\;\forall\;x\in S,\;||Tx||_Y\leqslant M \end{equation*}\]
设\(x\)为\(E\)中任意非\(\mathbf{0}\)的元素，则：
\[\begin{equation*} \frac{x}{||x||_X}\in S \end{equation*}\]
所以有：
\[\begin{equation*} \left\|T\left(\frac{x}{||x||_X}\right)\right\|_Y\leqslant M \end{equation*}\]
由\(T\)的齐次性：
\[\begin{equation*} ||Tx||_Y\leqslant M||x||_X \end{equation*}\]
根据性质 1.3.1(2)可知当\(x=\mathbf{0}\)时，\(Tx\)必然是\(Y\)中的零元，上式也成立。 ◻
3.4.1.3 线性算子有界与连续的关系
Theorem 3.26. 设\(X\)和\(Y\)是\(\mathbb{R}^{}\)上的赋范线性空间，\(E\subseteq X\)，\(T:E\to Y\)是映射，则以下陈述等价：
\(T\)在\(E\)上连续。
\(T\)在\(E\)中某给定点\(x_0\)连续。
\(T\)有界。
证明. \((1)\to(2)\)由定义即可得到。下证\((2)\to(3)\)。
因为\(T\)在\(x_0\)连续，因此对\(\varepsilon=1,\;\exists\;\delta>0,\;\forall\;x\in E\)，当\(||x-x_0||_X\leqslant\delta\)时，有：
\[\begin{equation*} ||Tx-Tx_0||_Y=||T(x-x_0)||_Y\leqslant\varepsilon=1 \end{equation*}\]
任取\(x_1\ne x_0\)，且\(x_1\in E\)，因为：
\[\begin{equation*} \left\|\frac{\delta(x_1-x_0)}{||x_1-x_0||_X}\right\|_X=\delta\leqslant\delta \end{equation*}\]
所以：
\[\begin{equation*} \left\|T\left[\frac{\delta(x_1-x_0)}{||x_1-x_0||_X}\right]\right\|_Y\leqslant1 \end{equation*}\]
作变形即有：
\[\begin{equation*} ||T(x_1-x_0)||_Y\leqslant\frac{1}{\delta}||x_1-x_0||_X \end{equation*}\]
由性质 1.3.1(2)可知：
\[\begin{equation*} ||T(x_0-x_0)||_Y=0=\frac{1}{\delta}||x_0-x_0||_X \end{equation*}\]
所以对任意的\(x\in E\)，有：
\[\begin{equation*} ||T(x-x_0)||_Y\leqslant\frac{1}{\delta}||x-x_0||_X \end{equation*}\]
由性质 3.4.3可知\(T\)定义在\(E-x_0\)上的时候是有界的，而\(E-x_0\)实际上就是\(E\)，所以\(T\)是有界的。
\((3)\to(1)\)：由性质 3.4.3立即可得。 ◻
3.4.2 有限维赋范线性空间
3.4.2.1 拓扑同构
Definition 3.76. 设\((X,\rho_X)\)和\((Y,\rho_Y)\)都是度量空间，\(T\)是\(X\)到\(Y\)的双射。若\(T\)和\(T^{-1}\)都是连续映射，则称\(T\)是\(X\)到\(Y\)上的同胚映射（homeomorphism mapping）。如果存在一个\(X\)到\(Y\)上的同胚映射，则称\(X\)和\(Y\)同胚（homeomorphic）。
Definition 3.77. 设\(X\)和\(Y\)都是赋范线性空间，如果满足条件：
\(X\)和\(Y\)作为线性空间是同构的。
从\(X\)到\(Y\)的同构映射\(T\)是同胚的。
则称\(X\)和\(Y\)拓扑同构（topological isomorphism）。
Definition 3.78. \(X\)是赋范线性空间，若\(X\)的任一有界闭集是紧的，则称\(X\)是 局部紧（locally compact）。
Property 3.4.4. 设\(X\)是数域\(K\)上的\(n\)维赋范线性空间，则：
若\(K\)是实数域或复数域，则\(X\)与数域\(K\)上的任一\(n\)维赋范线性空间拓扑同构；
\(X\)是完备的；
赋范线性空间\(X\)是有限维的的充分必要条件为\(X\)是局部紧的；
证明. (1)由性质 1.1.7(7)及定理 3.19可知拓扑同构具有传递性，于是只需证明实（复）\(n\)维赋范线性空间与\(\mathbb{R}^{n}\)（\(\mathbb{C}^{n}\)）拓扑同构。
任取一个实\(n\)维赋范线性空间\(X\)。下证\(X\)和\(\mathbb{R}^{n}\)之间存在一个双射。
设\(X\)是实的\(n\)维赋范线性空间，\(\{e_1,e_2,\dots,e_n\}\)是\(X\)的一个基。定义一个映射\(T:\mathbb{R}^{n}\mapsto X\)如下（\(\xi\in\mathbb{R}^{n}\)）：
\[\begin{equation*} T\xi=\sum_{i=1}^n\xi_ie_i \end{equation*}\]
由于\(\{e_1,e_2,\dots,e_n\}\)是\(X\)的一个基，根据性质 1.1.2(4)可知\(T\xi\)的表出方式唯一，即\(T\)是单射。其次对任意的\(x\in X\)，根据基的定义它必然能由\(\{e_1,e_2,\dots,e_n\}\)线性表出，因此有\(\eta=(\eta_1,\eta_2,\dots,\eta_n)\in\mathbb{R}^{n}\)，使得\(x=\sum\limits_{i=1}^n\eta_ie_i=T\eta\)，因此\(T\)是满射。
映射\(T\)保持线性运算是显然的。
综上，\(X\)和\(\mathbb{R}^{n}\)作为线性空间是同构的。
下证映射\(T\)是连续映射。
由不等式 1可得：
\[\begin{align*} ||T\xi-T\eta||_X &=\left\|\sum_{i=1}^n(\xi_i-\eta_i)e_i\right\|_X\leqslant\sum_{i=1}^n|\xi_i-\eta_i|\;||e_i||_X \\ &\leqslant\left(\sum_{i=1}^n|\xi_i-\eta_i|^2\right)^\frac{1}{2}\cdot\left(\sum_{i=1}^n||e_i||_X^2\right)^\frac{1}{2} \end{align*}\]
所以\(T\)是连续映射。
下证\(T^{-1}\)是连续映射。
要证\(T^{-1}\)是连续映射，证明\(\forall\;x,y\in X\)，\(\exists\;\alpha\geqslant0\)使得：
\[\begin{equation*} ||T^{-1}x-T^{-1}y||\leqslant\alpha||x-y||_X \end{equation*}\]
即可。因为已经证得\(T\)是双射且保持线性运算，所以只需证\(||T^{-1}x||\leqslant\alpha||x||_X\)，即：
\[\begin{equation*} \exists\;\alpha>0,\;\forall\;x\in X,\;\frac{||x||_X}{||T^{-1}x||}\geqslant\alpha \end{equation*}\]
对\(x=\sum\limits_{i=1}^n\xi_ie_i\in X\)，令：
\[\begin{equation*} f(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n)=||x||_X \end{equation*}\]
当\((\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n)\)在\(\mathbb{R}^{n}\)的单位球面上时，即\(\sum\limits_{i=1}^n\xi_i^2=1\)时，由性质 1.1.7(1)可知\(||x||_X\ne0\)。又因为单位球面是有界闭集（因为\(\{1\}\)是闭集，根据性质 3.4.1(2)和定理 3.18可知\(\{x;||x||_2=1\}\)是闭集。），由定理 3.9和性质 3.3.2(3)可得\(f(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n)\)在单位球面上有正的下确界\(\alpha\)，即\(||x||_X\geqslant\alpha\)。对任意的\(x\in X\)进行单位化，即取\(x'\)满足：
\[\begin{equation*} x'=\frac{x}{||T^{-1}x||} \end{equation*}\]
那么就有\(||x'||_X\geqslant\alpha\)，即：
\[\begin{equation*} \frac{||x||_X}{||T^{-1}x||}\geqslant\alpha \end{equation*}\]
复：类似，\(\mathbb{R}^{2n}\)。
(2)由(1)可知\(X\)与\(\mathbb{R}^{n}\)是拓扑同构的，那么\(X\)与\(\mathbb{R}^{n}\)之间存在一个双射\(T:X\rightarrow\mathbb{R}^{n}\)，且\(T\)和\(T^{-1}\)是连续的。任取\(X\)上的一个Cauchy点列\(\{x_n\}\)，\(Tx_n=y_n\in\mathbb{R}^{n}\)。
下证\(\{y_n\}\)也是柯西序列，即证对任意的\(\varepsilon>0\)，存在\(N\in\mathbb{N}^+\)，当\(n,m>N\)时，有\(\rho(y_n,y_m)<\varepsilon\)。
因为\(T\)是连续的，所以对上述\(\varepsilon\)，存在\(\delta>0\)，当\(\rho(x_n,x_m)<\delta\)时，有\(\rho(y_n,y_m)<\varepsilon\)。而\(\{x_n\}\)是Cauchy点列，因此对上述\(\delta\)，存在\(N_1\in\mathbb{N}^+\)，当\(n,m>N_1\)时，有\(\rho(x_n,x_m)<\delta\)。所以取\(N=N_1\)即可满足条件。因此\(\{y_n\}\)是柯西序列。
由定理 3.8可知\(\mathbb{R}^{n}\)是完备的，所以\(\{y_n\}\rightarrow y\in\mathbb{R}^{n}\)，于是：
\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}T^{-1}y_n=T^{-1}\left(\lim_{n\to+\infty}y_n\right)=T^{-1}y \end{equation*}\]
因为\(T\)是双射，那么存在\(x\in X\)使得\(x=T^{-1}y\)。因为：
\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}T^{-1}y_n=\lim_{n\to+\infty}x_n \end{equation*}\]
所以\(\{x_n\}\rightarrow x\in X\)。由\(\{x_n\}\)的任意性，\(X\)是完备的。
(3)必要性：由(1)可知\(X\)与\(\mathbb{R}^{n}\)拓扑同构，那么\(X\)与\(\mathbb{R}^{n}\)之间存在一个双射\(T:X\rightarrow\mathbb{R}^{n}\)，且\(T\)和\(T^{-1}\)是连续的。由定理 3.18(2)和定理 3.26(3)可知\(X\)中的有界闭集映成\(\mathbb{R}^{n}\)中的有界闭集，反之亦然。由定理 3.9和性质 3.3.2(1)可知\(X\)中的任一有界闭集也是紧的，所以\(X\)是局部紧的。
充分性：若此时\(X\)是无限维的。取\(S=\{x:||x||=1\}\)为\(X\)的单位球面有空证明 ◻
3.4.3 Hilbert空间
定义 4.1 Definition 3.79. 设\(X\)为实（复）数域\(K\)上的线性空间。若\(X\)中任意一对元素\(x,y\)都对应于\(K\)中的一个数，记为\((x,y)\)，满足：
线性性：\((\alpha x+\beta y,z)=\alpha(x,z)+\beta(y,z)\)，这里\(z\in X\)。
对称性：当\(K\)为实数域时，\((x,y)=(y,x)\)；当\(K\)为复数域时，\((x,y)=\overline{(y,x)}\)。
非负性：\((x,x)\geqslant 0\)，等号成立当且仅当\(x=\mathbf{0}\)。
那么就称\(X\)为实（复）内积空间（inner product space），称\((x,y)\)为元素\(x,y\)的内积（inner product）。
Definition 3.80. 设\(X\)是内积空间，在其上定义如下范数：
\[\begin{equation*} ||x||=\sqrt{(x,x)} \end{equation*}\]
那么\(X\)成为赋范线性空间。若\(X\)是完备的，则称其为Hilbert空间（Hilbert space）。若\(X\)不完备，则称其为准Hilbert空间（pre-Hilbert space）。
下证这个定义满足范数的定义：
证明. (1)非负性和(2)数乘可分别由内积的定义(3)和(1)立刻得出。
(3)三角不等式：由不等式 3可得：
\[\begin{align*} &||x+y||^2=(x+y,x+y)=(x,x+y)+(y,x+y) \\ =&(x,x)+(x,y)+(y,x)+(y,y)\leqslant||x||^2+2||x|||\;|y||+||y||^2=(||x||+||y||)^2 \end{align*}\]
即\(||x+y||\leqslant||x||+||y||\)。 ◻
Property 3.4.5. 设\(X\)是内积空间，则：
内积是连续函数；
(Polarization Identity) 对任意的\(x,y\in X\)，当\(X\)是实内积空间时有\((x,y)=\frac{1}{4}(||x+y||^2-||x-y||^2)\)，当\(X\)是复内积空间时有\((x,y)=\frac{1}{4}(||x+y||^2-||x-y||^2+i||x+iy||^2-i||x-iy||^2)\)；
(Parallelogram Law) 对任意的\(x,y\in X\)，由\(X\)的内积导出的范数\(||\cdot||\)满足：
\[\begin{equation*} ||x+y||^2+||x-y||^2=2||x||^2+2||y||^2 \end{equation*}\]
反之，如果\(X\)是赋范线性空间，\(X\)的范数满足上式，则可以在\(X\)中定义内积\((\cdot,\cdot)\)使\(X\)成为内积空间。
证明. (1)设\(\{x_n\},\{y_n\}\)是内积空间\(X\)中的点列，且分别依范数收敛于\(x,y\in X\)，由不等式 3可得：
\[\begin{align*} |(x_n,y_n)-(x,y)|&=|(x_n,y_n)-(x_n,y)+(x_n,y)-(x,y)| \\ &=|(x_n,y_n-y)+(x_n-x,y)| \\ &\leqslant|(x_n,y_n-y)|+|(x_n-x,y)| \\ &\leqslant||x_n||\;||y_n-y||+||x_n-x||\;||y|| \end{align*}\]
根据性质 3.1.1(3)可知\(\{x_n\}\)有界，所以\(||x_n||\)有界。由性质 3.2.9(8.b)(8.c)可知上式极限为\(0\)，即内积是连续函数。
(2)当\(X\)是实内积空间时有：
\[\begin{align*} &\frac{1}{4}(||x+y||^2-||x-y||^2)=\frac{1}{4}[(x+y,x+y)-(x-y,x-y)] \\ =&\frac{1}{4}[(x,x)+(x,y)+(y,x)+(y,y)-(x,x)-(x,-y)-(-y,x)-(-y,-y)] \\ =&\frac{1}{4}[(x,x)+(x,y)+(x,y)+(y,y)-(x,x)+(x,y)+(x,y)-(y,y)]=(x,y) \end{align*}\]
当\(X\)是复内积空间时有：
\[\begin{align*} &\quad\;\frac{1}{4}(||x+y||^2-||x-y||^2+i||x+iy||^2-i||x-iy||^2) \\ &=\frac{1}{4}[(x+y,x+y)-(x-y,x-y)+i(x+iy,x+iy)-i(x-iy,x-iy)] \\ &=\frac{1}{4}[(x,x)+(x,y)+(y,x)+(y,y)-(x,x)-(x,-y)-(-y,x)-(-y,-y)]+ \\ &\quad\;\frac{1}{4}i[(x,x)+(x,iy)+(iy,x)+(iy,iy)-(x,x)-(x,-iy)-(-iy,x)-(-iy,-iy)] \\ &=\frac{1}{4}[2(x,y)+2(y,x)+2i(x,iy)+2i(iy,x)] \\ &=\frac{1}{4}[2(x,y)+2(y,x)+2(x,y)-2(y,x)=(x,y) \end{align*}\]
(3)对于第一个结论，注意到：
\[\begin{align*} &||x+y||^2+||x-y||^2=(x+y,x+y)+(x-y,x-y) \\ =&(x,x)+(x,y)+(y,x)+(y,y)+(x,x)-(x,y)-(y,x)+(y,y) \\ =&2(x,x)+2(y,y)=2||x||^2+2||y||^2 \end{align*}\]
第二个结论利用(2)来定义内积再代回验证即可。 ◻
3.4.3.1 Hilbert空间中的正交系
Definition 3.81. 设\(X\)是内积空间，\(x,y\in X\)，\(M,N\subseteq X\)。若\((x,y)=0\)，则称\(x\)与\(y\)正交（orthogonal），记为\(x\perp y\)。若\(x\)与\(M\)中任一元素正交，则称\(x\)与\(M\)正交，记为\(x\perp M\)。若对于任意的\(x\in M\)以及任意的\(y\in N\)有\(x\perp y\)，则称\(M\)与\(N\)正交，记为\(M\perp N\)。称\(\{x\in X:x\perp M\}\)为\(M\)的正交余（orthogonal complement），记为\(M^{\perp}\)。
Definition 3.82. 设\(X\)是内积空间，\(E\subseteq X\)，\(x\in X\)。若存在\(y\in E\)使得：
\[\begin{equation*} x=y+z,\quad y\in E,\;z\in E^{\perp} \end{equation*}\]
则称\(y\)为\(x\)在\(E\)中的正交投影（orthogonal projection）。
Property 3.4.6. 设\(X\)是内积空间，则：
若\(x_1,x_2,\dots,x_n\in X\)互相正交，则：
\[\begin{equation*} \left\|\sum\limits_{i=1}^nx_i\right\|^2=\sum_{i=1}^{n}||x_i||^2 \end{equation*}\]
若\(x\in X\)，\(\{y_n\}\subseteq X\)，\(\{y_n\}\to y\in X\)，对任意的\(n\in\mathbb{N}^+\)有\(x\perp y_n\)，则\(x\perp y\)；
若\(x\in X\)与\(X\)中的一个稠密子集\(E\)正交，则\(x=\mathbf{0}\)；
若\(E\subseteq X\)，\(x\perp E\)，则\(x\perp\operatorname{span}(E)\)；
若\(E\subseteq X\)，则\(E^{\perp}\)是\(X\)的闭子空间；
若\(E\)是\(X\)的子空间，\(x\in E\)，\(x\)在\(E\)中存在正交投影\(y\)，则\(y\)是唯一的。
证明. (1)由内积的线性运算性质，可以得到：
\[\begin{equation*} \left\|\sum_{i=1}^nx_i\right\|^2 =\left(\sum_{i=1}^nx_i,\sum_{i=1}^nx_i\right) =\sum_{i=1}^{n}(x_i,x_i) =\sum_{i=1}^{n}||x_i||^2 \end{equation*}\]
(2)根据性质 3.4.5(1)和性质 3.2.9(5)可得：
\[\begin{equation*} (x,y)=\left(x,\lim_{n\to\infty}y_n\right)=\lim_{n\to\infty}(x,y_n)=0 \end{equation*}\]
(3)因为\(E\)在\(X\)中稠密，由定理 3.2(3)可知存在\(\{x_n\}\subseteq E\)使得\(\{x_n\}\to x\)。根据(2)可得\((x,x)=0\)，由内积的定义即可得到\(x=\mathbf{0}\)。
(4)由内积的线性性立即可得。
(5)由(4)和定理 1.5立即可得\(E^{\perp}\)是\(X\)的子空间，由(2)可得\(E^{\perp}\)是闭集。
(6)设\(x=y+z\)，若此时存在另一分解\(x=y'+z',\;y'\in E,z'\in E^{\perp}\)，则\(y+z=y'+z'\)，也即\(y-y'=z'-z\)。因为\((y-y')\in E\)，由(4)可得\((z'-z)\in E^{\perp}\)，所以\((y-y')=(z'-z)\in E\cap E^{\perp}=\{\mathbf{0}\}\)，故\(y=y',\;z=z'\)。 ◻
Definition 3.83. 设\(X\)是内积空间，\(E\subseteq M\)，\(x\in X\)。如果存在\(y\in E\)使得：
\[\begin{equation*} ||x-y||=\inf_{z\in E}||x-z|| \end{equation*}\]
则称\(y\)是\(x\)在\(M\)中的一个最佳逼近元（best approximation element）。
Theorem 3.27. 设\(X\)是Hilbert空间，\(E\)是\(X\)中的凸闭集。对任意的\(x\in X\)，在\(E\)中存在\(x\)的唯一的最佳逼近元，且就是\(x\)在\(E\)中的正交投影。
证明. 任取\(x\in X\)，记：
\[\begin{equation*} \inf_{z\in E}||x-z||=a \end{equation*}\]
(1)存在性：由下确界的定义，可从\(E\)中得到一个点列\(\{y_n\}\)满足：
\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}||x-y_n||=a \end{equation*}\]
下证\(\{y_n\}\)是Cauchy点列。令\(n>m\)，由性质 3.4.5(3)可得到：
\[\begin{align*} &||y_n-y_m||^2=||y_n-x+x-y_m||^2 \\ =&2||y_n-x||^2+2||x-y_m||^2-||2x-y_m-y_n||^2 \\ =&2||y_n-x||^2+2||x-y_m||^2-4\left\|x-\frac{y_m+y_n}{2}\right\|^2 \end{align*}\]
因为\(E\)是\(X\)中的闭凸集，\(y_m,y_n\in E\)，所以\(\dfrac{y_m+y_n}{2}\in E\)，进而有：
\[\begin{equation*} \left\|x-\frac{y_m+y_n}{2}\right\|^2\geqslant a^2 \end{equation*}\]
又因\(n,m\to+\infty\)时，有：
\[\begin{equation*} ||y_n-x||^2\to a^2,\;||x-y_m||^2\to a^2 \end{equation*}\]
\[\begin{align*} &\lim_{m\to+\infty}||y_n-y_m||^2\leqslant\lim_{m\to+\infty}\left(2||y_n-x||^2+2||x-y_m||^2-4a^2\right) \\ =&\lim_{m\to+\infty}2||y_n-x||^2+\lim_{m\to+\infty}2||x-y_m||^2-4a^2=2a^2+2a^2-4a^2=0 \end{align*}\]
故\(\{y_n\}\)是Cauchy点列。因为\(X\)是完备的，所以\(\{y_n\}\to y\in X\)。又因\(E\)是闭集，所以\(y\in E\)。由性质 3.4.1(2)可得：
\[\begin{equation*} ||x-y||=\left\|x-\lim_{n\to+\infty}y_n\right\|=\lim_{n\to+\infty}||x-y_n||=a \end{equation*}\]
所以\(y\)是\(x\)在\(E\)中的最佳逼近元。
(2)唯一性：假设\(x\)在\(E\)中存在另一最佳逼近元\(y'\)，由性质 3.4.5(3)可得：
\[\begin{align*} &||y-y'||^2=||y-x+x-y'||^2 \\ =&2||y-x||^2+2||x-y'||^2-4\left\|x-\frac{y+y'}{2}\right\|^2\leqslant0 \end{align*}\]
所以\(||y-y'||=0\)，\(y=y'\)。
\(y\)是\(x\)在\(E\)上的投影由定理 3.28的证明过程立即可得。 ◻
Theorem 3.28. 设\(X\)是Hilbert空间，\(E\)是\(X\)中的闭子空间。对任意的\(x\in X\)，存在下述唯一的正交分解：
\[\begin{equation*} x=y+z,\quad y\in E,\;z\in E^{\perp} \end{equation*}\]
证明. (1)存在性：因为\(E\)是\(X\)中的闭子空间，所以\(E\)是凸闭集，由定理 3.27可知\(x\)在\(E\)中存在唯一的最佳逼近元\(y\)，记\(||x-y||=a\)。因为\(y\in E\)，所以对任一实（或复）数\(\lambda\)以及任意的\(u\in E\)，有\(y+\lambda u\in E\)，故：
\[\begin{align*} a^2 &\leqslant||x-(y+\lambda u)||^2 =\Bigl((x-y)-\lambda u,(x-y)-\lambda u\Bigr) \\ &=||x-y||^2-\overline{\lambda}(x-y,u)-\lambda(u,x-y)+|\lambda|^2||u||^2 \end{align*}\]
取\(\lambda=\dfrac{(x-y,u)}{||u||^2}\)，上式即可化为：
\[\begin{equation*} a^2\leqslant a^2-\frac{|(x-y,u)|^2}{||u||^2}-\frac{|(x-y,u)|^2}{||u||^2}+\frac{|(x-y,u)|^2}{||u||^4}||u||^2=a^2-\frac{|(x-y,u)|^2}{||u||^2} \end{equation*}\]
所以\((x-y,u)=0\)。由\(u\)的任意性，\((x-y)\perp E\)。令\(z=x-y\)，即有：
\[\begin{equation*} x=y+z,\quad y\in E,\;z\in E^{\perp} \end{equation*}\]
(2)唯一性：由性质 3.4.6(6)立即可得。 ◻
Definition 3.84. 设\(\{e_n\}\)为内积空间\(X\)中的元素系，且满足：
\[\begin{equation*} (e_m,e_n)= \begin{cases} 0,&m\ne n \\ 1,&m=n \end{cases} \end{equation*}\]
则称\(\{e_n\}\)是\(X\)中的一个规范正交系（orthonormall system）。对任意的\(x\in X\)，称\(c_n=(x,e_n)\)为\(x\)关于\(\{e_n\}\)的第\(n\)个傅里叶系数（Fourier coefficient），称\(\{(x,e_n)\}\)为\(x\)关于\(\{e_n\}\)的傅里叶系数集（set of Fourier coefficients）。
引理 4.4 Lemma 3.4. \(X\)是内积空间，\(\{e_1,e_2,\dots,e_n\}\)是\(X\)中的一个规范正交系，\(E=\operatorname{span}\{e_1,e_2,\dots,e_n\}\)。对任意的\(x\in X\)，\(x\)在\(E\)上的正交投影为：
\[\begin{equation*} y=\sum_{i=1}^{n}(x,e_i)e_i \end{equation*}\]
证明. 对任意的\(i=1,2,\dots,n\)有：
\[\begin{equation*} (x-y,e_i)=\left(x-\sum_{j=1}^{n}(x,e_j)e_j,e_i\right)=(x,e_i)-\sum_{j=1}^{n}(x,e_j)(e_j,e_i)=(x,e_i)-(x,e_i)=0 \end{equation*}\]
由性质 3.4.6(4)可知\(x-y\perp E\)，所以\(y\)是\(X\)在\(E\)上的正交投影。 ◻
Theorem 3.29. （Bessel’s inequality）
] \(X\)是内积空间，\(\{e_n\}\)是\(X\)中的一个规范正交系。对任意的\(x\in X\)，有：
\[\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}|(x,e_n)|^2\leqslant||x||^2 \end{equation*}\]
证明. 由引理 3.4可知\(x\)在\(\operatorname{span}\{e_1,e_2,\dots,e_n\}\)中存在正交投影：
\[\begin{equation*} y=\sum_{i=1}^{n}(x,e_i)e_i \end{equation*}\]
由性质 3.4.6(1)可得\(||y||\leqslant||x||\)，故：
\[\begin{align*} &||y||^2=\left\|\sum_{i=1}^{n}(x,e_i)e_i\right\|^2 =\left(\sum_{i=1}^{n}(x,e_i)e_i,\sum_{i=1}^{n}(x,e_i)e_i\right) \\ =&\sum_{i=1}^n\Bigl((x,e_i)e_i,(x,e_i)e_i\Bigr) =\sum_{i=1}^n|(x,e_i)|^2(e_i,e_i) =\sum_{i=1}^n|(x,e_i)|^2\leqslant||x||^2 \end{align*}\]
由性质 3.2.9(6)即可得到结果。 ◻
Theorem 3.30. （Parseval’s identity）
设\(X\)是Hilbert空间，\(\{e_n\}\)是\(X\)中的一个规范正交系，数列\(\{c_n\}\in l^2\)。存在唯一的\(x\in X\)，使得\(\{c_n\}\)是\(x\)关于\(\{e_n\}\)的Fourier系数集，且等式：
\[\begin{equation*} ||x||^2=\sum_{n=1}^{+\infty}|c_n|^2 \end{equation*}\]
成立。
证明. (1)存在性：构建点列\(\left\{x_n=\sum\limits_{i=1}^{n}c_ie_i\right\}\)，设\(m>n\)，则有：
\[\begin{equation*} ||x_m-x_n||^2=\left\|\sum_{i=n+1}^{m}c_ie_i\right\|^2=\left(\sum_{i=n+1}^{m}c_ie_i,\sum_{i=n+1}^{m}c_ie_i\right)=\sum_{i=n+1}^{m}|c_i|^2(e_i,e_i)=\sum_{i=n+1}^{m}|c_i|^2 \end{equation*}\]
因为数列\(\{c_n\}\in l^2\)，所以\(\sum\limits_{i=1}^{+\infty}|c_i|^2\)收敛，由性质 3.2.12(3)可得\(||x_m-x_n||^2\to0\)，因此\(\{x_n\}\)是\(X\)中的Cauchy点列。又因为\(X\)完备，所以\(\{x_n\}\to x\in X\)。
由性质 3.4.5(1)可知，对任意的\(i\in\mathbb{N}^+\)，有：
\[\begin{equation*} (x,e_{i})=\left(\lim_{n\to+\infty}x_n,e_{i}\right)=\lim_{n\to+\infty}(x_n,e_{i}) \end{equation*}\]
由\(\{x_n\}\)的定义可知，当\(n\geqslant i\)时，\((x_n,e_{i})=c_{i}\)，所以\((x,e_{i})=c_{i}\)，即\((x,e_n)=c_n\)，所以\(\{c_n\}\)是\(x\)关于\(\{e_n\}\)的Fourier系数集。又因为：
\[\begin{equation*} ||x_n||^2=\left\|\sum_{i=1}^{n}c_ie_i\right\|^2=\left(\sum_{i=1}^{n}c_ie_i,\sum_{i=1}^{n}c_ie_i\right)=\sum_{i=1}^{n}|c_i|^2(e_i,e_i)=\sum_{i=1}^{n}|c_i|^2 \end{equation*}\]
由性质 3.4.1(2)即可得到：
\[\begin{equation*} ||x||^2=\lim_{n\to\infty}||x_n||^2=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}|c_i|^2=\sum_{i=1}^{+\infty}|c_i|^2 \end{equation*}\]
(2)唯一性：WEBTODOSTART-info 没搞明白 WEBTODOEND-info ◻
Definition 3.85. \(X\)是内积空间，\(\{e_n\}\)是\(X\)中的一个规范正交系。如果对任意的\(x\in X\)，Parseval’s identity：
\[\begin{equation*} ||x||^2=\sum_{n=1}^{+\infty}|(x,e_n)|^2 \end{equation*}\]
恒成立，则称\(\{e_n\}\)是完备的。
Definition 3.86. \(X\)是内积空间，\(\{e_n\}\)是\(X\)中的一个规范正交系。如果对任意的\(x\in X\)，由\((x,e_n)=0,\;\forall\;n\in\mathbb{N}^+\)可推出\(x=\mathbf{0}\)，则称\(\{e_n\}\)是完全的（compelete）。
Theorem 3.31. \(X\)是内积空间，\(\{e_n\}\)是\(X\)中的一个规范正交系。则下列性质等价：
\(\{e_n\}\)是完备的。
对任意的\(x\in X\)，有：
\[\begin{equation*} x=\sum_{n=1}^{+\infty}(x,e_n)e_n \end{equation*}\]
对任意的\(x,y\in X\)，有：
\[\begin{equation*} (x,y)=\sum_{n=1}^{+\infty}(x,e_n)\overline{(y,e_n)} \end{equation*}\]
且上式右端级数绝对收敛。
如果\(X\)是Hilbert空间，则\(\{e_n\}\)是完全的与上述三个命题也等价。
证明. 我们按照\(1\Rightarrow2\Rightarrow3\Rightarrow1\)、\(3\Rightarrow4\Rightarrow1\)的顺序来证明等价性。
(1)设\(x\in X\)，则对任意的\(n\in\mathbb{N}^+\)，有：
\[\begin{align*} &\left\|x-\sum_{i=1}^{n}(x,e_i)e_i\right\|=\left(x-\sum_{i=1}^{n}(x,e_i)e_i,x-\sum_{i=1}^{n}(x,e_i)e_i\right) \\ =&\left(x,x-\sum_{i=1}^{n}(x,e_i)e_i\right)-\left(\sum_{i=1}^{n}(x,e_i)e_i,x-\sum_{i=1}^{n}(x,e_i)e_i\right) \\ =&\overline{\left(x-\sum_{i=1}^{n}(x,e_i)e_i,x\right)}-\sum_{i=1}^{n}\Bigl((x,e_i)e_i,x-\sum_{j=1}^{n}(x,e_j)e_j\Bigr) \\ =&\overline{(x,x)-\sum_{i=1}^n\Bigl((x,e_i)e_i,x\Bigr)}-\sum_{i=1}^{n}\overline{\Bigl(x-\sum_{j=1}^{n}(x,e_j)e_j,(x,e_i)e_i\Bigr)} \\ =&(x,x)-\sum_{i=1}^{n}\overline{\Bigl((x,e_i)e_i,x\Bigr)}-\sum_{i=1}^{n}\overline{\Bigl(x,(x,e_i)e_i\Bigr)}+\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\overline{\Bigl((x,e_j)e_j,(x,e_i)e_i\Bigr)} \\ =&(x,x)-\sum_{i=1}^{n}\Bigl(x,(x,e_i)e_i\Bigr)-\sum_{i=1}^{n}\Bigl((x,e_i)e_i,x\Bigr)+\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\Bigl((x,e_i)e_i,(x,e_j)e_j\Bigr) \\ =&(x,x)-\sum_{i=1}^{n}\overline{(x,e_i)}(x,e_i)-\sum_{i=1}^{n}(x,e_i)(e_i,x)+\sum_{i=1}^{n}(x,e_i)\overline{(x,e_i)} \\ =&||x||^2-\sum_{i=1}^{n}\overline{(x,e_i)}(x,e_i)-\sum_{i=1}^{n}(x,e_i)\overline{(x,e_i)}+\sum_{i=1}^{n}(x,e_i)\overline{(x,e_i)} \\ =&||x||^2-\sum_{i=1}^{n}\overline{(x,e_i)}(x,e_i)=||x||^2-\sum_{i=1}^{n}|(x,e_i)|^2 \end{align*}\]
因为\(\{e_n\}\)是完备的，所以Parseval’s identity成立，于是由性质 3.4.1(2)和性质 3.2.9(8.b)：
\[\begin{equation*} \left\|x-\sum_{n=1}^{+\infty}(x,e_n)e_n\right\|=\lim_{n\to+\infty}\left\|x-\sum_{i=1}^{n}(x,e_i)e_i\right\|=\lim_{n\to+\infty}\left[||x||^2-\sum_{i=1}^{n}|(x,e_i)|^2\right]=0 \end{equation*}\]
即\(x=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(x,e_n)e_n\)。
(2)任取\(x,y\in X\)，取点列\(\{x_n\},\{y_n\}\)使得：
\[\begin{equation*} x_n=\sum_{i=1}^{n}(x,e_i)e_i,\;y_n=\sum_{i=1}^{n}(y,e_i)e_i \end{equation*}\]
于是\(\{x_n\}\to x,\;\{y_n\}\to y\)。因为：
\[\begin{align*} &(x_n,y_n)=\left(\sum_{i=1}^{n}(x,e_i)e_i,\sum_{i=1}^{n}(y,e_i)e_i\right)=\sum_{i=1}^{n}(x,e_i)\left(e_i,\sum_{j=1}^{n}(y,e_j)e_j\right) \\ =&\sum_{i=1}^{n}(x,e_i)\sum_{j=1}^{n}\overline{(y,e_j)}(e_i,e_j) =\sum_{i=1}^{n}(x,e_i)\overline{(y,e_i)} \end{align*}\]
由性质 3.4.5(1)可得：
\[\begin{equation*} (x,y)=\lim_{n\to+\infty}(x_n,y_n)=\lim_{n\to+\infty}\left[\sum_{i=1}^{n}(x,e_i)\overline{(y,e_i)}\right]=\sum_{n=1}^{+\infty}(x,e_n)\overline{(y,e_n)} \end{equation*}\]
对任意的\(N\in\mathbb{N}^+\)，由定理 3.29可知：
\[\begin{equation*} \sum_{n=1}^{N}|(x,e_n)|^2\leqslant||x||^2,\quad\sum_{n=1}^{N}|(y,e_n)|^2\leqslant||y||^2 \end{equation*}\]
根据不等式 1可得：
\[\begin{equation*} \sum_{n=1}^{N}|(x,e_n)\overline{(y,e_n)}|=\sum_{n=1}^{N}|(x,e_n)(y,e_n)|\leqslant\left(\sum_{n=1}^{N}|(x,e_n)|^2\right)^{\frac{1}{2}}\left(\sum_{n=1}^{N}|(y,e_n)|^2\right)^{\frac{1}{2}}\leqslant||x||\;||y|| \end{equation*}\]
由性质 3.2.9(6)即可得出结论。
(3)取\(y=x\)即有：
\[\begin{equation*} ||x||^2=(x,x)=\sum_{n=1}^{+\infty}(x,e_n)\overline{(x,e_n)}=\sum_{n=1}^{+\infty}|(x,e_n)|^2 \end{equation*}\]
(4)因为对任意的\(x\in X\)，有\((x,e_n)=0\)，所以对任意的\(y\in X\)，有：
\[\begin{equation*} (x,y)=\sum_{n=1}^{+\infty}(x,e_n)\overline{(y,e_n)}=0 \end{equation*}\]
所以\(x=\mathbf{0}\)，\(\{e_n\}\)是完全的。
(5)任取\(x\in X\)。由定理 3.29可知\(\{(x,e_n)\}\in l^2\)。因为\(X\)是Hilbert空间，由定理 3.30，存在\(y\in X\)，使得\(\{(x,e_n)\}\)是\(y\)关于\(\{e_n\}\)的Fourier系数集，且：
\[\begin{equation*} ||y||^2=\sum_{n=1}^{+\infty}|(x,e_n)|^2 \end{equation*}\]
而\(\{(x,e_n)\}\)也是\(x\)关于\(\{e_n\}\)的Fourier系数集，所以\(x-y\)关于\(\{e_n\}\)的Fourier系数满足\((x-y,e_n)=(x,e_n)-(y,e_n)=(x,e_n)-(x,e_n)=0\)。因为\(\{e_n\}\)是完全的，所以\(x-y=\mathbf{0}\)，即\(x=y\)，于是：
\[\begin{equation*} ||x||^2=\sum_{n=1}^{+\infty}|(x,e_n)|^2 \end{equation*}\]
◻
3.4.3.2 Schmidt正交化
Theorem 3.32. （Schmidt正交化）
设\(E=\{x_n\}\)是内积空间\(X\)中的一个可列子集，则由\(E\)必可作出一个规范正交系\(\{e_n\}\)，使得\(E\)张成的子空间与\(\{e_n\}\)张成的子空间相同。
证明. 取\(y_1\ne\mathbf{0}\)且\(y_1\in E\)，令：
\[\begin{equation*} e_1=\frac{y_1}{||y_1||} \end{equation*}\]
则\(||e_1||=1\)。取\(y_2\in E\)与\(e_1\)线性无关（若不存在这样的\(y_2\)，则结论成立），令：
\[\begin{equation*} h_2=y_2-(y_2,e_1)e_1 \end{equation*}\]
则\(h_2\ne\mathbf{0}\)，否则的话就有\(y_2=(y_2,e_1)e_1\)，即\(y_2\)与\(e_1\)线性相关，与\(y_2\)的取法矛盾。因为：
\[\begin{equation*} \Big(y_2-(y_2,e_1)e_1,e_1\Big)=(y_2,e_1)-(y_2,e_1)(e_1,e_1)=0 \end{equation*}\]
所以\(h_2=y_2-(y_2,e_1)e_1\perp e_1\)。令：
\[\begin{equation*} e_2=\frac{h_2}{||h_2||} \end{equation*}\]
则\(||e_2||=1,\;e_2\perp e_1\)。取\(y_3\)与\(e_1,e_2\)线性无关（若不存在这样的\(y_2\)，则结论成立），令：
\[\begin{equation*} h_3=y_3-(y_3,e_1)e_1-(y_3,e_2)e_2 \end{equation*}\]
与前面相似，\(h_3\ne\mathbf{0}\)，且\(h_3\perp e_j,\;j=1,2\)。令：
\[\begin{equation*} e_3=\frac{h_3}{||h_3||} \end{equation*}\]
则\(||e_3||=1,\;e_i\perp e_j,\;i=1,2,3,\;j=1,2,3,\;i\ne j\)。
重复上述步骤，假设已作好相互正交且范数为\(1\)的元素\(e_1,,e_2,\dots,e_{n}\)。取\(y_{n+1}\in E\)与\(e_1,,e_2,\dots,e_{n}\)线性无关（若不存在这样的\(y_2\)，则结论成立），令：
\[\begin{equation*} h_{n+1}=y_{n+1}-\sum_{i=1}^{n}(y_{n+1},e_i)e_i \end{equation*}\]
则\(h_{n+1}\ne\mathbf{0}\)，且有\(h_{n+1}\perp e_i,\;i=1,2,\dots,n\)。再令：
\[\begin{equation*} e_{n+1}=\frac{h_{n+1}}{||h_{n+1}||} \end{equation*}\]
于是得到\(n+1\)个相互正交且范数均为\(1\)的元素\(e_1,e_2,\dots,e_{n+1}\)。由归纳法，可以得到最多含可列个元素的规范正交系\(\{e_n\}\)。
接下来证明\(E\)张成的子空间\(L\)与\(\{e_n\}\)张成的子空间\(L'\)相同。
从\(e_n\)的取法可以看出，\(e_n\)可以由\(E\)中的元素线性表出，于是\(L'\subseteq L\)。反之，\(E\)中的元素\(x\)要么与某个\(y_n\)线性相关，此时\(y_n\)可以由\(\{e_n\}\)线性表出，所以\(x\)可以由\(\{e_n\}\)线性表出，要么与取过的所有\(y_n\)线性无关，此时\(x\)必然会进入规范正交系的构造过程，依旧可以由\(\{e_n\}\)线性表出，于是\(L\subseteq L'\)。综上，\(L=L'\)。 ◻
3.4.3.3 Riesz表示定理
Theorem 3.33. 设\(f\)是从Hilbert空间\(X\)到\(X\)的标量域\(K\)上的连续线性映射，则存在唯一的\(y\in X\)使得：
\[\begin{equation*} \forall\;x\in X,\;f(x)=(x,y) \end{equation*}\]
证明. (1)存在性：当\(E=\{x\in X:f(x)=0\}\ne X\)时（反之取\(y=\mathbf{0}\)即可任何向量与0的内积都是0），因为\(f\)是连续线性映射，由定理 1.5和定理 3.18(2)可知\(E\)是\(X\)的闭线性子空间，由定理 3.28可知存在\(x_0\in X\)满足\(x_0\perp E\)且\(||x_0||=1\)，\(X\)中的任意元素\(x\)可以分解为：
\[\begin{equation*} x=\alpha x_0+y \end{equation*}\]
其中\(y\in E\)，\(\alpha\in K\)。因为\(f\)是线性映射，所以：
\[\begin{equation*} f(y)=f(x-\alpha x_0)=f(x)-\alpha f(x_0)=0 \end{equation*}\]
即\(\alpha=\dfrac{f(x)}{f(x_0)}\)（因为\(x_0\perp E\)，结合\(E\)的定义可知\(f(x_0)=0\)当且仅当\(x_0=\mathbf{0}\)，但\(||x_0||=1\)）。注意到：
\[\begin{equation*} (x,x_0)=(\alpha x_0+y,x_0)=\alpha(x_0,x_0)+(y,x_0)=\alpha \end{equation*}\]
所以：
\[\begin{equation*} f(x)=\alpha f(x_0)=(x,x_0)f(x_0)=\Big(x,\overline{f(x_0)}x_0\Big) \end{equation*}\]
取\(y=\overline{f(x_0)}x_0\)即可。
(2)唯一性：若存在不同于\(y\)的\(y'\)也满足条件，则对任意的\(x\in X\)有\(f(x)=(x,y)=(x,y')\)，即：
\[\begin{equation*} (x,y)-(x,y')=(x,y-y')=0 \end{equation*}\]
取\(x=y-y'\)即可得到\(y=y'\)。 ◻