第 5 章概率测度

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5.1 集合与集族

Definition 5.1. 一个集合（set）是指具有某种性质的事物的全体。组成集合的每个事物称为该集合的元素（element）。若集合的元素只有有限多个，则称该集合为有限集（finite set），否则称为无限集（infinite set）；不含任何元素的集合称为空集（empty set），用符号$\varnothing$表示。语境中所有相关元素构成的集合称之为全集（universal set），一般用$X$表示，也称为空间或全空间。

Definition 5.2. 若集合$A$由集合构成，则称$A$是一个集族（family of sets）。记$A$的所有子集构成的集合为$\mathscr{P}(A)$。

5.1.1 集合相关

5.1.1.1 集合的关系

Definition 5.3. 设$A,B$是两个集合：

$A$包含$B$是指对任意的$x\in B$有$x\in A$，记作$B\subseteq A$，也称作$B$包含于$A$，$B$是$A$的子集（subset）；
$A$和$B$相等是指$A\subseteq B$且$B\subseteq A$；
$A$和$B$不交（disjoint）是指$A$和$B$没有相同的元素；

若$A\ne B$且有$A$包含$B$，则称$B$是$A$的真子集（proper subset），记作$B\subsetneq A$。

5.1.1.2 集合的运算

Definition 5.4. 设$A,B$是全集$X$的两个子集，定义：

$A\cup B\coloneq\{x:x\in A\text{或}x\in B\}$，称之为$A$与$B$的并集（union）；
$A\cap B\coloneq\{x:x\in A\text{且}x\in B\}$，称之为$A$与$B$的交集（intersection）；
$A\setminus B\coloneq\{x:x\in A\text{且}x\notin B\}$，称之为$A$与$B$的差集（difference）；
$A\Delta B\coloneq (A\setminus B)\cup(B\setminus A)$，称之为$A$与$B$的对称差（symmetric difference）；
$A^c\coloneq X\setminus A$，称之为$A$的补集（complement）。

Property 5.1.1. 设$A,B,C$是全集$X$的三个子集，$\{A_n:n\in I\}$是$X$的子集构成的一个集族，其中$I$是一个指标集。集合的运算有如下性质：

幂等性：$A\cup A=A,\;A\cap A=A$；
交换律：$A\cup B=B\cup A,\;A\cap B=B\cap A,\;A\Delta B=B\Delta A$；
结合律：$(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C),\;(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)$；
分配律：

\[\begin{gather*} A\bigcap\left(\underset{n\in I}{\overset{}{\bigcup}}A_n\right)=\underset{n\in I}{\overset{}{\bigcup}}(A\cap A_n),\quad A\bigcup\left(\underset{n\in I}{\overset{}{\bigcap}}A_n\right)=\underset{n\in I}{\overset{}{\bigcap}}(A\cup A_n) \\ \left(\underset{n\in I}{\overset{}{\bigcup}}A_n\right)\Big\backslash A=\underset{n\in I}{\overset{}{\bigcup}}(A_n\setminus A),\quad\left(\underset{n\in I}{\overset{}{\bigcap}}A_n\right)\Big\backslash A=\underset{n\in I}{\overset{}{\bigcap}}(A_n\setminus A) \\ (A\setminus B)\cap C=(A\cap C)\setminus(B\cap C) \end{gather*}\]
$(A\setminus B)\setminus C=A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C)$；
$A\setminus B=A\cap B^c=A\setminus (A\cap B)$；
De-Morgan Law：

\[\begin{equation*} A\Big\backslash\left(\underset{n\in I}{\bigcup}A_n\right)=\underset{n\in I}{\bigcap}(A\backslash A_n),\quad A\Big\backslash\left(\underset{n\in I}{\bigcap}A_n\right)=\underset{n\in I}{\bigcup}(A\backslash A_n) \end{equation*}\]

证明. 利用集合相等的定义即可得到。 ◻

Definition 5.5. 设$\{A_n\}$为一个集合序列。

若$A_n\subseteq A_{n+1},\;\forall\;n\in\mathbb{N}^+$，则称$\{A_n\}$为单调递增的集合序列，记为$A_n\uparrow$；
若$A_n\supseteq A_{n+1},\;\forall\;n\in\mathbb{N}^+$，则称$\{A_n\}$为单调递减的集合序列，记为$A_n\downarrow$；

单调递增和单调递减的集合序列统称为单调的集合序列。

Definition 5.6. 设$\{A_n\}$为一个集合序列，其上下极限定义如下：

\[\begin{equation*} \varliminf_{n\to+\infty}A_n=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}\underset{k=n}{\overset{+\infty}{\cap}}A_k,\quad \varlimsup_{n\to+\infty}A_n=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}\underset{k=n}{\overset{+\infty}{\cup}}A_k \end{equation*}\]

若：

\[\begin{equation*} \varliminf_{n\to+\infty}A_n=\varlimsup_{n\to+\infty}A_n \end{equation*}\]

则认为$\{A_n\}$极限存在，记：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}A_n=\varliminf_{n\to+\infty}A_n=\varlimsup_{n\to+\infty}A_n \end{equation*}\]

Property 5.1.2. 设$\{A_n\}$为一个集合序列，则：

$\{A_n\}$的上下极限具有如下等价定义：

\[\begin{gather*} \varliminf_{n\to+\infty}A_n=\{x:\exists\;N\in\mathbb{N}^+,\;\forall\;n\geqslant N,\;x\in A_n\} \\ \varlimsup_{n\to+\infty}A_n=\{x:\forall\;N\in\mathbb{N}^+,\;\exists\;n\geqslant N,\;x\in A_n\}=\{x:x\text{属于无穷多个$A_n$}\} \end{gather*}\]
$\{A_n\}$的下极限包含于上极限，即：

\[\begin{equation*} \varliminf_{n\to+\infty}A_n\subseteq\varlimsup_{n\to+\infty}A_n \end{equation*}\]
若$\{A_n\}$单调，则$\lim\limits_{n\to+\infty}A_n$存在，且：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}A_n= \begin{cases} \underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n,&A_n\uparrow \\ \underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}A_n,&A_n\downarrow \end{cases} \end{equation*}\]

证明. (1)对于下极限来讲：

\[\begin{equation*} x\in\varliminf_{n\to+\infty}A_n \iff \exists\;n\in\mathbb{N}^+,\;x\in\underset{k=n}{\overset{+\infty}{\cap}}A_k \iff \exists\;N\in\mathbb{N}^+,\;\forall\;n\geqslant N,\;x\in A_n \end{equation*}\]

对于上极限来讲：

\[\begin{equation*} x\in\varlimsup_{n\to+\infty}A_n \iff \forall\;n\in\mathbb{N}^+,\;x\in\underset{k=n}{\overset{+\infty}{\cup}}A_k \iff \forall\;N\in\mathbb{N}^+,\;\exists\;n\geqslant N,\;x\in A_n \end{equation*}\]

下证明上极限的第二个等价定义。

必要性：若此时$x$没有出现在无穷多个$A_n$中，则存在$N\in\mathbb{N}^+$，当$n>N$时有$x\notin A_n$，矛盾。

充分性：当$x$存在于无穷多个$A_n$中时，若存在$N\in\mathbb{N}^+$，当$n>N$时有$x\notin A_n$，则$x$最多存在于$N$个集合中，矛盾。

(2)由(1)可直接得出结论。

(3)当$A_n\uparrow$时，由集合序列上下极限的定义可得：

\[\begin{equation*} \varliminf_{n\to+\infty}A_n=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}\underset{k=n}{\overset{+\infty}{\cap}}A_k=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n,\quad\varlimsup_{n\to+\infty}A_n=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}\underset{k=n}{\overset{+\infty}{\cup}}A_k=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n \end{equation*}\]

所以：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}A_n=\varliminf_{n\to+\infty}A_n=\varlimsup_{n\to+\infty}A_n=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n \end{equation*}\]

当$A_n\downarrow$时，由集合序列上下极限的定义可得：

\[\begin{equation*} \varliminf_{n\to+\infty}A_n=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}\underset{k=n}{\overset{+\infty}{\cap}}A_k=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}A_n,\quad\varlimsup_{n\to+\infty}A_n=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}\underset{k=n}{\overset{+\infty}{\cup}}A_k=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}A_n \end{equation*}\]

所以：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}A_n=\varliminf_{n\to+\infty}A_n=\varlimsup_{n\to+\infty}A_n=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}A_n \end{equation*}\]

◻

5.1.2 重要集族

5.1.2.1 $\pi$系、半环、半代数、环、域

Definition 5.7. 如果$X$上的非空集族$\mathscr{A}$对有限交的运算是封闭的，即：

\[\begin{equation*} \forall\;A,B\in\mathscr{A},\;A\cap B\in\mathscr{A} \end{equation*}\]

则称$\mathscr{A}$是一个$\pi$系。

Definition 5.8. 如果$X$上的非空集族$\mathscr{A}$满足：

$\varnothing\in\mathscr{A}$；
对有限交的运算封闭；
若$A,B\in\mathscr{A}$，则存在有限个互不相交的$\{C_i\in\mathscr{A}:i=1,2,\dots,n\}$，使得：

\[\begin{equation*} A\setminus B=\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}C_i \end{equation*}\]

则称$\mathscr{A}$为半环（semiring）。

Property 5.1.3. 半环具有如下性质：

若$\mathscr{A}$是一个半环，$A_1, A_2, \dots, A_{m},B_1, B_2, \dots, B_{n}\in\mathscr{A}$，则$\underset{i=1}{\overset{m}{\cup}}A_i,\;\left(\underset{i=1}{\overset{m}{\cup}}A_i\right)\Big\backslash\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}B_i\right)$都可以表示为$\mathscr{A}$中的有限不交并；
半环定义中的第三条可修改为：若$A,B\in\mathscr{A},\;B\subseteq A$，则$A\setminus B$可以表示为$\mathscr{A}$中的有限不交并；
若$X=\mathbb{R}^{n}$，则集族$\{(a,b]:a,b\in\mathbb{R}^{n}\},\{[a,b):a,b\in\mathbb{R}^{n}\}$都是半环。

证明. (1)先证明$A\setminus\left(\underset{i=1}{\overset{m}{\cup}}B_i\right)$能表示为$\mathscr{A}$中的有限不交并。

当$m=1$时由半环的定义即可得出结论。假设对$m\in\mathbb{N}^+$成立，下证明对$m+1$成立。

由归纳假设和性质 5.1.1(4)可得存在互不相交的$C_1, C_2, \dots, C_{n}$和$C_{ij},\;i=1,2,\dots,n,\;j=1,2,\dots,n_i$使得：

\[\begin{equation*} A\Big\backslash\left(\underset{i=1}{\overset{m+1}{\cup}}B_i\right)=\left[A\Big\backslash\left(\underset{i=1}{\overset{m}{\cup}}B_i\right)\right]\setminus B_{m+1}=\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}C_i\right)\setminus B_{m+1}=\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}(C_i\setminus B_{m+1})=\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}\left(\underset{j=1}{\overset{n_i}{\cup}}C_{ij}\right) \end{equation*}\]

于是结论成立。

注意到：

\[\begin{equation*} \underset{i=1}{\overset{m}{\cup}}A_i=\underset{i=1}{\overset{m}{\cup}}\left[A_i\Big\backslash\left(\underset{j=1}{\overset{i-1}{\cup}}A_j\right)\right] \end{equation*}\]

由前面的结论可知$A_i\Big\backslash\left(\underset{j=1}{\overset{i-1}{\cup}}A_j\right)$可以表示为$\mathscr{A}$中的有限不交并，而对于不同的$i$，它们又是不交的，于是结论成立。

(2)只需证明二者互为充要条件。必要性显然，下证充分性。

任取$A,B\in\mathscr{A}$，由性质 5.1.1(6)可得$A\setminus B=A\setminus(A\cap B)$，因为$A\cap B\subseteq A$且根据半环的定义可得$A\cap B\in\mathscr{A}$，所以$A\setminus B$可以表示为$\mathscr{A}$中的有限不交并，充分性得证。

(3)逐条验证定义即可，很简单，略去证明。 ◻

Definition 5.9. 如果$X$上的半环$\mathscr{A}$包含$X$，则称$\mathscr{A}$为半代数（semi-algebra）。

Definition 5.10. 如果$X$上的非空集族$\mathscr{A}$对并和差的运算是封闭的，即对任意的$A,B\in\mathscr{A}$：

$A\cup B\in\mathscr{A}$；
$A\setminus B\in\mathscr{A}$。

则称$\mathscr{A}$为环（ring）。

Definition 5.11. 如果$X$上的非空集族$\mathscr{A}$对交和补的运算是封闭的，且$X$也在其中，即：

$\forall\;A,B\in\mathscr{A},\;A\cap B\in\mathscr{A}$；
$\forall\;A\in\mathscr{A},\;A^c\in\mathscr{A}$；
$X\in\mathscr{A}$。

则称$\mathscr{A}$为域（field of sets）或代数（algebra of sets）。

Property 5.1.4. 域具有如下性质：

域对有限交、并、补、差封闭；
域定义中的第一条可修改为：$\forall\;A,B\in\mathscr{A},\;A\cup B\in\mathscr{A}$。

证明. (1)有限交和有限补由定义立即可得。由性质 5.1.1(7)可得有限并的封闭性，根据性质 5.1.1(6)可得有限差的封闭性。

(2)只需证明二者互为充要条件，由性质 5.1.1(7)即可得到。 ◻

Theorem 5.1. 半环必是$\pi$系，环必是半环，域必是环和半代数。

证明. (1)半环必是$\pi$系可直接由半环的定义得出。

(2)设$\mathscr{A}$是一个环，$A,B\in\mathscr{A}$。根据环的定义，$A\setminus A=\varnothing\in\mathscr{A}$。由集合的运算可得：

\[\begin{equation*} A\cap B=(A\cup B)\setminus(A\Delta B)=(A\cup B)\setminus[(A\setminus B)\cup(B\setminus A)] \end{equation*}\]

因为$\mathscr{A}$是一个环，所以$A\setminus B,B\setminus A\in\mathscr{A}$，$[(A\setminus B)\cup(B\setminus A)]\in\mathscr{A}$，$A\cup B\in\mathscr{A}$，所以$A\cap B=(A\cup B)\setminus[(A\setminus B)\cup(B\setminus A)]\in\mathscr{A}$，即$\mathscr{A}$对交的运算是封闭的。

因为$\mathscr{A}$是一个环，对差的运算封闭，所以取$C=A\setminus B$即有$A\setminus B=C\in\mathscr{A}$。

(3)由性质 5.1.4(1)可知域是环。

(4)由(3)(2)和域的定义立即可得。 ◻

5.1.2.2 单调系、$\lambda$系、$\sigma$环、$\sigma$域

Definition 5.12. 根据性质 5.1.2(3)，如果集族$\mathscr{A}$中的所有单调序列$\{A_n\}$都满足$\lim\limits_{n\to+\infty}A_n\in\mathscr{A}$，则称$\mathscr{A}$为单调系（monotone class）。

Definition 5.13. 如果$X$上的集族$\mathscr{A}$满足：

$X\in\mathscr{A}$；
若$A,B\in\mathscr{A},\;B\subseteq A$，则有$A\setminus B\in\mathscr{A}$；
单调递增集合序列$\{A_n\}$的极限$\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\in\mathscr{A}$。

则称$\mathscr{A}$为$\lambda$系。

Property 5.1.5. $\lambda$系对补封闭。

证明. 设$\mathscr{A}$是一个$\lambda$系，任取$A\in\mathscr{A}$，由$\lambda$系的定义可知$\mathscr{A}$对差封闭，所以有$A^c=X\setminus A\in\mathscr{A}$，即$\lambda$系对补封闭。 ◻

Definition 5.14. 如果$X$上的集族$\mathscr{A}$满足：

若$A_n\in\mathscr{A},\;\forall\;n\in\mathbb{N}^+$，则$\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\in\mathscr{A}$；
若$A,B\in\mathscr{A}$，则$A\setminus B\in\mathscr{A}$；

则称$\mathscr{A}$为$\sigma$环。

Definition 5.15. 如果$X$上的集族$\mathscr{A}$满足：

$X\in\mathscr{A}$；
若$A\in\mathscr{A}$，则$A^c\in\mathscr{A}$；
若$A_n\in\mathscr{A},\;\forall\;n\in\mathbb{N}^+$，则$\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\in\mathscr{A}$。

则称$\mathscr{A}$为$\sigma$域。

Property 5.1.6. $\sigma$域具有如下性质：

$\sigma$域是域；
$\sigma$域对有限交和可列交封闭；
$\sigma$域对有限并封闭；
$\sigma$域对有限差和可列差封闭；
若$\mathscr{A}_i,\;i\in I$都是$\sigma$域，则$\underset{i\in I}{\overset{}{\cap}}\mathscr{A}_i$也是$\sigma$域；
设$A\subseteq X$且$A\ne\varnothing$，$\mathscr{A}$是$X$上的$\sigma$域，则$A\cap\mathscr{A}\coloneq\{A\cap E:E\in\mathscr{A}\}$是$A$上的$\sigma$域且$A\cap\mathscr{A}\subseteq\mathscr{A}$。

证明. 设$\mathscr{A}$是一个$\sigma$域。

(1)设$A,B\in\mathscr{A}$。由$\sigma$域的定义，$\mathscr{A}$对补的运算封闭并且$X\in\mathscr{A}$。根据性质 5.1.1(7)可得：

\[\begin{equation*} A\cap B=A\cap B\cap X\cap\cdots=(A^c\cup B^c\cup\varnothing\cup\cdots)^c\in\mathscr{A} \end{equation*}\]

所以$\mathscr{A}$是一个域。

(2)有限交由(1)和性质 5.1.4(1)即可得到。

任取集合序列$\{A_n\}\subseteq\mathscr{A}$，由性质 5.1.1(7)和$\sigma$域的定义可得：

\[\begin{equation*} \underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}A_n=\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n^c\right)^c\in\mathscr{A} \end{equation*}\]

所以$\mathscr{A}$对可列交封闭。

(3)由$\sigma$域的定义可知$\varnothing=X^c\in\mathscr{A}$，所以对任意的$A,B\in\mathscr{A}$有：

\[\begin{equation*} A\cup B=A\cup B\cup\varnothing\cup\cdots\in\mathscr{A} \end{equation*}\]

所以$\mathscr{A}$对有限并封闭。

(4)有限差由(1)和性质 5.1.4(1)即可得到，可列差由性质 5.1.1(7)、有限差的结论和(2)即可得到。

(5)由定义逐条验证即可。

(6)因为$X\in\mathscr{A}$，所以$A=A\cap X\in A\cap\mathscr{A}$。

对任意的$B\in A\cap\mathscr{A}$，有$B=A\cap C$，其中$C\in\mathscr{A}$，于是由性质 5.1.1(7)(4)：

\[\begin{equation*} A\setminus B=A\cap B^c=A\cap(A\cap C)^c=A\cap(A^c\cup C^c)=(A\cap A^c)\cup(A\cap C^c)=A\cap C^c \end{equation*}\]

因为$C\in\mathscr{A}$，所以$C^c\in\mathscr{A}$，于是$A\setminus B\in\mathscr{A}$，即$B$在$A$中的补集仍然在$\mathscr{A}$中。

对任意的$\{B_n\}\subseteq A\cap\mathscr{A}$，有$B_n=A\cap C_n$，其中$C_n\in\mathscr{A}$。由性质 5.1.1(4)可得：

\[\begin{equation*} \underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}(A\cap C_n)=A\cap\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}C_n\right) \end{equation*}\]

因为$\mathscr{A}$是$\sigma$域，所以$\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}C_n\in\mathscr{A}$，于是$\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n\in A\cap\mathscr{A}$。

综上，$A\cap\mathscr{A}$是$A$上的$\sigma$域，由(2)可知$A\cap\mathscr{A}\subseteq\mathscr{A}$。 ◻

Theorem 5.2. $\lambda$系是单调系，$\sigma$域是$\lambda$系。

证明. (1)设$\mathscr{A}$是一个$\lambda$系。由$\lambda$系的定义，$\mathscr{A}$中单调递增的集合序列必在$\mathscr{A}$中有极限。任取$\mathscr{A}$中的单调递减序列$\{A_n\}$，由性质 5.1.5可知$\{A_n^c\}$是$\mathscr{A}$中的一个单调递增序列，于是根据性质 5.1.2(3)可得：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}A_n^c=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n^c\in\mathscr{A} \end{equation*}\]

所以根据性质 5.1.1(7)和性质 5.1.5可得：

\[\begin{equation*} \underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}A_n=\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n^c\right)^c\in\mathscr{A} \end{equation*}\]

即$\{A_n\}$在$\mathscr{A}$中有极限。由$\{A_n\}$的任意性，$\mathscr{A}$中单调递减的集合序列也必在$\mathscr{A}$中有极限。综上，$\mathscr{A}$是一个单调系。

(2)由性质 5.1.6(4)可知$\sigma$域对差的运算封闭，根据定义即可得出结论。 ◻

5.1.2.3 集族的关系总结

上面提到的集族之间有如下关系：

\[\begin{equation*} \text{单调系}\supset\text{$\lambda$系}\supset\text{$\sigma$域}\subset\text{域}\subset\text{环}\subset\text{半环}\subset\text{$\pi$系} \end{equation*}\]

Theorem 5.3. 一个包含$X$的环是域，一个包含$X$的$\sigma$环是$\sigma$域。

证明. (1)设$\mathscr{A}$是一个环且$X\in\mathscr{A}$。由定理 5.1可知$\mathscr{A}$对交的运算封闭。

因为$A^c=X\setminus A$，所以$A^c\in\mathscr{A}$。由$A$的任意性，$\mathscr{A}$对补的运算封闭。

综上，$\mathscr{A}$是一个域，即一个包含$X$的环是域。

(2)设$\mathscr{A}$是$\sigma$环，$A\in\mathscr{A}$。因为$X\in\mathscr{A},\;A^c=X\setminus A$，而$\sigma$环对差的运算封闭，所以$\mathscr{A}$对补的运算封闭。由定义可知$\mathscr{A}$是$\sigma$域，即一个包含$X$的$\sigma$环是$\sigma$域。 ◻

Theorem 5.4. 一个既是单调系又是域的集族必是$\sigma$域。

证明. 设$\mathscr{A}$既是单调系又是域。因为$\mathscr{A}$是一个域，所以对补的运算封闭且$X\in\mathscr{A}$。任取$A_n\in\mathscr{A},\;n\in\mathbb{N}^+$，由定理 5.1可知$\mathscr{A}$对有限并封闭，即$\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}A_i\in\mathscr{A},\;\forall\;n\in\mathbb{N}^+$。因为$\mathscr{A}$是单调系，根据性质 5.1.2(3)，单调递增集合序列：

\[\begin{equation*} \left\{B_n=\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}A_i\right\} \end{equation*}\]

的极限：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}B_n=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}A_i=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\in\mathscr{A} \end{equation*}\]

由$\{A_n\}$的任意性，$\mathscr{A}$对可列并封闭。综上，$\mathscr{A}$是一个$\sigma$域，即一个既是单调系又是域的集族必是$\sigma$域。 ◻

Theorem 5.5. 一个既是$\lambda$系又是$\pi$系的集族必是$\sigma$域。

证明. 设$\mathscr{A}$既是$\lambda$系又是$\pi$系。因为$\mathscr{A}$是$\lambda$系，所以$X\in\mathscr{A}$。任取$A\in\mathscr{A}$，由$\lambda$系的定义可得$A^c=X\setminus A\in\mathscr{A}$。由$A$的任意性，$\mathscr{A}$对补的运算封闭。又因为$\mathscr{A}$是一个$\pi$系，所以$\mathscr{A}$对交的运算封闭。综上可知$\mathscr{A}$是一个域。由定理 5.2可知$\lambda$系是单调系，所以$\mathscr{A}$既是域又是单调系，由定理 5.4可得$\mathscr{A}$是$\sigma$域。 ◻

5.1.3 集族的生成

Definition 5.16. 设$\mathscr{A},\mathscr{B}$是$X$上的集族，$\mathscr{B}$是环（或单调系，或$\lambda$系，或$\sigma$域）。若：

$\mathscr{A}\subseteq\mathscr{B}$；
对$X$上任意的另一环（或单调系，或$\lambda$系，或$\sigma$域）$\mathscr{C}$，若$\mathscr{A}\subseteq\mathscr{C}$，就有$\mathscr{B}\subseteq\mathscr{C}$。

则称$\mathscr{B}$是由集族$\mathscr{A}$生成的环（或单调系，或$\lambda$系，或$\sigma$域），即由集族$\mathscr{A}$生成的环（或单调系，或$\lambda$系，或$\sigma$域）是包含$\mathscr{A}$的最小的环（或单调系，或$\lambda$系，或$\sigma$域），将由集族$\mathscr{A}$生成的环、单调系、$\lambda$系和$\sigma$域分别记作$r(\mathscr{A}),\;m(\mathscr{A}),\;l(\mathscr{A}),\;\sigma(\mathscr{A})$。

Theorem 5.6. 由任何集族$\mathscr{A}$生成的环、单调系、$\lambda$系和$\sigma$域都存在。

证明. 设$\mathscr{B}$为$X$的所有子集构成的集族，则$\mathscr{B}$是一个$\sigma$域，所以由性质 5.1.6(1)和定理 5.1可得$\mathscr{B}$是一个环（根据定理 5.2可知或单调系，或$\lambda$系）并且有$\mathscr{A}\subseteq\mathscr{B}$。把所有包含集族$\mathscr{A}$的环（或单调系，或$\lambda$系，或$\sigma$域）的全体记为$\mathbf{A}$，则$\mathscr{B}\in \mathbf{A}$，于是$\mathbf{A}$非空。记：

\[\begin{equation*} \mathscr{C}=\underset{\mathscr{D}\in \mathbf{A}}{\cap}\mathscr{D} \end{equation*}\]

$\mathscr{C}$就是由$\mathscr{A}$生成的环（或单调系，或$\lambda$系，或$\sigma$域），根据定义逐条验证即可。 ◻

Theorem 5.7. 如果$\mathscr{A}$是半环，则：

\[\begin{equation*} r(\mathscr{A})= \underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}} \left\{\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}A_i:A_i\in\mathscr{A};\;A_i\cap A_j=\varnothing,\forall\;i\ne j\right\} \end{equation*}\]

证明. 令：

\[\begin{equation*} \mathscr{B}=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}} \left\{\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}A_i:A_i\in\mathscr{A};\;A_i\cap A_j=\varnothing,\forall\;i\ne j\right\} \end{equation*}\]

由$\mathscr{B}$的定义，$\mathscr{A}\subseteq\mathscr{B}$。因为环对有限并封闭，所以包含$\mathscr{A}$的环必然包含$\mathscr{B}$。若证得$\mathscr{B}$是一个环，则可得到$r(\mathscr{A})=\mathscr{B}$。

任取$A,B\in\mathscr{B}$，则存在$m,n\in\mathbb{N}^+$和互不相交的$A_1, A_2, \dots, A_{m}\in\mathscr{A}$、互不相交的$B_1, B_2, \dots, B_{n}\in\mathscr{A}$使得：

\[\begin{equation*} A=\underset{i=1}{\overset{m}{\cup}}A_i,\; B=\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}B_i \end{equation*}\]

于是由性质 5.1.1(6)(4)(7)可得：

\[\begin{equation*} A\setminus B=A\cap B^c=\underset{i=1}{\overset{m}{\cup}}(A_i\cap B^c)=\underset{i=1}{\overset{m}{\cup}}\left[A_i\cap\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\cap}}B_i^c\right)\right]=\underset{i=1}{\overset{m}{\cup}}\underset{j=1}{\overset{n}{\cap}}(A_i\cap B_j^c)=\underset{i=1}{\overset{m}{\cup}}\underset{j=1}{\overset{n}{\cap}}(A_i\setminus B_j) \end{equation*}\]

因为$\mathscr{A}$是半环，于是存在互不相交的$C_{ij1},C_{ij2},\dots,C_{ijr_{ij}}\in\mathscr{A}$使得：

\[\begin{equation*} A_i\setminus B_j=\underset{k=1}{\overset{r_{ij}}{\cup}}C_{ijk} \end{equation*}\]

于是：

\[\begin{align*} A\setminus B&=\underset{i=1}{\overset{m}{\cup}}\underset{j=1}{\overset{n}{\cap}}(A_i\setminus B_j)=\underset{i=1}{\overset{m}{\cup}}\underset{j=1}{\overset{n}{\cap}}\underset{k=1}{\overset{r_{ij}}{\cup}}C_{ijk} \\ &=\underset{i=1}{\overset{m}{\cup}}[(C_{111}\cup C_{112}\cdots\cup C_{11r_{11}})\cap(C_{121}\cup C_{122}\cdots\cup C_{12r_{12}})\cdots] \\ &=\underset{i=1}{\overset{m}{\cup}}\left\{\underset{j=1}{\overset{r_{11}}{\cup}}[C_{11j}\cap(C_{121}\cup C_{122}\cdots\cup C_{12r_{12}})]\right\}\cap(C_{131}\cup C_{132}\cdots\cup C_{13r_{13}})\cdots \\ &=\underset{i=1}{\overset{m}{\cup}}\left[\underset{l=1}{\overset{r_{11}}{\cup}}\underset{k=1}{\overset{r_{12}}{\cup}}(C_{11l}\cap C_{12k})\right]\cap(C_{131}\cup C_{132}\cdots\cup C_{13r_{13}})\cdots \\ &=\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}\underset{k_1=1}{\overset{r_{i1}}{\cup}}\underset{k_2=1}{\overset{r_{i2}}{\cup}}\cdots\underset{k_n=1}{\overset{r_{i_n}}{\cup}}\underset{j=1}{\overset{n}{\cap}}C_{ijk_j} \end{align*}\]

因为$\mathscr{A}$是半环，所以$\underset{j=1}{\overset{n}{\cap}}C_{ijk_j}\in\mathscr{A}$。因为$C_{ij1},C_{ij2},\dots,C_{ijr_{ij}}$互不相交且$A_1, A_2, \dots, A_{m}$互不相交，所以$\underset{j=1}{\overset{n}{\cap}}C_{ijk_j}$互不相交，于是有$A\setminus B\in\mathscr{B}$，即$\mathscr{B}$对差封闭。

考虑$A\cup B=B\cup(A\setminus B)$，因为$B\cap (A\setminus B)=\varnothing$，所以$A\cup B\in\mathscr{B}$。

综上，$\mathscr{B}$对并和差封闭，所以$\mathscr{B}$是一个环。 ◻

note 5.1. 下面两个定理的证明思路具有统一的结构。其核心困难在于无法直接验证生成族本身的封闭性，证明中采用”固定一个集合，构造与其运算良好的集合族”的方法：先固定$A$，构造：

\[\begin{equation*} \mathscr{B_A}=\{B:\text{与 }A\text{ 运算后仍留在生成族中}\} \end{equation*}\]

再证明$\mathscr{B_A}$本身是单调系（或$\lambda$系）并包含原集族族。由生成的最小性可知生成族必包含于$\mathscr{B_A}$，从而推出”与$A$的运算对生成族中的任意元素都成立”。再重复该过程，得到生成族中任意两元素的封闭性。

Theorem 5.8. 若$\mathscr{A}$是域，则$\sigma(\mathscr{A})=m(\mathscr{A})$。

证明. 由定理 5.2可知$\sigma(\mathscr{A})$是包含$\mathscr{A}$的单调系，所以$m(\mathscr{A})\subseteq\sigma(\mathscr{A})$。下证$\sigma(\mathscr{A})\subseteq m(\mathscr{A})$。

若能证得$m(\mathscr{A})$是一个$\sigma$域即可得出结论，由定理 5.4可得一个既是单调系又是域的集族必是$\sigma$域，所以证得$m(\mathscr{A})$是一个域即可。又因为$\mathscr{A}$是域，所以$X\in\mathscr{A}$，同时$X\in m(\mathscr{A})$，由定理 5.3可得一个包含$X$的环是域，所以只需证明$m(\mathscr{A})$是一个环。

对任意的$A\in\mathscr{A}$，令：

\[\begin{equation*} \mathscr{B}_A=\{B\in m(\mathscr{A}):A\cup B,A\setminus B\in m(\mathscr{A})\} \end{equation*}\]

任取$\mathscr{B}_A$中一个单调不减序列$\{B_n\}$，根据性质 5.1.2(3)可知：

\[\begin{equation*} A\cup\left(\lim_{n\to+\infty}B_n\right)=A\cup\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n\right) =\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}(A\cup B_n) \end{equation*}\]

且$\{A\cup B_n\}$也是一个单调不减序列。因为对任意的$n\in\mathbb{N}^+$，有$A\cup B_n\in m(\mathscr{A})$，所以根据性质 5.1.2(3)可知：

\[\begin{equation*} A\cup\left(\lim_{n\to+\infty}B_n\right)=\lim_{n\to+\infty}(A\cup B_n)\in m(\mathscr{A}) \end{equation*}\]

根据性质 5.1.2(3)和性质 5.1.1(7)可知：

\[\begin{equation*} A\setminus\left(\lim_{n\to+\infty}B_n\right)=A\setminus\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n\right) =\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}(A\setminus B_n) \end{equation*}\]

则$\{A\setminus B_n\}$是一个单调不增序列。因为对任意的$n\in\mathbb{N}^+$，有$A\setminus B_n\in m(\mathscr{A})$，所以由性质 5.1.1(6)(7)和性质 5.1.2(3)可得：

\[\begin{equation*} A\setminus\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n\right)=A\cap\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n\right)^c=A\cap\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}B_n^c\right)=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}(A\cap B_n^c)=\lim_{n\to+\infty}(A\setminus B_n)\in m(\mathscr{A}) \end{equation*}\]

于是：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}B_n=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n\in\mathscr{B}_A \end{equation*}\]

由$\{B_n\}$的任意性，$\mathscr{B}_A$对单调不减序列的极限封闭。同理，$\mathscr{B}_A$对单调不增序列的极限封闭。

综上，$\mathscr{B}_A$是一个单调系。

因为$\mathscr{A}$是一个域，由定理 5.1可知$\mathscr{A}$是一个环，所以$\mathscr{A}$对并和差封闭，即$\mathscr{A}\subseteq\mathscr{B}_A$，于是$m(\mathscr{A})\subseteq\mathscr{B}_A$，因此：

\[\begin{equation*} \forall\;A\in\mathscr{A},\;\forall\;B\in m(\mathscr{A}),\; A\cup B,A\setminus B\in m(\mathscr{A}) \end{equation*}\]

对任意的$D\in m(\mathscr{A})$，令：

\[\begin{equation*} \mathscr{C}_D=\{C\in m(\mathscr{A}):C\cup D,C\setminus D\in m(\mathscr{A})\} \end{equation*}\]

与之前类似可得$\mathscr{C}_D$是一个单调系。由：

\[\begin{equation*} \forall\;A\in\mathscr{A},\;\forall\;B\in m(\mathscr{A}),\;A\cup B,A\setminus B\in m(\mathscr{A}) \end{equation*}\]

可得$\mathscr{A}\subseteq\mathscr{C}_D$，由生成的定义，$m(\mathscr{A})\subseteq\mathscr{C}_D$，再根据$\mathscr{C}_D$定义中$D$的任意性可得：

\[\begin{equation*} \forall\;A,B\in m(\mathscr{A}),\;A\cup B,A\setminus B\in m(\mathscr{A}) \end{equation*}\]

所以$m(\mathscr{A})$是一个环。 ◻

推论 6.1 Corollary 5.1. 如果$\mathscr{A}$是域，$\mathscr{B}$是单调系，则：

\[\begin{equation*} \mathscr{A}\subseteq\mathscr{B}\Rightarrow\sigma(\mathscr{A})\subseteq\mathscr{B} \end{equation*}\]

并且该推论与上一定理等价。

证明. (1)必要性：因为$\mathscr{A}$是域，所以$\sigma(\mathscr{A})=m(\mathscr{A})$。因为$\mathscr{B}$是包含$\mathscr{A}$的单调系，由生成的定义，$\sigma(\mathscr{A})\subseteq\mathscr{B}$。

(2)充分性：由$\mathscr{B}$的任意性和生成的定义直接可得。 ◻

Theorem 5.9. 如果$\mathscr{A}$是$\pi$系，则$\sigma(\mathscr{A})=l(\mathscr{A})$。

证明. 由定理 5.2可知$\sigma(\mathscr{A})$是一个$\lambda$系，所以$l(\mathscr{A})\subseteq\sigma(\mathscr{A})$。下证$\sigma(\mathscr{A})\subseteq l(\mathscr{A})$。

若证得$l(\mathscr{A})$是一个$\sigma$域即可得出结论。由定理 5.5可知只需证明$l(\mathscr{A})$是一个$\pi$系。

对任意的$A\in\mathscr{A}$，令：

\[\begin{equation*} \mathscr{B}_A=\{B\in l(\mathscr{A}):A\cap B\in l(\mathscr{A})\} \end{equation*}\]

因为$l(\mathscr{A})$是$\lambda$系，所以$X\in l(\mathscr{A})$，而$A\cap X=A\in\mathscr{A}$，由生成的定义，$A\cap X\in l(\mathscr{A})$，于是$X\in\mathscr{B}_A$。

任取$C,D\in\mathscr{B}_A$且$C\subseteq D$，则有$C,D\in l(\mathscr{A})$，于是$D\setminus C\in l(\mathscr{A})$。由性质 5.1.1(4)可得：

\[\begin{equation*} A\cap(D\setminus C)=(A\cap D)\setminus(A\cap C) \end{equation*}\]

因为$C,D\in\mathscr{B}_A$，所以$A\cap C,A\cap D\in l(\mathscr{A})$。因为$C\subseteq D$，所以$A\cap C\subseteq A\cap D$，由$\lambda$系的定义可得$(A\cap D)\setminus(A\cap C)\in l(\mathscr{A})$，即$A\cap(D\setminus C)\in l(\mathscr{A})$，所以$D\setminus C\in\mathscr{B}_A$。

任取$\mathscr{B}_A$中的一个单调不减的集合列$\{B_n\}$，则有$B_n\in l(\mathscr{A}),A\cap B_n\in l(\mathscr{A})$对$n\in\mathbb{N}^+$成立，于是$\{B_n\}$是$l(\mathscr{A})$中单调不减的集合列。由性质 5.1.2(3)和$\lambda$系的定义可知：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}B_n=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n\in l(\mathscr{A}) \end{equation*}\]

根据性质 5.1.1(4)可得：

\[\begin{equation*} A\cap\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n\right) =\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}(A\cap B_n) \end{equation*}\]

因为$\{B_n\}$单调不减，所以$\{A\cap B_n\}$是$l(\mathscr{A})$中单调不减的集合列，由性质 5.1.2(3)和$\lambda$系的定义可得：

\[\begin{equation*} A\cap\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n\right)=\lim_{n\to+\infty}(A\cap B_n)\in l(\mathscr{A}) \end{equation*}\]

所以有：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}B_n=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n\in\mathscr{B}_A \end{equation*}\]

综上，$\mathscr{B}_A$是一个$\lambda$系。

因为$\mathscr{A}$是一个$\pi$系，所以$\mathscr{A}\subseteq\mathscr{B}_A$，即$l(\mathscr{A})\subseteq\mathscr{B}_A$。这说明：

\[\begin{equation*} \forall\;A\in\mathscr{A},\;\forall\;B\in l(\mathscr{A}),\;A\cap B\in l(\mathscr{A}) \end{equation*}\]

对任意的$D\in l(\mathscr{A})$，令：

\[\begin{equation*} \mathscr{C}_D=\{C\in l(\mathscr{A}):C\cap D\in l(\mathscr{A})\} \end{equation*}\]

与之前类似可得$\mathscr{C}_D$是一个$\lambda$系。由：

\[\begin{equation*} \forall\;A\in\mathscr{A},\;\forall\;B\in l(\mathscr{A}),\;A\cap B\in l(\mathscr{A}) \end{equation*}\]

可知$\mathscr{A}\subseteq\mathscr{C}_D$，所以$l(\mathscr{A})\subseteq\mathscr{C}_D$。由$\mathscr{C}_D$的定义可知$l(\mathscr{A})$对交封闭，所以$l(\mathscr{A})$是一个$\pi$系。 ◻

推论 6.2 Corollary 5.2. 如果$\mathscr{A}$是$\pi$系，$\mathscr{B}$是$\lambda$系，则：

\[\begin{equation*} \mathscr{A}\subseteq\mathscr{B}\Rightarrow\sigma(\mathscr{A})\subseteq\mathscr{B} \end{equation*}\]

并且该推论与上一定理等价。

证明. (1)必要性：因为$\mathscr{A}$是$\pi$系，所以$\sigma(\mathscr{A})=l(\mathscr{A})$。因为$\mathscr{B}$是包含$\mathscr{A}$的$\lambda$系，由生成的定义，$\sigma(\mathscr{A})\subseteq\mathscr{B}$。

(2)充分性：由$\mathscr{B}$的任意性和生成的定义直接可得。 ◻

5.1.4 Borel$\;\sigma$域

Definition 5.17. 设$\mathcal{O}$为$\mathbb{R}^{n}$上所有开集构成的集族，称$\sigma(\mathcal{O})$为博雷尔$\sigma$域（Borel$\sigma$-field），记作$\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$。$\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$中的元素被称为博雷尔集（Borel set）。定义$\overline{\mathbb R}^n$上的Borel$\;\sigma$域为：

\[\begin{equation*} \mathcal{B}(\overline{\mathbb R}^n)\coloneq\sigma\Bigl(\mathcal{B}(\mathbb R^n)\cup\bigl\{\{x\}\subseteq\overline{\mathbb R}^n:\ x\in\overline{\mathbb R}^n\setminus\mathbb R^n\bigr\}\Bigr) \end{equation*}\]

Definition 5.18. 设$a=(a_1,\dots,a_n),b=(b_1,\dots,b_n)\in\overline{\mathbb{R}}^n$，定义：

\[\begin{align*} (a,b)&=\{x\in\mathbb{R}^{n}:a_i<x_i<b_i,\;i=1,2,\dots,n\} \\ [a,b)&=\{x\in\mathbb{R}^{n}:a_i\leqslant x_i<b_i,\;i=1,2,\dots,n\} \\ (a,b]&=\{x\in\mathbb{R}^{n}:a_i<x_i\leqslant b_i,\;i=1,2,\dots,n\} \\ [a,b]&=\{x\in\mathbb{R}^{n}:a_i\leqslant x_i\leqslant b_i,\;i=1,2,\dots,n\} \end{align*}\]

若对任意的$i=1,2,\dots,n$有$a_i\leqslant b_i$，则称$a\leqslant b$，小于、大于、大于等于的情况类似定义。

引理 6.1 Lemma 5.1. $\mathbb{R}^{n}$上任意非空开集可以表示为至多可列个有限开方块的并集。

证明. 因为$E$是开集，对任意$x=(x_1, x_2, \dots, x_{n})\in E$存在$r_x>0$使得开球$U(x,r_x)\subseteq E$，而$U(x,r_x)$中存在以$x$为中心且各端点都是有理数的开方块：

\[\begin{equation*} \delta=\frac{r_x}{\sqrt{2n}},\quad a_{i,x}\in\mathbb{Q}\cap(x_i-\delta,x_i),\quad b_{i_x}\in\mathbb{Q}\cap(x_i,x_i+\delta),\quad G_x=\prod_{i=1}^{n}(a_{i,x},b_{i,x}) \end{equation*}\]

由定理 19.7可知结论成立。 ◻

Property 5.1.7. Borel$\;\sigma$域有如下性质：

$\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$有如下等价定义：
1. 设$\mathbb{R}^{n}$上所有闭集构成的集族为$\mathcal{C}$，则$\sigma(\mathcal{C})=\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$；
2. $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$可由方块生成：
  
  \[\begin{align*} \mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})&=\sigma(\{(-\infty,a]:a\in\mathbb{R}^{n}\})=\sigma(\{(-\infty,a):a\in\mathbb{R}^{n}\}) \\ &=\sigma(\{(a,+\infty):a\in\mathbb{R}^{n}\})=\sigma(\{[a,+\infty):a\in\mathbb{R}^{n}\}) \\ &=\sigma(\{(a,b]:a,b\in\mathbb{R}^{n}\})=\sigma(\{[a,b):a,b\in\mathbb{R}^{n}\}) \\ &=\sigma(\{[a,b]:a,b\in\mathbb{R}^{n}\}) \end{align*}\]
3. $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})=\prod\limits_{i=1}^{n}\mathcal{B}(\mathbb{R}^{})$，其中乘积的定义为乘积空间中的定义未证明；
且可将b中的$\mathbb{R}^{n}$换成$\mathbb{R}^{n}$中一可数稠密子集；
$\mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}}^{n})$有如下等价定义：

\[\begin{align*} \mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}}^{n}) &=\sigma(\{[-\infty,a):a\in\mathbb{R}^{n}\}) \\ &=\sigma(\{[-\infty,a]:a\in\mathbb{R}^{n}\}) \\ &=\sigma(\{(a,+\infty]:a\in\mathbb{R}^{n}\}) \\ &=\sigma(\{[a,+\infty]:a\in\mathbb{R}^{n}\}) \end{align*}\]

且可将$\mathbb{R}^{n}$换成$\mathbb{R}^{n}$中一可数稠密子集。

证明. 由性质 3.2.2和引理 5.1可构造得到。 ◻

5.2 测度空间

本章主要讨论测度，先来介绍一下本章的思路：为了可以在测度上进行极限的计算，我们需要在$\sigma$域上定义测度，但是直接在复杂的$\sigma$域上规定测度通常既不自然也不可操作，一方面$\sigma$域里的集合极其繁杂，无法逐一赋值；另一方面还要同时验证对可列并的可加性，几乎无从下手。更合理的起点是简单集合构成的集合族，例如$\mathbb{R}^{n}$中的矩形，这类集合便于计算、便于检验性质，并且在多数场景下形成半环，因此我们先在半环上定义测度，然后试图将其延拓到半环生成的$\sigma$域上。然而从半环直接把测度延拓到$\sigma$域并不容易，于是引入外测度作为桥梁，随后再用Caratheodory条件选出一类”表现良好”的集合，这些集合自动组成$\sigma$域，并且$\tau$在其上成为真正的测度，且与原先在半环上的定义一致。最后讨论完全测度空间，我们将在下面两节看到为什么要研究完全测度空间。

Definition 5.19. 称$X$和其上的一个$\sigma$域$\mathscr{A}$为可测空间（measurable space），记为$(X,\mathscr{A})$，称$\mathscr{A}$中的集合为可测集（measurable set）。

5.2.1 集函数与测度

Definition 5.20. 设$\mathscr{A}$是$X$上的一个集族。称定义在$\mathscr{A}$上的函数为集函数。

Definition 5.21. 设$\mathscr{A}$是$X$上的集族，$\mu$是定义在其上的非负集函数。

如果对$\mathscr{A}$中任意互不相交并且满足$\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}A_i\in\mathscr{A}$的$A_1,A_2,\dots,A_n$，有：

\[\begin{equation*} \mu\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}A_i\right)=\sum_{i=1}^{n}\mu(A_i) \end{equation*}\]

则称$\mu$具有有限可加性（finite additivity）；
如果对$\mathscr{A}$中任意满足$\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}A_i\in\mathscr{A}$的$A_1,A_2,\dots,A_n$，有：

\[\begin{equation*} \mu\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}A_i\right)\leqslant\sum_{i=1}^{n}\mu(A_i) \end{equation*}\]

则称$\mu$具有次有限可加性（finite subadditivity）；
如果对任意的$A,B\in\mathscr{A},\;A\subseteq B,\;B\setminus A\in\mathscr{A}$，只要$\mu(A)<+\infty$，就有：

\[\begin{equation*} \mu(B\setminus A)=\mu(B)-\mu(A) \end{equation*}\]

则称$\mu$具有可减性（reducibility）；
若对任意的$A,B\in\mathscr{A},\;A\subseteq B$，有$\mu(A)\leqslant\mu(B)$，则称$\mu$具有单调性（monotonicity）；
若对$\mathscr{A}$中任意互不相交的集合序列$\{A_n\}$，只要$\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\in\mathscr{A}$，就有：

\[\begin{equation*} \mu\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\right)=\sum_{n=1}^{+\infty}\mu(A_n) \end{equation*}\]

则称$\mu$具有可列可加性（countably additivity）；
若对$\mathscr{A}$中任意的集合序列$\{A_n\}$，只要$\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\in\mathscr{A}$，就有：

\[\begin{equation*} \mu\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\right)\leqslant\sum_{n=1}^{+\infty}\mu(A_n) \end{equation*}\]

则称$\mu$具有次可列可加性（countably subadditivity）；
若对任意的$\{A_n\}\subseteq\mathscr{A}$且$A_n\uparrow A\in\mathscr{A}$，有：

\[\begin{equation*} \mu\left(A\right)=\lim_{n\to+\infty}\mu(A_n) \end{equation*}\]

则称$\mu$具有下连续性（continuity from below）；
若对任意的$\{A_n\}\subseteq\mathscr{A}$且$A_n\downarrow A\in\mathscr{A},\;\mu(A_1)<+\infty$，有：

\[\begin{equation*} \mu\left(A\right)=\lim_{n\to+\infty}\mu(A_n) \end{equation*}\]

则称$\mu$具有上连续性（continuity from above）。

5.2.1.1 半环上的非负集函数

Theorem 5.10. 半环$\mathscr{A}$上有有限可加性的非负集函数$\mu$必有单调性和可减性。

证明. (1)设$A,B\in\mathscr{A},\;A\subseteq B$。因为$\mathscr{A}$是一个半环，所以存在互不相交的$C_1, C_2, \dots, C_{n}\in\mathscr{A}$使得：

\[\begin{equation*} B\setminus A=\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}C_i \end{equation*}\]

由$\mu$的有限可加性可得：

\[\begin{equation*} \mu(B)=\mu\left[A\bigcup\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}C_i\right)\right]=\mu(A)+\sum_{i=1}^{n}\mu(C_i)\geqslant\mu(A) \end{equation*}\]

所以$\mu$有单调性。

(2)若$B\setminus A\in\mathscr{A}$，则由(1)可得：

\[\begin{equation*} \mu(B\setminus A)=\mu\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}C_i\right)=\sum_{i=1}^{n}\mu(C_i)=\mu(B)-\mu(A) \end{equation*}\]

于是$\mu$有可减性。 ◻

Theorem 5.11. 半环$\mathscr{A}$上有可列可加性且满足$\mu(\varnothing)=0$的非负集函数$\mu$具有次可列可加性、下连续性和上连续性。

证明. 下连续性：设$\{A_n\}$是$\mathscr{A}$中一个单调递增的集合序列且有$A_n\uparrow A\in\mathscr{A}$，$A_0=\varnothing$。根据半环的定义，存在$\mathscr{A}$中的$C_{n1},C_{n2},\dots,C_{nk_n}$使得：

\[\begin{equation*} A_n\setminus A_{n-1}=\underset{i=1}{\overset{k_n}{\cup}}C_{ni} \end{equation*}\]

由$\mu$的可列可加性和性质 5.2.1(1)可得：

\[\begin{align*} \mu(A)&=\mu\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\right) =\mu\left[\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}(A_{n}\setminus A_{n-1})\right]=\mu\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}\underset{i=1}{\overset{k_n}{\cup}}C_{ni}\right)=\sum_{n=1}^{+\infty}\sum_{i=1}^{k_n}\mu(C_{ni}) \\ &=\lim_{n\to+\infty}\left[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{k_i}\mu(C_{ij})\right]=\lim_{n\to+\infty}\mu\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}\underset{j=1}{\overset{k_i}{\cup}}C_{ij}\right)=\lim_{n\to+\infty}\mu(A_n) \end{align*}\]

下连续性得证。

上连续性：设$\{A_n\}$是$\mathscr{A}$中一个单调递减的集合序列且有$A_n\downarrow A\in\mathscr{A}$，$\mu(A_1)<+\infty$。因为$\mathscr{A}$是一个半环，所以存在互不相交的$C_{n1},C_{n2},\dots,C_{nk_n}\in\mathscr{A}$使得：

\[\begin{equation*} A_n\setminus A_{n+1}=\underset{i=1}{\overset{k_n}{\cup}}C_{ni} \end{equation*}\]

由$\mu$的可列可加性和性质 5.2.1(1)可得：

\[\begin{align*} \mu(A_n)&=\mu\left\{A\cup\left[\underset{i=n}{\overset{+\infty}{\cup}}(A_i\setminus A_{i+1})\right]\right\}=\mu\left[A\cup\left(\underset{i=n}{\overset{+\infty}{\cup}}\underset{j=1}{\overset{k_i}{\cup}}C_{ij}\right)\right] =\mu(A)+\sum_{i=n}^{+\infty}\sum_{j=1}^{k_i}\mu(C_{ij}) \end{align*}\]

注意到：

\[\begin{equation*} \mu(A_1)=\mu(A)+\sum_{i=1}^{+\infty}\sum_{j=1}^{k_i}\mu(C_{ij})<+\infty \end{equation*}\]

所以级数：

\[\begin{equation*} \sum_{i=1}^{+\infty}\sum_{j=1}^{k_i}\mu(C_{ij}) \end{equation*}\]

收敛。由性质 3.2.9(8.b)可得：

\[\begin{align*} &\lim_{n\to+\infty}\left[\sum_{i=n}^{+\infty}\sum_{j=1}^{k_i}\mu(C_{ij})\right]=\lim_{n\to+\infty}\left[\sum_{i=1}^{+\infty}\sum_{j=1}^{k_i}\mu(C_{ij})-\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=1}^{k_i}\mu(C_{ij})\right] \\ =&\sum_{i=1}^{+\infty}\sum_{j=1}^{k_i}\mu(C_{ij})-\lim_{n\to+\infty}\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=1}^{k_i}\mu(C_{ij})=0 \end{align*}\]

于是根据性质 3.2.9(8.b)可知：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}\mu(A_n)=\mu(A)+\lim_{n\to+\infty}\left[\sum_{i=n}^{+\infty}\sum_{j=1}^{k_i}\mu(C_{ij})\right]=\mu(A) \end{equation*}\]

上连续性得证。

次可列可加性：设$\{A_n\}$是$\mathscr{A}$中的一个集合序列，由生成的定义可知$\{A_n\}$也是$r(\mathscr{A})$中的一个集合序列，令$A_0=\varnothing$。由环的定义可得：

\[\begin{equation*} \underset{i=1}{\overset{n-1}{\cup}}A_i\in r(\mathscr{A}),\;A_n\setminus\underset{i=1}{\overset{n-1}{\cup}}A_i\in r(\mathscr{A}) \end{equation*}\]

因为环也是半环（定理 5.1），再根据定理 5.7可得存在互不相交的$C_{n1},C_{n2},\dots,C_{nk_n}\in\mathscr{A}$使得：

\[\begin{equation*} A_n\setminus\underset{i=1}{\overset{n-1}{\cup}}A_i=\underset{i=1}{\overset{k_n}{\cup}}C_{ni} \end{equation*}\]

同理，存在互不相交的$D_{n1},D_{n2},\dots,D_{nl_n}\in\mathscr{A}$使得：

\[\begin{equation*} A_n\setminus\underset{i=1}{\overset{k_n}{\cup}}C_{ni}=\underset{i=1}{\overset{l_n}{\cup}}D_{ni} \end{equation*}\]

显然$C_{n1},C_{n2},\dots,C_{nk_n},D_{n1},D_{n2},\dots,D_{nl_n}$互不相交，同时有：

\[\begin{equation*} A_n=\left(\underset{i=1}{\overset{k_n}{\cup}}C_{ni}\right)\bigcup\left(\underset{i=1}{\overset{l_n}{\cup}}D_{ni}\right) \end{equation*}\]

若$\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\in\mathscr{A}$，由$\mu$的可列可加性与有限可加性（性质 5.2.1(1)）可得：

\[\begin{align*} \mu\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\right) &=\mu\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}\underset{i=1}{\overset{k_n}{\cup}}C_{ni}\right) =\sum_{n=1}^{+\infty}\sum_{i=1}^{k_n}\mu(C_{ni}) \\ &\leqslant\sum_{n=1}^{+\infty}\sum_{i=1}^{k_n}\mu(C_{ni})+\sum_{n=1}^{+\infty}\sum_{i=1}^{l_n}\mu(D_{ni}) \\ &=\sum_{n=1}^{+\infty}\left[\sum_{i=1}^{k_n}\mu(C_{ni})+\sum_{i=1}^{l_n}\mu(D+_{ni}\right] \\ &=\sum_{n=1}^{+\infty}\mu\left[\left(\underset{i=1}{\overset{k_n}{\cup}}C_{ni}\right)\bigcup\left(\underset{i=1}{\overset{l_n}{\cup}}D_{ni}\right)\right]=\sum_{n=1}^{+\infty}\mu(A_n) \end{align*}\]

次可列可加性得证。 ◻

5.2.1.2 测度

Definition 5.22. 设$\mathscr{A}$是$X$上的集族，$\varnothing\in\mathscr{A}$。如果$\mathscr{A}$上的非负集函数$\mu$满足：

$\mu(\varnothing)=0$；
$\mu$具有可列可加性。

则称$\mu$为$\mathscr{A}$上的测度（measure）。如果对任意的$A\in\mathscr{A}$有$\mu(A)<+\infty$，则称测度$\mu$是有限的；如果对任意的$A\in\mathscr{A}$，存在$\mathscr{A}$中的集合序列$\{A_n\}$，满足$\mu(A_n)<+\infty,\;\forall\;n\in\mathbb{N}^+$，使得$A\subseteq\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n$，则称测度$\mu$是$\sigma$有限的。

Property 5.2.1. 集族$\mathscr{A}$上的测度$\mu$具有如下性质：

$\mu$具有有限可加性；
$\mu$具有可减性；
若$\mathscr{A}$是一个半环，则$\mu$具有单调性、可减性、次可列可加性、次有限可加性、下连续性和上连续性；
若$\mathscr{B}$是$\mathscr{A}$的一个含有空集的子集，则$\mu$在$\mathscr{B}$上也成为一个测度。

证明. (1)任取互不相交且满足$\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}A_i\in\mathscr{A}$的$A_1,A_2,\dots,A_n\in\mathscr{A}$，由$\mu$的可列可加性可得：

\[\begin{equation*} \mu\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}A_i\right)=\mu(A_1\cup A_2\cdots\cup A_n\cup\varnothing\cdots)=\sum_{i=1}^{n}\mu(A_i)+0=\sum_{i=1}^{n}\mu(A_i) \end{equation*}\]

所以$\mu$具有有限可加性。

(2)任取$A,B\in\mathscr{A},\;A\subseteq B,\;B\setminus A\in\mathscr{A},\;\mu(A)<+\infty$，显然$(B\setminus A)\cap A=\varnothing$，由(1)可得：

\[\begin{equation*} \mu(B)=\mu[(B\setminus A)\cup A]=\mu(B\setminus A)+\mu(A) \end{equation*}\]

即：

\[\begin{equation*} \mu(B\setminus A)=\mu(B)-\mu(A) \end{equation*}\]

于是$\mu$具有可减性。

(3)测度具有非负性和可列可加性，由定理 5.11可知半环上的测度具有次可列可加性、下连续性和上连续性。由(1)可知可列可加性蕴含有限可加性，所以根据定理 5.10可知半环上的测度具有单调性和可减性。次有限可加性可由次可列可加性与$\mu(\varnothing)=0$推出。

(4)由测度的定义直接可得。 ◻

Theorem 5.12. 设$\mu$是环$\mathscr{A}$上满足$\mu(\varnothing)=0$的非负集函数，则：

\[\begin{align*} &(1)\mu\text{是测度} \\ \Leftrightarrow&(2)\mu\text{次可列可加且有限可加} \\ \Leftrightarrow&(3)\mu\text{下连续且有限可加} \end{align*}\]

证明. 由定理 5.1可知环是半环，所以根据性质 5.2.1(1)(3)可得两个必要性成立，下分别证明两个充要性。

(1)设$\{A_n\}$是$\mathscr{A}$中的一个互不相交的集合序列且满足$\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\in\mathscr{A}$。由$\mu$的次可列可加性可得：

\[\begin{equation*} \mu\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\right)\leqslant \sum_{n=1}^{+\infty}\mu(A_n) \end{equation*}\]

因为$\mathscr{A}$是一个环，所以对任意的$m\in\mathbb{N}^+$有$\underset{n=1}{\overset{m}{\cup}}A_n\in\mathscr{A}$。由定理 5.10可知$\mu$具有单调性，因为$\mu$具有有限可加性，所以对任意的$m\in\mathbb{N}^+$有：

\[\begin{equation*} \mu\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\right)\geqslant\mu\left(\underset{n=1}{\overset{m}{\cup}}A_n\right)=\sum_{n=1}^{m}\mu(A_n) \end{equation*}\]

于是由性质 3.2.9(6)可得：

\[\begin{equation*} \mu\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\right)\geqslant\lim_{m\to+\infty}\left[\sum_{n=1}^{m}\mu(A_n)\right]= \sum_{n=1}^{+\infty}\mu(A_n) \end{equation*}\]

所以有：

\[\begin{equation*} \mu\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\right)=\sum_{n=1}^{+\infty}\mu(A_n) \end{equation*}\]

即$\mu$可列可加。

(2)设$\{A_n\}$是$\mathscr{A}$中的一个互不相交的集合序列且满足$\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\in\mathscr{A}$，显然有：

\[\begin{equation*} \underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}A_i\uparrow\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n \end{equation*}\]

因为$\mathscr{A}$是一个环，所以对任意的$n\in\mathbb{N}^+$有$\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}A_i\in\mathscr{A}$，于是由$\mu$的有限可加性与下连续性可得：

\[\begin{align*} \mu\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\right) &=\lim_{n\to+\infty}\left[\mu\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}A_i\right)\right] =\lim_{n\to+\infty}\left[\sum_{i=1}^{n}\mu(A_i)\right]=\sum_{n=1}^{+\infty}\mu(A_n) \end{align*}\]

即$\mu$可列可加。 ◻

Definition 5.23. 设$X$是一个集合，$\mathscr{A}$是$X$的一些子集生成的$\sigma$域，$\mu$是$\mathscr{A}$上的测度。称$(X,\mathscr{A},\mu)$为测度空间（measure space）。若$A\in\mathscr{A}$且$\mu(A)=0$，则称$A$为零测集（null set）或$\mu$零测集。若$\mathscr{A}$中零测集的子集还属于$\mathscr{A}$，则称测度空间$(X,\mathscr{A},\mu)$是完全测度空间（complete measure space）。若测度空间$(X,\mathscr{A},P)$满足$P(X)=1$，则称其为概率空间（probability space），对应的$P$叫做概率测度，$\mathscr{A}$中的元素叫做事件（event），$P(A)$叫做事件$A$发生的概率。

5.2.2 外测度

Definition 5.24. 设$\tau$是$\mathscr{P}(X)$到$\overline{\mathbb{R}}$上的集函数，如果：

$\tau(\varnothing)=0$；
若$A\subseteq B$且$A,B\in\mathscr{A}$，则有$\tau(A)\leqslant\tau(B)$；
$\tau$具有次可列可加性。

则称$\tau$为$X$上的外测度（exterior measure）。

Property 5.2.2. $\mathscr{P}(X)$上的外测度$\tau$具有如下性质：

$\tau$是非负集函数；
$\tau$具有次有限可加性；
$\mathscr{P}(X)$上的测度$\tau$是$X$上的外测度。

证明. (1)由外测度的定义立即可得。

(2)任取$A_1,A_2,\dots,A_n\in\mathscr{P}(X)$，由$\tau$的次可列可加性可得：

\[\begin{equation*} \tau\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}A_i\right)=\tau(A_1\cup A_2\cdots\cup A_n\cup\varnothing\cdots)\leqslant\sum_{i=1}^{n}\tau(A_i)+0=\sum_{i=1}^{n}\tau(A_i) \end{equation*}\]

由$A_1,A_2,\dots,A_n$的任意性，$\tau$具有次有限可加性。

(3)显然$\mathscr{P}(X)$是一个$\sigma$域。由性质 5.1.6(1)和定理 5.1可知$\mathscr{P}(X)$是一个半环，所以$\tau$是半环上的测度。由性质 5.2.1(3)可知$\tau$具有单调性和次可列可加性。因为$\tau$是一个测度，所以$\tau(\varnothing)=0$。综上，$\tau$是$X$上的外测度。 ◻

Theorem 5.13. 设$\mathscr{A}$是一个包含$\varnothing$的集族，$\mu$是$\mathscr{A}$上的一个非负集函数且满足$\mu(\varnothing)=0$，若对于任意的$A\in\mathscr{P}(X)$有：

\[\begin{equation*} \tau(A)=\inf\left\{\sum_{n=1}^{+\infty}\mu(B_n):B_n\in\mathscr{A},\;A\subseteq\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n\right\} \end{equation*}\]

并规定空集的下确界为$+\infty$，则$\tau$是一个外测度，称$\tau$为由$\mu$生成的外测度。

证明. (1)因为$\mu$是非负集函数且$\varnothing\subseteq\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}\varnothing$，所以：

\[\begin{equation*} 0\leqslant\tau(\varnothing)\leqslant\sum_{n=1}^{+\infty}\mu(\varnothing)=0 \end{equation*}\]

于是$\tau(\varnothing)=0$。

(2)设$A\subseteq B$且$A,B\in\mathscr{P}(X)$，对于满足条件$B\subseteq\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n$的$\{B_n\}$，自然有$A\subseteq\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n$，所以：

\[\begin{equation*} \tau(A)\leqslant\sum_{n=1}^{+\infty}\mu(B_n) \end{equation*}\]

对右边取下确界即有$\tau(A)\leqslant\tau(B)$。

(3)设$\{A_n\}$是$\mathscr{P}(X)$中的一个集合序列。

若存在$n_0\in\mathbb{N}^+$使得$\tau(A_{n_0})=+\infty$，则$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\tau(A_n)=+\infty$。由(2)可得：

\[\begin{equation*} \tau\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\right)=+\infty\leqslant\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\tau(A_n) \end{equation*}\]

即$\tau$具有次可列可加性。

若$\tau(A_n)<+\infty$对$n\in\mathbb{N}^+$都成立，则：

\[\begin{equation*} \left\{\sum_{i=1}^{+\infty}\mu(B_i):B_i\in\mathscr{A},\;A_n\subseteq\underset{i=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_i\right\}\ne\varnothing \end{equation*}\]

任取$\varepsilon>0$，对任意的$n\in\mathbb{N}^+$，存在$\mathscr{A}$中的一个集合序列$\{B_{ni}\}$使得：

\[\begin{equation*} A_n\subseteq\underset{i=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_{ni},\; \sum_{i=1}^{+\infty}\mu(B_{ni})<\tau(A_n)+\frac{\varepsilon}{2^n} \end{equation*}\]

于是：

\[\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\sum_{i=1}^{+\infty}\mu(B_{ni})<\sum_{n=1}^{+\infty}\tau(A_n)+\varepsilon \end{equation*}\]

由$\{B_{n_i}\}$的取法，显然：

\[\begin{equation*} \tau\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\right)\leqslant\sum_{n=1}^{+\infty}\sum_{i=1}^{+\infty}\mu(B_{ni})<\sum_{n=1}^{+\infty}\tau(A_n)+\varepsilon \end{equation*}\]

由$\varepsilon$的任意性可得：

\[\begin{equation*} \tau\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\right)\leqslant\sum_{n=1}^{+\infty}\tau(A_n) \end{equation*}\]

即$\tau$具有次可列可加性。

综上，$\tau$是一个外测度。 ◻

Definition 5.25. （Caratheodory condition）

设$X$是一个集合，$\tau$是$X$上的外测度。称满足条件：

\[\begin{equation*} \tau(T)=\tau(T\cap A)+\tau(T\cap A^c),\;\forall\;T\in\mathscr{P}(X) \end{equation*}\]

的集合$A\in\mathscr{P}(X)$为$\tau$可测集。将由所有$\tau$可测集构成的集族记作$\mathscr{A}_{\tau}$。

引理 6.2 Lemma 5.2. 设$X$是一个集合，$\tau$是$X$上的外测度。集合$E\in\mathscr{A}_{\tau}$的充要条件是对与$\forall\;A\subseteq E,\;\forall\;B\subseteq E^c$，总有：

\[\begin{equation*} \tau(A\cup B)=\tau(A)+\tau(B) \end{equation*}\]

证明. 必要性：对任意的$A\subseteq E,\;B\subseteq E^c$，取$T=A\cup B$，因为$E\in\mathscr{A}_{\tau}$，那么对于这个$T$，应有：

\[\begin{equation} \tau(A\cup B)=\tau(T)=\tau(T\cap E)+\tau(T\cap E^c)=\tau(A)+\tau(B)\notag \end{equation}\]

充分性：对任意的$T\in\mathscr{A}$，$\exists\;A\subseteq E,\;\exists\; B\subseteq E^c$，使得$T=A\cup B$，那么就有：

\[\begin{equation} \tau(T)=\tau(A\cup B)=\tau(A)+\tau(B)=\tau(T\cap E)+\tau(T\cap E^c)\notag \end{equation}\]

由$T$的任意性，$E\in\mathscr{A}_{\tau}$。 ◻

Property 5.2.3. 设$X$是一个集合，$\tau$是$X$上的外测度。$\mathscr{A}_{\tau}$具有如下性质：

$\varnothing,X\in\mathscr{A}_{\tau}$；
$S\in\mathscr{A}_{\tau}$的充要条件是$S^c\in\mathscr{A}_{\tau}$；
设$S_1, S_2, \dots, S_{n}$是$\tau$可测集，则有$\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}S_i\in\mathscr{A}_{\tau}$，并且当$S_1, S_2, \dots, S_{n}$互不相交时可得：

\[\begin{equation*} \tau\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}S_i\right)=\sum_{i=1}^{n}\tau(S_i) \end{equation*}\]
设$S_1, S_2, \dots, S_{n}$是$\tau$可测集，则$\underset{i=1}{\overset{n}{\cap}}S_i\in\mathscr{A}_{\tau}$；
设$S_1,S_2\in\mathscr{A}_{\tau}$，则$S_1\setminus S_2\in\mathscr{A}_{\tau}$；
设$\{S_n\}$是一列$\tau$可测集，则$\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}S_n\in\mathscr{A}_{\tau}$，并且当$\{S_n\}$互不相交时可得：

\[\begin{equation*} \tau\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}S_i\right)=\sum_{n=1}^{+\infty}\tau(S_i) \end{equation*}\]
设$\{S_n\}$是一列$\tau$可测集，则$\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}S_n\in\mathscr{A}_{\tau}$；
$\mathscr{A}_\tau$是一个$\sigma$域。

证明. (1)(2)代入定义直接可得。

(3)因为$S_1\in\mathscr{A}_{\tau}$，对任意的$T$都有：

\[\begin{equation} \tag{5.1} \tau(T)=\tau(T\cap S_1)+\tau(T\cap S_1^c) \end{equation}\]

因为$S_2\in\mathscr{A}_{\tau}$，对于$\tau(T\cap S_1^c)$有：

\[\begin{equation} \tag{5.2} \tau(T\cap S_1^c)=\tau[(T\cap S_1^c)\cap S_2]+\tau[(T\cap S_1^c)\cap S_2^c] \end{equation}\]

将（5.2）式代入（5.1）式，再由性质 5.1.1(7)可得：

\[\begin{align*} \tau(T)&=\tau(T\cap S_1)+\tau[(T\cap S_1^c)\cap S_2]+\tau[(T\cap S_1^c)\cap S_2^c] \\ &=\tau(T\cap S_1)+\tau[(T\cap S_1^c)\cap S_2]+\tau[T\cap(S_1\cup S_2)^c] \end{align*}\]

由于$T\cap S_1\subseteq S_1$，$(T\cap S_1^c)\cap S_2\subseteq S_1^c$，由引理 5.2和性质 5.1.1(4)可得：

\[\begin{align*} &\tau(T\cap S_1)+\tau[(T\cap S_1^c)\cap S_2]=\tau[(T\cap S_1)\cup(T\cap S_1^c\cap S_2)] \\ =&\tau\{T\cap[S_1\cup(S_1^c\cap S_2)]\}=\tau\{T\cap[(S_1\cup S_1^c)\cap(S_1\cup S_2)]\}=\tau[T\cap(S_1\cup S_2)] \end{align*}\]

那么就有：

\[\begin{equation*} \tau(T)=\tau[T\cap(S_1\cup S_2)]+\tau[T\cap(S_1\cup S_2)^c] \end{equation*}\]

由$T$的任意性，$S_1\cup S_2\in\mathscr{A}_{\tau}$。

当$S_1\cap S_2=\varnothing$时有$S_2\subseteq S_1^c$，由引理 5.2可得$\tau(S_1\cup S_2)=\tau(S_1)+\tau(S_2)$。

(4)由性质 5.1.1(7)以及(2)(3)直接得到：

\[\begin{equation*} \underset{i=1}{\overset{n}{\cap}}S_i=\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}S_i^c\right)^c\in\mathscr{A}_{\tau} \end{equation*}\]

(5)$\;S_1\setminus S_2=S_1\cap S_2^c$，由(2)(4)可知$S_1\setminus S_2\in\mathscr{A}_{\tau}$。

(6)设$\{S_n\}$互不相交。由(3)可得对任意的$n$，$\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}S_i\in\mathscr{A}_{\tau}$，那么对任意的$T\in\mathscr{P}(X)$，用性质 5.1.1(4)和(3)可得：

\[\begin{align*} \tau(T)&=\tau\left[T\cap\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}S_i\right)\right]+\tau\left[T\cap\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}S_i\right)^c\right] \\ &\geqslant \tau\left[T\cap\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}S_i\right)\right]+\tau\left[T\cap\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}S_n\right)^c\right] \\ &=\sum_{i=1}^n\tau(T\cap S_i)+\tau\left[T\cap\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}S_n\right)^c\right] \end{align*}\]

令$n\to+\infty$，根据性质 3.2.9(6)和性质 5.1.1(4)可得：

\[\begin{align} \tau(T)&\geqslant\sum_{i=1}^n\tau(T\cap S_i)+\tau\left[T\cap\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}S_n\right)^c\right]\notag \\ &\geqslant\sum_{i=1}^{+\infty} \tau(T\cap S_i)+\tau\left[T\cap\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}S_n\right)^c\right] \tag{5.3}\\ &\geqslant \tau\left[\underset{i=1}{\overset{+\infty}{\cup}}(T\cap S_i)\right]+\tau\left[T\cap\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}S_n\right)^c\right] \notag \\ &=\tau\left[T\cap\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}S_n\right)\right]+\tau\left[T\cap\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}S_n\right)^c\right]\notag \end{align}\]

又：

\[\begin{equation*} T=\left[T\cap\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}S_n\right)\right]\cup\left[T\cap\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}S_n\right)^c\right] \end{equation*}\]

所以根据性质 5.2.2(2)可得：

\[\begin{equation*} \tau(T)\leqslant \tau\left[T\cap\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}S_n\right)\right]+\tau\left[T\cap\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}S_n\right)^c\right] \end{equation*}\]

因此：

\[\begin{equation*} \tau(T)= \tau\left[T\cap\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}S_n\right)\right]+\tau\left[T\cap\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}S_n\right)^c\right] \end{equation*}\]

由$T$的任意性，$\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}S_n$是$\tau$可测集。

令$T=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}S_n$，代入公式 5.3式，则：

\[\begin{align*} \tau\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}S_n\right)\geqslant\sum_{i=1}^{+\infty}\tau\left[\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}S_n\right)\cap S_i\right]+\tau\left[\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}S_n\right)\cap\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}S_n\right)^c\right]=\sum_{i=1}^{+\infty} \tau(S_i) \end{align*}\]

但是由外测度的次可列可加性有：

\[\begin{equation*} \tau\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}S_n\right)\leqslant\sum_{n=1}^{+\infty} \tau(S_n) \end{equation*}\]

因此：

\[\begin{equation*} \tau\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}S_n\right)=\sum_{n=1}^{+\infty} \tau(S_n) \end{equation*}\]

若$\{S_n\}$不满足互不相交，则$\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}S_n$可被表示为互不相交的可数个集合的并：

\[\begin{equation*} \underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}S_n=S_1\cup (S_2\setminus S_1)\cup[S_3\setminus(S_1\cup S_2)]\cdots \end{equation*}\]

由(5)和之前$\{S_n\}$互不相交时的论述即可得$\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}S_n\in\mathscr{A}_{\tau}$。

(7)由性质 5.1.1(7)和(2)可知：

\[\begin{equation*} \underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}S_n=\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}S_n^c\right)^c\in\mathscr{A}_{\tau} \end{equation*}\]

(8)由(1)(2)(6)立即可得。 ◻

Theorem 5.14. 设$X$是一个集合，$\tau$是$X$上的外测度。$(X,\mathscr{A}_{\tau},\tau)$是一个完全测度空间。

证明. 由性质 5.2.3(6)和外测度的定义可知$\tau$是$\mathscr{A}_{\tau}$上的测度，根据性质 5.2.3(8)可得$\mathscr{A}_\tau$是$\sigma$域，所以$(X,\mathscr{A}_\tau,\tau)$是测度空间。

任取$A\in\mathscr{P}(X)$满足$\tau(A)=0$，对任何的$E\in\mathscr{P}(X)$，由性质 5.2.2(1)可得$\tau(E\cap A)=0$，于是：

\[\begin{equation*} \tau(E)\geqslant\tau(E\cap A^c)=\tau(E\cap A)+\tau(E\cap A^c) \end{equation*}\]

因为$E=(E\cap A)\cup(E\cap A^c)$，由性质 5.2.2(2)可得：

\[\begin{equation*} \tau(E)\leqslant\tau(E\cap A)+\tau(E\cap A^c) \end{equation*}\]

于是有：

\[\begin{equation*} \tau(E)=\tau(E\cap A)+\tau(E\cap A^c) \end{equation*}\]

由$E$的任意性，$A\in\mathscr{A}_{\tau}$，即$\tau$的零测集都属于$\mathscr{A}_{\tau}$。由外测度的单调性，零测集的子集都是零测集，所以$\tau$的零测集的子集都属于$\mathscr{A}_{\tau}$，$(X,\mathscr{A}_{\tau},\tau)$是一个完全测度空间。 ◻

note 5.2. 请注意这里证明到了所有$\tau$零测集都在$\mathscr{A}_\tau$中。

5.2.3 测度的扩张

Definition 5.26. 设$\mu,\tau$分别为集族$\mathscr{A},\mathscr{B}$上的测度，并且有$\mathscr{A}\subseteq\mathscr{B}$。如果对任意的$A\in\mathscr{A}$都有$\mu(A)=\tau(A)$，则称$\tau$是$\mu$在$\mathscr{B}$上的扩张（extension）。

引理 6.3 Lemma 5.3. 设$\mathscr{A}$是$X$上的一个$\pi$系，如果$\sigma(\mathscr{A})$上的测度$\mu,\tau$满足：

对任意的$A\in\mathscr{A}$，有$\mu(A)=\tau(A)$；
存在$\mathscr{A}$中互不相交的集合序列$\{A_n\}$使得：

\[\begin{equation*} \underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n=X,\;\mu(A_n)<+\infty,\;\forall\;n\in\mathbb{N}^+ \end{equation*}\]

则对任何的$A\in\sigma(\mathscr{A})$，有$\mu(A)=\tau(A)$。

证明. 使用$\lambda$系方法进行证明。令：

\[\begin{equation*} \mathscr{B}=\{A\in\sigma(\mathscr{A}):\mu(A)=\tau(B)\} \end{equation*}\]

由条件(1)可得$\mathscr{A}\subseteq\mathscr{B}$，下面证明$\mathscr{B}$是一个$\lambda$系。

(1)由条件(2)和测度的可列可加性可得：

\[\begin{equation*} \mu(X)=\mu\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\right)=\sum_{n=1}^{+\infty}\mu(A_n)=\sum_{n=1}^{+\infty}\tau(A_n)=\tau\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\right)=\tau(X) \end{equation*}\]

所以$X\in\mathscr{B}$。注意如果没有$\mu(A_n)<+\infty$的话上式两端是不可比较的。

(2)任取$C,D\in\mathscr{B}$且$C\subseteq D$，则$\mu(C)=\tau(C),\;\mu(D)=\tau(D)$。由性质 5.1.6(4)可得$D\setminus C\in\sigma(\mathscr{A})$，于是根据性质 5.2.1(2)可得：

\[\begin{equation*} \mu(D\setminus C)=\mu(D)-\mu(C)=\tau(D)-\tau(C)=\tau(D\setminus C) \end{equation*}\]

所以$D\setminus C\in\mathscr{B}$。

(3)任取$\mathscr{B}$中一个单调不减的集合序列$\{B_n\}$，则有$\mu(B_n)=\tau(B_n)$对任意的$n\in\mathbb{N}^+$成立，根据定理 5.2可知$\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n\in\sigma(\mathscr{A})$。令$B_0=\varnothing$，因为$\mu,\tau$是测度，所以$B_0\in\mathscr{B}$。由性质 5.1.6(4)可知$B_n\setminus B_{n-1}\in\sigma(\mathscr{A})$，所以由性质 5.2.1(2)可得：

\[\begin{align*} &\mu\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n\right)=\mu\left[\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}(B_n\setminus B_{n-1})\right]=\sum_{n=1}^{+\infty}\mu(B_n\setminus B_{n-1})=\sum_{n=1}^{+\infty}[\mu(B_n)-\mu(B_{n-1})] \\ =&\sum_{n=1}^{+\infty}[\tau(B_n)-\tau(B_{n-1})]=\sum_{n=1}^{+\infty}\tau(B_n\setminus B_{n-1})=\tau\left[\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}(B_n\setminus B_{n-1})\right]=\tau\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n\right) \end{align*}\]

所以$\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n\in\mathscr{B}$。

综上，$\mathscr{B}$是一个$\lambda$系。

由推论 5.2可知$\sigma(\mathscr{A})\subseteq\mathscr{B}$，于是对任意的$A\in\sigma(\mathscr{A})$有$\mu(A)=\tau(A)$。 ◻

Theorem 5.15. 对于半环$\mathscr{A}$上的测度$\mu$，存在$\sigma(\mathscr{A})$上$\mu$的扩张$\tau$。若存在$\mathscr{A}$中互不相交的集合序列$\{A_n\}$使得：

\[\begin{equation*} \underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n=X,\;\mu(A_n)<+\infty,\;\forall\;n\in\mathbb{N}^+ \end{equation*}\]

则$\tau$是唯一的且是由$\mu$生成的外测度，同时$\tau$是$\sigma$有限测度。

证明. 取$\tau$为由$\mu$生成的外测度。证明分成以下三步：

证明对于任意的$A\in\mathscr{A}$，有$\mu(A)=\tau(A)$；
证明$\tau$是$\sigma(\mathscr{A})$上的测度：
1. 对任何的$A,B\in\mathscr{A}$，有：
  
  \[\begin{equation*} \tau(B)\geqslant\tau(B\cap A)+\tau(B\cap A^c) \end{equation*}\]
2. $\mathscr{A}\subseteq\mathscr{A}_{\tau}$。
满足定理条件时$\tau$是唯一的。

(1)取任意的$A\in\mathscr{A}$和任意满足$A\subseteq\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n$的$\mathscr{A}$中的集合序列$\{B_n\}$。根据半环的定义可得$A\cap B_n\in\mathscr{A}$，由性质 5.1.1(4)和性质 5.2.1(3)（次可列可加性和单调性）可得：

\[\begin{equation*} \mu(A)=\mu\left[A\cap\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n\right)\right]=\mu\left[\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}(A\cap B_n)\right]\leqslant\sum_{n=1}^{+\infty}\mu(A\cap B_n)\leqslant\sum_{n=1}^{+\infty}\mu(B_n) \end{equation*}\]

由下确界的不等式性可得：

\[\begin{equation*} \mu(A)\leqslant\inf\left\{\sum_{n=1}^{+\infty}\mu(B_n):B_n\in\mathscr{A},\;A\subseteq\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n\right\}=\tau(A) \end{equation*}\]

再取$B_1=A,\;B_n=\varnothing,\;\forall\;n\geqslant2$，有：

\[\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\mu(B_n)=\mu(A)\geqslant\tau(A) \end{equation*}\]

于是有$\mu(A)=\tau(A)$。

(2.a)因为$\mathscr{A}$是半环，由性质 5.1.1(6)可知存在互不相交的$C_1, C_2, \dots, C_{n}\in\mathscr{A}$使得：

\[\begin{equation*} B\cap A^c=B\setminus A=\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}C_i \end{equation*}\]

由(1)可得$\mu(B)=\tau(B)$，根据性质 5.2.1(1)可得：

\[\begin{align*} \tau(B)&=\mu(B)=\mu[(B\cap A)\cup (B\cap A^c)]=\mu(B\cap A)+\mu(B\cap A^c) \\ &=\mu(B\cap A)+\mu\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}C_i\right)=\mu(B\cap A)+\sum_{i=1}^{n}\mu(C_i) \\ &\geqslant\mu(B\cap A)+\tau(B\cap A^c)=\tau(B\cap A)+\tau(B\cap A^c) \end{align*}\]

(2.b)即要证对任意的$A\in\mathscr{A}$和任意的$C\in\mathscr{P}(X)$，有：

\[\begin{equation*} \tau(C)=\tau(C\cap A)+\tau(C\cap A^c) \end{equation*}\]

当$\tau(C)=+\infty$时，由性质 5.2.2(2)可得：

\[\begin{equation*} \tau(C)=\tau[(C\cap A)\cup(C\cap A^c)]\leqslant\tau(C\cap A)+\tau(C\cap A^c) \end{equation*}\]

所以$\tau(C\cap A)+\tau(C\cap A^c)=+\infty$，于是$\tau(C)=\tau(C\cap A)+\tau(C\cap A^c)$。

当$\tau(C)<+\infty$时，对任意的$\varepsilon>0$，取$\{C_n\}\subseteq\mathscr{A}$使得$C\subseteq\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}C_n$并且有：

\[\begin{equation*} \tau(C)+\varepsilon\geqslant\sum_{n=1}^{+\infty}\mu(C_n) \end{equation*}\]

根据(1)、(2.a)、性质 3.2.12(4)、外测度的定义和性质 5.1.1(4)可得：

\[\begin{align*} \tau(C)+\varepsilon&\geqslant\sum_{n=1}^{+\infty}\mu(C_n)=\sum_{n=1}^{+\infty}\tau(C_n)\geqslant\sum_{n=1}^{+\infty}[\tau(C_n\cap A)+\tau(C_n\cap A^c)] \\ &=\sum_{n=1}^{+\infty}\tau(C_n\cap A)+\sum_{n=1}^{+\infty}\tau(C_n\cap A^c)\geqslant\tau\left[\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}(C_n\cap A)\right]+\tau\left[\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}(C_n\cap A^c)\right] \\ &=\tau\left[\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}C_n\right)\cap A\right]+\tau\left[\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}C_n\right)\cap A^c\right]\geqslant\tau(C\cap A)+\tau(C\cap A^c) \end{align*}\]

由$\varepsilon$的任意性可得：

\[\begin{equation*} \tau(C)\geqslant\tau(C\cap A)+\tau(C\cap A^c) \end{equation*}\]

由性质 5.2.2(2)可得：

\[\begin{equation*} \tau(C)=\tau[(C\cap A)\cup(C\cap A^c)]\leqslant\tau(C\cap A)+\tau(C\cap A^c) \end{equation*}\]

所以有：

\[\begin{equation*} \tau(C)=\tau(C\cap A)+\tau(C\cap A^c) \end{equation*}\]

综上有$\mathscr{A}\subseteq\mathscr{A}_\tau$，由定理 5.14可得$\mathscr{A}_\tau$是$\sigma$域且$\tau$是$\mathscr{A}_\tau$上的测度，所以$\sigma(\mathscr{A})\subseteq\mathscr{A}_\tau$，$\tau$限制在$\sigma(\mathscr{A})$上时具有可列可加性，所以$\tau$是$\sigma(\mathscr{A})$上的测度。

(3)因为半环是$\pi$系，由引理 5.3可知此时满足条件的$\tau$是唯一的。

$\tau$的$\sigma$有限性由所给条件可直接得出。 ◻

note 5.3. 半环上测度的扩张结果实际为完全测度空间$(X,\mathscr{A}_\tau,\tau)$。

推论 6.3 Corollary 5.3. 对于半代数$\mathscr{A}$上的$\sigma$有限测度$\mu$，存在$\sigma(\mathscr{A})$上$\mu$唯一的扩张$\tau$，且$\tau$是由$\mu$生成的外测度，同时$\tau$是$\sigma$有限测度。

证明. 由定理 5.15可知只需要证明存在互不相交的$\{A_n\}\subseteq\mathscr{A}$满足：

\[\begin{equation*} \underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n=X,\quad\mu(A_n)<+\infty,\;\forall\;n\in\mathbb{N}^+ \end{equation*}\]

因为$\mu$是$\sigma$有限的并且$X\in\mathscr{A}$，所以存在$\{A_n\}$满足$X=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n$且$\mu(A_n)<+\infty$。令$A_0=\varnothing\in\mathscr{A}$，由性质 5.1.3(1)可得：

\[\begin{equation*} X=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}\left[A_n\Big\backslash\left(\underset{i=1}{\overset{n-1}{\cup}}A_n\right)\right]=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}\left(\underset{i=1}{\overset{k_n}{\cup}}C_{ni}\right) \end{equation*}\]

其中$C_{ni}$互不相交。因为$C_{ni}\subseteq A_n$，由性质 5.2.1(3)（单调性）可得$\mu(C_{ni})<+\infty$。$\{C_{ni}\}$即为满足条件的集合序列。 ◻

Theorem 5.16. 设$\tau$是半环$\mathscr{A}$上的测度$\mu$生成的外测度，则：

对任意的$A\in\mathscr{A}_\tau$，存在$B\in\sigma(\mathscr{A})$使得$A\subseteq B$且$\tau(A)=\tau(B)$；
若存在$\mathscr{A}$中互不相交的集合序列$\{A_n\}$使得：

\[\begin{equation*} \underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n=X,\;\mu(A_n)<+\infty,\;\forall\;n\in\mathbb{N}^+ \end{equation*}\]

则对任意的$A\in\mathscr{A}_\tau$，存在$B\in\sigma(\mathscr{A})$使得$A\subseteq B$且有$\tau(B\setminus A)=0$。

证明. (1)若$\tau(A)=+\infty$，由外测度的单调性取$B=X$即可。若$\tau(A)<+\infty$，对每个$n\in\mathbb{N}^+$取$\{B_{nk}\}\subseteq\mathscr{A}$（$\{B_{nk}\}$的存在性由生成的外测度的定义保证）使得：

\[\begin{equation*} A\subseteq\underset{k=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_{nk},\quad\sum_{k=1}^{+\infty}\mu(B_{nk})<\tau(A)+\frac{1}{n} \end{equation*}\]

令$B=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}\underset{k=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_{nk}$，由性质 5.1.6(2)可得$B\in\sigma(\mathscr{A})$且$A\subseteq B$。由外测度的单调性可得$\tau(A)\leqslant\tau(B)$。根据外测度的单调性与外测度的定义可知对任意的$n\in\mathbb{N}^+$有：

\[\begin{equation*} \tau(B)\leqslant\tau\left(\underset{k=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_{nk}\right)\leqslant\sum_{k=1}^{+\infty}\mu(B_{nk})<\tau(A)+\frac{1}{n} \end{equation*}\]

令$n\to+\infty$，由性质 3.2.9(6)即可得到$\tau(B)\leqslant\tau(A)$，于是$\tau(A)=\tau(B)$。

(2)由定理 5.15的证明过程可知$\sigma(\mathscr{A})\subseteq\mathscr{A}_\tau$，所以$A_n\in\mathscr{A}_\tau$。对于任意的$A\in\mathscr{A}_\tau$，根据性质 5.2.3(4)可得$A\cap A_n\in\mathscr{A}_\tau$。由(1)可得存在$B_n\in\sigma(\mathscr{A})$满足$A\cap A_n\subseteq B_n$且$\tau(A\cap A_n)=\tau(B_n)$。由外测度的单调性和生成的外测度的定义可知$\tau(A\cap A_n)\leqslant\tau(A_n)\leqslant\mu(A_n)<+\infty$。令$B=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n$，则根据性质 5.1.1(4)可得：

\[\begin{equation*} \underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}(A\cap A_n)=A\cap\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\right)=A\subseteq\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n=B \end{equation*}\]

因为$\sigma(\mathscr{A})\subseteq\mathscr{A}_\tau$，所以$B_n\in\mathscr{A}_\tau$。根据定理 5.14可得$\mathscr{A}_\tau$是一个$\sigma$域且$\tau$是$\mathscr{A}_\tau$上的测度，由性质 5.2.1(2)可得：

\[\begin{equation*} \tau[B_n\setminus (A\cap A_n)]=\tau(B_n)-\tau(A\cap A_n)=0 \end{equation*}\]

由性质 5.1.1(4)(5)、外测度的单调性和外测度的次可列可加性可得：

\[\begin{align*} \tau(B\setminus A)&=\tau[B\setminus(A\cap X)]=\tau\left\{\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n\right)\Big\backslash\left[A\cap\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\right)\right]\right\} \\ &=\tau\left\{\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n\Big\backslash\left[\underset{m=1}{\overset{+\infty}{\cup}}(A\cap A_m)\right]\right\}\leqslant\tau\left\{\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}[B_n\setminus(A\cap A_n)]\right\} \\ &\leqslant\sum_{n=1}^{+\infty}\tau[B_n\setminus(A\cap A_n)]=0 \end{align*}\]

所以结论成立。 ◻

5.2.4 测度空间的完全化

Theorem 5.17. 对任何测度空间$(X,\mathscr{A},\mu)$，令：

\[\begin{equation*} \tilde{\mathscr{A}}\coloneq\{A\cup N:A\in\mathscr{A};\;\exists\;B\in\mathscr{A},\;\mu(B)=0,\;N\subseteq B\} \end{equation*}\]

则$\tilde{\mathscr{A}}$是一个$\sigma$域。若对每个$A\cup N\in\tilde{\mathscr{A}}$，令：

\[\begin{equation*} \tilde{\mu}(A\cup N)=\mu(A) \end{equation*}\]

则$(X,\tilde{\mathscr{A}},\tilde{\mu})$是一个完全测度空间且对任意的$A\in\mathscr{A}$有$\tilde{\mu}(A)=\mu(A)$。

证明. (1)$\;\tilde{\mathscr{A}}$是$\sigma$域：

因为$\varnothing\subseteq\varnothing,\;\mu(\varnothing)=0,\;X\in\mathscr{A}$，所以$X=X\cup\varnothing\in\tilde{\mathscr{A}}$。

对任意的$A\cup N\in\tilde{\mathscr{A}}$，由性质 5.1.1(7)可得：

\[\begin{equation*} (A\cup N)^c=[(A\cup N)^c\cap B]\cup[(A\cup N)^c\cap B^c]=(A^c\cap N^c\cap B)\cup(A^c\cap N^c\cap B^c) \end{equation*}\]

因为$N\subseteq B$，所以$B^c\subseteq N^c$，于是根据性质 5.1.6(2)可得：

\[\begin{equation*} (A\cup N)^c=(A^c\cap N^c\cap B)\cup(A^c\cap B^c)=(A^c\cap B^c)\cup\tilde{N}\in\tilde{\mathscr{A}} \end{equation*}\]

任取$\{A_n\cup N_n\}\subseteq\tilde{\mathscr{A}}$，其中$N_n\subseteq B_n$，则：

\[\begin{equation*} \underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}(A_n\cup N_n)=\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\right)\bigcup\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}N_n\right),\quad\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}N_n\subseteq\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n \end{equation*}\]

因为$\mathscr{A}$是$\sigma$域，所以：

\[\begin{equation*} \underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n,\;\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n\in\mathscr{A} \end{equation*}\]

由性质 5.1.6(1)、定理 5.1和性质 5.2.1(3)可得：

\[\begin{equation*} \mu\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n\right)\leqslant\sum_{n=1}^{+\infty}\mu(B_n)=0 \end{equation*}\]

所以：

\[\begin{equation*} \mu\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n\right)=0 \end{equation*}\]

于是：

\[\begin{equation*} \underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}(A_n\cup N_n)\in\tilde{\mathscr{A}} \end{equation*}\]

综上，$\tilde{\mathscr{A}}$是$\sigma$域。

(2)$\;\tilde{\mu}$是良定义的：任取$A_1\cup N_1=A_2\cup N_2\in\tilde{\mathscr{A}}$。由$\tilde{\mu}$的定义有$\tilde{\mu}(A_1\cup N_1)=\mu(A_1)$，根据性质 5.2.1(3)（次有限可加性）可得：

\[\begin{equation*} \mu(A_1)\leqslant\mu(A_1\cup B_1\cup B_2)\leqslant\mu(A_1)+\mu(B_1)+\mu(B_2)=\mu(A_1) \end{equation*}\]

所以$\mu(A_1\cup B_1\cup B_2)=\mu(A_1)$，于是根据性质 5.2.1(3)（单调性）可得：

\[\begin{equation*} \tilde{\mu}(A_1\cup N_1)=\mu(A_1)=\mu(A_1\cup B_1\cup B_2)\geqslant\mu(A_2)=\tilde{\mu}(A_2\cup N_2) \end{equation*}\]

同理可得$\tilde{\mu}(A_2\cup N_2)\geqslant\tilde{\mu}(A_1\cup N_1)$，所以有$\tilde{\mu}(A_2\cup N_2)=\tilde{\mu}(A_1\cup N_1)$。

(3)$\;\tilde{\mu}$是$\tilde{\mathscr{A}}$上的测度：由$\tilde{\mu}$的定义可得它是一个非负集函数，同时有：

\[\begin{equation*} \tilde{\mu}(\varnothing)=\tilde{\mu}(\varnothing\cup\varnothing)=\mu(\varnothing)=0 \end{equation*}\]

任取$\tilde{\mathscr{A}}$中互不相交的$\{A_n\cup N_n\}$，类似(1)的证明过程可得$\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}N_n$是一个$\mu$零测集的子集，所以有：

\[\begin{align*} \tilde{\mu}\left[\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}(A_n\cup N_n)\right]&=\tilde{\mu}\left[\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\right)\bigcup\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}N_n\right)\right]=\mu\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\right) \\ &=\sum_{n=1}^{+\infty}\mu(A_n)=\sum_{n=1}^{+\infty}\tilde{\mu}(A_n\cup N_n) \end{align*}\]

所以$\tilde{\mu}$是$\tilde{\mathscr{A}}$上的测度。

(4)$\;(X,\tilde{\mathscr{A}},\tilde{\mu})$是完全测度空间：若$C\subseteq(A\cup N)\in\tilde{\mathscr{A}},\;\tilde{\mu}(A\cup N)=0,\;A\cup N\in\tilde{\mathscr{A}}$，由性质 5.2.1(3)（次有限可加性）可得：

\[\begin{equation*} \mu(A\cup B)\leqslant\mu(A)+\mu(B)=\tilde{\mu}(A\cup N)+\mu(B)=0 \end{equation*}\]

所以：

\[\begin{equation*} \mu(A\cup B)=0,\quad C\subseteq(A\cup N)\subseteq(A\cup B) \end{equation*}\]

于是有$C=\varnothing\cup C\in\tilde{\mathscr{A}}$。由$C$的任意性可知$(X,\tilde{\mathscr{A}},\tilde{\mu})$是一个完全测度空间。 ◻

Theorem 5.18. 设$\tau$是半环$\mathscr{A}$上的测度$\mu$生成的外测度，存在$\mathscr{A}$中互不相交的集合序列$\{A_n\}$使得：

\[\begin{equation*} \underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n=X,\;\mu(A_n)<+\infty,\;\forall\;n\in\mathbb{N}^+ \end{equation*}\]

则$(X,\mathscr{A}_\tau,\tau)$是$(X,\sigma(\mathscr{A}),\tau)$的完全化。

证明. 记$\mathscr{C}=\sigma(\mathscr{A})$。

(1)$\;\tilde{\mathscr{C}}=\mathscr{A}_\tau$：对任意的$A\cup N\in\tilde{\mathscr{C}},\;A\in\mathscr{C}$，由定理 5.14可知$(X,\mathscr{A}_\tau,\tau)$是一个完全测度空间，所以$N\in\mathscr{A}_\tau$。由定理 5.15(2.b)和生成的定义可知$\mathscr{C}\subseteq\mathscr{A}_\tau$，所以$A\in\mathscr{A}_\tau$。根据性质 5.1.6(3)可得$A\cup N\in\mathscr{A}_\tau$，所以$\tilde{\mathscr{C}}\subseteq\mathscr{A}_\tau$。

对任意的$A\in\mathscr{A}_\tau$，由定理 5.16(2)可知存在$B\in\mathscr{C}$满足$A\subseteq B$且$\tau(B\setminus A)=0$。因为$\mathscr{C}\subseteq\mathscr{A}_\tau$，所以$B\in\mathscr{A}_\tau$，由性质 5.1.6(4)可得$B\setminus A\in\mathscr{A}_\tau$，于是由定理 5.16(1)可知存在$C\in\mathscr{C}$满足$B\setminus A\subseteq C$且$\tau(C)=\tau(B\setminus A)=0$。因为$B\setminus A\subseteq C$，所以$(B\setminus A)\cap C^c=\varnothing$，于是由性质 5.1.1(4)可得：

\[\begin{align*} &A=(A\cap C)\cup(A\cap C^c)=(A\cap C)\cup[(A\cap C^c)\cup\varnothing] \\ =&(A\cap C)\cup\{(A\cap C^c)\cup[(B\setminus A)\cap C^c]\}=(A\cap C)\cup\{[(B\setminus A)\cup A]\cap C^c\} \\ =&(A\cap C)\cup(B\cap C^c)=(B\cap C^c)\cup(A\cap C) \end{align*}\]

因为$\mathscr{C}\subseteq\mathscr{A}_\tau$，由性质 5.1.6(2)可得$B\cap C^c\in\mathscr{C}$，而$A\cap C\subseteq C,\;\tau(C)=0$，所以$A\in\tilde{\mathscr{C}}$，于是有$\mathscr{A}_\tau\subseteq\tilde{\mathscr{C}}$。

综上$\tilde{\mathscr{C}}=\mathscr{A}_\tau$。

(2)$\;\tau$：对任意的$A\cup N\in\mathscr{A}_\tau,\;N\subseteq B\in\mathscr{C},\;\tau(B)=0$，由外测度的单调性和性质 5.2.2(1)可得：

\[\begin{equation*} \tau(A)\leqslant\tau(A\cup N)\leqslant\tau(A)+\tau(N)\leqslant\tau(A)+\tau(B)=\tau(A) \end{equation*}\]

所以$\tau(A\cup N)=\tau(A)$。

综上，由定理 5.17可知$(X,\mathscr{A}_\tau,\tau)$是$(X,\sigma(\mathscr{A}),\tau)$的完全化。 ◻

5.2.5 L-S测度与L测度

为了得到一般性的结果，本章前述内容均是在较为抽象的框架下展开的，依次讨论了测度、外测度、测度的扩张以及完全测度等基本概念与定理。这些结果在一般可测空间中都成立，因此具有高度的普适性。然而，这种抽象讨论往往不易直观理解。为说明这些理论在具体情形中的作用，本节将转而考察一个最为常见且重要的情形——实数空间上的Lebesgue–Stieltjes测度。虽然L-S测度的许多性质实际上可以直接由前述抽象理论推出，但为了叙述的统一与方便，我们将在多维情形下一并给出这些结论。通过这一具体例子，可以更清楚地看到前面建立的测度构造与扩张理论在熟悉空间中的实际应用。

Theorem 5.19. 设$X=\mathbb{R},\;\mathscr{A}=\{(a,b]:a,b\in\mathbb{R}\}$，$F$为$\mathbb{R}$上非降右连续实值函数。对任意的$a,b\in\mathbb{R}$，令：

\[\begin{equation*} \mu\Bigl((a,b]\Bigr)= \begin{cases} F(b)-F(a),&a<b \\ 0,&a\geqslant b \end{cases} \end{equation*}\]

则$\mu$是$(X,\mathscr{A})$上的测度。

note 5.4. 由定理 5.19和性质 5.1.3(3)我们可以看到$F$可以引出半环$\mathscr{A}=\{(a,b]:a,b\in\mathbb{R}^{}\}$上的测度$\mu$，注意到：

\[\begin{equation*} \mathbb{R}^{}=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\bigcup}}\Big[(n-1,n]\cup(-n,-n+1]\Big] \end{equation*}\]

于是$\mathscr{A}$满足定理 5.15中的条件，根据性质 5.1.7(1.b)可知$\mu$在$\mathcal{B}(\mathbb{R}^{})=\sigma(\{(a,b]:a,b\in\mathbb{R}^{}\})$上存在唯一的扩张$\lambda_F$，$\lambda_F$是$\mu$生成的外测度且是$\sigma$有限测度。

Definition 5.27. 记$\mathbb{R}^{}$上所有$\lambda_F$可测集构成的集族为$\mathscr{A}_{\lambda_F}$，称$\mathscr{A}_{\lambda_F}$中的集合为Lebesgue-Stieljes可测集，简称为L-S可测集，称$\lambda_F$为$\mathbb{R}^{}$上的L-S测度。特别的，当$F(x)=x$时，称$\mathscr{A}_{\lambda_F}$中的集合为Lebesgue可测集，简称为L可测集，称$\lambda_F$为$\mathbb{R}^{}$上的L测度。将L测度就记作$\lambda$，对应的$\lambda$可测集记为$\mathscr{A}_{\lambda}$。

5.3 可测映射与可测函数

5.3.1 可测映射

Definition 5.28. 设$(X,\mathscr{A})$和$(Y,\mathscr{B})$为可测空间，$f$是一个$X$到$Y$的映射。如果$f^{-1}(\mathscr{B})\subseteq\mathscr{A}$，则称$f$为从$(X,\mathscr{A})$到$(Y,\mathscr{B})$的可测映射（measurable map），也称$f$是$\mathscr{A}$可测的。

引理 6.4 Lemma 5.4. 设$X,Y$为两个集合，$f$为一个$X$到$Y$的映射，$\mathscr{A}$是$Y$上的集族，则：

\[\begin{equation*} \sigma[f^{-1}(\mathscr{A})]=f^{-1}[\sigma(\mathscr{A})] \end{equation*}\]

证明. 先证$f^{-1}[\sigma(\mathscr{A})]$是一个$\sigma$域。

(1)因为$\sigma(\mathscr{A})$是一个$\sigma$域，所以$Y\in\sigma(\mathscr{A})$，于是$X=f^{-1}(Y)\in f^{-1}[\sigma(\mathscr{A})]$。

(2)任取$A\in f^{-1}[\sigma(\mathscr{A})]$，设$f(A)=B$。由定理 3.14(3)可得，$A^c=[f^{-1}(B)]^c=f^{-1}(B^c)$。因为$\sigma(\mathscr{A})$是一个$\sigma$域，$B\in\sigma(\mathscr{A})$，所以$B^c\in\sigma(\mathscr{A})$，所以$A^c\in f^{-1}[\sigma(\mathscr{A})]$。由$A$的任意性，$f^{-1}[\sigma(\mathscr{A})]$对补封闭。

(3)任取集合序列$\{A_n\}\subseteq f^{-1}[\sigma(\mathscr{A})]$，$f(A_n)=B_n\in\sigma(\mathscr{A})$，由定理 3.14(4)可得：

\[\begin{equation*} \underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}f^{-1}(B_n)=f^{-1}\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n\right) \end{equation*}\]

因为$\sigma(\mathscr{A})$是一个$\sigma$域，$B_n\in\sigma(\mathscr{A}),\;\forall\;n\in\mathbb{N}^+$，所以$\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n\in\sigma(\mathscr{A})$，于是$\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\in f^{-1}[\sigma(\mathscr{A})]$。由$\{A_n\}$的任意性，$f^{-1}[\sigma(\mathscr{A})]$对可列并的运算封闭。

综上，$f^{-1}[\sigma(\mathscr{A})]$是一个$\sigma$域。

由生成的定义，$\mathscr{A}\subseteq\sigma(\mathscr{A})$，由定理 3.14(2)可得$f^{-1}(\mathscr{A})\subseteq f^{-1}[\sigma(\mathscr{A})]$，即$f^{-1}[\sigma(\mathscr{A})]$是一个包含$f^{-1}(\mathscr{A})$的$\sigma$域，所以$\sigma[f^{-1}(\mathscr{A})]\subseteq f^{-1}[\sigma(\mathscr{A})]$。

令：

\[\begin{equation*} \mathscr{B}=\{B\subseteq Y:f^{-1}(B)\in \sigma[f^{-1}(\mathscr{A})]\} \end{equation*}\]

下证$\mathscr{B}$是一个$\sigma$域。

(1)因为$\sigma[f^{-1}(\mathscr{A})]$是一个$\sigma$域，所以$X\in\sigma[f^{-1}(\mathscr{A})]$。由定理 3.14(1)可得$f^{-1}(Y)=X\in\sigma[f^{-1}(\mathscr{A})]$，所以$Y\in\mathscr{B}$。

(2)任取$B\in\mathscr{B}$。由定理 3.14(3)可得$f^{-1}(B^c)=[f^{-1}(B)]^c$。因为$\sigma[f^{-1}(\mathscr{A})]$是一个$\sigma$域，$f^{-1}(B)\in\sigma[f^{-1}(\mathscr{A})]$，所以$f^{-1}(B^c)=[f^{-1}(B)]^c\in\sigma[f^{-1}(\mathscr{A})]$，即$B^c\in\mathscr{B}$。由$B$的任意性，$\mathscr{B}$对补封闭。

(3)任取$\{B_n\}\subseteq\mathscr{B}$。由定理 3.14(4)可得：

\[\begin{equation*} f^{-1}\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n\right)=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}f^{-1}(B_n) \end{equation*}\]

因为$B_n\in\mathscr{B},\;\forall\;n\in\mathbb{N}^+$，所以$f^{-1}(B_n)\in\sigma[f^{-1}(\mathscr{A})],\;\forall\;n\in\mathbb{N}^+$。因为$\sigma[f^{-1}(\mathscr{A})]$是一个$\sigma$域，所以：

\[\begin{equation*} f^{-1}\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n\right)=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}f^{-1}(B_n)\in\sigma[f^{-1}(\mathscr{A})] \end{equation*}\]

于是$\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n\in\mathscr{B}$。由$\{B_n\}$的任意性，$\mathscr{B}$对可列并封闭。

综上，$\mathscr{B}$是一个$\sigma$域。因为$f^{-1}(\mathscr{A})\subseteq\sigma[f^{-1}(\mathscr{A})]$，所以$\mathscr{A}\subseteq\mathscr{B}$。由生成的定义，$\sigma(\mathscr{A})\subseteq\mathscr{B}$。任取$C\in f^{-1}[\sigma(\mathscr{A})]$，则存在$A\in\sigma(\mathscr{A})$使得$C=f^{-1}(A)$，因为$\sigma(\mathscr{A})\subseteq\mathscr{B}$，所以$A\in\mathscr{B}$，于是$C=f^{-1}(A)\in\sigma[f^{-1}(\mathscr{A})]$。由$C$的任意性，$f^{-1}[\sigma(\mathscr{A})]\subseteq\sigma[f^{-1}(\mathscr{A})]$。

综上，$f^{-1}[\sigma(\mathscr{A})]=\sigma[f^{-1}(\mathscr{A})]$。 ◻

Definition 5.29. 设$(X,\mathscr{A})$和$(Y,\mathscr{B})$为可测空间，$f$是一个$X$到$Y$的映射。称$\sigma(f)=f^{-1}(\mathscr{B})$为使映射$f$可测的最小$\sigma$域。

note 5.5. 定义中说$\sigma(f)$是$\sigma$域，这是由于每个$\sigma$域都可以看作是自己生成的$\sigma$域，再利用引理 5.4即可得到$\sigma(f)$是一个$\sigma$域。

Property 5.3.1. 可测映射具有如下性质：

设$\mathscr{B}$是$Y$上的任一集族，$(X,\mathscr{A}),(Y,\sigma(\mathscr{B}))$是两个可测空间，则映射$f$为一个$(X,\mathscr{A})$到$(Y,\sigma(\mathscr{B}))$的可测映射的充分必要条件为$f^{-1}(\mathscr{B})\subseteq\mathscr{A}$；
设$f$是可测空间$(X,\mathscr{A})$到可测空间$(Y,\mathscr{B})$的可测映射，$g$是可测空间$(Y,\mathscr{B})$到可测空间$(Z,\mathscr{C})$的可测映射，则$g\circ f$是$(X,\mathscr{A})$到$(Z,\mathscr{C})$的可测映射；
设$f$是可测空间$(X,\mathscr{A})$到可测空间$(Y,\mathscr{B})$的连续映射，$\mathscr{A}$和$\mathscr{B}$都是由开集生成的$\sigma$域，则$f$是可测映射；
设$f$是可测空间$(X,\mathscr{A})$到可测空间$(Y,\mathscr{B})$的可测映射，$\mu$是$\mathscr{A}$上的测度，定义：

\[\begin{equation*} \forall\;B\in\mathscr{B},\;\nu(B)=\mu[f^{-1}(B)] \end{equation*}\]

则$(Y,\mathscr{B},\nu)$是测度空间，且：
1. 若$(X,\mathscr{A},\mu)$是概率空间，则$(Y,\mathscr{B},\nu)$也是概率空间；
2. 若$\mu$是有限测度，则$\nu$也是有限测度；
3. 若$\mu$是$\sigma$有限测度且$f(X)=Y$，则$\nu$也是$\sigma$有限测度。

证明. (1)由可测映射的定义：

\[\begin{equation*} \text{$f$为一个$(X,\mathscr{A})$到$(Y,\sigma(\mathscr{B}))$的可测映射} \Leftrightarrow f^{-1}[\sigma(\mathscr{B})]\subseteq\mathscr{A} \Leftrightarrow \sigma[f^{-1}(\mathscr{B})]\subseteq\mathscr{A} \end{equation*}\]

必要性：若$\sigma[f^{-1}(\mathscr{B})]\subseteq\mathscr{A}$，则$f^{-1}(\mathscr{B})\subseteq\sigma[f^{-1}(\mathscr{B})]\subseteq\mathscr{A}$。

充分性：若$f^{-1}(\mathscr{B})\subseteq\mathscr{A}$，因为$\mathscr{A}$是一个$\sigma$域，由生成的定义可知$\sigma[f^{-1}(\mathscr{B})]\subseteq\mathscr{A}$。

(2)因为$f$是可测空间$(X,\mathscr{A})$到可测空间$(Y,\mathscr{B})$的可测映射，所以$f^{-1}(\mathscr{B})\subseteq\mathscr{A}$。因为$g$是可测空间$(Y,\mathscr{B})$到可测空间$(Z,\mathscr{C})$的可测映射，所以$g^{-1}(\mathscr{C})\subseteq\mathscr{B}$。由定理 3.14(2)可得：

\[\begin{equation*} (g\circ f)^{-1}(\mathscr{C})=f^{-1}[g^{-1}(\mathscr{C})]\subseteq f^{-1}(\mathscr{B})\subseteq\mathscr{A} \end{equation*}\]

(3)由定理 3.18和(1)立即可得。

(4)由定理 3.14(1)可知$\nu(\varnothing)=\mu[f^{-1}(\varnothing)]=\mu(\varnothing)=0$。取$\mathscr{B}$中互不相交的$\{B_n\}$，根据映射的定义可知$\{f^{-1}(B_n)\}$也互不相交，所以由定理 3.14(4)可得：

\[\begin{align*} \nu\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n\right)&=\mu\left[f^{-1}\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n\right)\right]=\mu\left[\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}f^{-1}(B_n)\right] \\ &=\sum_{n=1}^{+\infty}\mu[f^{-1}(B_n)]=\sum_{n=1}^{+\infty}\nu(B_n) \end{align*}\]

于是$\nu$是$(Y,\mathscr{B})$上的测度。

若$(X,\mathscr{A},\mu)$是概率空间，即$\mu(X)=1$，由定理 3.14(1)可知$\nu(Y)=\mu[f^{-1}(Y)]=\mu(X)=1$，所以$(Y,\mathscr{B},\nu)$也是一个概率空间。

若$\mu$是有限测度，由$\nu$的定义即可得$\nu$也是有限测度。

若$\mu$是$\sigma$有限测度，则存在$\{A_n\}\subseteq\mathscr{A}$满足：

\[\begin{equation*} \underset{n=1}{\overset{A_n}{\cup}}=X,\quad\forall\;n\in\mathbb{N}^+,\;\mu(A_n)<+\infty \end{equation*}\]

于是：

\[\begin{equation*} \underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}f(A_n)=f\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\right)=f(X)=Y,\quad\nu[f(A_n)]=\mu(A_n)<+\infty \end{equation*}\]

即$\nu$是$\sigma$有限测度。 ◻

note 5.6. 上述第三条性质是一个很重要的结论，$\nu$被称之为pushforward measure，在数理统计和积分的变量替换中有很多它的应用。

5.3.2 可测函数

Definition 5.30. 从可测空间$(X,\mathscr{A})$到可测空间$(\overline{\mathbb{R}},\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}})$的可测映射称为$(X,\mathscr{A})$上的可测函数（measurable function）。特别的，从可测空间$(X,\mathscr{A})$到可测空间$(\mathbb{R},\mathcal{B})$的可测映射称为$(X,\mathscr{A})$上的Borel可测函数（简称Borel函数）。

5.3.2.1 简单函数

Definition 5.31. 对于空间$X$，如果存在有限个互不相交的集合$\{A_i\subseteq X:i=1,2,\dots,n\}$满足：

\[\begin{equation*} \underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}A_i=X \end{equation*}\]

则称$\{A_i\subseteq X:i=1,2,\dots,n\}$为$X$的一个有限分割。如果还有$A_i\in\mathscr{A},\;\forall\;i=1,2,\dots,n$，则称$\{A_i\subseteq X:i=1,2,\dots,n\}$为可测空间$(X,\mathscr{A})$的一个有限可测分割。当$\{A_n\in\mathscr{A}:n\in\mathbb{N}^+\}$是一个元素间互不相交的集族且满足：

\[\begin{equation*} \underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n=X,\quad A_n\in\mathscr{A},\;\forall\;n\in\mathbb{N}^+ \end{equation*}\]

时，称$\{A_n\}$为可测空间$(X,\mathscr{A})$的一个可列可测分割。

Definition 5.32. 对于可测空间$(X,\mathscr{A})$上的函数$\varphi:X\rightarrow \mathbb{R}$，如果存在有限可测分割$\{A_i\in\mathscr{A}:i=1,2,\dots,n\}$和$\{a_i\in\mathbb{R}:i=1,2,\dots,n\}$使得：

\[\begin{equation*} \varphi(x)=\sum_{i=1}^{n}a_iI_{A_i}(x) \end{equation*}\]

其中$I_{A_i}(x)$为表示$x$是否在$A_i$中的指示函数（也写作$I(x\in A_i)$），则称$\varphi(x)$为简单函数（simple function）。

Property 5.3.2. 简单函数具有如下性质：

简单函数是可测函数；
设$\varphi,\psi$为可测空间$(X,\mathscr{A})$上的简单函数，可分别表示为：

\[\begin{equation*} \varphi(x)=\sum_{i=1}^{m}c_iI_{E_i}(x),\quad \psi(x)=\sum_{j=1}^{n}d_jI_{F_j}(x) \end{equation*}\]

则：
1. 对任意的$\alpha,\beta\in\mathbb{R}$，$\alpha\varphi+\beta\psi$是简单函数，且可以表示为：
  
  \[\begin{equation*} \alpha\varphi(x)+\beta\psi(x)=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}(\alpha c_i+\beta d_j)I_{E_i\cap F_j}(x) \end{equation*}\]
2. $\varphi\psi$是简单函数，且可以表示为：
  
  \[\begin{equation*} \varphi(x)\psi(x)=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}c_id_jI_{E_i\cap F_j}(x) \end{equation*}\]
3. 若$\varphi$的值域中不含$0$，则$\dfrac{\psi}{\varphi}$也是简单函数，且可以表示为：
  
  \[\begin{equation*} \frac{\psi}{\varphi}=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\frac{d_j}{c_i}I_{E_i\cap F_j}(x) \end{equation*}\]
4. $|\varphi|$是简单函数，且可以表示为：
  
  \[\begin{equation*} \varphi(x)=\sum_{i=1}^{m}|c_i|I_{E_i}(x) \end{equation*}\]
5. $\max\{\varphi,\psi\},\min\{\varphi,\psi\}$是简单函数，且分别可以表示为：
  
  \[\begin{gather*} \max\{\varphi(x),\psi(x)\}=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\max\{c_i,d_j\}I_{E_i\cap F_j}(x) \\ \min\{\varphi(x),\psi(x)\}=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\min\{c_i,d_j\}I_{E_i\cap F_j}(x) \end{gather*}\]
可测空间$(X,\mathscr{A})$上集合$A\in\mathscr{A}$的指示函数$I_A$是简单函数。

证明. (1)由可测函数的定义和性质 5.1.6(3)即可得到。

(2)线性运算：注意到：

\[\begin{align*} \alpha\varphi(x)+\beta\psi(x) &=\alpha\sum_{i=1}^{m}c_iI_{E_i}(x)+\beta\sum_{j=1}^{n}d_jI_{F_j}(x) \\ &=\alpha\sum_{i=1}^{m}c_i\sum_{j=1}^{n}I_{E_i\cap F_j}(x)+\beta\sum_{j=1}^{n}d_j\sum_{i=1}^{m}I_{E_i\cap F_j}(x) \\ &=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\alpha c_iI_{E_i\cap F_j}(x)+\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}\beta d_jI_{E_i\cap F_j}(x) \\ &=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}(\alpha c_i+\beta d_j)I_{E_i\cap F_j}(x) \end{align*}\]

由性质 5.1.6(2)、性质 5.1.1(4)可得：

\[\begin{equation*} \underset{i=1}{\overset{m}{\cup}}\underset{j=1}{\overset{n}{\cup}}(E_i\cap F_j)=\underset{i=1}{\overset{m}{\cup}}\left[E_i\cap\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\cup}}F_j\right)\right]=\underset{i=1}{\overset{m}{\cup}}E_i=X \end{equation*}\]

并且$\{E_i\cap F_j:i=1,2,\dots,m,\;j=1,2,\dots,n\}\subseteq\mathscr{A}$，所以它是$X$的有限可测分割，由此可知结论成立。

乘法：注意到：

\[\begin{equation*} \varphi(x)\psi(x)=\left[\sum_{i=1}^{m}c_iI_{E_i}(x)\right]\left[\sum_{j=1}^{n}d_jI_{F_j}(x)\right]=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}c_id_jI_{E_i\cap F_j}(x) \end{equation*}\]

显然$\varphi\psi$是一个简单函数。

除法：当$\varphi$的值域不含$0$时，$\dfrac{1}{\varphi}$是一个简单函数，由简单函数对乘法的封闭性即可得到：

\[\begin{equation*} \frac{\psi(x)}{\varphi(x)}=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\frac{d_j}{c_i}I_{E_i\cap F_j}(x) \end{equation*}\]

绝对值：显然。

最大值最小值：显然。

(3)由$\sigma$域对补封闭即可得到：

\[\begin{equation*} I_A(x)=1I_A(x)+0I_{A^c}(x) \end{equation*}\]

符合简单函数的定义。 ◻

5.3.2.2 可测函数的性质

Definition 5.33. 设$f(x)$是可测空间$(X,\mathscr{A})$上的可测函数，令：

\[\begin{gather*} f^+(x)=\max\{f(x),0\}= \begin{cases} f(x),&f(x)\geqslant 0 \\ 0,&f(x)<0 \end{cases} \\ f^-(x)=-\min\{f(x),0\}= \begin{cases} -f(x),&f(x)\leqslant 0 \\ 0,&f(x)>0 \end{cases} \end{gather*}\]

分别称$f^+(x)$和$f^-(x)$为$f(x)$的正部和负部。

下面用$\{f<a\}$表示$\{x:f(x)<a\}$，小于等于、大于、大于等于、等于号同理。

Property 5.3.3. 设$(X,\mathscr{A})$是可测空间。可测函数具有如下性质：

$f$是$(X,\mathscr{A})$上的可测函数的充要条件为：
1. 对任意的$a\in\mathbb{R}$，$\{f<a\}\in\mathscr{A}$。
2. 对任意的$a\in\mathbb{R}$，$\{f\leqslant a\}\in\mathscr{A}$。
3. 对任意的$a\in\mathbb{R}$，$\{f>a\}\in\mathscr{A}$。
4. 对任意的$a\in\mathbb{R}$，$\{f\geqslant a\}\in\mathscr{A}$。
设$D$是$\mathbb{R}$上的可数稠密子集，对上述结论，把$\mathbb{R}$改为$D$仍然成立；
若$f$是$(X,\mathscr{A})$上的可测函数，则对任意的$a\in\overline{\mathbb{R}^{}}$，有$\{f=a\}\in\mathscr{A}$；
若$f$和$g$是$(X,\mathscr{A})$上的可测函数，则$\{f<g\},\{f\leqslant g\},\{f=g\}.\{f\ne g\}\in\mathscr{A}$，同时对于任意的$\varepsilon>0$，有$\{|f-g|\geqslant\varepsilon\},\{|f-g|>\varepsilon\}\in\mathscr{A}$。
如果$f$是$(X,\mathscr{A})$上的可测函数，则$f$为简单函数的充分必要条件为它的值域是有限个实数组成的集合；
若$f,g$是$(X,\mathscr{A})$上的可测函数，则：
1. 对任意的$\alpha,\beta\in\overline{\mathbb{R}}$，若对任意的$x\in X$，$\alpha f+\beta g$有意义，则$\alpha f+\beta g$是可测函数；
2. $fg$是可测函数；
3. 若对任意的$x\in X$，有$g(x)\ne0$，则$f/g$是可测函数；
4. $|f|$是可测函数；
$\{f_n\}$是$(X,\mathscr{A})$上的一列可测函数，则：

\[\begin{equation*} \inf_nf_n,\;\sup_nf_n,\; \varliminf_{n\to+\infty}f_n,\;\varlimsup_{n\to+\infty}f_n,\;\max_nf_n,\;\min_nf_n \end{equation*}\]

也是可测函数，若$\varliminf\limits_{n\to+\infty}f_n=\varlimsup\limits_{n\to+\infty}f_n$，则$\lim\limits_{n\to+\infty}f_n$也是可测函数；
设$f$是$(X,\mathscr{A})$上的可测函数，则$f^+$和$f^-$也是可测函数；
若$f$是$(X,\mathscr{A})$上的（非负）可测函数，则存在（非负）简单函数列$\{\varphi_n\}$，使得对任意$x\in X$有$\lim\limits_{n\to+\infty}\varphi_n(x)=f(x)$（$\varphi_n\uparrow f$）。若$f(x)$有界，则上述收敛可以是一致收敛；
设$f$是完全测度空间$(X,\mathscr{A},\mu)$上的可测函数，则改变$f$在$\mu$零测集上的值不改变$f$的可测性；
$(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}^{}))$上的实值单调函数是Borel函数；
$(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n}))$上的实值连续函数是Borel函数；

证明. (1)由性质 5.1.7(1.b)和性质 5.3.1(1)即可得到。

(2)实数的情况可由(1)与性质 5.1.6(4)得到。由(1)和性质 5.1.6(2)可得：

\[\begin{equation*} \{f=+\infty\}=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}\{f>n\}\in\mathscr{A},\quad\{f=-\infty\}=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}\{f<-n\}\in\mathscr{A} \end{equation*}\]

(3)由有理数的稠密性、(1)、推论 19.2和性质 5.1.6(2)可得：

\[\begin{equation*} \{f<g\}=\underset{r\in\mathbb{Q}}{\overset{}{\bigcup}}[\{f<r\}\cap\{g>r\}]\in\mathscr{A} \end{equation*}\]

由$f$与$g$的对称性可得$\{g<f\}\in\mathscr{A}$，那么就有$\{f\leqslant g\}=\{g<f\}^c\in\mathscr{A}$。根据性质 5.1.6(4)可得：

\[\begin{align*} \{f=g\}=\{f\leqslant g\}\setminus\{f<g\}\in\mathscr{A} \end{align*}\]

所以$\{f\ne g\}=\{f=g\}^c\in\mathscr{A}$。因为：

\[\begin{equation*} \{|f-g|\geqslant\varepsilon\}=\{f-g\geqslant\varepsilon\}\cup\{f-g\leqslant-\varepsilon\}=\{f\geqslant g+\varepsilon\}\cup\{f\leqslant g-\varepsilon\} \end{equation*}\]

因为$g$是可测函数，由(1)可得$g+\varepsilon$和$g-\varepsilon$也是可测函数，所以$\{f\geqslant g+\varepsilon\},\{f\leqslant g-\varepsilon\}\in\mathscr{A}$。由性质 5.1.6(3)可得：

\[\begin{equation*} \{|f-g|\geqslant\varepsilon\}=\{f\geqslant g+\varepsilon\}\cup\{f\leqslant g-\varepsilon\}\in\mathscr{A} \end{equation*}\]

同理可得$\{|f-g|>\varepsilon\}\in\mathscr{A}$。

(4)必要性由简单函数的定义即可得到。下证充分性。

设$f$的值域为$\{a_i:i=1,2,\dots,n\}$，因为$f$是可测函数，由(2)可得$\{f=a_i\}\in\mathscr{A}$，于是$f$可表示为：

\[\begin{equation*} f(x)=\sum_{i=1}^{n}a_iI_{\{f=a_i\}}(x),\quad X=\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}\{f=a_i\},\quad\{f=a_i\}\cap\{f=a_j\}=\varnothing,\;\forall\;i\ne j \end{equation*}\]

所以$f$为简单函数，充分性得证。

(5)任取$a,b\in\mathbb{R}^{}$且$a<b$，则由(1)和性质 5.1.6(2)可得：

\[\begin{equation*} \{(f,g)<(a,b)\}=\{x:f(x)<a,g(x)<b\}=\{f<a\}\cap\{g<b\}\in\mathscr{A} \end{equation*}\]

根据性质 5.3.1(1)和性质 5.1.7(2)可知$(f,g)$是$(X,\mathscr{A})$到$(\overline{\mathbb{R}}^{2},\mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}}^{2}))$上的可测函数，由性质 5.3.1(3)和性质 5.1.6(2)即可得出结论。

(6)注意到：

\[\begin{equation*} \left\{\inf_nf_n\geqslant a\right\}=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}\{f_n\geqslant a\},\quad\left\{\sup_nf_n\leqslant a\right\}=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}\{f_n\leqslant a\} \end{equation*}\]

由(1)和性质 5.1.6(2)即可得到$\inf\limits_nf_n,\sup\limits_nf_n$是可测函数。因为：

\[\begin{equation*} \varliminf_{n\to+\infty}f_n=\sup_{n}\left(\inf_{k\geqslant n}f_k\right),\quad\varlimsup_{n\to+\infty}f_n=\inf_{n}\left(\sup_{k\geqslant n}f_k\right) \end{equation*}\]

所以可测函数列的下极限函数与上极限函数也是可测函数，从而上下极限函数相等时极限函数也是可测函数。类似于上下确界可得：

\[\begin{equation*} \left\{\min_nf_n\geqslant a\right\}=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}\{f_n\geqslant a\},\quad\left\{\max_nf_n\leqslant a\right\}=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}\{f_n\leqslant a\} \end{equation*}\]

由(1)和性质 5.1.6(2)即可得到$\max\limits_nf_n,\min\limits_nf_n$是可测函数。

(7)由可测函数的定义，$g(x)=0$是一个可测函数。根据(6)和(5.a)可知此时$f^+(x),f^-(x)$是可测函数。

(8)非负可测函数：对任意的$n\in\mathbb{N}^+$，将$[0,n]$分为$n2^n$份，令：

\[\begin{gather*} E_{nj}=\left\{\frac{j-1}{2^n}\leqslant f<\frac{j}{2^n}\right\},\;j=1,2,\dots,n2^n ,\quad E_n=\{f\geqslant n\} \end{gather*}\]

作函数列：

\[\begin{equation*} \varphi_n(x)= \begin{cases} \dfrac{j-1}{2^n},&x\in E_{nj} \\ n,&x\in E_n \end{cases} \end{equation*}\]

由(1)和性质 5.1.6(4)可得$\varphi_n(x)$是非负简单函数，并且有：

\[\begin{equation*} \forall\;n\in\mathbb{N}^+,\;\varphi_n(x)\leqslant\varphi_{n+1}(x)\leqslant f(x) \end{equation*}\]

设$x\in X$，若$f(x)<+\infty$，则当$n>f(x)$时有：

\[\begin{equation*} 0\leqslant f(x)-\varphi_n(x)\leqslant 2^{-n} \end{equation*}\]

若$f(x)=+\infty$，则$\varphi_n(x)=n,\;n=1,2,\dots$，因此$\lim\limits_{n\to+\infty}\varphi_n(x)=f(x)$。

一般可测函数：$f=f^+-f^-$，若$f$是可测函数，由(7)可知$f^+,f^-$也是可测函数，所以存在简单函数列$\{\varphi_n^+\}$和$\{\varphi_n^-\}$，使得对任意的$x\in X$，有：

\[\begin{equation*} \lim\limits_{n\to+\infty}\varphi_n^+(x)=f^+(x),\; \lim\limits_{n\to+\infty}\varphi_n^-(x)=f^-(x) \end{equation*}\]

令$\varphi_n=\varphi_n^+-\varphi_n^-$，由性质 5.3.2(2)可知$\{\varphi_n(x)\}$是简单函数列，且对任意的$x\in X$，$\lim\limits_{n\to+\infty}\varphi_n(x)=f(x)$。

若$f(x)$有界，设$\sup\limits_{x\in X}\{|f(x)|\}=M$，则由非负可测函数情况下的证明过程，当$n>M$时有：

\[\begin{equation*} \sup_{x\in X}\{|f^+(x)-\varphi_n^+(x)|\}\leqslant\frac{1}{2^n},\quad \sup_{x\in X}\{|f^-(x)-\varphi_n^-(x)|\}\leqslant\frac{1}{2^n} \end{equation*}\]

因此由上确界的性质可得：

\[\begin{align*} \sup_{x\in X}\{|f(x)-\varphi_n(x)|\} &=\sup_{x\in X}\{|f^+(x)-f^-(x)-\varphi_n^+(x)+\varphi_n^-(x)|\} \\ &\leqslant\sup_{x\in X}\{|f^+(x)-\varphi_n^+(x)|+|f^-(x)-\varphi_n^-(x)|\} \\ &\leqslant\sup_{x\in X}\{|f^+(x)-\varphi_n^+(x)|\}+\sup_{x\in X}\{|f^-(x)-\varphi_n^-(x)|\} \\ &\leqslant\frac{1}{2^{n-1}} \end{align*}\]

所以$\{\varphi_n\}$在$X$上一致收敛于$f$。

(9)由(1)、完全测度空间的定义和性质 5.1.6(3)(4)即可得到，在零测集上改变数值而言无非是对$\{f<a\}$并上或去掉一个可测集。

(10)由(1.a)和性质 5.1.7(1.b)立即可得。

(11)由定理 3.18和性质 5.3.1(1)即可得到。 ◻

note 5.7. 上述第9条性质是一个非常重要的结论，它告诉我们在讨论完全测度空间上函数的可测性的时候是不必计较其在一个零测集上的取值的，在接下来的讨论中我们甚至允许函数在零测集上出现$-\infty+\infty$。

Definition 5.34. 对于测度空间$(X,\mathscr{A},\mu)$上关于$X$的元素$x$的一个命题，若它只在$\mathscr{A}$中的一个$\mu$零测集上不成立，则称这个命题几乎处处成立，简记为a.e.（almost everywhere）。当同时存在多个空间、多个$\sigma$域或多个测度时，为了使得提到几乎处处的时候不引起歧义，应在a.e.后加入限定，如命题成立a.e.于$X$、命题成立a.e.于$(X,\mathscr{A},\mu)$、命题成立a.e.于$\mu$等等。

5.3.3 可测函数的收敛性

5.3.3.1 几乎处处收敛

Definition 5.35. 设$\{f_n\}$和$f$是测度空间$(X,\mathscr{F},\mu)$上的可测函数，如果：

\[\begin{equation*} \mu\left(\left\{\lim_{n\to+\infty}f_n\ne f\right\}\right)=0 \end{equation*}\]

则称可测函数列$\{f_n\}\;$a.e.以$f$为极限，记为$f_n\overset{\text{a.e.}}{\longrightarrow}f$。若此时还有$f$有限a.e.于$X$，则称$\{f_n\}\;$a.e.收敛到$f$。

note 5.8. 接下来若没有特殊说明，$f_n\overset{a.e.}{\longrightarrow}f$指的都是$\{f_n\}\;$a.e.收敛到$f$。

Theorem 5.20. 设$\{f_n\}$和$f$是测度空间$(X,\mathscr{F},\mu)$上的可测函数，$f_n\overset{a.e.}{\longrightarrow}f$的充分必要条件为对任意的$\varepsilon>0$，有¹：

\[\begin{equation*} \mu\left(\varlimsup_{n\to+\infty}\{|f_n-f|\geqslant\varepsilon\}\right)=0 \end{equation*}\]

证明. 若$\lim\limits_{n\to+\infty}f_n(x)\ne f(x)$，则有：

\[\begin{equation*} \exists\;k\in\mathbb{N}^+,\;\forall\;N\in\mathbb{N}^+,\;\exists\;n\geqslant N,\;|f_n(x)-f(x)|\geqslant\frac{1}{k} \end{equation*}\]

于是：

\[\begin{equation*} \left\{\lim_{n\to+\infty}f_n\ne f\right\}=\underset{k=1}{\overset{+\infty}{\cup}}\underset{m=1}{\overset{+\infty}{\cap}}\underset{n=m}{\overset{+\infty}{\cup}}\left\{|f_n-f|\geqslant\frac{1}{k}\right\} \end{equation*}\]

(1)充分性：此时由性质 5.2.1(3)（次有限可加性）可得：

\[\begin{align*} \mu\left(\left\{\lim_{n\to+\infty}f_n\ne f\right\}\right) &=\mu\left(\underset{k=1}{\overset{+\infty}{\cup}}\underset{m=1}{\overset{+\infty}{\cap}}\underset{n=m}{\overset{+\infty}{\cup}}\left\{|f_n-f|\geqslant\frac{1}{k}\right\}\right) \\ &\leqslant\sum_{k=1}^{+\infty}\mu\left(\underset{m=1}{\overset{+\infty}{\cap}}\underset{n=m}{\overset{+\infty}{\cup}}\left\{|f_n-f|\geqslant\frac{1}{k}\right\}\right) \\ &=\sum_{k=1}^{+\infty}\mu\left(\varlimsup_{n\to+\infty}\left\{|f_n-f|\geqslant\frac{1}{k}\right\}\right)=0 \end{align*}\]

由测度的非负性即可得到：

\[\begin{equation*} \mu\left(\lim_{n\to+\infty}f_n\ne f\right)=0 \end{equation*}\]

(2)必要性：对任意取定的$\varepsilon>0$，若：

\[\begin{equation*} x\in\varlimsup_{n\to+\infty}\{|f_n-f|\geqslant\varepsilon\} \end{equation*}\]

则：

\[\begin{equation*} \forall\;m\in\mathbb{N}^+,\;\exists\;n\geqslant m,\;|f_n(x)-f(x)|\geqslant \varepsilon \end{equation*}\]

即：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}f_n(x)\ne f(x) \end{equation*}\]

于是对这个$\varepsilon$，有：

\[\begin{equation*} \varlimsup_{n\to+\infty}\{|f_n-f|\geqslant\varepsilon\}\subseteq\left\{\lim_{n\to+\infty}f_n\ne f\right\} \end{equation*}\]

因为$f_n,f$都是可测函数，由性质 5.3.3(3)可知$\{|f_n-f|\geqslant\varepsilon\}\in\mathscr{F}$，根据性质 5.1.6(2)可得：

\[\begin{equation*} \varlimsup_{n\to+\infty}\{|f_n-f|\geqslant\varepsilon\}=\underset{m=1}{\overset{+\infty}{\cap}}\underset{n=m}{\overset{+\infty}{\cup}}\{|f_n-f|\geqslant\varepsilon\}\in\mathscr{F} \end{equation*}\]

由性质 5.2.1(3)（单调性）可得：

\[\begin{equation*} \mu\left(\varlimsup_{n\to+\infty}\{|f_n-f|\geqslant\varepsilon\}\right)=0 \end{equation*}\]

◻

5.3.3.2 几乎一致收敛

Definition 5.36. 设$\{f_n\}$和$f$是测度空间$(X,\mathscr{F},\mu)$上的可测函数。如果对任意的$\varepsilon>0$，存在$A\in\mathscr{F}$使得$\mu(A)<\varepsilon$且：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}\sup_{x\notin A}|f_n(x)-f(x)|=0 \end{equation*}\]

则称$\{f_n\}$几乎一致收敛到$f$，记为$f_n\overset{\text{a.u.}}{\longrightarrow}f$。

Theorem 5.21. 设$\{f_n\}$和$f$是测度空间$(X,\mathscr{F},\mu)$上的可测函数，$f_n\overset{\text{a.u.}}{\longrightarrow}f$的充分必要条件为对任意的$\varepsilon$有：

\[\begin{equation*} \lim_{m\to+\infty}\mu\left(\underset{n=m}{\overset{+\infty}{\cup}}\{|f_n-f|\geqslant\varepsilon\}\right)=0 \end{equation*}\]

证明. (1)必要性：因为$\{f_n\}\overset{\text{a.u.}}{\longrightarrow}f$，所以：

\[\begin{equation*} \forall\;\delta>0,\;\exists\;A\in\mathscr{F},\;\mu(A)<\delta,\;\forall\;\varepsilon>0,\;\exists\;m\in \mathbb{N}^+,\;\forall\;n>m,\;\sup_{x\notin A}|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon \end{equation*}\]

即：

\[\begin{equation*} \forall\;\delta>0,\;\exists\;A\in\mathscr{F},\;\mu(A)<\delta,\;\forall\;\varepsilon>0,\;\exists\;m\in\mathbb{N}^+,\;A^c\subseteq\underset{n=m}{\overset{+\infty}{\cap}}\{|f_n-f|<\varepsilon\} \end{equation*}\]

于是由性质 5.1.1(7)可得：

\[\begin{equation*} \forall\;\delta>0,\;\exists\;A\in\mathscr{F},\;\mu(A)<\delta,\;\forall\;\varepsilon>0,\;\exists\;m\in\mathbb{N}^+,\;\underset{n=m}{\overset{+\infty}{\cup}}\{|f_n-f|\geqslant\varepsilon\}\subseteq A \end{equation*}\]

因为$f_n$和$f$都是可测函数，由性质 5.3.3(3)可知$\{|f_n-f|\geqslant\varepsilon\}\in\mathscr{F}$，所以：

\[\begin{equation*} \underset{n=m}{\overset{+\infty}{\cup}}\{|f_n-f|\geqslant\varepsilon\}\in\mathscr{F} \end{equation*}\]

由性质 5.2.1(3)（单调性）可得：

\[\begin{equation*} \mu\left(\underset{n=m}{\overset{+\infty}{\cup}}\{|f_n-f|\geqslant\varepsilon\}\right)\leqslant\mu(A)<\delta \end{equation*}\]

所以：

\[\begin{equation*} \forall\;\delta>0,\;\forall\;\varepsilon>0,\;\exists\;m\in\mathbb{N}^+,\;\mu\left(\underset{n=m}{\overset{+\infty}{\cup}}\{|f_n-f|\geqslant\varepsilon\}\right)<\delta \end{equation*}\]

即：

\[\begin{equation*} \forall\;\varepsilon>0,\;\forall\;\delta>0,\;\exists\;m\in\mathbb{N}^+,\;\mu\left(\underset{n=m}{\overset{+\infty}{\cup}}\{|f_n-f|\geqslant\varepsilon\}\right)<\delta \end{equation*}\]

则：

\[\begin{equation*} \forall\;\varepsilon>0,\;\forall\;k\in\mathbb{N}^+,\;\exists\;m_k\in\mathbb{N}^+,\;\mu\left(\underset{n=m_k}{\overset{+\infty}{\cup}}\{|f_n-f|\geqslant\varepsilon\}\right)<\frac{1}{k} \end{equation*}\]

由性质 5.2.1(3)（单调性）可知随着$k$的增大$m_k$单调不减并且可以令$m_k$不小于$k$。于是结合测度的非负性就有：

\[\begin{equation*} \forall\;\varepsilon>0,\;\lim_{k\to+\infty}\mu\left(\underset{n=m_k}{\overset{+\infty}{\cup}}\{|f_n-f|\geqslant\varepsilon\}\right)=\lim_{m\to+\infty}\mu\left(\underset{n=m}{\overset{+\infty}{\cup}}\{|f_n-f|\geqslant\varepsilon\}\right)=0 \end{equation*}\]

(2)充分性：由所给条件，对$k\in\mathbb{N}^+$有：

\[\begin{equation*} \lim_{m\to+\infty}\mu\left(\underset{n=m}{\overset{+\infty}{\cup}}\left\{|f_n-f|\geqslant\frac{1}{k}\right\}\right)=0 \end{equation*}\]

于是根据性质 5.2.1(3)（单调性）可知对任意的$\delta>0$存在$\{m_k:m_k>k\}$使得：

\[\begin{equation*} \mu\left(\underset{n=m_k}{\overset{+\infty}{\cup}}\left\{|f_n-f|\geqslant\frac{1}{k}\right\}\right)<\frac{\delta}{2^k} \end{equation*}\]

取：

\[\begin{equation*} A=\underset{k=1}{\overset{+\infty}{\cup}}\underset{n=m_k}{\overset{+\infty}{\cup}}\left\{|f_n-f|\geqslant\frac{1}{k}\right\} \end{equation*}\]

由性质 5.3.3(3)可得$A\in\mathscr{F}$，于是根据性质 5.2.1(3)（次可列可加性）可得：

\[\begin{align*} \mu(A)&=\mu\left(\underset{k=1}{\overset{+\infty}{\cup}}\underset{n=m_k}{\overset{+\infty}{\cup}}\left\{|f_n-f|\geqslant\frac{1}{k}\right\}\right) \\ &\leqslant\sum_{k=1}^{+\infty}\mu\left(\underset{n=m_k}{\overset{+\infty}{\cup}}\left\{|f_n-f|\geqslant\frac{1}{k}\right\}\right)<\delta \end{align*}\]

注意到：

\[\begin{align*} A^c&=\left(\underset{k=1}{\overset{+\infty}{\cup}}\underset{n=m_k}{\overset{+\infty}{\cup}}\left\{|f_n-f|\geqslant\frac{1}{k}\right\}\right)^c=\underset{k=1}{\overset{+\infty}{\cap}}\left(\underset{n=m_k}{\overset{+\infty}{\cup}}\left\{|f_n-f|\geqslant\frac{1}{k}\right\}\right)^c \\ &=\underset{k=1}{\overset{+\infty}{\cap}}\underset{n=m_k}{\overset{+\infty}{\cap}}\left\{|f_n-f|<\frac{1}{k}\right\} \end{align*}\]

所以若$x\notin A$，则对任意的$k\in \mathbb{N}^+$，当$n\geqslant m_k$时就有：

\[\begin{equation*} |f_n(x)-f(x)|<\frac{1}{k} \end{equation*}\]

由上确界的不等式性，此时即：

\[\begin{equation*} \forall\;k\in\mathbb{N}^+,\;\exists\;m_k\in\mathbb{N}^+,\;\forall\;n\geqslant m_k,\;\sup_{x\notin A}|f_n(x)-f(x)|\leqslant\frac{1}{k} \end{equation*}\]

也即：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}\sup_{x\notin A}|f_n(x)-f(x)|=0 \end{equation*}\]

所以$f_n\overset{\text{a.u.}}{\longrightarrow}f$。 ◻

5.3.3.3 依测度收敛

Definition 5.37. 设$\{f_n\}$和$f$是测度空间$(X,\mathscr{F},\mu)$上的可测函数。如果对任意的$\varepsilon>0$都有：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}\mu(\{|f_n-f|\geqslant\varepsilon\})=0 \end{equation*}\]

则称可测函数列$\{f_n\}$依测度收敛（convergent in measure）到$f$，记为$f_n\overset{\mu}{\longrightarrow}f$。

5.3.3.4 收敛性之间的关系

Theorem 5.22. 设$\{f_n\}$和$f$为测度空间$(X,\mathscr{F},\mu)$上的可测函数，则：

$f_n\overset{\text{a.u.}}{\longrightarrow}f$可推出$f_n\overset{\textbf{a.e.}}{\longrightarrow}f$和$f_n\overset{\mu}{\longrightarrow}f$；
若$\mu(X)<+\infty$，则$f_n\overset{\text{a.u.}}{\longrightarrow}f\iff f_n\overset{\text{a.e.}}{\longrightarrow}f\Rightarrow f_n\overset{\mu}{\longrightarrow}f$；
$f_n\overset{\mu}{\longrightarrow}f$当且仅当对$\{f_n\}$的任一子列，存在该子列的子列$\{f_{n_k}\}$使得$f_{n_k}\overset{\text{a.u.}}{\longrightarrow}f$。

证明. (1)对任意的$n\in\mathbb{N}^+$和任意的$\varepsilon>0$，由性质 5.3.3(3)可得$\{|f_n-f|\geqslant\varepsilon\}\in\mathscr{F}$，由性质 5.1.6(2)可得：

\[\begin{equation*} \underset{m=n}{\overset{+\infty}{\cup}}\{|f_m-f|\geqslant\varepsilon\}\in\mathscr{F},\;\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}\underset{m=n}{\overset{+\infty}{\cup}}\{|f_m-f|\geqslant\varepsilon\}\in\mathscr{F} \end{equation*}\]

因为：

\[\begin{gather*} \{|f_n-f|\geqslant\varepsilon\}\subseteq\underset{m=n}{\overset{+\infty}{\cup}}\{|f_m-f|\geqslant\varepsilon\} \\ \underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}\underset{m=n}{\overset{+\infty}{\cup}}\{|f_m-f|\geqslant\varepsilon\}\subseteq\underset{m=n}{\overset{+\infty}{\cup}}\{|f_m-f|\geqslant\varepsilon\} \end{gather*}\]

由性质 5.2.1(3)（单调性）可得：

\[\begin{gather*} \mu(\{|f_n-f|\geqslant\varepsilon\})\leqslant\mu\left(\underset{m=n}{\overset{+\infty}{\cup}}\{|f_m-f|\geqslant\varepsilon\}\right) \\ \mu\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}\underset{m=n}{\overset{+\infty}{\cup}}\{|f_m-f|\geqslant\varepsilon\}\right)\leqslant\mu\left(\underset{m=n}{\overset{+\infty}{\cup}}\{|f_m-f|\geqslant\varepsilon\}\right) \end{gather*}\]

因为$f_n\overset{\text{a.u.}}{\longrightarrow}f$，由性质 3.2.9(6)、测度的非负性和定理 5.21可得：

\[\begin{gather*} 0\leqslant\lim_{n\to+\infty}\mu(\{|f_n-f|\geqslant\varepsilon\})\leqslant\lim_{n\to+\infty}\mu\left(\underset{m=n}{\overset{+\infty}{\cup}}\{|f_m-f|\geqslant\varepsilon\}\right)=0 \\ 0\leqslant\mu\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}\underset{m=n}{\overset{+\infty}{\cup}}\{|f_m-f|\geqslant\varepsilon\}\right)\leqslant\lim_{n\to+\infty}\mu\left(\underset{m=n}{\overset{+\infty}{\cup}}\{|f_m-f|\geqslant\varepsilon\}\right)=0 \end{gather*}\]

所以：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}\mu(\{|f_n-f|\geqslant\varepsilon\})=0,\;\mu\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}\underset{m=n}{\overset{+\infty}{\cup}}\{|f_m-f|\geqslant\varepsilon\}\right)=0 \end{equation*}\]

根据定理 5.20可知$f_n\overset{\mu}{\longrightarrow}f,\;f_n\overset{a.e.}{\longrightarrow}f$。

(2)设$f_n\overset{a.e.}{\longrightarrow}f$，令：

\[\begin{equation*} \left\{X_n=\underset{m=n}{\overset{+\infty}{\cup}}\{|f_m-f|\geqslant\varepsilon\}\right\} \end{equation*}\]

显然$\{X_n\}$是一个单调不增序列，由性质 5.1.2(3)可知其极限为：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}X_n=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}\underset{m=n}{\overset{+\infty}{\cup}}\{|f_m-f|\geqslant\varepsilon\} \end{equation*}\]

由性质 5.2.1(3)（单调性，上连续性）和$\mu(X)<+\infty$可知$\mu(X_1)<+\infty$并且有：

\[\begin{equation*} \mu\left(\lim_{n\to+\infty}X_n\right)=\lim_{n\to+\infty}\mu(X_n) \end{equation*}\]

于是：

\[\begin{equation*} \mu\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}\underset{m=n}{\overset{+\infty}{\cup}}\{|f_m-f|\geqslant\varepsilon\}\right)=\lim_{n\to+\infty}\mu\left(\underset{m=n}{\overset{+\infty}{\cup}}\{|f_m-f|\geqslant\varepsilon\}\right) \end{equation*}\]

根据定理 5.20可知：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}\mu\left(\underset{m=n}{\overset{+\infty}{\cup}}\{|f_m-f|\geqslant\varepsilon\}\right)=0 \end{equation*}\]

由定理 5.21即$f_n\overset{a.u.}{\longrightarrow}f$，再结合(1)即可得出结论。

(3)必要性：由依测度收敛定义和含无穷时的收敛与子列收敛可知若$f_n\overset{\mu}{\longrightarrow}f$，则$\{f_n\}$的任一子列也依测度收敛到$f$，于是只需证明$\{f_n\}$存在子列$\{f_{n_k}\}$使得$f_{n_k}\overset{a.u.}{\longrightarrow}f$。

因为$f_n\overset{\mu}{\longrightarrow}f$，所以对$k\in\mathbb{N}^+$可取$n_k$使得：

\[\begin{equation*} \mu\left(\left\{|f_{n_k}-f|\geqslant\frac{1}{k}\right\}\right)<\frac{1}{2^k} \end{equation*}\]

由性质 5.2.1(3)（次可列可加性）可得：

\[\begin{equation*} \mu\left(\underset{k=m}{\overset{+\infty}{\cup}}\left\{|f_{n_k}-f|\geqslant\frac{1}{k}\right\}\right)\leqslant\sum_{k=m}^{+\infty}\mu\left(\left\{|f_{n_k}-f|\geqslant\frac{1}{k}\right\}\right)<\sum_{k=m}^{+\infty}\frac{1}{2^k}=\frac{1}{2^{m-1}} \end{equation*}\]

所以：

\[\begin{equation*} \lim_{m\to+\infty}\mu\left(\underset{k=m}{\overset{+\infty}{\cup}}\left\{|f_{n_k}-f|\geqslant\frac{1}{k}\right\}\right)=0 \end{equation*}\]

由定理 5.21可知$f_{n_k}\overset{a.u.}{\longrightarrow}f$。

充分性：若此时$f_n\overset{\mu}{\longrightarrow}f$不成立，由含无穷时的收敛与子列收敛可知存在子列$\{f_{n_k}\}$不依测度收敛于$f$，即存在$\varepsilon_0,\delta_0>0$，对于任意的$K\in\mathbb{N}^+$，存在$m>K$使得：

\[\begin{equation*} \mu(\{|f_{n_m}-f|\geqslant\varepsilon_0\})\geqslant\delta_0 \end{equation*}\]

那么对于$\{f_{n_k}\}$的任一子列$\{f_{n_{k_i}}\}$，对于任意的$I\in\mathbb{N}^+$，存在$j>I$使得：

\[\begin{equation*} \mu(\{|f_{n_{k_j}}-f|\geqslant\varepsilon_0\})\geqslant\delta_0 \end{equation*}\]

由性质 5.2.1(3)（单调性）可得：

\[\begin{equation*} \mu\left(\underset{i=I}{\overset{+\infty}{\cup}}\{|f_{n_{k_i}}-f|\geqslant\varepsilon_0\}\right)\geqslant\mu(\{|f_{n_{k_j}}-f|\geqslant\varepsilon_0\})\geqslant\delta_0 \end{equation*}\]

根据定理 5.21可知$\{f_{n_{k_i}}\}$不几乎一致收敛。由$\{f_{n_{k_i}}\}$的任意性可知与条件矛盾，所以此时有$f_n\overset{\mu}{\longrightarrow}f$。 ◻

5.4 积分论

5.4.1 非负简单函数的积分

Definition 5.38. 设$\varphi$为测度空间$(X,\mathscr{F},\mu)$上的一个非负简单函数，即$X$可表示为有限个互不相交的集合$E_1,E_2,\dots,E_n\in\mathscr{F}$的并，且在$E_i$上$\varphi=a_i\geqslant0$，即：

\[\begin{equation*} \varphi(x)=\sum_{i=1}^{n}a_iI(x\in E_i) \end{equation*}\]

其中$I(x\in E_i)$为表示$x$是否在$E_i$中的示性函数。对于任意的$A\in\mathscr{F}$，根据性质 5.1.6(2)，将$\varphi(x)$在$A$上的积分定义为：

\[\begin{equation*} \int_{A}\varphi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\sum_{i=1}^{n}a_i\mu(A\cap E_i) \end{equation*}\]

note 5.9. 在定义积分的时候，一些书只定义函数在空间$X$上的积分，根据性质 5.1.6(6)可知可以将可测集$A$视为空间，此时的$A\cap\mathscr{F}$构成了$\mathscr{F}$的一个子$\sigma$域，而由性质 5.2.1(4)可知$\mu$在$A\cap\mathscr{F}$上也构成测度，所以函数在可测集$A$上的积分可以定义为函数在测度空间$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$的空间$A$上的积分。

Property 5.4.1. 设$\varphi,\;\psi$为测度空间$(X,\mathscr{F},\mu)$上的非负简单函数，可分别表示为：

\[\begin{equation*} \varphi(x)=\sum_{i=1}^{m}a_iI(x\in E_i),\quad \psi(x)=\sum_{j=1}^{n}b_jI(x\in F_j) \end{equation*}\]

则：

对任意的$A\in\mathscr{F}$，$\varphi(x)$的所有表达式在$A$上的积分值相同；
对于任意的$A\in\mathscr{F}$，有：

\[\begin{equation*} \int_{A}\varphi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\geqslant0 \end{equation*}\]
若$A\in\mathscr{F}$且$\mu(A)=0$，则有：

\[\begin{equation*} \int_{A}\varphi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=0 \end{equation*}\]
设$A,B\in\mathscr{F}$且$A\cap B=\varnothing$，则：

\[\begin{equation*} \int_{A\cup B}\varphi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}\varphi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu+\int_{B}\varphi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]
对任意的$A\in\mathscr{F}$和$\alpha,\beta\in \mathbb{R}$且$\alpha,\beta\geqslant0$：

\[\begin{equation*} \int_{A}\left[\alpha\varphi(x)+\beta\psi(x)\right]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu =\alpha\int_{A}\varphi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu+\beta\int_{A}\psi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]
取$A\in\mathscr{F}$，若对任意的$x\in A$有$\varphi(x)\geqslant \psi(x)$，则有：

\[\begin{equation*} \int_{A}\varphi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\geqslant\int_{A}\psi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]
设$\{A_n\}\subseteq\mathscr{F}$，$A_n\uparrow E\in\mathscr{F}$或$\mu(A_1)<+\infty$且$A_n\downarrow E\in\mathscr{F}$，则：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}\left[\int_{A_n}\varphi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]=\int_{E}\varphi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]
取$A\in\mathscr{F}$，若非负简单函数列$\varphi_n(x)\uparrow$且对任意的$x\in A$有$\lim\limits_{n\to+\infty}\varphi_n(x)\geqslant \psi(x)$，则有：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}\left[\int_{A}\varphi_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]\geqslant\int_{A}\psi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

证明. (1)由性质 5.3.3(4)，将$\varphi$表示为：

\[\begin{equation*} \varphi(x)=\sum_{k=1}^{p}c_kI(x\in\{f=c_k\}) \end{equation*}\]

其中$\{c_k:k=1,2,\dots,p\}$为$\varphi$的值域，所以$p\leqslant m$。对任意的$i$和$k$有：

\[\begin{equation*} E_i\subseteq\{f=c_k\}\quad\text{或}\quad E_i\cap\{f=c_k\}=\varnothing \end{equation*}\]

当$E_i\subseteq\{f=c_k\}$时有$a_i=c_k$。记$A_k=\{f=c_k\}$，由性质 5.1.1(4)和性质 5.2.1(1)可得：

\[\begin{align*} \sum_{i=1}^{m}a_i\mu(A\cap E_i) &=\sum_{i=1}^{m}a_i\mu[(A\cap E_i)\cap X] =\sum_{i=1}^{m}a_i\mu\left[(A\cap E_i)\cap\left(\underset{k=1}{\overset{p}{\cup}}A_k\right)\right] \\ &=\sum_{i=1}^{m}a_i\mu\left[\underset{k=1}{\overset{p}{\cup}}(A\cap E_i\cap A_k)\right] =\sum_{i=1}^{m}a_i\sum_{k=1}^{p}\mu(A\cap E_i\cap A_k) \\ &=\sum_{i=1}^{m}\sum_{E_i\subseteq A_k}a_i\mu(A\cap E_i\cap A_k) =\sum_{i=1}^{m}\sum_{E_i\subseteq A_k}c_k\mu(A\cap E_i\cap A_k) \\ &=\sum_{i=1}^{m}\sum_{k=1}^{p}c_k\mu(A\cap E_i\cap A_k) =\sum_{k=1}^{p}\sum_{i=1}^{m}c_k\mu(A\cap A_k\cap E_i) \\ &=\sum_{k=1}^{p}c_k\sum_{i=1}^{m}\mu(A\cap A_k\cap E_i) =\sum_{k=1}^{p}c_k\mu\left[\underset{i=1}{\overset{m}{\cup}}(A\cap A_k\cap E_i)\right] \\ &=\sum_{k=1}^{p}c_k\mu\left[(A\cap A_k)\cap\left(\underset{i=1}{\overset{m}{\cup}}E_i\right)\right] =\sum_{k=1}^{p}c_k\mu[(A\cap A_k)\cap X] \\ &=\sum_{k=1}^{p}c_k\mu(A\cap A_k) \end{align*}\]

(2)由非负简单函数积分的定义和测度的非负性直接可得。

(3)由非负简单函数积分的定义、测度的非负性和性质 5.2.1(3)（单调性）直接可得。

(4)由非负简单函数积分的定义、性质 5.1.1(4)和性质 5.2.1(1)可得：

\[\begin{align*} \int_{A\cup B}\varphi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu &=\sum_{i=1}^{n}a_i\mu[(A\cup B)\cap E_i] =\sum_{i=1}^{n}a_i\mu[(A\cap E_i)\cup(B\cap E_i)] \\ &=\sum_{i=1}^{n}a_i[\mu(A\cap E_i)+\mu(B\cap E_i)] =\sum_{i=1}^{n}a_i\mu(A\cap E_i)+\sum_{i=1}^{n}a_i\mu(B\cap E_i) \\ &=\int_{A}\varphi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu+\int_{B}\varphi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{align*}\]

(5)由性质 5.3.2(2)可得$\alpha\varphi+\beta\psi$也是非负简单函数。由非负简单函数积分的定义、性质 5.2.1(1)和性质 5.1.1(4)可得：

\[\begin{align*} &\int_{A}[\alpha\varphi(x)+\beta\psi(x)]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu =\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}(\alpha a_i+\beta b_j)\mu[A\cap (E_i\cap F_j)] \\ =&\sum_{i=1}^{m}\alpha a_i\left[\sum_{j=1}^{n}\mu(A\cap E_i\cap F_j)\right]+\sum_{j=1}^{n}\beta b_j\left[\sum_{i=1}^{m}\mu(A\cap E_i\cap F_j)\right] \\ =&\sum_{i=1}^{m}\alpha a_i\mu(A\cap E_i)+\sum_{j=1}^{n}\beta b_j\mu(A\cap F_j) =\alpha\sum_{i=1}^{m}a_i\mu(A\cap E_i)+\beta\sum_{j=1}^{n}b_j\mu(A\cap F_j) \\ =&\alpha\int_{A}\varphi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu+\beta\int_{A}\psi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{align*}\]

(6)因为$\varphi,\psi$是非负简单函数，由性质 5.3.2(2)可知$\varphi(x)-\psi(x)$也是非负简单函数。根据(5)(2)可得：

\[\begin{align*} \int_{A}\varphi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu&=\int_{A}[\psi(x)+\varphi(x)-\psi(x)]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}\psi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu+\int_{A}[\varphi(x)-\psi(x)]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \\ &\geqslant\int_{A}\psi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{align*}\]

(7)由非负简单函数积分的定义、性质 3.2.9(8.b)(8.c)和性质 5.2.1(3)（上下连续性）可得：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}\left[\int_{A_n}\varphi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right] =\lim_{n\to+\infty}\left[\sum_{i=1}^{m}a_i\mu(A_n\cap E_i)\right] =\sum_{i=1}^{m}a_i\mu(E\cap E_i) =\int_{E}\varphi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

(8)对任意的$\alpha\in(0,1)$，记$A_n(\alpha)=\{\varphi_n\geqslant\alpha\psi\}\cap A$。由性质 5.3.2(1)可知$\{\varphi_n\},\psi(x)$是可测函数，根据性质 5.3.3(5.a)可得$\alpha\psi$也是可测函数。由性质 5.3.3(3)和性质 5.1.6(2)可知$A_n(\alpha)\in\mathscr{F}$。设$\varphi_n$可表示为：

\[\begin{equation*} \varphi_n(x)=\sum_{k=1}^{p_n}a_{nk}I(x\in E_{nk}) \end{equation*}\]

其中$\{E_{nk}\}$是$X$的有限可测分割。由性质 5.1.6(2)可得：

\[\begin{equation*} \varphi_n(x)I[x\in A_n(\alpha)]=\sum_{k=1}^{p_n}a_{nk}I[x\in E_{nk}\cap A_n(\alpha)],\;E_{nk}\cap A_n(\alpha)\in\mathscr{F} \end{equation*}\]

所以$\varphi_n(x)I[x\in A_n(\alpha)]$也是一个非负简单函数。同理，$\psi I[x\in A_n(\alpha)]$也是一个非负简单函数。因为$\varphi_n\geqslant\varphi_nI[x\in A_n(\alpha)]\geqslant\alpha\psi I[x\in A_n(\alpha)$，由(6)(5)、性质 5.1.6(4)和(4)可得：

\[\begin{align*} \int_{A}\varphi_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu &\geqslant\int_{A}\varphi_n(x)I[x\in A_n(\alpha)](x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\geqslant\int_{A}\alpha\psi(x)I[x\in A_n(\alpha)](x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \\ &=\alpha\int_{A}\psi(x)I[x\in A_n(\alpha)](x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\alpha\int_{A_n(\alpha)}\psi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{align*}\]

因为$\varphi_n\uparrow$且$\lim\limits_{n\to+\infty}\varphi_n(x)\geqslant\psi(x)$对任意$x\in A$成立，所以$A_n(\alpha)\uparrow A$。由性质 3.2.9(6)(8.c)和(7)可得：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}\left[\int_{A}\varphi_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]\geqslant\alpha\int_{A}\psi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

再取$\alpha\to 1$，由性质 3.3.3(4)(5.c)即可得到结论。 ◻

5.4.2 非负可测函数的积分

Definition 5.39. 设$f$是测度空间$(X,\mathscr{F},\mu)$上的一个非负可测函数，对于任意的$A\in\mathscr{F}$，将$f$在$A$上的积分定义为：

\[\begin{equation*} \int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\sup_{\varphi(x)}\left\{\int_{A}\varphi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu:\varphi(x)\text{是非负简单函数，且}\;\forall\;x\in A,\;\varphi(x)\leqslant f(x)\right\} \end{equation*}\]

若$\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu<+\infty$，则称$f(x)$在$A$上可积。

Property 5.4.2. 设$f$和$g$为测度空间$(X,\mathscr{F},\mu)$上的非负可测函数，则：

若$f(x)$是非负简单函数，则其在非负简单函数下定义的积分值与在非负可测函数下定义的积分值相同；
对于任意的$A\in\mathscr{F}$，$\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\geqslant0$；
若$\mu(A)=0$且$A\in\mathscr{F}$，则$\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=0$；
对于任意的$A\in\mathscr{F}$，若$\{f_n\}$是非负简单函数列且$f_n\uparrow f$，则：

\[\begin{align*} &\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu =\lim_{n\to+\infty}\left[\int_{A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right] \\ =&\lim_{n\to+\infty}\left\{\sum_{j=1}^{n2^n}\frac{j-1}{2^n}\mu\left[\left\{\frac{j-1}{2^n}\leqslant f<\frac{j}{2^n}\right\}\bigcap A\right]+n\mu[\{f\geqslant n\}\cap A]\right\} \end{align*}\]
设$A,B\in\mathscr{F}$且$A\cap B=\varnothing$，则：

\[\begin{equation*} \int_{A\cup B}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu+\int_{B}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]
若$f\leqslant g\;$a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$，$A\in\mathscr{F}$，则$\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\leqslant\int_{A}g(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu$；
若$f=g\;$a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$，$A\in\mathscr{F}$，则$\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}g(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu$；
取$A\in\mathscr{F}$，若$\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu<+\infty$，则$f(x)$有限a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$；
取$A\in\mathscr{F}$，$\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=0$的充分必要条件为$f(x)=0\;$a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$；
对任意的$A\in\mathscr{F},\;\alpha\geqslant0$有²：

\[\begin{equation*} \int_{A}\alpha f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\alpha\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu,\quad\int_{A}[f(x)+g(x)]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu+\int_{A}g(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

证明. (1)由非负可测函数积分的定义和性质 5.4.1(6)直接可得。

(2)由非负可测函数积分的定义和性质 5.4.1(2)直接可得。

(3)由非负可测函数积分的定义和性质 5.4.1(3)直接可得。

(4)由非负可测函数积分的定义和所给条件可知对任意的$n\in\mathbb{N}^+$有：

\[\begin{equation*} \int_{A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\leqslant\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

由性质 3.2.9(6)可得：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}\left[\int_{A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]\leqslant\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

对任意满足$\varphi\leqslant f$的非负简单函数$\varphi(x)$，有：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}f_n=f\geqslant\varphi \end{equation*}\]

于是由性质 5.4.1(8)可得：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}\left[\int_{A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]\geqslant\int_{A}\varphi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

由上确界的不等式性可得：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}\left[\int_{A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]\geqslant\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

于是就有：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}\left[\int_{A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]=\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

由性质 5.3.3(8)可得到积分值的具体表示。

(5)设$\varphi(x)$是$A\cup B$上任一满足$\varphi\leqslant f$的非负简单函数，于是由性质 5.4.1(4)可得：

\[\begin{equation*} \int_{A\cup B}\varphi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}\varphi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu+\int_{B}\varphi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\leqslant\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu+\int_{B}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

由上确界的不等式性可得：

\[\begin{equation*} \int_{A\cup B}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\leqslant\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu+\int_{B}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

另一方面：

\[\begin{equation*} \int_{A\cup B}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\geqslant\int_{A\cup B}\varphi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}\varphi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu+\int_{B}\varphi(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

由上确界的不等式性又可得：

\[\begin{equation*} \int_{A\cup B}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\geqslant\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu+\int_{B}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

所以：

\[\begin{equation*} \int_{A\cup B}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu+\int_{B}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

(6)令$A_1=\{f\leqslant g\}\cap A,\;A_2=\{f>g\}\cap A$，由性质 5.3.3(3)和性质 5.1.6(2)可得$A_1,A_2\in\mathscr{F}$，同时有：

\[\begin{equation*} A_1\cap A_2=\varnothing,\;A_1\cup A_2=A,\;\mu(A_2)=0 \end{equation*}\]

由(5)(3)可得：

\[\begin{gather*} \int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A_1\cup A_2}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A_1}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu+\int_{A_2}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A_1}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \\ \int_{A}g(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A_1\cup A_2}g(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A_1}g(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu+\int_{A_2}g(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A_1}g(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{gather*}\]

对于满足$\varphi\leqslant f$的非负简单函数$\varphi(x)$，必然也有$\varphi\leqslant g$，于是由非负可测函数积分的定义可得：

\[\begin{equation*} \int_{A_1}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\leqslant\int_{A_1}g(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

也即：

\[\begin{equation*} \int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\leqslant\int_{A}g(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

(7)由(6)立即可得。

(8)令$A_\infty=\{f=+\infty\}\cap A$。对任意的$n\in\mathbb{N}^+$，令：

\[\begin{equation*} \varphi_n(x)= \begin{cases} n,&x\in A_\infty \\ 0,&x\in A_\infty^c \end{cases} \end{equation*}\]

因为$f$是可测函数，由性质 5.3.3(2)和性质 5.1.6(2)可得$A_\infty\in\mathscr{F}$，因此$\varphi_n(x)$是非负简单函数。由非负可测函数积分的定义可得：

\[\begin{equation*} \int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\geqslant\int_{A}\varphi_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=n\mu(A_\infty)\geqslant0 \end{equation*}\]

所以：

\[\begin{equation*} \forall\;n\in\mathbb{N}^+,\;0\leqslant \mu(A_\infty)\leqslant\frac{1}{n}\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

因为$\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu<+\infty$，所以$\mu(A_\infty)=0$，即$f(x)$有限a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$。

(9)必要性：对任意的$n\in\mathbb{N}^+$，令：

\[\begin{equation*} A_n=\left\{f\geqslant\frac{1}{n}\right\}\bigcap A,\quad \varphi_n(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{n},&x\in A_n \\ 0,&x\in A_n^c \end{cases} \end{equation*}\]

因为$f$是可测函数，由性质 5.3.3(1)和性质 5.1.6(2)可得$A_n\in\mathscr{F}$，所以$\varphi_n(x)$是非负简单函数，于是：

\[\begin{equation*} 0=\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\geqslant\int_{A}\varphi_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\frac{1}{n}\mu(A_n)\geqslant0 \end{equation*}\]

所以对任意的$n\in\mathbb{N}^+,\;\mu(A_n)=0$。因为：

\[\begin{equation*} \{f>0\}\cap A=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n \end{equation*}\]

由性质 5.2.1(3)（次可列可加性）以及测度的非负性可得$\mu(\{f>0\}\cap A)=0$，即$f(x)=0\;$a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$。

充分性：函数$g(x)=0,\;\forall\;x\in A$在$A$上的积分为$0$，由(7)立即可证得充分性。

(10)数乘：对任意的$\alpha\geqslant0$且$\alpha\in\mathbb{R}^{}$，根据性质 5.3.3(8)取非负简单函数列$\{f_n\}$满足$f_n\uparrow f$，于是有$\alpha f_n\uparrow \alpha f$，由性质 5.3.2(2.a)可知$\alpha f_n$为非负简单函数。由(4)、性质 5.4.1(5)和性质 3.2.9(8.c)可得：

\[\begin{align*} \int_{A}\alpha f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu&=\lim_{n\to+\infty}\left[\int_{A}\alpha f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]=\lim_{n\to+\infty}\left[\alpha\int_{A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right] \\ &=\alpha\lim_{n\to+\infty}\left[\int_{A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]=\alpha\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{align*}\]

当$\alpha=+\infty$时，分两种情况进行讨论。

若$\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=0$，由(9)可得$f=0\;$a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$，于是$\alpha f=0\;$a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$。根据(9)可得：

\[\begin{equation*} \int_{A}\alpha f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=0=\alpha\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

若$0<\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu$，由(9)可得$f=0$不a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$，于是$\mu(\{\alpha f=+\infty\})>0$，根据(8)可知$\int_{A}\alpha f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=+\infty$，所以有：

\[\begin{equation*} \int_{A}\alpha f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\alpha\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=+\infty \end{equation*}\]

请注意这里并非数值意义上的相等，而是定性的无穷。

加法：根据性质 5.3.3(8)取非负简单函数列$\{f_n\},\{g_n\}$满足$f_n\uparrow f,g_n\uparrow g$，于是有$f_n+g_n\uparrow$。由性质 3.2.9(8.b)可得：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}(f_n+g_n)=\lim_{n\to+\infty}f_n+\lim_{n\to+\infty}g_n=f+g \end{equation*}\]

所以$f_n+g_n\uparrow f+g$。由(4)、性质 5.4.1(5)和性质 3.2.9(8.b)可得：

\[\begin{align*} \int_{A}[f(x)+g(x)]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu &=\lim_{n\to+\infty}\left\{\int_{A}[f_n(x)+g_n(x)]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right\} \\ &=\lim_{n\to+\infty}\left[\int_{A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu+\int_{A}g_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right] \\ &=\lim_{n\to+\infty}\left[\int_{A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]+\lim_{n\to+\infty}\left[\int_{A}g_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right] \\ &=\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu+\int_{A}g(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{align*}\]

◻

5.4.3 一般可测函数的积分

Definition 5.40. 设$f$是测度空间$(X,\mathscr{F},\mu)$上的可测函数，$A\in\mathscr{F}$。若$\int_{A}f^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu$和$\int_{A}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu$中至少一个有限，则称$f$在$A$上积分存在，将$f$在$A$上的积分定义为：

\[\begin{equation*} \int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}f^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu-\int_{A}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

若$\int_{A}f^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu$和$\int_{A}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu$都有限，则称$f(x)$在$A$上可积。

Property 5.4.3. 设$f$和$g$为测度空间$(X,\mathscr{F},\mu)$上的可测函数，则：

若$A\in\mathscr{F},\;\mu(A)=0$，则任何可测函数$f$都在$A$上可积，并且有$\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=0$；
若$f$在$A\in\mathscr{F}$上积分存在，则$|\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu|\leqslant\int_{A}|f(x)|\mathop{}\!\mathrm{d}\mu$；
若$f$在$A\in\mathscr{F}$上积分存在（可积），则$f$在$A$的满足$B\in\mathscr{F}$的子集$B$上也积分存在（可积）；
$f$在$A\in\mathscr{F}$上可积的充分必要条件为$|f|$在$A$上可积；
若$f$在$A\in\mathscr{F}$上可积，则$|f|<+\infty\;$a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$；
若$f,g$在$A\in\mathscr{F}$上积分存在，则对$\forall\;\alpha\in\mathbb{R}$， $af$的积分存在且：

\[\begin{equation*} \int_{A}\alpha f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\alpha\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

若$\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu+\int_{A}g(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu$有意义，则$f+g\;$a.e.有定义，其积分存在且：

\[\begin{equation*} \int_{A}[f(x)+g(x)]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu+\int_{A}g(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]
若$f,g$在$A\in\mathscr{F}$上积分存在且$f\leqslant g\;$a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$，$A\in\mathscr{F}$，则：

\[\begin{equation*} \int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\leqslant\int_{A}g(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]
若$f=g\;$a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$，$A\in\mathscr{F}$，则只要其中任意一个的积分存在，另一个的积分也存在并且有：

\[\begin{equation*} \int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}g(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]
$A\in\mathscr{F}$，若$f=0\;$a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$，则$\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=0$；若$\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=0$且$f\geqslant0\;$a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$或$f\leqslant0\;$a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$，则$f=0\;$a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$；
若$f,g$都在$A\in\mathscr{F}$上可积且对任意的$E\in A\cap\mathscr{F}$有$\int_{E}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\leqslant\int_{E}g(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu$，则$f\leqslant g\;$a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$；
若$f,g$都在$A\in\mathscr{F}$上可积且对任意的$E\in A\cap\mathscr{F}$有$\int_{E}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{E}g(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu$，则$f=g\;$a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$。

证明. (1)任选$A$上的一个可测函数$f(x)$。因为$\mu(A)=0$，由性质 5.4.2(3)可知：

\[\begin{equation*} \int_{A}f^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=0 \end{equation*}\]

于是：

\[\begin{equation*} \int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}f^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu-\int_{A}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=0 \end{equation*}\]

(2)由性质 5.4.2(2)(10)可得：

\[\begin{align*} &\left|\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right|=\left|\int_{A}f^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu-\int_{A}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right| \\ \leqslant&\int_{A}f^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu+\int_{A}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}[f^+(x)+f^-(x)]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \\ =&\int_{A}|f(x)|\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{align*}\]

(3)任取$B\subseteq A$且$B\in\mathscr{F}$。因为$f$在$A$上积分存在，所以$\int_{A}f^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu$和$\int_{A}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu$至少有一个有限。设$\int_{A}f^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu$有限，另一种情况可对称讨论。由性质 5.4.2(5)、性质 5.1.6(4)和性质 5.4.2(2)可得：

\[\begin{equation*} +\infty>\int_{A}f^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{B}f^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu+\int_{A\setminus B}f^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\geqslant\int_{B}f^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

故$f(x)$在$B$上积分存在。由$B$的任意性，命题成立。

(4)必要性：由性质 5.4.2(10)可得：

\[\begin{align*} f\text{可积}&\Rightarrow\int_{A}f^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu,\int_{A}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\in\mathbb{R} \\ &\Rightarrow\int_{A}f^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu+\int_{A}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\in\mathbb{R} \\ &\Rightarrow\int_{A}[f^+(x)+f^-(x)]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}|f(x)|\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\in\mathbb{R} \end{align*}\]

充分性：由性质 5.4.2(6)可得：

\[\begin{gather*} \int_{A}f^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\leqslant\int_{A}[f^+(x)+f^-(x)]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}|f(x)|\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \\ \int_{A}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\leqslant\int_{A}[f^+(x)+f^-(x)]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}|f(x)|\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{gather*}\]

(5)由(4)和性质 5.4.2(8)即可得到。

(6)数乘：对实数$\alpha\geqslant0$，因为$f$在$A$上积分存在，由性质 5.4.2(10)可得：

\[\begin{equation*} \int_{A}\alpha f^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\alpha\int_{A}f^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu,\quad\int_{A}\alpha f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\alpha\int_{A}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

二式中至少有一个有限。根据$(\alpha f)^+=\alpha f^+,(\alpha f)^-=\alpha f^-$可知$\alpha f$积分存在且：

\[\begin{align*} &\int_{A}\alpha f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}\alpha f^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu-\int_{A}\alpha f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \\ =&\alpha\left[\int_{A}f^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu-\int_{A}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]=\alpha\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{align*}\]

当实数$\alpha<0$时，注意到$\alpha f=(-\alpha)f^--(-\alpha)f^+$，与$\alpha\geqslant0$时的情况同理可得：

\[\begin{align*} &\int_{A}\alpha f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}(-\alpha)f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu-\int_{A}(-\alpha)f^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \\ =&-\alpha\left[\int_{A}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu-\int_{A}f^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]=\alpha\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{align*}\]

加法：WEBTODOSTART-info 未完成 WEBTODOEND-info

(7)因为$f\leqslant g\;$a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$，由性质 5.2.1(3)可得$f^+\leqslant g^+\;$a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$，$f^-\geqslant g^-\;$a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$。由性质 5.4.2(6)可得：

\[\begin{equation*} \int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}f^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu-\int_{A}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\leqslant\int_{A}g^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu-\int_{A}g^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}g(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

(8)仅对$f$积分存在的情形进行讨论，$g$积分存在时可对称得到结论。又可只对$\int_{A}f^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu<+\infty$时的情况进行讨论，$\int_{A}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu$时的情况可类似得到。因为$f=g\;$a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$，由性质 5.2.1(3)（单调性）可得$f^+=g^+\;$a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$且$f^-=g^-\;$a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$。根据性质 5.4.2(7)可得：

\[\begin{equation*} \int_{A}f^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}g^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu<+\infty,\quad\int_{A}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}g^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

所以$g$在$A$上的积分存在，并且有：

\[\begin{equation*} \int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}f^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu-\int_{A}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}g^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu-\int_{A}g^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}g(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

(9)第一个结论由性质 5.2.1(3)（单调性）和性质 5.4.2(9)可知成立，下证第二个结论。只需证明$f\geqslant0\;$a.e.于$A$时的情况，对于$f\leqslant0\;$a.e.于$A$，只需取$-f$并由(6)即可得出结论。

由性质 5.3.3(9)和(8)可知，可以改变$f$在零测集$\{f<0\}\cap A$上的值使得得到的函数$f'$为非负可测函数且满足$\int_{A}f'(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=0$，由性质 5.4.2(9)可知$f'=0\;$a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$，于是根据性质 5.1.1(4)和性质 5.2.1(1)可得：

\[\begin{equation*} \mu(\{f\ne0\}\cap A)=\mu[(\{f'\ne0\}\cup\{f<0\})\cap A]=\mu(\{f'\ne0\}\cap A)+\mu(\{f<0\}\cap A)=0 \end{equation*}\]

于是$f=0\;$a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$。

(10)对任意的$E\in A\cap\mathscr{F}$取$\{f>g\}\cap E$，因为$f,g$都是可测函数，由性质 5.3.3(3)和性质 5.1.6(2)可知$\{f>g\}\cap E\in\mathscr{F}$。根据(3)可知：

\[\begin{equation*} \int_{\{f>g\}\cap E}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu,\int_{\{f>g\}\cap E}g(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\in\mathbb{R} \end{equation*}\]

于是由(6)和条件有：

\[\begin{equation*} \int_{\{f>g\}\cap E}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu-\int_{\{f>g\}\cap E}g(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{\{f>g\}\cap E}[f(x)-g(x)]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\leqslant0 \end{equation*}\]

根据(7)可得：

\[\begin{equation*} \int_{\{f>g\}\cap E}[f(x)-g(x)]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\geqslant0 \end{equation*}\]

所以有：

\[\begin{equation*} \int_{\{f>g\}\cap E}[f(x)-g(x)]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=0 \end{equation*}\]

取$E=A$，由(9)可得$\mu(\{f>g\}\cap A)=0$，即$f\leqslant g\;$a.e.于$(A,A\cap \mathscr{F},\mu)$。

(11)由(10)立即可得。 ◻

Theorem 5.23. （Levi theorem）

设$f(x),\{f_n\}$是测度空间$(X,\mathscr{F},\mu)$上的可测函数，$A\in\mathscr{F}$。若$f,\{f_n\}\;$非负a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$，且$f_n\uparrow f\;$a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$，则：

\[\begin{equation*} \int_{A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\Big\uparrow\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

证明. 由性质 5.3.3(9)、性质 5.4.3(8)和性质 5.2.1(3)（次有限可加性），可仅对$f,\{f_n\}$是非负可测函数且$f_n\uparrow f$讨论。对每个$n\in\mathbb{N}^+$作非负简单函数列$\{f_{nm}\}$使得$f_{nm}\uparrow f_n$，令$g_k(x)=\max\limits_{1\leqslant n\leqslant k}f_{nk}(x)$。

由性质 5.3.2(2.e)可知$g_k$是非负简单函数。因为$\{f_{nm}\}\uparrow$，所以：

\[\begin{equation*} g_k=\max_{1\leqslant n\leqslant k}f_{nk}\leqslant\max_{1\leqslant n\leqslant k}f_{n(k+1)}\leqslant\max_{1\leqslant n\leqslant k+1}f_{n(k+1)}=g_{k+1} \end{equation*}\]

所以$g_k\uparrow$。因为

\[\begin{equation*} f_{nk}\leqslant g_k=\max_{1\leqslant n\leqslant k}f_{nk}\leqslant\max_{1\leqslant n\leqslant k}f_n=f_k \end{equation*}\]

由性质 3.2.9(6)可得：

\[\begin{equation*} \lim_{k\to+\infty}f_{nk}=f_n\leqslant\lim_{k\to+\infty}g_k\leqslant\lim_{k\to+\infty}f_k=f,\quad\lim_{n\to+\infty}f_n=f\leqslant\lim_{k\to+\infty}g_k \end{equation*}\]

所以：

\[\begin{equation*} \lim_{k\to+\infty}g_k=f \end{equation*}\]

由性质 5.4.2(6)(4)可得：

\[\begin{equation*} \int_{A}g_k(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\Big\uparrow\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

又因为$g_k\leqslant f_k\leqslant f$且$f_k\uparrow$，由性质 5.4.2(6)可得：

\[\begin{equation*} \int_{A}g_k(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\leqslant\int_{A}f_k(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\leqslant\int_{A}f_{k+1}(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\leqslant\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

根据性质 3.2.9(4)可知：

\[\begin{equation*} \int_{A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\Big\uparrow\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

◻

Theorem 5.24. （Fatou Lemma）

设$\{f_n\}$是测度空间$(X,\mathscr{F},\mu)$上的可测函数列，$A\in\mathscr{F}$，$\{f_n\}$非负a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$，则：

\[\begin{equation*} \int_{A}\left[\varliminf_{n\to+\infty}f_n(x)\right]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\leqslant\varliminf_{n\to+\infty}\left[\int_{A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right] \end{equation*}\]

证明. 令$g_k(x)=\inf\limits_{n\geqslant k}f_n(x)$，则$g_k\uparrow\varliminf\limits_{n\to+\infty}f_n$。因为$\{f_n\}$是可测函数列，由性质 5.3.3(6)可知$\{g_k\}$是可测函数列，$\varliminf\limits_{n\to+\infty}f_n$是可测函数。因为$\{f_n\}$非负a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$，根据性质 5.2.1(3)（次可列可加性）和测度的非负性可得：

\[\begin{equation*} 0\leqslant\mu\left[\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}(\{f_n<0\}\cap A)\right]\leqslant\sum_{n=1}^{+\infty}\mu(\{f_n<0\}\cap A)=0 \end{equation*}\]

即：

\[\begin{equation*} \mu\left[\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}(\{f_n<0\}\cap A)\right]=0 \end{equation*}\]

根据性质 5.2.1(3)（单调性）可知$\{g_k\}$非负a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$，于是由性质 3.2.9(6)可得$\varliminf\limits_{n\to+\infty}f_n\;$非负a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$，所以由定理 5.23可得：

\[\begin{align*} \left[\int_{A}g_k(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]\Big\uparrow\int_{A}\left[\varliminf_{n\to+\infty}f_n(x)\right]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{align*}\]

因为：

\[\begin{equation*} g_k(x)\leqslant f_n(x),\;\forall\;n\geqslant k \end{equation*}\]

由性质 5.4.3(7)可得：

\[\begin{equation*} \int_{A}g_k(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\leqslant\int_{A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu,\;\forall\;n\geqslant k \end{equation*}\]

所以：

\[\begin{equation*} \int_{A}g_k(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\leqslant\inf_{n\geqslant k}\left[\int_{A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right] \end{equation*}\]

由性质 3.2.9(6)可得：

\[\begin{equation*} \lim_{k\to+\infty}\left[\int_{A}g_k(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]\leqslant\lim_{k\to+\infty}\left\{\inf_{n\geqslant k}\left[\int_{A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]\right\}=\varliminf_{n\to+\infty}\left[\int_{A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right] \end{equation*}\]

即：

\[\begin{equation*} \int_{A}\left[\varliminf_{n\to+\infty}f_n(x)\right]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\leqslant\varliminf_{n\to+\infty}\left[\int_{A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right] \end{equation*}\]

◻

推论 6.4 Corollary 5.4. 设$\{f_n\}$是测度空间$(X,\mathscr{F},\mu)$上的可测函数列，$A\in\mathscr{F}$。

若存在上述测度空间上的在$A$上可积的函数$g$使得$f_n\geqslant g\;$a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$对任意的$n\in\mathbb{N}^+$成立，则$\varliminf\limits_{n\to+\infty}f_n(x)$的积分存在且：

\[\begin{equation*} \int_{A}\left[\varliminf_{n\to+\infty}f_n(x)\right]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\leqslant\varliminf_{n\to+\infty}\left[\int_{A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right] \end{equation*}\]
若存在上述测度空间上的在$A$上可积的函数$g$使得$f_n\leqslant g\;$a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$对任意的$n\in\mathbb{N}^+$成立，则$\varlimsup\limits_{n\to+\infty}f_n(x)$的积分存在且：

\[\begin{equation*} \int_{A}\left[\varlimsup_{n\to+\infty}f_n(x)\right]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\geqslant\varlimsup_{n\to+\infty}\left[\int_{A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right] \end{equation*}\]

证明. (1)构造a.e.非负的可测函数列$\{h_n=f_n-g\}$（性质 5.3.3(5.a)(9)和性质 5.4.3(5)），由性质 5.3.3(9)和性质 5.4.3(8)可将$\{h_n\}$就看做非负可测函数。根据定理 5.24可得：

\[\begin{equation*} \int_{A}\left[\varliminf_{n\to+\infty}h_n(x)\right]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\leqslant\varliminf_{n\to+\infty}\left[\int_{A}h_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right] \end{equation*}\]

由下极限的性质可得：

\[\begin{equation*} \varliminf_{n\to+\infty}f_n(x)=\varliminf_{n\to+\infty}[h_n(x)+g(x)]=\varliminf_{n\to+\infty}h_n(x)+g(x) \end{equation*}\]

同时由性质 5.3.3(6)可得$\varliminf\limits_{n\to+\infty}h_n(x)$是一个非负可测函数。因为$g$可积，由性质 5.4.3(6)可得：

\[\begin{equation*} \int_{A}\left[\varliminf_{n\to+\infty}f_n(x)\right]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}\left[\varliminf_{n\to+\infty}h_n(x)+g(x)\right]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}\left[\varliminf_{n\to+\infty}h_n(x)\right]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu+\int_{A}g(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

根据性质 5.4.3(6)和下极限的线性性质可得：

\[\begin{align*} \varliminf_{n\to+\infty}\left[\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]&=\varliminf_{n\to+\infty}\left\{\int_{A}[h_n(x)+g(x)]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right\} \\ &=\varliminf_{n\to+\infty}\left[\int_{A}h_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu+\int_{A}g(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right] \\ &=\varliminf_{n\to+\infty}\left[\int_{A}h_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]+\int_{A}g(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{align*}\]

于是：

\[\begin{gather*} \int_{A}\left[\varliminf_{n\to+\infty}h_n(x)\right]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu+\int_{A}g(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\leqslant\varliminf_{n\to+\infty}\left[\int_{A}h_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]+\int_{A}g(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \\ \int_{A}\left[\varliminf_{n\to+\infty}f_n(x)\right]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\leqslant\varliminf_{n\to+\infty}\left[\int_{A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right] \end{gather*}\]

(2)构造a.e.非负的可测函数列$\{h_n=g-f_n\}$，与(1)的证明类似。 ◻

Theorem 5.25. （Lebesgue控制收敛定理）

设$\{f_n\}$是测度空间$(X,\mathscr{F},\mu)$上的可测函数列。若存在$A\in\mathscr{F}$上的非负可积函数$g$使得对任意的$n\in\mathbb{N}^+$有$|f_n|\leqslant g\;$a.e.于$(A,A\cap\mathscr{F},\mu)$，则$f_n\overset{\text{a.e.}}{\longrightarrow}f$或$f_n\overset{\mu}{\longrightarrow}f$蕴含：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}\left[\int_{A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]=\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

证明. 由性质 5.4.3(7)(4)可知$f_n$在$A$上可积。

(1)$\;\text{a.e.}$由性质 5.4.3(8)、极限与上下极限的关系、推论 5.4(1)、上下极限的大小关系和推论 5.4(2)可得：

\[\begin{align*} \int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu&=\int_{A}\left[\lim_{n\to+\infty}f_n(x)\right]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}\left[\varliminf_{n\to+\infty}f_n(x)\right]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \\ &\leqslant\varliminf_{n\to+\infty}\left[\int_{A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]\leqslant\varlimsup_{n\to+\infty}\left[\int_{A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right] \\ &\leqslant\int_{A}\left[\varlimsup_{n\to+\infty}f_n(x)\right]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}\left[\lim_{n\to+\infty}f_n(x)\right]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \\ &=\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{align*}\]

于是有：

\[\begin{equation*} \varliminf_{n\to+\infty}\left[\int_{A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]=\varlimsup_{n\to+\infty}\left[\int_{A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]=\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

由极限与上下极限的关系可得：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}\left[\int_{A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]=\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

(2)$\;\mu$若此时结论不成立，则存在$\varepsilon>0$，使得对任意的$N\in\mathbb{N}^+$，存在$n>N$使得：

\[\begin{equation*} \left|\int_{A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu-\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right|>\varepsilon \end{equation*}\]

取满足上述条件的$\{f_n\}$的子列$\{f_{n_i}\}$，由定理 5.22(3)(1)和(1)可知存在该子列的子列$\{f_{n_i}'\}$满足$f_{n_i}'\overset{\textbf{a.e.}}{\longrightarrow}f$，根据(1)可知与$\{f_{n_i}\}$的取法矛盾，于是结论成立。 ◻

Corollary 5.5. （Lebesgue有界收敛定理）

设$\{f_n\}$和$f$是测度空间$(X,\mathscr{F},\mu)$上的可测函数，$A\in\mathscr{F}$且$\mu(A)<+\infty$。若存在$M>0$使得对任意的$n\in\mathbb{N}^+$有$|f_n|\leqslant M\;$a.e.于$A$，则$f_n\overset{\text{a.e.}}{\longrightarrow}f$或$f_n\overset{\mu}{\longrightarrow}f$蕴含：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}\left[\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]=\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

证明. 令$g\equiv M$，于是$g$在$A$上可积。由定理 5.25直接可得结论。 ◻

Theorem 5.26. （积分的绝对连续性）

设$f$是测度空间$(X,\mathscr{F},\mu)$上的可积函数，对于任意的$\varepsilon>0$，$\exists\;\delta>0$，使得对于任意的$A\in\mathscr{F}$，只要$\mu(A)<\delta$，就有：

\[\begin{equation*} \int_{A}|f(x)|\mathop{}\!\mathrm{d}\mu<\varepsilon \end{equation*}\]

证明. 由$f$可积和性质 5.4.3(4)可知$|f|$可积。由性质 5.3.3(8)和性质 5.4.2(4)可知存在非负简单函数列$\{f_n\}$满足$f_n\uparrow |f|$且：

\[\begin{equation*} \int_{A}|f(x)|\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\lim_{n\to+\infty}\left[\int_{A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right] \end{equation*}\]

所以对于任意的$\varepsilon>0$，存在$N\in\mathbb{N}^+$使得：

\[\begin{equation*} \int_{A}|f(x)|\mathop{}\!\mathrm{d}\mu<\frac{\varepsilon}{2}+\int_{A}f_N(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

取$f_N$在$A$上的最大值$M$，由非负简单函数积分的定义可得：

\[\begin{equation*} \int_{A}|f(x)|\mathop{}\!\mathrm{d}\mu<\frac{\varepsilon}{2}+M\mu(A) \end{equation*}\]

所以对于这个$\varepsilon$而言，只要取$\delta<\dfrac{\varepsilon}{2M}$即可。 ◻

Theorem 5.27. 设$f$是测度空间$(X,\mathscr{F},\mu)$上的可测函数。若$f$在$A\in\mathscr{F}$上积分存在，则对任一$A$的可列可测分割或有限可测分割$\{A_n\}$有：

\[\begin{equation*} \int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\sum_{n=1}^{+\infty}\int_{A_n}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

证明. 构造函数列：

\[\begin{equation*} f_n(x)=f(x)I\left(x\in\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}A_i\right) \end{equation*}\]

则有：

\[\begin{equation*} f_n^+\uparrow f^+,\;f_n^-\uparrow f^- \end{equation*}\]

由性质 5.1.6(3)、性质 5.3.2(3)(1)和性质 5.3.3(5.b)可知$f_n$是可测函数，于是由性质 5.3.3(7)可得$f_n^+,f_n^-$是非负可测函数。根据定理 5.23可知：

\[\begin{equation*} \int_{A}f_n^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\Big\uparrow\int_{A}f^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu,\quad\int_{A}f_n^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\Big\uparrow\int_{A}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

而由性质 5.1.6(4)和性质 5.4.2(5)(9)可得：

\[\begin{gather*} \begin{aligned} \int_{A}f_n^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu &=\int_{\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}A_n}f_n^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu+\int_{A\setminus\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}A_n}f_n^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \\ &=\int_{\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}A_n}f^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu =\sum_{i=1}^{n}\int_{A_i}f^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{aligned} \\ \begin{aligned} \int_{A}f_n^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu &=\int_{\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}A_n}f_n^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu+\int_{A\setminus\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}A_n}f_n^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \\ &=\int_{\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}A_n}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu =\sum_{i=1}^{n}\int_{A_i}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{aligned} \end{gather*}\]

因为$f$在$A$上积分存在，所以：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}\left[\int_{A}f_n^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right],\quad\lim_{n\to+\infty}\left[\int_{A}f_n^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right] \end{equation*}\]

中至少一个为有限值，根据性质 5.4.3(3)可知$f$在$A_i$上的积分存在，于是由性质 3.2.9(8.b)可得：

\[\begin{align*} \int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu&=\int_{A}f^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu-\int_{A}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \\ &=\lim_{n\to+\infty}\left[\int_{A}f_n^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]-\lim_{n\to+\infty}\left[\int_{A}f_n^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right] \\ &=\lim_{n\to+\infty}\left[\int_{A}f_n^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu-\int_{A}f_n^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right] \\ &=\lim_{n\to+\infty}\left\{\sum_{i=1}^{n}\left[\int_{A_i}f^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu-\int_{A_i}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]\right\} \\ &=\lim_{n\to+\infty}\left\{\sum_{i=1}^{n}\left[\int_{A_i}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]\right\}=\sum_{n=1}^{+\infty}\left[\int_{A_n}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right] \end{align*}\]

有限可测分割的情况由$\mu(\varnothing)=0$、性质 5.4.3(1)和可列可测分割的情况即可得到。 ◻

Theorem 5.28. 设$f$是由测度空间$(X,\mathscr{F},\mu)$到可测空间$(Y,\mathscr{C})$上的可测映射，对于任意的$A\in\mathscr{C}$，令$\nu(A)=\mu[f^{-1}(A)]$，由性质 5.3.1(4)可知$(Y,\mathscr{C},\nu)$是一个测度空间。对$(Y,\mathscr{C},\nu)$上的任何可测函数$g$和任意$A\in\mathscr{C}$，只要：

\[\begin{equation*} \int_Ag(y)\mathop{}\!\mathrm{d}\nu,\quad\int_{f^{-1}(A)}g\circ f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

之一有意义，二者一定相等。

证明. 使用典型方法进行证明。仅对上左侧式子有意义的情况进行证明，右侧有意义的情况可由等号的传递性得出。

(1)非负简单函数：取$(Y,\mathscr{C},\nu)$上的非负简单函数$g$：

\[\begin{equation*} g(y)=\sum_{i=1}^{n}a_iI(y\in A_i),\quad a_i\geqslant0,\;A_i\in\mathscr{C},\;i=1,2,\dots,n,\;\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}A_i=Y \end{equation*}\]

于是由定理 3.14(4)和性质 5.4.1(5)可得：

\[\begin{align*} \int_{A}g(y)\mathop{}\!\mathrm{d}\nu&=\sum_{i=1}^{n}a_i\nu(A_i\cap A)=\sum_{i=1}^{n}a_i\mu[f^{-1}(A_i\cap A)]=\sum_{i=1}^{n}a_i\mu[f^{-1}(A_i)\cap f^{-1}(A)] \\ &=\sum_{i=1}^{n}a_i\int_{f^{-1}(A)}I[x\in f^{-1}(A_i)]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\sum_{i=1}^{n}a_i\int_{f^{-1}(A)}I[f(x)\in A_i]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \\ &=\int_{f^{-1}(A)}\sum_{i=1}^{n}a_iI[f(x)\in A_i]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{f^{-1}(A)}g[f(x)]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{f^{-1}(A)}g\circ f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{align*}\]

(2)非负可测函数：取$(Y,\mathscr{C},\nu)$上的非负可测函数$g$，由性质 5.3.3(8)可知存在非负简单函数列$\{g_n\}$使得$g_n\uparrow g$。由非负简单函数时的情形可得：

\[\begin{equation*} g_n\circ f(x)=g_n[f(x)]=\sum_{i=1}^{j_n}a_{ni}I[f(x)\in A_{ni}]=\sum_{i=1}^{j_n}a_{ni}I[x\in f^{-1}(A_{ni})],\quad\underset{i=1}{\overset{j_n}{\cup}}A_{ni}=Y \end{equation*}\]

其中$a_{ni}>0,\;A_{ni}\in\mathscr{C}$。由可测函数的定义，$f^{-1}(A_{ni})\in\mathscr{F}$，所以$g_n\circ f$也是一个非负简单函数。因为$g_n\uparrow g$，所以有$g_n\circ f\uparrow g\circ f$，根据性质 5.3.1(2)可知$g\circ f$是非负可测函数，由性质 5.4.2(4)和非负简单函数时的结论可得：

\[\begin{align*} \int_{A}g(y)\mathop{}\!\mathrm{d}\nu&=\int_{A}\left[\lim_{n\to+\infty}g_n(y)\right]\mathop{}\!\mathrm{d}\nu =\lim_{n\to+\infty}\left[\int_{A}g_n(y)\mathop{}\!\mathrm{d}\nu\right] \\ &=\lim_{n\to+\infty}\left[\int_{f^{-1}(A)}g_n\circ f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right] =\int_{f^{-1}(A)}g\circ f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{align*}\]

(3)一般可测函数：取$(Y,\mathscr{C},\nu)$上的一般可测函数$g$，由非负可测函数时的情形可得：

\[\begin{align*} \int_{A}g(y)\mathop{}\!\mathrm{d}\nu&=\int_{A}g^+(y)\mathop{}\!\mathrm{d}\nu-\int_{A}g^-(y)\mathop{}\!\mathrm{d}\nu \\ &=\int_{f^{-1}(A)}g^+\circ f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu-\int_{f^{-1}(A)}g^-\circ f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \\ &=\int_{f^{-1}(A)}(g\circ f)^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu-\int_{f^{-1}(A)}(g\circ f)^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \\ &=\int_{f^{-1}(A)}g\circ f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{align*}\]

◻

5.5 $L_p$与$L_{\infty}$

5.5.1 $L_p$

Definition 5.41. 设$(X,\mathscr{F},\mu)$是一个测度空间，$p\geqslant1$，$E\in\mathscr{F}$，$f,g$是$E$上的可测函数。定义等价关系$\sim$：$f\sim g\Leftrightarrow f=g\;$a.e.于$E$，将商空间：

\[\begin{equation*} \left\{f:\int_{E}|f(x)|^p\mathop{}\!\mathrm{d}\mu<+\infty\right\}/\sim \end{equation*}\]

称之为$E$上的$L_p(X,\mathscr{F},\mu)$空间，简记为$L_p(E)$。

Property 5.5.1. 设$(X,\mathscr{F},\mu)$是一个测度空间，$p\geqslant1$，$E\in\mathscr{F}$，则$L_p(E)$是$\mathbb{R}(\mathbb{C})$上的线性空间。

5.5.1.1 $L_p(X,\mathscr{F},\mu)$上的距离

Definition 5.42. 设$(X,\mathscr{F},\mu)$是一个测度空间，$p\geqslant1$，$E\in\mathscr{F}$。在$L_p(E)$中定义元素$x=x(t)$和元素$y=y(t)$之间的距离为：

\[\begin{equation*} \rho(x,y)=\left[\int_{E}|x(t)-y(t)|^p\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]^\frac{1}{p} \end{equation*}\]

则$(L_p(E),\rho)$是一个度量空间。

下证明上式定义的距离满足距离公理：

证明. (1)$\;\rho\in R$：由不等式 18可得：

\[\begin{equation*} |x(t)-y(t)|^p\leqslant\Bigl[|x(t)|+|y(t)|\Bigr]^p\leqslant2^{p-1}\Bigl[|x(t)|^p+|y(t)|^p\Bigr] \end{equation*}\]

于是由性质 5.4.2(6)(10)可得：

\[\begin{equation*} \rho(x,y)\leqslant\left[2^{p-1}\int_{E}|x(t)|^p\mathop{}\!\mathrm{d}\mu+2^{p-1}\int_{E}|y(t)|^p\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]^{\frac{1}{p}} \end{equation*}\]

由$L_p(X,\mathscr{F},\mu)$空间定义，$\rho\in\mathbb{R}$。 (2)非负性由性质 5.4.2(2)(9)直接可得；(3)对称性直接可得； (4)三角不等式：设$x(t),y(t),z(t)\in L_p(E)$。$p=1$时可由绝对值的三角不等式立即得到，$p>1$时，由Minkowski不等式（即不等式 14）可得到：

\[\begin{equation*} \left[\int_{E}|x(t)-z(t)|^p\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]^{\frac{1}{p}} \leqslant \left[\int_{E}|x(t)-y(t)|^p\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]^{\frac{1}{p}} + \left[\int_{E}|y(t)-z(t)|^p\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]^{\frac{1}{p}} \end{equation*}\]

即：

\[\begin{equation*} \rho(x,z)\leqslant\rho(x,y)+\rho(y,z) \end{equation*}\]

◻

5.5.1.2 $L_p(X,\mathscr{F},\mu)$上的范数

Definition 5.43. 设$(X,\mathscr{F},\mu)$是一个测度空间，$p\geqslant1$，$E\in\mathscr{F}$。在$L_p(E)$中定义元素$x=x(t)$的范数为：

\[\begin{equation*} ||x||_p=\left[\int_{E}|x(t)|^p\mathop{}\!\mathrm{d}t\right]^\frac{1}{p} \end{equation*}\]

则$L_p(E)$成为一个$\mathbb{R}(\mathbb{C})$上的赋范线性空间。

证明. (1)由$L_p(X,\mathscr{F},\mu)$的定义即可得到$||x||_p\in\mathbb{R}$。(2)非负性由性质 5.4.2(2)(9)直接得到。(3)数乘由性质 5.4.2(6)直接得到，(4)三角不等式的证明可由Minkowski不等式（即不等式 14）直接得到。再结合性质 5.5.1即可得出结论。 ◻

Theorem 5.29. 设$(X,\mathscr{F},\mu)$是一个概率空间，则对任意的$1\leqslant s<t<+\infty$，有$L_t(X)\subseteq L_s(X)$。

证明. 任取Borel函数$f\in L_t(X)$。对于共轭数：

\[\begin{equation*} p=\frac{t}{s},\quad q=\frac{t}{t-s} \end{equation*}\]

和函数$|f|^s,1$，根据不等式 9和性质 5.4.2(10)可知：

\[\begin{gather*} \int_{X}|f(x)|^s1\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\leqslant\left\{\int_{X}[|f(x)|^s]^{\frac{t}{s}}\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right\}^{\frac{s}{t}}\left(\int_{X}1^{\frac{t}{t-s}}\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right)^{\frac{t-s}{t}} \\ \int_{X}|f(x)|^s\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\leqslant\left[\int_{X}|f(x)|^t\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]^{\frac{s}{t}} \end{gather*}\]

因为$f\in L_t(X)$，所以：

\[\begin{equation*} \left[\int_{X}|f(x)|^s\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]^{\frac{1}{s}}\leqslant\left[\int_{X}|f(x)|^t\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]^{\frac{1}{t}}<+\infty \end{equation*}\]

即$f\in L_s(X)$。 ◻

5.5.2 $L_{\infty}$

Definition 5.44. 设$(X,\mathscr{F},\mu)$是一个测度空间，$f$是$\mathscr{F}$上的一个可测函数，根据性质 5.3.3(5)(1)，可令：

\[\begin{equation*} G(f)=\Bigl\{c>0:\mu(\{|f(x)|>c\})=0\Bigr\} \end{equation*}\]

称：

\[\begin{equation*} ||f||_{\infty}= \begin{cases} \inf G(f),&G(f)\ne\varnothing \\ +\infty,&G(f)=\varnothing \end{cases} \end{equation*}\]

为$f$的无穷范数，也称其为$f$的本性上确界（essential supremum）。

Theorem 5.30. 无穷范数具有如下等价定义：

\[\begin{equation*} ||f||_\infty=\inf_{\mu(e)=0}\sup_{x\in E\setminus e}|f(x)| \end{equation*}\]

证明. 等价性由定义可直接证得，略去。 ◻

Definition 5.45. 设$(X,\mathscr{F},\mu)$是一个测度空间，$E\in\mathscr{F}$，$f,g$是$E$上的可测函数。定义等价关系$\sim$：$f\sim g\Leftrightarrow f=g\;$a.e.于$E$，称商空间$\{f:||f||_\infty<+\infty\}/\sim$为$E$上的$L_{\infty}$空间，简记为$L_{\infty}(E)$。

Property 5.5.2. 设$(X,\mathscr{F},\mu)$是一个测度空间，$E\in\mathscr{F}$，则$L_{\infty}(E)$是$\mathbb{R}(\mathbb{C})$上的线性空间。

5.5.2.1 $L_{\infty}$上的距离

Definition 5.46. 设$(X,\mathscr{F},\mu)$是一个测度空间，$E\in\mathscr{F}$。在$L_{\infty}(E)$中定义元素$x=x(t)$和元素$y=y(t)$之间的距离为：

\[\begin{equation*} \rho(x,y)=||x-y||_\infty \end{equation*}\]

则$(L_{\infty}(E),\rho)$是一个度量空间。

下证明上式定义的距离满足距离公理：

证明. (1)$\;\rho\in R$：由性质 5.5.2可得$x-y\in L_{\infty}(E)$，由定义可得$||x-y||_{\infty}\in\mathbb{R}$。

(2)非负性：由无穷范数的定义：

\[\begin{equation*} \|x-y\|_\infty \geqslant 0. \end{equation*}\]

且有 $\|x-y\|_\infty=0$ 当且仅当有 $|x(t)-y(t)|=0\;$a.e.于$E$，即 $x=y$。

(3)对称性显然。

(4)三角不等式：取任意 $x,y,z\in L_{\infty}(E)$。由无穷范数等价定义以及下确界定义，对任意的$\varepsilon>0$，存在$E_1,E_2\subset E,\;\mu(E_1)=\mu(E_2)=0$，使得：

\[\begin{equation*} \sup_{t\in E\setminus E_1}|x(t)-z(t)|\leqslant \rho(x,z)+\frac{\varepsilon}{2}, \quad \sup_{t\in E\setminus E_2}|z(t)-y(t)|\leqslant \rho(z,y)+\frac{\varepsilon}{2} \end{equation*}\]

由性质 5.2.1(3)（次有限可加性），$\mu(E_1\cup E_2)\leqslant\mu(E_1)+\mu(E_2)=0$，所以：

\[\begin{align*} \rho(x,y) &\leqslant\sup_{t\in E\setminus(E_1\cup E_2)}|x(t)-y(t)| \\ &\leqslant\sup_{t\in E\setminus(E_1\cup E_2)}|x(t)-z(t)|+\sup_{t\in E\setminus(E_1\cup E_2)}|z(t)-y(t)| \\ &\leqslant\sup_{t\in E\setminus E_1}|x(t)-z(t)|+\sup_{t\in E\setminus E_2}|z(t)-y(t)| \\ &\leqslant\rho(x,z)+\rho(z,y)+\varepsilon \end{align*}\]

由$\varepsilon$的任意性可得到：

\[\begin{equation*} \rho(x,y)\leqslant\rho(x,z)+\rho(z,y) \end{equation*}\]

◻

5.5.2.2 $L_{\infty}$上的范数

Definition 5.47. 设$(X,\mathscr{F},\mu)$是一个测度空间，$E\in\mathscr{F}$。在$L_{\infty}(E)$中定义元素$x=x(t)$的范数为：

\[\begin{equation*} ||x||=||x||_\infty \end{equation*}\]

则$L_{\infty}(E)$成为一个$\mathbb{R}(\mathbb{C})$上的赋范线性空间。

下证明上式定义的范数满足范数定义：

证明. (1)$\;||x||\in\mathbb{R}$由$L_{\infty}(E)$空间的定义直接可得。(2)非负性和(3)数乘由无穷范数的定义是显然的。

(4)三角不等式：由本性上确界定义可得：

\[\begin{equation*} |x(t)|\leqslant||x||_\infty,\;|y(t)|\leqslant||y||_\infty \end{equation*}\]

a.e.于$E$，所以：

\[\begin{equation*} |x(t)+y(t)|\leqslant|x(t)|+|y(t)|\leqslant||x||_\infty+||y||_\infty \end{equation*}\]

a.e.于$E$。于是$||x(t)||_\infty+||y(t)||_\infty\in G(x+y)$，所以：

\[\begin{equation*} ||x+y||_\infty=\inf G(x+y)\leqslant||x||_\infty+||y||_\infty \end{equation*}\]

再结合性质 5.5.2即可得出结论。 ◻

5.5.3 收敛性

Theorem 5.31. 设$(X,\mathscr{F},\mu)$是一个测度空间，$E\in\mathscr{F}$，$1\leqslant p\leqslant+\infty$。若$\{f_n\}\subset L_p(E)$且：

\[\begin{equation*} m>n,\;\lim_{n\to+\infty}||f_m-f_n||_p=0 \end{equation*}\]

则存在$f\in L_p(E)$使得$\{f_n\}$依范数收敛于$f$，即在$L_p(E)$中引入范数导出的距离时，$L_p(E)$是一个Banach空间。

证明. ◻

Definition 5.48. 设$(X,\mathscr{F},\mu)$是一个测度空间，$E\in\mathscr{F}$，$1\leqslant p\leqslant+\infty$，$\{f_n\}\subseteq L_p(E),\;f\in L_p(E)$。若：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}||f_n-f||_p=0 \end{equation*}\]

则称$\{f_n\}$（$p$阶）平均收敛到$f$，记为$f_n\overset{L_p}{\longrightarrow}f$。

Theorem 5.32. 设$(X,\mathscr{F},\mu)$是一个测度空间，$E\in\mathscr{F}$，$1\leqslant p\leqslant+\infty$，$\{f_n\}\subseteq L_p(E),\;f\in L_p(E)$。

若$f_n\overset{L_p}{\longrightarrow}f$，则$f_n\overset{\mu}{\longrightarrow}f$且$||f_n||_p\to||f||_p$；
若$f_n\overset{\text{a.e.}}{\longrightarrow}f$或$f_n\overset{\mu}{\longrightarrow}f$，则：

\[\begin{equation*} ||f_n||_p\to||f||_p\Leftrightarrow f_n\overset{L_p}{\longrightarrow}f \end{equation*}\]

证明. (1)设$f_n\overset{L_p}{\longrightarrow}f$，则对任意的$\varepsilon>0$，由性质 5.4.2(6)可得：

\[\begin{align*} \mu(|f_n-f|\geqslant\varepsilon) &=\int_{\{|f_n-f|\geqslant\varepsilon\}}\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\leqslant\int_{\{|f_n-f|\geqslant\varepsilon\}}\frac{|f_n-f|^p}{\varepsilon^p}\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \\ &\leqslant\frac{1}{\varepsilon^p}\int_{-\infty}^{+\infty}|f_n-f|^p\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\frac{||f_n-f||^p_p}{\varepsilon^p} \end{align*}\]

而$||f_n-f||\to0$，所以：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}\mu(||f_n-f||\geqslant\varepsilon)=0 \end{equation*}\]

即$f_n\overset{\mu}{\longrightarrow}f$。由不等式 17可得：

\[\begin{equation*} \Bigl|||f_n||_p-||f||_p\Bigr|\leqslant||f_n-f||_p \end{equation*}\]

于是$||f_n||_p\to||f||_p$。

(2)充分性由(1)直接得到，下证必要性。未完成 ◻

5.6 不定积分

Definition 5.49. 设$(X,\mathscr{F},\mu)$是一个测度空间，$f$是其上的可测函数，$\varphi$是$\mathscr{F}$上的集函数。若：

\[\begin{equation*} \forall\;A\in\mathscr{F},\;\varphi(A)=\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

则称$\varphi$为$f$的不定积分（indefinite integral），$f$为$\varphi$关于$\mu$的导数。

5.6.1 符号测度

Definition 5.50. 设$(X,\mathscr{F})$是一个可测空间，若从$\mathscr{F}$到$\overline{\mathbb{R}}$的集函数$\varphi$满足：

$\varphi(\varnothing)=0$；
$\varphi$具有可列可加性。

则称$\varphi$ 为符号测度（signed measure）。若对任意的$A\in\mathscr{F}$有$|\varphi(A)|<+\infty$，则称$\varphi$是有限的；若存在$X$的可列可测分割$\{A_n\}\subseteq\mathscr{F}$满足对任意的$n\in\mathbb{N}^+$有$|\varphi(A_n)|<+\infty$，则称$\varphi$是$\sigma$有限的。

Property 5.6.1. 设$(X,\mathscr{F})$是一个可测空间，其上的符号测度$\varphi$具有如下性质：

$\varphi$具有有限可加性；
$\varphi$只可能出现以下两种情况中的一种³：

\[\begin{gather*} \forall\;A\in\mathscr{F},\;-\infty<\varphi(A)\leqslant+\infty \\ \forall\;A\in\mathscr{F},\;-\infty\leqslant\varphi(A)<+\infty \end{gather*}\]
若$A,B\in\mathscr{F},\;B\subseteq A$且$|\varphi(A)|<+\infty$，则$|\varphi(B)|<+\infty$；
若$\{A_n\}\subseteq\mathscr{F}$互不相交且满足：

\[\begin{equation*} \left|\varphi\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\right)\right|<+\infty \end{equation*}\]

则有：

\[\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}|\varphi(A_n)|<+\infty \end{equation*}\]
对$a\in\mathbb{R}^{}$，定义$(a\varphi)(A)\coloneq a\varphi(A),\;\forall\;A\in\mathscr{F}$，则$a\varphi$也是$(X,\mathscr{F})$上的一个符号测度；
设$\mu,\nu$为$(X,\mathscr{F})$上的两个测度。只要$\mu,\nu$中有一个是有限的，则可定义$(X,\mathscr{F})$上的符号测度：

\[\begin{equation*} \forall\;A\in\mathscr{F},\;(\mu-\nu)(A)\coloneq\mu(A)-\nu(A) \end{equation*}\]
$\varphi$在$\mathscr{F}$的子$\sigma$域$\mathscr{A}$上也是一个符号测度。

证明. (1)由符号测度的定义显然可得。

(2)设$A,B\in\mathscr{F}$且$\varphi(A)=+\infty,\varphi(B)=-\infty$，则由(1)和性质 5.1.6(4)可得：

\[\begin{equation*} \varphi(A\cup B)=\varphi(A)+\varphi(B\setminus A)=\varphi(B)+\varphi(A\setminus B) \end{equation*}\]

要使得上式有意义，$\varphi(A\cup B)$必须既等于$+\infty$又等于$-\infty$，矛盾。

(3)由(1)和性质 5.1.6(4)可得$\varphi(A)=\varphi(B)+\varphi(A\setminus B)$，当$|\varphi(A)|<+\infty$时，上式有意义必须满足$|\varphi(B)|<+\infty$。

(4)记：

\[\begin{equation*} A_n^+= \begin{cases} \varnothing,&\varphi(A_n)\leqslant0 \\ A_n,&\varphi(A_n)>0 \end{cases} \quad A_n^-= \begin{cases} A_n,&\varphi(A_n)\leqslant0 \\ \varnothing,&\varphi(A_n)>0 \end{cases} \end{equation*}\]

则：

\[\begin{equation*} \underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n=\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n^+\right)\bigcup\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n^-\right) \end{equation*}\]

由(3)可得：

\[\begin{equation*} \left|\varphi\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n^+\right)\right|<+\infty,\quad \left|\varphi\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n^-\right)\right|<+\infty \end{equation*}\]

因为$\{A_n\}$互不相交，由$\{A_n^+\},\{A_n^-\}$的构造方式显然二者内部互不相交且二者之间也互不相交，于是根据性质 3.2.12(4)可得：

\[\begin{align*} \sum_{n=1}^{+\infty}|\varphi(A_n)|&=\sum_{n=1}^{+\infty}[|\varphi(A_n^+)|+|\varphi(A_n^-)|] =\sum_{n=1}^{+\infty}\varphi(A_n^+)+\sum_{n=1}^{+\infty}|\varphi(A_n^-)| \\ &=\sum_{n=1}^{+\infty}\varphi(A_n^+)+\left|\sum_{n=1}^{+\infty}\varphi(A_n^-)\right| =\varphi\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n^+\right)+\left|\varphi\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n^-\right)\right|<+\infty \end{align*}\]

(5)(6)由定义和性质 3.2.12(4)即可得到。

(7)根据定义即可验证得到。 ◻

5.6.2 Hahn, Jordan分解

Definition 5.51. 设$(X,\mathscr{F})$是一个可测空间，$\varphi$是其上的符号测度。定义$\varphi^{\star}$：

\[\begin{equation*} \forall\;A\in\mathscr{F},\;\varphi^{\star}(A)=\sup\{\varphi(B):B\subseteq A,\;B\in\mathscr{F}\} \end{equation*}\]

Property 5.6.2. 设$(X,\mathscr{F})$是一个可测空间，$\varphi$是其上的符号测度。$\varphi^{\star}$具有如下性质：

$\varphi^{\star}(\varnothing)=0$；
$\varphi^{\star}$具有单调性；
$\varphi^{\star}$是非负集函数；
$\mathscr{A}=\{A\in\mathscr{F}:\varphi^{\star}(A)=0\}$是一个$\sigma$环。

证明. (1)由$\varphi^{\star}$的定义和$\varphi(\varnothing)=0$即可得出。

(2)由$\varphi^{\star}$的定义即可得出。

(3)由(1)(2)立即可得。

(4)由(1)可知$\mathscr{A}\ne\varnothing$。任取$A,B\in\mathscr{A}$，由性质 5.1.6(4)和(3)(2)可得：

\[\begin{equation*} 0\leqslant\varphi^{\star}(A\setminus B)\leqslant\varphi^{\star}(A)=0 \end{equation*}\]

所以$\varphi^{\star}(A\setminus B)=0,\;A\setminus B\in\mathscr{A}$。

任取互不相交的$\{A_n\}\subseteq\mathscr{A}$，由(3)、性质 5.1.1(4)、性质 5.1.6(2)、上确界的性质可得：

\[\begin{align*} &0\leqslant\varphi^{\star}\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\right)=\sup\left\{\varphi(B):B\subseteq\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n,\;B\in\mathscr{F}\right\} \\ =&\sup\left\{\varphi\left[B\cap\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\right)\right]:B\subseteq\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n,\;B\in\mathscr{F}\right\} \\ =&\sup\left\{\varphi\left[\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}(A_n\cap B)\right]:B\subseteq\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n,\;B\in\mathscr{F}\right\} \\ =&\sup\left\{\sum_{n=1}^{+\infty}\varphi(A_n\cap B):B\subseteq\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n,\;B\in\mathscr{F}\right\} \\ \leqslant&\sup\left\{\sum_{n=1}^{+\infty}\varphi(B_n):B_n\subseteq A_n,\;B_n\in\mathscr{F}\right\} \\ \leqslant&\sum_{n=1}^{+\infty}\sup\{\varphi(B_n):B_n\subseteq A_n,\;B_n\in\mathscr{F}\}=\sum_{n=1}^{+\infty}\varphi^{\star}(A_n)=0 \end{align*}\]

所以$\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\in\mathscr{A}$。

综上，$\mathscr{A}$是一个$\sigma$环。 ◻

引理 6.5 Lemma 5.5. 设$(X,\mathscr{F})$是一个可测空间，$\varphi$是其上的符号测度。

若$A\in\mathscr{F}$且$\varphi(A)<+\infty$，则对任意的$\varepsilon>0$，存在$B\in\mathscr{F}$满足$B\subseteq A,\varphi(B)\geqslant0$且$\varphi^{\star}(A\setminus B)\leqslant\varepsilon$；
若$A\in\mathscr{F}$且$\varphi(A)<0$，则存在$B\in\mathscr{F}$满足$B\subseteq A,\;\varphi(B)<0$且$\varphi^{\star}(B)=0$。

证明. (1)若此时不满足结论，即存在$\varepsilon>0$，对于任意的$B\subseteq A$都有$\varphi(B)<0$或$\varphi(B)\geqslant$且$\varphi^{\star}(A\setminus B)>\varepsilon$。取$B=\varnothing$即可排除$\varphi(B)<0$，即此时必须有$\varphi(B)\geqslant$且$\varphi^{\star}(A\setminus B)>\varepsilon$。取$B_0=\varnothing$，根据归纳假设可得$\varphi^{\star}(A\setminus B_0)=\varphi^{\star}(A)>\varepsilon$，由$\varphi^{\star}$的定义可知存在$B_1\in\mathscr{F}$满足$B_1\subseteq A\setminus B_0=A$且$\varphi(B_1)>\varepsilon$。根据归纳假设，因为$B_1\subseteq A$，所以有$\varphi^{\star}(A\setminus B_1)>\varepsilon$，即存在$B_2\in\mathscr{F}$满足$B_2\subseteq A\setminus B_1\subseteq A$且$\varphi(B_2)>\varepsilon$。根据归纳假设，因为$B_1\cup B_2\subseteq A$，所以有$\varphi^{\star}[A\setminus(B_1\cup B_2)]>\varepsilon$，即存在$B_3\in\mathscr{F}$满足$B_3\subseteq A\setminus(B_1\cup B_2)\subseteq A$且$\varphi(B_3)>\varepsilon$。继续操作下去，可以得到互不相交的集合序列$\{B_n\}$满足：

\[\begin{equation*} B_n\subseteq A,\;B_n\in\mathscr{F},\;\varphi(B_n)>\varepsilon \end{equation*}\]

令$B=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n$，则有：

\[\begin{equation*} B\subseteq A,\;B\in\mathscr{F},\;\varphi(B)=\sum_{n=1}^{+\infty}\varphi(B_n)=+\infty \end{equation*}\]

由性质 5.6.1(3)可得$|\varphi(A)|=+\infty$，于是只能有$\varphi(A)=-\infty$，矛盾，所以结论成立。

(2)由(1)可知存在$B_1\subseteq A$满足$\varphi(B_1)\geqslant0$且$\varphi^{\star}(A\setminus B_1)\leqslant1$。根据$\varphi^{\star}$的定义可得：

\[\begin{equation*} \varphi(A\setminus B_1)\leqslant\varphi^{\star}(A\setminus B_1)\leqslant1 \end{equation*}\]

所以存在$B_2\subseteq A\setminus B_1$满足$\varphi(B_2)\geqslant0$且$\varphi^{\star}[A\setminus (B_1\cup B_2)]\leqslant\dfrac{1}{2}$。继续操作下去，可以得到互不相交的集合序列$\{B_n\}\subseteq\mathscr{F}$满足：

\[\begin{equation*} B_n\subseteq A,\;\varphi(B_n)\geqslant0,\;\varphi^{\star}\left[A\Big\backslash\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}B_n\right)\right]\leqslant\frac{1}{n} \end{equation*}\]

令$B=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n$，由符号测度的可列可加性以及性质 5.6.2(2)(3)可得：

\[\begin{equation*} \varphi(B)=\sum_{n=1}^{+\infty}\varphi(B_n)\geqslant0,\quad0\leqslant\varphi^{\star}(A\setminus B)\leqslant\varphi^{\star}\left[A\Big\backslash\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}B_n\right)\right]\leqslant\frac{1}{n} \end{equation*}\]

所以$\varphi^{\star}(A\setminus B)=0$。取$A_0=A\setminus B$，根据性质 5.1.6(4)可得：

\[\begin{equation*} A_0\in\mathscr{F},\;A_0\subseteq A,\;\varphi^{\star}(A_0)=0 \end{equation*}\]

而由性质 5.6.1(1)可得：

\[\begin{equation*} \varphi(A)=\varphi(A_0)+\varphi(B) \end{equation*}\]

因为$\varphi(A)<0,\;\varphi(B)\geqslant0$，所以$\varphi(A_0)<0$，$A_0$即满足条件。 ◻

Theorem 5.33. （Hahn Decomposition）

设$\varphi$是可测空间$(X,\mathscr{F})$上的符号测度，则存在$X^{\pm}\in\mathscr{F}$满足：

\[\begin{equation*} X^+\cup X^-=X,\quad X^+\cap X^-=\varnothing \end{equation*}\]

并且有（性质 5.1.6(2)）：

\[\begin{equation*} \forall\;A\in\mathscr{F},\;\varphi(A\cap X^+)\geqslant0\geqslant\varphi(A\cap X^-) \end{equation*}\]

且$X^{\pm}$在下列意义下是唯一的：若$\{X^+_1,X^-_1\},\{X^+_2,X^-_2\}$都满足上述条件，则：

\[\begin{gather*} \forall\;A\in\mathscr{F},A\subseteq X^+_1\Delta X^+_2\Rightarrow\varphi(A)=0 \\ \forall\;A\in\mathscr{F},A\subseteq X^-_1\Delta X^-_2\Rightarrow\varphi(A)=0 \end{gather*}\]

称$\{X^+,X^-\}$为$\varphi$在$X$上的Hahn分解。

证明. 令$\mathscr{A}=\{A\in\mathscr{F}:\varphi^{\star}(A)=0\}$，记$\alpha=\inf\{\varphi(A):A\in\mathscr{A}\}$。

取$\{A_n\}\subseteq\mathscr{A}$满足$\lim_{n\to+\infty}\limits\varphi(A_n)=\alpha$，令$X^-=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n$。由性质 5.6.2(4)可知$\mathscr{A}$是一个$\sigma$环，所以$X^-\in\mathscr{A}$，$X^-\in\mathscr{F}$。对任意的$A\in\mathscr{F}$，根据$\varphi^{\star}$的定义和性质 5.6.2(2)可得：

\[\begin{equation*} \varphi(A\cap X^-)\leqslant\varphi^{\star}(A\cap X^-)\leqslant\varphi^{\star}(X^-)=0 \end{equation*}\]

所以$X^-$满足要求。

令$X^+=X\setminus X^-$，则$X^+\cup X^-=X$且$X^+\cap X^-=\varnothing$。由性质 5.1.6(4)可知$X^+\in\mathscr{F}$。若存在$A\in\mathscr{F}$使得$\varphi(A\cap X^+)<0$，即存在$X^+$的子集$A$使得$\varphi(A)<0$，由引理 5.5(2)可知存在$A$的子集$B\in\mathscr{F}$满足$\varphi(B)<0$且$\varphi^{\star}(B)=0$，即$B\in\mathscr{A}$。由性质 5.6.1(1)可得：

\[\begin{equation*} \varphi(B\cup X^-)=\varphi(B)+\varphi(X^-)<\varphi(X^-) \end{equation*}\]

对任意的$n\in\mathbb{N}^+$，根据性质 5.1.6(4)、性质 5.6.1(1)和性质 5.6.2(4)可得：

\[\begin{equation*} \varphi(X^-)=\varphi(A_n)+\varphi(X^-\setminus A_n)\leqslant\varphi(A_n)+\varphi^{\star}(X^-\setminus A_n)=\varphi(A_n) \end{equation*}\]

由性质 3.2.9(6)可得：

\[\begin{equation*} \varphi(X^-)\leqslant\lim_{n\to+\infty}\varphi(A_n)=\alpha \end{equation*}\]

于是$\varphi(B\cup X^-)<\varphi(X^-)\leqslant\alpha$。由性质 5.6.2(4)可知$B\cup X^-\in\mathscr{A}$，所以应有$\varphi(B\cup X^-)\geqslant\alpha$，矛盾，于是对任意的$A\in\mathscr{F}$有$\varphi(A\cap X^+)\geqslant0$。

综上，$X^-$与$X^+$的存在性得证。下证唯一性。

若存在不同的$X_1^+,X_1^-$和$X_2^+,X_2^-$满足要求，任取$A\subseteq X_2^+\setminus X_1^+$，其中$A\in\mathscr{F}$，则$A\subseteq X_2^+$且$\varphi(A)\geqslant0$，而$A\subseteq (X_1^+)^c=X_1^-$，所以$\varphi(A)\leqslant0$，即$\varphi(A)=0$。同理可得$X_1^+\setminus X_2^+$的子集都满足符号测度为$0$，于是对任意满足$A\subseteq X_1^+\Delta X_2^+$的$A\in\mathscr{F}$有$\varphi(A)=0$。同理又可得出$A\subseteq X_1^-\Delta X_2^-$时的情况。 ◻

Theorem 5.34. （Jordan Decomposition）

设$\varphi$是可测空间$(X,\mathscr{F})$上的符号测度，$\{X^+,X^-\}$为$\varphi$在$X$上的Hahn分解，则存在$(X,\mathscr{F})$上的测度$\varphi^+(A)=\varphi(A\cap X^+)$和有限测度$\varphi^-(A)=-\varphi(A\cap X^-)$使得$\varphi(A)=\varphi^+(A)-\varphi^-(A)$并且有：

\[\begin{equation*} \forall\;A\in\mathscr{F},\;\varphi^+(A)=\varphi^{\star}(A),\;\varphi^-(A)=(-\varphi)^{\star} \end{equation*}\]

称分解式$\varphi=\varphi^+-\varphi^-$为$\varphi$的Jordan分解，分别称$\varphi^+,\varphi^-,|\varphi|\coloneq\varphi^++\varphi^-$为$\varphi$的上变差（positive variation）、下变差（negative variation）和全变差（Total variation）。

证明. 由性质 5.1.1(4)和符号测度的定义逐步验证定义可知$\varphi^+$和$\varphi^-$都是$(X,\mathscr{F})$上的测度，由性质 5.6.1(2)处的约定可得$\varphi^-$是有限的，根据定理 5.33、性质 5.1.1(4)和性质 5.2.1(1)可知$\varphi=\varphi^+-\varphi^-$。对任意的$A\in\mathscr{F}$和任意$A$的子集$B\in\mathscr{F}$，由性质 5.1.1(4)和性质 5.2.1(1)(3)（单调性）有：

\[\begin{equation*} \varphi(B)=\varphi^+(B)-\varphi^-(B)\leqslant\varphi^+(B)\leqslant\varphi^+(A) \end{equation*}\]

根据上确界的不等式性可知$\varphi^+(A)\geqslant\varphi^{\star}(A)$，而：

\[\begin{equation*} \varphi^+(A)=\varphi(A\cap X^+)\leqslant\sup\{\varphi(B):B\subseteq A,\;B\in\mathscr{F}\}=\varphi^*(A) \end{equation*}\]

于是$\varphi^+(A)=\varphi^*(A)$，$\varphi^-(A)$的结论类似可得。 ◻

5.6.3 Radon-Nikodym导数

Definition 5.52. 设$\varphi$和$\mu$分别是可测空间$(X,\mathscr{F})$上的符号测度与测度。若对任何的$\mu$零测集$A$都有$\varphi(A)=0$，则称$\varphi$对$\mu$绝对连续（absolutely continuous），记作$\varphi\ll\mu$。

在接下来的讨论中，我们记：

\[\begin{equation*} \mathscr{C}=\left\{g\in L_1(X,\mathscr{F},\mu):g\geqslant0,\;\int_{A}g(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\leqslant\varphi(A),\;\forall\;A\in\mathscr{F}\right\} \end{equation*}\]

引理 6.6 Lemma 5.6. 若$\varphi$和$\mu$都是可测空间$(X,\mathscr{F})$上的有限测度，则存在$f\in\mathscr{C}$使得：

\[\begin{equation*} \int_{X}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\sup\left\{\int_{X}g(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu:g\in\mathscr{C}\right\} \end{equation*}\]

证明. 记：

\[\begin{equation*} \sup\left\{\int_{X}g(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu:g\in\mathscr{C}\right\}=\alpha \end{equation*}\]

取$\{g_n\}\subseteq\mathscr{C}$使得：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}\int_{X}g_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\alpha \end{equation*}\]

令：

\[\begin{equation*} f_n=\max_{1\leqslant k\leqslant n}g_k,\quad f=\sup\{g_n\} \end{equation*}\]

由性质 5.3.3(6)可知$f_n$和$f$为非负可测函数且$f_n\uparrow f$。因为$g_n\leqslant f$，由性质 5.4.2(6)和性质 3.2.9(6)可得：

\[\begin{equation*} \alpha=\lim_{n\to+\infty}\int_{X}g_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\leqslant\int_{X}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

记：

\[\begin{equation*} A_{nk}=\{f_n=g_k\},\quad B_{nk}=A_{nk}\Big\backslash\left(\underset{i=1}{\overset{k-1}{\cup}}A_{ni}\right) \end{equation*}\]

于是$\{B_{nk}:k=1,2,\dots,n\}$互不相交且：

\[\begin{equation*} \underset{k=1}{\overset{n}{\cup}}B_{nk}=\underset{k=1}{\overset{n}{\cup}}A_{nk}=X \end{equation*}\]

由性质 5.1.1(4)和性质 5.2.1(1)可知：

\[\begin{align*} &\int_{A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A\cap X}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A\cap\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\cup}}B_{nk}\right)}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{\underset{k=1}{\overset{n}{\cup}}(A\cap B_{nk})}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \\ =&\sum_{k=1}^{n}\int_{A\cap B_{nk}}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\sum_{k=1}^{n}\int_{A\cap B_{nk}}g_k(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\leqslant\sum_{k=1}^{n}\varphi(A\cap B_{nk})=\varphi(A) \end{align*}\]

根据定理 5.23和性质 3.2.9(6)可得：

\[\begin{equation*} \int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\lim_{n\to+\infty}\int_{A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\leqslant\varphi(A) \end{equation*}\]

因为$\varphi$是$(X,\mathscr{F})$上的有限测度，所以$f$在$X$上可积，于是$f\in\mathscr{C}$，即：

\[\begin{equation*} \int_{X}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\alpha \end{equation*}\]

◻

引理 6.7 Lemma 5.7. 设$\varphi$和$\mu$都是可测空间$(X,\mathscr{F})$上的有限测度。若$\varphi\ll\mu$，则存在非负的$f\in L_1(X,\mathscr{F},\mu)$使得对任意的$A\in\mathscr{F}$有：

\[\begin{equation*} \varphi(A)=\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

且$f$在a.e.于$(X,\mathscr{F},\mu)$的意义下唯一。

证明. 取满足引理 5.6中条件的$f$，对任意的$A\in\mathscr{F}$，令：

\[\begin{equation*} \nu(A)=\varphi(A)-\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

由引理 5.6、性质 5.4.3(1)和定理 5.27可知$\nu$是$(X,\mathscr{F})$上的测度。对任意的$n\in\mathbb{N}^+$和任意的$A\in\mathscr{F}$，定义：

\[\begin{equation*} \nu_n(A)=\nu(A)-\frac{1}{n}\mu(A) \end{equation*}\]

因为$\nu$和$\mu$是$(X,\mathscr{F})$上的测度，所以$\nu_n$为$(X,\mathscr{F})$上的符号测度。记$\{X_n^+,X_n^-\}$为$\nu_n$对应的Hahn分解，令：

\[\begin{equation*} X^+=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}X_n^+,\quad X^-=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}X_n^- \end{equation*}\]

由性质 5.1.1(7)可得：

\[\begin{equation*} X^-=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}(X\setminus X_n^+)=X\Big\backslash\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}X_n^+\right) \end{equation*}\]

所以$X^+\cap X^-=\varnothing$且$X^+\cup X^-=X$。

因为$X^-\subseteq X_n^-$，所以$\nu_n(X^-)\leqslant0$，于是由测度的非负性和$\mu$的有限性可得：

\[\begin{equation*} 0\leqslant\nu(X^-)=\nu_n(X^-)+\frac{1}{n}\mu(X^-)\leqslant\frac{1}{n}\mu(X^-)\to0 \end{equation*}\]

即$\nu(X^-)=0$。对任意的$n\in\mathbb{N}^+$和任意的$A\in\mathscr{F}$，由性质 5.3.2(3)(1)、性质 5.4.2(10)、性质 5.2.1(3)（单调性）、性质 5.4.1(5)和$\varphi$的有限性可得：

\[\begin{align*} &\int_{A}\left[f(x)+\frac{1}{n}I(x\in X_n^+)\right]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu+\int_{A}\frac{1}{n}I(x\in X_n^+)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \\ =&\varphi(A)-\nu(A)+\int_{A}\frac{1}{n}I(x\in X_n^+)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\leqslant\varphi(A)-\nu(A\cap X_n^+)+\int_{A}\frac{1}{n}I(x\in X_n^+)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \\ =&\varphi(A)-\nu(A\cap X_n^+)+\frac{1}{n}\int_{A}I(x\in X_n^+)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\varphi(A)-\nu(A\cap X_n^+)+\frac{1}{n}\mu(A\cap X_n^+) \\ =&\varphi(A)-\nu_n(A\cap X_n^+)\leqslant\varphi(A)<+\infty \end{align*}\]

所以$f(x)+\dfrac{1}{n}I(x\in X_n^+)\in\mathscr{F}$。取$A=X$，根据引理 5.6可得：

\[\begin{align*} &\int_{X}\left[f(x)+\frac{1}{n}I(x\in X_n^+)\right]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{X}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu+\frac{1}{n}\mu(X_n^+) \\ \leqslant&\sup\left\{\int_{X}g(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu:g\in\mathscr{C}\right\}=\int_{X}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{align*}\]

所以$\mu(X_n^+)=0$。由测度的非负性和性质 5.2.1(3)（次可列可加性）可得：

\[\begin{equation*} 0\leqslant\mu(X^+)\leqslant\sum_{n=1}^{+\infty}\mu(X_n^+)=0 \end{equation*}\]

所以$\mu(X^+)=0$。因为$\varphi\ll\mu$，所以$\varphi(X^+)=0$，于是由性质 5.4.1(3)可得：

\[\begin{equation*} \nu(X^+)=\varphi(X^+)-\int_{X^+}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=0 \end{equation*}\]

根据性质 5.2.1(1)可得：

\[\begin{equation*} \nu(X)=\nu(X^+\cup X^-)=\nu(X^+)+\nu(X^-)=0 \end{equation*}\]

由性质 5.2.1(3)（单调性）可得对任意的$A\in\mathscr{F}$有：

\[\begin{equation*} \nu(A)=\varphi(A)-\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=0 \end{equation*}\]

$f$的唯一性由性质 5.4.3(11)立即可得。 ◻

引理 6.8 Lemma 5.8. 设$\varphi$和$\mu$分别是可测空间$(X,\mathscr{F})$上的$\sigma$有限符号测度和有限测度。若$\varphi\ll\mu$，则存在有限的可测函数$f$使得对任意的$A\in\mathscr{F}$有：

\[\begin{equation*} \int_{A}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu<+\infty,\quad\varphi(A)=\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

同时$f$在a.e.于$(X,\mathscr{F},\mu)$的意义下唯一。

证明. 先讨论$\varphi$是有限符号测度的情况，此时$\varphi$的Jordan分解$\varphi^+$和$\varphi^-$都是$(X,\mathscr{F})$上的有限测度。对任意满足$\varphi(A)=0$的$A\in\mathscr{F}$，由性质 5.2.1(3)可知$\varphi^+(A)=\varphi^-(A)=0$，所以$\varphi^+,\varphi^-\ll\mu$。根据引理 5.7可知存在非负的$f^+,f^-\in L_1(X,\mathscr{F},\mu)$使得：

\[\begin{equation*} \forall\;A\in\mathscr{F},\;\varphi^+(A)=\int_{A}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu,\;\varphi^-(A)=\int_{A}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

且$f^+,f^-$在a.e.于$(X,\mathscr{F},\mu)$的意义下唯一，由性质 5.4.2(8)(7)和性质 5.3.3(9)可取$f^+,f^-$为有限的可测函数。取$f=f^+-f^-$，则$f$是有限的可测函数，由性质 5.3.3(5.a)、性质 5.4.3(6)就有：

\[\begin{equation*} \forall\;A\in\mathscr{F},\;\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}f^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu-\int_{A}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\varphi^+(A)-\varphi^-(A) \end{equation*}\]

$f$的唯一性由性质 5.2.1(3)（次有限可加性）保证。

当$\varphi$是$\sigma$有限符号测度时，存在互不相交$\{A_n\}\subseteq\mathscr{F}$使得：

\[\begin{equation*} \underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n=X,\quad\forall\;A\in\mathscr{F},\;|\varphi(A_n)|<+\infty \end{equation*}\]

由性质 5.6.1(3)可知$\varphi$限制在$(A_n,A_n\cap\mathscr{F})$上是有限符号测度，而$\mu$限制在$(A_n,A_n\cap\mathscr{F})$上是有限测度，且此时仍有$\varphi\ll\mu$，于是根据之前$\varphi$是有限符号测度情况的讨论可知在每个$(A_n,A_n\cap\mathscr{F})$存在有限的可测函数$f_n$满足$\int_{A}f_n^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu<+\infty$且：

\[\begin{equation*} \forall\;A\in A_n\cap\mathscr{F},\;\varphi(A)=\int_{A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

同时$f_n$在a.e.于$(A_n,A_n\cap\mathscr{F},\mu)$的意义下唯一。将$f_n$延拓到$X$上：

\[\begin{equation*} f_n'(x)= \begin{cases} f_n(x),&x\in A_n \\ 0,&x\in A_n^c \end{cases} \end{equation*}\]

由性质 5.3.3(1)可验证得到$f_n'$是$(X,\mathscr{F})$上有限的可测函数，取：

\[\begin{equation*} g_n=\sum_{i=1}^{n}f_i',\quad f=\sum_{n=1}^{+\infty}f_n' \end{equation*}\]

因为$f_n'$在$(A_n,A_n\cap\mathscr{F})$上有限，所以$f$在$X$上有限，而$f=\lim\limits_{n\to+\infty}g_n$，根据性质 5.3.3(5.a)(6)可知$f$是可测函数，由性质 5.2.1(3)（次可列可加性）可得$f$在a.e.于$(X,\mathscr{F},\mu)$的意义下唯一。对任意的$A\in\mathscr{F}$有：

\[\begin{equation*} \varphi(A_n\cap A)=\int_{A_n\cap A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A_n\cap A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

于是由定理 5.27、性质 5.1.6(4)、性质 5.4.2(5)、性质 5.4.3(6)、性质 3.2.12(4)和性质 5.6.1(2)处的约定可得：

\[\begin{align*} &\int_{X}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\sum_{n=1}^{+\infty}\int_{A_n}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\sum_{n=1}^{+\infty}\int_{A_n\cap\{f<0\}}-f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \\ =&-\sum_{n=1}^{+\infty}\int_{A_n\cap\{f<0\}}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=-\sum_{n=1}^{+\infty}\varphi(A_n\cap\{f<0\})=-\varphi(\{f<0\})<+\infty \end{align*}\]

所以根据性质 5.4.3(3)可知对任意的$A\in\mathscr{F}$有：

\[\begin{equation*} \int_{A}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu<+\infty \end{equation*}\]

由性质 5.1.1(4)和定理 5.27可知对任意的$A\in\mathscr{F}$有：

\[\begin{align*} &\varphi(A)=\varphi(A\cap X)=\varphi\left[A\cap\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\right)\right]=\varphi\left[\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}(A_n\cap A)\right] \\ =&\sum_{n=1}^{+\infty}\varphi(A_n\cap A)=\sum_{n=1}^{+\infty}\int_{A_n\cap A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{align*}\]

◻

引理 6.9 Lemma 5.9. 设$\varphi$和$\mu$分别是可测空间$(X,\mathscr{F})$上的符号测度和有限测度。若$\varphi\ll\mu$，则存在可测函数$f$使得对任意的$A\in\mathscr{F}$有：

\[\begin{equation*} \int_{A}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu<+\infty,\quad\varphi(A)=\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

同时$f$在a.e.于$(X,\mathscr{F},\mu)$的意义下唯一。若$\varphi$是$\sigma$有限的，则$f$也是有限的。

证明. 记：

\[\begin{equation*} \mathscr{D}=\left\{A\in\mathscr{F}:\text{存在互不相交的}\{A_n\}\subseteq\mathscr{F}\text{使得}\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n=A\text{且对任意的}n\in\mathbb{N}^+\text{有}|\varphi(A_n)|<+\infty\right\} \end{equation*}\]

由定理 19.7可知$\mathscr{D}$对可列不交并封闭。任取$A,B\in\mathscr{D}$，则存在互不相交的$\{A_n\}\subseteq\mathscr{F}$和互不相交的$\{B_n\}\subseteq\mathscr{F}$满足：

\[\begin{equation*} A=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n,\; B=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n,\quad|\varphi(A_n)|,|\varphi(B_n)|<+\infty,\;\forall\;n\in\mathbb{N}^+ \end{equation*}\]

于是由性质 5.1.1(4)(6)(7)可得：

\[\begin{align*} &A\setminus B=\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\right)\Big\backslash\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n\right)=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\bigcup}}\left[A_n\Big\backslash\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n\right)\right] \\ =&\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\bigcup}}\left[A_n\bigcap\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n\right)^c\right]=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\bigcup}}\left[A_n\bigcap\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}B_n^c\right)\right] \end{align*}\]

根据性质 5.1.6(2)和性质 5.6.1(3)可得：

\[\begin{equation*} A_n\bigcap\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}B_n^c\right)\in\mathscr{F},\;\left\lvert\varphi\left[A_n\bigcap\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}B_n^c\right)\right]\right\rvert<|\varphi(A_n)|<+\infty \end{equation*}\]

因为$\{A_n\}$互不相交，所以$\left\{A_n\bigcap\left(\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cap}}B_n^c\right)\right\}$也互不相交，于是$A\setminus B\in\mathscr{D}$，$\mathscr{D}$对差封闭。任取$\{A_n\}\subseteq\mathscr{D}$，则：

\[\begin{equation*} \underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}\left[A_n\Big\backslash\left(\underset{i=1}{\overset{n-1}{\cup}}A_n\right)\right] \end{equation*}\]

因为$\mathscr{D}$对差和可列不交并封闭且$\varnothing\in\mathscr{D}$，所以$\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}A_n\in\mathscr{D}$，即$\mathscr{D}$对可列并封闭。

综上，$\mathscr{D}$是一个$\sigma$环。

记：

\[\begin{equation*} \alpha=\sup\{\mu(A):A\in\mathscr{D}\} \end{equation*}\]

取$\{B_n\}\subseteq\mathscr{D}$满足：

\[\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}\mu(B_n)=\alpha \end{equation*}\]

令$B=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}B_n$，因为$\mathscr{D}$是一个$\sigma$环，所以$B\in\mathscr{D}$，由性质 5.2.1(3)（单调性）可得：

\[\begin{equation*} \alpha\geqslant\mu(B)\geqslant\mu(B_n)\to\alpha \end{equation*}\]

根据性质 3.2.9(4)可知$\mu(B)=\alpha$。

因为$\varphi$和$\mu$分别是$(B,B\cap\mathscr{F})$上的$\sigma$有限符号测度和有限测度，$\varphi\ll\mu$，由引理 5.8可知存在有限的可测函数$g$使得对任意的$A\in B\cap\mathscr{F}$有：

\[\begin{equation*} \int_{A}g^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu<+\infty,\quad\varphi(A)=\int_{A}g(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

且$g$在a.e.于$(B,B\cap\mathscr{F},\mu)$的意义下唯一。

对任意的$A\in B^c\cap\mathscr{F}$，若$\mu(A)=0$，因为$\varphi\ll\mu$，所以$\varphi(A)=0$；若$\mu(A)>0$，则$\varphi(A)=+\infty$：若$\varphi(A)\ne+\infty$，则$A\cup B\in\mathscr{D}$，由性质 5.2.1(1)可得：

\[\begin{equation*} \mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)>\mu(B) \end{equation*}\]

与$B$的取法矛盾。所以根据性质 5.4.3(1)和性质 5.4.2(8)：

\[\begin{equation*} \varphi(A)=\int_{A}+\infty\mathop{}\!\mathrm{d}\mu= \begin{cases} 0,&\mu(A)=0 \\ +\infty,&\mu(A)>0 \end{cases} \end{equation*}\]

取$f(x)=g(x)I(x\in B)+\infty I(x\in B^c)$，由性质 5.3.3(1)可验证得到$f$是可测函数。对任意的$A\in\mathscr{F}$，根据性质 5.1.6(2)(4)和性质 5.4.2(5)可知：

\[\begin{equation*} \int_{A}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A\cap B}g^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu<+\infty \end{equation*}\]

由性质 5.1.1(4)、性质 5.2.1(1)和定理 5.27可得：

\[\begin{align*} &\varphi(A)=\varphi(A\cap B)+\varphi(A\cap B^c)=\int_{A\cap B}g(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu+\int_{A\cap B^c}+\infty\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \\ =&\int_{A\cap B}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu+\int_{A\cap B^c}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{align*}\]

$f$的唯一性可由$g$的唯一性直接得到。若$\varphi$是$\sigma$有限的，则$\mathscr{D}=\mathscr{F}$，由性质 5.2.1(3)可知$B=X$，所以$f=g$，$f$有限。 ◻

Theorem 5.35. （Radon-Nikodym Theorem）

设$\varphi$和$\mu$分别是可测空间$(X,\mathscr{F})$上的符号测度和$\sigma$有限测度。若$\varphi\ll\mu$，则存在$(X,\mathscr{F})$上的可测函数$f$满足：

\[\begin{equation*} \forall\;A\in\mathscr{F},\;\varphi(A)=\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu,\;\int_{A }f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu<+\infty \end{equation*}\]

且$f$在a.e.于$(X,\mathscr{F},\mu)$的意义下唯一。若$\varphi$是$\sigma$有限的，则$f$也是有限的。称满足上式条件的$f$为$\varphi$关于$\mu$的Radon-Nikodym导数，记作$\dfrac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}$。

证明. 因为$\mu$是$\sigma$有限测度，所以可取$(X,\mathscr{F})$的一个可列可测分割$\{A_n\}$，满足对任意的$n\in\mathbb{N}^+$有$\mu(A_n)<+\infty$。由性质 5.2.1(3)（单调性）和引理 5.9可知存在$(A_n,A_n\cap\mathscr{F})$上的可测函数$f_n$使得对任意的$A\in A_n\cap\mathscr{F}$有：

\[\begin{equation*} \int_{A}f_n^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu<+\infty,\quad\varphi(A)=\int_{A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

同时$f_n$在a.e.于$(A_n,A_n\cap\mathscr{F},\mu)$的意义下唯一，若$\varphi$在$(A_n,A_n\cap\mathscr{F})$上是$\sigma$有限的，则$f_n$也是有限的。取$f=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}f_n$，与引理 5.8完全一样的过程可以证明得到$f$是一个可测函数，在a.e.于$(X,\mathscr{F},\mu)$的意义下唯一且满足：

\[\begin{equation*} \forall\;A\in\mathscr{F},\;\varphi(A)=\int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu,\;\int_{A}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu<+\infty \end{equation*}\]

若$\varphi$是$\sigma$有限的，则由性质 5.6.1(1)(4)可得$\varphi$在$(A_n,A_n\cap\mathscr{F})$上是$\sigma$有限的，所以$f_n$在$A_n$上是有限的，于是$f$在$X$上是有限的。 ◻

引理 6.10 Lemma 5.10. 设$\varphi$和$\mu$是可测空间$(X,\mathscr{F})$上的$\sigma$有限测度，$\varphi\ll\mu$。对任意$(X,\mathscr{F})$上的可测函数$f$和任意的$A\in\mathscr{F}$，只要：

\[\begin{equation*} \int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi,\quad\int_{A}f(x)\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

之一有意义，二者一定相等。

证明. 使用典型方法进行证明。仅对上左侧式子有意义的情况进行证明，右侧有意义的情况可由等号的传递性得出。

由性质 5.3.3(1)可知：

\[\begin{equation*} \left\{\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}<0\right\}\in\mathscr{F} \end{equation*}\]

若上述集合关于$\mu$的测度大于$0$，由性质 5.4.2(2)(9)和性质 5.4.3(6)可得：

\[\begin{equation*} \varphi\left(\left\{\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}<0\right\}\right)=\int_{\left\{\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}<0\right\}}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu<0 \end{equation*}\]

与$\varphi$是测度相矛盾，所以有：

\[\begin{equation*} \mu\left(\left\{\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}<0\right\}\right)=0 \end{equation*}\]

(1)非负简单函数：设$f$是$(X,\mathscr{F})$上的非负简单函数，由性质 5.4.3(6)和定理 5.27可知：

\[\begin{align*} \int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi&=\sum_{i=1}^{n}c_i\varphi(A\cap E_i)=\sum_{i=1}^{n}\left[c_i\int_{A\cap E_i}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right] \\ &=\sum_{i=1}^{n}\left[\int_{A\cap E_i}f(x)\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]=\int_{A}f(x)\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{align*}\]

(2)非负可测函数：设$f$是$(X,\mathscr{F})$上的非负可测函数，根据性质 5.3.3(8)，取$(X,\mathscr{F})$上的非负简单函数列$\{f_n\}$满足$f_n\uparrow f$。由性质 5.4.2(4)和非负简单函数时的结论可得：

\[\begin{equation*} \int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi=\lim_{n\to+\infty}\left[\int_{A}f_n(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi\right]=\lim_{n\to+\infty}\left[\int_{A}f_n(x)\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right] \end{equation*}\]

因为$\mu\left(\left\{\dfrac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}<0\right\}\right)=0$，所以$f_n\dfrac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}$非负a.e.于$(X,\mathscr{F},\mu)$且有$f_n\dfrac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}\Big\uparrow f\dfrac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}$，由定理 5.23即可得到：

\[\begin{equation*} \int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi=\lim_{n\to+\infty}\left[\int_{A}f_n(x)\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}\mathop{}\!\mathrm{d}\mu\right]=\int_{A}f(x)\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

(3)一般可测函数：设$f$是$(X,\mathscr{F})$上的可测函数，由非负可测函数时的情形和性质 5.4.3(8)可得：

\[\begin{align*} \int_{A}f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi&=\int_{A}f^+(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi-\int_{A}f^-(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi=\int_{A}f^+(x)\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu-\int_{A}f^-(x)\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \\ &=\int_{A}\left[f(x)\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}(x)\right]^+\mathop{}\!\mathrm{d}\mu-\int_{A}\left[f(x)\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}(x)\right]^-\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}f(x)\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{align*}\]

◻

Property 5.6.3. 设$(X,\mathscr{F})$是一个可测空间。Radon-Nikodym导数的计算具有如下性质：

设$\varphi$是$(X,\mathscr{F})$上的符号测度，$\nu$和$\mu$是$(X,\mathscr{F})$上的$\sigma$有限测度且$\varphi\ll\nu\ll\mu$，则有：

\[\begin{equation*} \frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}=\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\nu}\cdot\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\nu}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}\;\text{a.e.于}(X,\mathscr{F},\nu) \end{equation*}\]
设$\nu$和$\mu$是$(X,\mathscr{F})$上的$\sigma$有限测度且$\nu\ll\mu$，则$\mu\ll\nu$当且仅当$\dfrac{\mathop{}\!\mathrm{d}\nu}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}>0\;$a.e.于$(X,\mathscr{F},\mu)$，此时有：

\[\begin{equation*} \frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\nu}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}\cdot\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}{\mathop{}\!\mathrm{d}\nu}=1\;\text{a.e.于}(X,\mathscr{F},\mu)\text{或}(X,\mathscr{F},\nu) \end{equation*}\]
若$\varphi$是$(X,\mathscr{F})$上的符号测度，$\mu$是$(X,\mathscr{F})$上的$\sigma$有限测度，$\varphi\ll\mu$，则对任意的$a\in\mathbb{R}^{}$有：

\[\begin{equation*} \frac{\mathop{}\!\mathrm{d}(a\varphi)}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}=a\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}\;\text{a.e.于}(X,\mathscr{F},\mu) \end{equation*}\]
若$\varphi,\psi$是$(X,\mathscr{F})$上的符号测度，$\mu$是$(X,\mathscr{F})$上的$\sigma$有限测度且$\varphi,\psi\ll\mu$。定义$(\varphi+\psi)(A)\coloneq\varphi(A)+\psi(A),\;\forall\;A\in\mathscr{F}$，如果$\varphi+\psi$也是$(X,\mathscr{F})$上的符号测度，则有：

\[\begin{equation*} \frac{\mathop{}\!\mathrm{d}(\varphi+\psi)}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}=\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}+\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\psi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}\;\text{a.e.于}(X,\mathscr{F},\mu) \end{equation*}\]
若$\varphi$是$(X,\mathscr{F})$上的符号测度，$\psi,\mu$是$(X,\mathscr{F})$上的$\sigma$有限测度，$\varphi\ll\psi\ll\mu$，则：

\[\begin{equation*} \frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\psi}=\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}\Big/\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\psi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu} \end{equation*}\]

证明. (1)因为$\varphi$是符号测度，$\nu$是$\sigma$有限测度且$\varphi\ll\nu$，根据定理 5.35可知存在$(X,\mathscr{F},\nu)$上在a.e.意义下唯一的可测函数$\dfrac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\nu}$使得：

\[\begin{equation*} \forall\;A\in\mathscr{F},\;\varphi(A)=\int_{A}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\nu}(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\nu \end{equation*}\]

由引理 5.10可得：

\[\begin{equation*} \varphi(A)=\int_{A}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\nu}(x)\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\nu}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

因为$\varphi$是符号测度，$\mu$是$\sigma$有限测度且$\varphi\ll\mu$，根据定理 5.35可知存在$(X,\mathscr{F},\mu)$上在a.e.意义下唯一的可测函数$\dfrac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}$使得：

\[\begin{equation*} \forall\;A\in\mathscr{F},\;\varphi(A)=\int_{A}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

因为$\nu\ll\mu$，所以在$(X,\mathscr{F},\mu)$上a.e.即在$(X,\mathscr{F},\nu)$上a.e.，于是有：

\[\begin{equation*} \frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\nu}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\nu}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}=\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}\;\text{a.e.于}(X,\mathscr{F},\nu) \end{equation*}\]

(2)因为$\nu\ll\mu$且$\nu$和$\mu$是$\sigma$有限测度，根据定理 5.35可知存在$(X,\mathscr{F},\mu)$上在a.e.意义下唯一的可测函数$\dfrac{\mathop{}\!\mathrm{d}\nu}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}$使得：

\[\begin{equation*} \forall\;A\in\mathscr{F},\;\nu(A)=\int_{A}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\nu}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

由引理 5.10中的论证可得：

\[\begin{equation*} \mu\left(\left\{\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\nu}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}<0\right\}\right)=0 \end{equation*}\]

必要性：取集合：

\[\begin{equation*} N=\left\{\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\nu}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}=0\right\} \end{equation*}\]

因为$\dfrac{\mathop{}\!\mathrm{d}\nu}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}$是可测函数，由性质 5.3.3(2)可知$N\in\mathscr{F}$。由简单函数的定义可知$\dfrac{\mathop{}\!\mathrm{d}\nu}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}$限制在$N$上时为非负简单函数，根据非负简单函数积分的定义可得到：

\[\begin{equation*} \nu(N)=\int_{N}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\nu}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=0 \end{equation*}\]

因为$\mu\ll\nu$，所以$\mu(N)=0$。由性质 5.2.1(1)可得：

\[\begin{equation*} \mu\left(\left\{\dfrac{\mathop{}\!\mathrm{d}\nu}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}\leqslant0\right\}\right)=\mu\left(\left\{\dfrac{\mathop{}\!\mathrm{d}\nu}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}<0\right\}\right)+\mu\left(\left\{\dfrac{\mathop{}\!\mathrm{d}\nu}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}=0\right\}\right)=0 \end{equation*}\]

所以$\dfrac{\mathop{}\!\mathrm{d}\nu}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}>0\;$a.e.于$(X,\mathscr{F},\mu)$。

充分性：若此时不满足$\mu\ll\nu$，即存在满足$\nu(A)=0$的$A\in\mathscr{F}$有$\mu(A)>0$。因为$\dfrac{\mathop{}\!\mathrm{d}\nu}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}>0\;$a.e.于$(X,\mathscr{F},\mu)$，由性质 5.4.3(8)和性质 5.4.2(2)(9)可得：

\[\begin{equation*} \nu(A)=\int_{A}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\nu}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu>0 \end{equation*}\]

与$\nu(A)=0$矛盾。

由引理 5.10可知：

\[\begin{equation*} \forall\;A\in\mathscr{F},\;\nu(A)=\int_{A}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\nu}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\nu}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}(x)\cdot\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}{\mathop{}\!\mathrm{d}\nu}(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\nu \end{equation*}\]

而：

\[\begin{equation*} \forall\;A\in\mathscr{F},\;\int_{A}1\mathop{}\!\mathrm{d}\nu=\nu(A) \end{equation*}\]

于是由性质 5.4.3(11)可得：

\[\begin{equation*} \frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\nu}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}\cdot\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}{\mathop{}\!\mathrm{d}\nu}=1\;\text{a.e.于}(X,\mathscr{F},\nu) \end{equation*}\]

因为$\mu\ll\nu$，所以上式成立也a.e.于$(X,\mathscr{F},\mu)$。

(3)根据性质 5.6.1(5)可知$a\varphi$也是一个符号测度。因为$\varphi\ll\mu$，由$a\varphi$的定义可得$a\varphi\ll\mu$，根据定理 5.35可知存在$(X,\mathscr{F},\mu)$上在a.e.意义下唯一的可测函数$\dfrac{\mathop{}\!\mathrm{d}(a\varphi)}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}$使得：

\[\begin{equation*} \forall\;A\in\mathscr{F},\;(a\varphi)(A)=a\varphi(A)=\int_{A}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}(a\varphi)}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

由性质 5.4.3(6)可知：

\[\begin{equation*} \varphi(A)=\int_{A}\frac{1}{a}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}(a\varphi)}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

根据定理 5.35可知：

\[\begin{equation*} \dfrac{1}{a}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}(a\varphi)}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}=\dfrac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}\;\text{a.e.于}(X,\mathscr{F},\mu) \end{equation*}\]

即：

\[\begin{equation*} \frac{\mathop{}\!\mathrm{d}(a\varphi)}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}=a\dfrac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}\;\text{a.e.于}(X,\mathscr{F},\mu) \end{equation*}\]

(4)因为$\varphi,\psi\ll\mu$，根据$\varphi+\psi$的定义可得$\varphi+\psi\ll\mu$。由定理 5.35可知存在$(X,\mathscr{F},\mu)$上在a.e.意义下唯一的可测函数$\dfrac{\mathop{}\!\mathrm{d}(\varphi+\psi)}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}$使得：

\[\begin{equation*} \forall\;A\in\mathscr{F},\;(\varphi+\psi)(A)=\varphi(A)+\psi(A)=\int_{A}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}(\varphi+\psi)}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

同理可得：

\[\begin{equation*} \varphi(A)=\int_{A}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu,\quad\psi(A)=\int_{A}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\psi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

由定理 5.35中Radon-Nikodym导数负部的可积性和性质 5.4.3(6)可得：

\[\begin{equation*} \varphi(A)+\psi(A)=\int_{A}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu+\int_{A}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\psi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}\left[\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}(x)+\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\psi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}(x)\right]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu \end{equation*}\]

根据定理 5.35可知：

\[\begin{equation*} \frac{\mathop{}\!\mathrm{d}(\varphi+\psi)}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}=\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}+\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\psi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}\;\text{a.e.于}(X,\mathscr{F},\mu) \end{equation*}\]

(5)对任意的$A\in\mathscr{F}$，由定理 5.35、性质 5.3.3(5.c)和引理 5.10可得：

\[\begin{equation*} \int_{A}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}(x)\Big/\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\psi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\psi=\int_{A}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}(x)\Big/\left[\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\psi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}(x)\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\psi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}(x)\right]\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\int_{A}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}(x)\mathop{}\!\mathrm{d}\mu=\varphi(A) \end{equation*}\]

根据定理 5.35可得：

\[\begin{equation*} \frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}\Big/\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\psi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\mu}=\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}\psi} \end{equation*}\]

◻

5.6.4 Lebesgue分解

Definition 5.53. 设$\varphi$和$\psi$是可测空间$(X,\mathscr{F})$上的符号测度。若存在$N\in\mathscr{F}$使得$|\varphi|(N^c)=|\psi|(N)=0$，则称$\varphi$和$\psi$是相互奇异（mutually singular）的，记作$\varphi\perp\psi$。

Definition 5.54. 设$\varphi$和$\psi$是可测空间$(X,\mathscr{F})$上的符号测度。若$|\varphi|\ll|\psi|$，则称$\varphi$对$\psi$绝对连续，记作$\varphi\ll\psi$。

Property 5.6.4. 设$\varphi$和$\psi$是可测空间$(X,\mathscr{F})$上的符号测度，则：

$\varphi\perp\psi$当且仅当存在$N\in\mathscr{F}$对任意的$A\in\mathscr{F}$有：

\[\begin{equation*} \varphi(A\cap N^c)=\psi(A\cap N)=0 \end{equation*}\]

且上述$N$即为使得$|\varphi|(N^c)=|\psi|(N)=0$的集合；
若$\varphi\ll\psi$且$\varphi\perp\psi$，则$\varphi=0$。

证明. (1)必要性：因为$\varphi\perp\psi$，所以存在$N\in\mathscr{F}$使得$|\varphi|(N^c)=|\psi|(N)=0$，即$\varphi^{\pm}(N^c)=\psi^{\pm}(N)=0$。对任意的$A\in\mathscr{F}$，由测度的非负性和性质 5.2.1(3)（单调性）可得：

\[\begin{gather*} \varphi(A\cap N^c)=\varphi^+(A\cap N^c)-\varphi^-(A\cap N^c)=0 \\ \psi(A\cap N^c)=\psi^+(A\cap N^c)-\psi^-(A\cap N^c)=0 \end{gather*}\]

充分性：取$N\in\mathscr{F}$使得对任意的$A\in\mathscr{F}$有$\varphi(A\cap N^c)=\psi(A\cap N)=0$。设$\{X_{\varphi}^+,X_{\varphi}^-\}$是$\varphi$的Hahn分解，由定理 5.33可知：

\[\begin{equation*} |\varphi|(N^c)=\varphi^+(N^c)+\varphi^-(N^c)=\varphi(N^c\cap X_{\varphi}^+)+\varphi(N^c\cap X_{\varphi}^-)=0 \end{equation*}\]

同理可得$|\psi|(N)=0$。

(2)取$N\in\mathscr{F}$使得$|\varphi|(N^c)=|\psi|(N)=0$。对任意的$A\in\mathscr{F}$，由测度的非负性、性质 5.1.6(2)和性质 5.2.1(3)（单调性）可得：

\[\begin{equation*} 0\leqslant|\varphi|(A\cap N^c)\leqslant|\varphi|(N^c)=0 \end{equation*}\]

\[\begin{equation*} |\varphi|(A)=|\varphi|(A\cap N^c)+|\varphi|(A\cap N)=0 \end{equation*}\]

所以$\varphi^{\pm}(A)=0$，$\varphi(A)=0$。 ◻

引理 6.11 Lemma 5.11. 设$\varphi,\mu$是可测空间$(X,\mathscr{F})$上的有限测度，则存在两个$(X,\mathscr{F})$上的有限测度$\varphi_c,\varphi_s$使得：

\[\begin{equation*} \varphi=\varphi_c+\varphi_s,\;\varphi_c\ll\mu,\;\varphi_s\perp\mu \end{equation*}\]

证明. 由定义可验证得到$\varphi+\mu$是一个测度，根据测度的非负性可知$\varphi\ll\varphi+\mu$，由定理 5.35可知对任意的$A\in\mathscr{F}$有：

\[\begin{equation*} 0\leqslant\varphi(A)=\int_{A}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}(\varphi+\mu)}(x)\mathop{}\!\mathrm{d}(\varphi+\mu)\leqslant\varphi(A)+\mu(A)=\int_{A}1\mathop{}\!\mathrm{d}(\varphi+\mu) \end{equation*}\]

根据性质 5.4.3(10)可知：

\[\begin{equation*} \frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}(\varphi+\mu)}\leqslant1\;\text{a.e.于}(X,\mathscr{F},\varphi+\mu) \end{equation*}\]

记：

\[\begin{equation*} N=\left\{\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}(\varphi+\mu)}=1\right\} \end{equation*}\]

由性质 5.3.3(2)可知$N\in\mathscr{F}$。根据性质 5.1.6(2)，对任意的$A\in\mathscr{F}$定义：

\[\begin{equation*} \varphi_c(A)=\varphi(A\cap N^c),\quad\varphi_s(A)=\varphi(A\cap N) \end{equation*}\]

根据定义和性质 5.2.1(3)（单调性）(1)可验证得到$\varphi_c,\varphi_s$都是有限测度，且有$\varphi=\varphi_c+\varphi_s$。

若$A\in\mathscr{F}$使得$\mu(A)=0$，则由性质 5.4.3(6)和性质 5.2.1(3)（单调性）可得：

\[\begin{equation*} \int_{A\cap N^c}\left[1-\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}(\varphi+\mu)}\right]\mathop{}\!\mathrm{d}(\varphi+\mu)=(\varphi+\mu)(A\cap N^c)-\varphi(A\cap N^c)=\mu(A\cap N^c)=0 \end{equation*}\]

注意到$1-\dfrac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}(\varphi+\mu)}>0\;$a.e.于$(A\cap N^c,A\cap N^c\cap\mathscr{F},\varphi+\mu)$，所以由性质 5.4.3(8)和性质 5.4.2(9)可知$(\varphi+\mu)(A\cap N^c)=0$。因为$\varphi\ll\varphi+\mu$，所以$\varphi_c(A)=\varphi(A\cap N^c)=0$，由$A$的任意性可得$\varphi_c\ll\mu$。

因为：

\[\begin{equation*} \varphi(N)=\int_{N}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi}{\mathop{}\!\mathrm{d}(\varphi+\mu)}(x)\mathop{}\!\mathrm{d}(\varphi+\mu)=\int_{N}1\mathop{}\!\mathrm{d}(\varphi+\mu)=\varphi(N)+\mu(N) \end{equation*}\]

所以$\mu(N)=0$。而：

\[\begin{equation*} \varphi_s(N^c)=\varphi(N^c\cap N)=\varphi(\varnothing)=0 \end{equation*}\]

所以$\varphi_s\perp\mu$。 ◻

引理 6.12 Lemma 5.12. 设$\varphi,\mu$是可测空间$(X,\mathscr{F})$上的$\sigma$有限测度，则存在两个$(X,\mathscr{F})$上的$\sigma$有限测度$\varphi_c,\varphi_s$使得：

\[\begin{equation*} \varphi=\varphi_c+\varphi_s,\;\varphi_c\ll\mu,\;\varphi_s\perp\mu \end{equation*}\]

证明. 取$(X,\mathscr{F})$的一个可列可测分割$\{A_n\}$满足：

\[\begin{equation*} \forall\;n\in\mathbb{N}^+,\;\varphi(A_n)<+\infty,\;\mu(A_n)<+\infty \end{equation*}\]

$\{A_n\}$的存在性由性质 5.2.1(3)（单调性）和性质 5.1.6(2)保证。根据性质 5.2.1(3)（单调性）可知$\varphi,\mu$限制在$(A_n,A_n\cap\mathscr{F})$上是有限测度，由引理 5.11可知存在$(A_n,A_n\cap\mathscr{F})$上的有限测度$\varphi_{cn}',\varphi_{sn}'$满足：

\[\begin{equation*} \varphi=\varphi_{cn}'+\varphi_{sn}',\;\varphi_{cn}'\ll\mu,\;\varphi_{sn}'\perp\mu \end{equation*}\]

将$\varphi_{cn},\varphi_{sn}$延拓到$(X,\mathscr{F})$上：

\[\begin{equation*} \forall\;A\in\mathscr{F},\; \varphi_{cn}(A)= \begin{cases} \varphi_{cn}'(A),&A\in A_n\cap\mathscr{F} \\ 0,&A\notin A_n\cap \mathscr{F} \end{cases},\; \varphi_{sn}(A)= \begin{cases} \varphi_{sn}'(A),&A\in A_n\cap\mathscr{F} \\ 0,&A\notin A_n\cap \mathscr{F} \end{cases} \end{equation*}\]

此时有$\varphi_{cn}\ll\mu,\;\varphi_{sn}\perp\mu$。对任意的$A\in\mathscr{F}$，定义：

\[\begin{equation*} \varphi_c=\sum_{n=1}^{+\infty}\varphi_{cn},\;\varphi_s=\sum_{n=1}^{+\infty}\varphi_{sn} \end{equation*}\]

则$\varphi=\varphi_c+\varphi_s$，由定义可以验证得到$\varphi_c,\varphi_s$是$(X,\mathscr{F})$上的$\sigma$有限测度。

若$A\in\mathscr{F}$使得$\mu(A)=0$，则：

\[\begin{equation*} \varphi_c(A)=\sum_{n=1}^{+\infty}\varphi_{cn}(A)=0 \end{equation*}\]

由$A$的任意性可得$\varphi_c\ll\mu$。

因为$\varphi_{sn}\perp\mu$，取$N_n\in A_n\cap\mathscr{F}$满足：

\[\begin{equation*} \mu(N_n)=\varphi_{sn}(A_n\setminus N_n)=0 \end{equation*}\]

令$N=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\cup}}N_n\in\mathscr{F}$，由测度的非负性、性质 5.2.1(3)（次可列可加性）、性质 5.1.6(2)、性质 5.2.1(1)、性质 3.2.12(4)、性质 5.1.1(6)和性质 5.2.1(3)（单调性）可得：

\[\begin{gather*} 0\leqslant\mu(N)\leqslant\sum_{n=1}^{+\infty}\mu(N_n)=0 \\ \begin{aligned} &0\leqslant\varphi_s(N^c)=\sum_{n=1}^{+\infty}\varphi_{sn}(N^c)=\sum_{n=1}^{+\infty}\varphi_{sn}(N^c\cap A_n) \\ =&\sum_{n=1}^{+\infty}\varphi_{sn}(A_n\setminus N)\leqslant\sum_{n=1}^{+\infty}\varphi_{sn}(A_n\setminus N_n)=0 \end{aligned} \end{gather*}\]

所以$\mu(N)=\varphi_s(N^c)=0$，即$\varphi_s\perp\mu$。 ◻

引理 6.13 Lemma 5.13. 设$\varphi,\mu$分别是可测空间$(X,\mathscr{F})$上的$\sigma$有限符号测度和$\sigma$有限测度，则存在两个$(X,\mathscr{F})$上的$\sigma$有限符号测度$\varphi_c,\varphi_s$使得：

\[\begin{equation*} \varphi=\varphi_c+\varphi_s,\;\varphi_c\ll\mu,\;\varphi_s\perp\mu \end{equation*}\]

并且这样的分解是唯一的。

证明. 存在性：取$\varphi$的Jordan分解$\varphi^{\pm}$。因为$\varphi$是$(X,\mathscr{F})$上的$\sigma$有限符号测度，根据定理 5.34可知$\varphi^-$是有限测度，所以$\varphi^+$是$\sigma$有限测度。由引理 5.12可知存在$(X,\mathscr{F})$上的$\sigma$有限测度$\varphi_c^{\pm},\varphi_s^{\pm}$使得：

\[\begin{equation*} \varphi^{\pm}=\varphi_c^{\pm}+\varphi_s^{\pm},\;\varphi_c^{\pm}\ll\mu,\;\varphi_s^{\pm}\perp\mu \end{equation*}\]

记：

\[\begin{equation*} \varphi_c=\varphi_c^+-\varphi_c^-,\quad\varphi_s=\varphi_s^+-\varphi_s^- \end{equation*}\]

则$\varphi=\varphi_c+\varphi_s$。由性质 5.2.1(3)（单调性）和性质 5.1.6(2)可知$\varphi_c$和$\varphi_s$是$\sigma$有限符号测度。

任取$A\in\mathscr{F}$使得$\mu(A)=0$，因为$\varphi_c^{\pm}\ll\mu$，所以：

\[\begin{equation*} \varphi_c(A)=\varphi_c^+(A)-\varphi_c^-(A)=0 \end{equation*}\]

由$A$的任意性可得$\varphi_c\ll\mu$。

取$N^{\pm}\in\mathscr{F}$满足$\mu(N^{\pm})=\varphi_s^{\pm}[(N^{\pm})^c]=0$，由性质 5.1.6(3)可知$N=N^+\cup N^-\in\mathscr{F}$，根据测度的非负性、性质 5.2.1(3)（次有限可加性）、性质 5.1.1(7)和性质 5.2.1(3)（单调性）可得：

\[\begin{gather*} 0\leqslant\mu(N)\leqslant\mu(N^+)+\mu(N^-)=0 \\ 0\leqslant\varphi_s^{\pm}(N^c)=\varphi_s^{\pm}[(N^+\cup N^-)^c]=\varphi_s^{\pm}[(N^+)^c\cap (N^-)^c]\leqslant\varphi_s^{\pm}[(N^{\pm})^c]=0 \\ 0\leqslant\varphi_s(N^c)=\varphi_s^+(N^c)-\varphi_s^-(N^c)=0 \end{gather*}\]

所以$\mu(N)=\varphi_s(N^c)=0$，即$\varphi_s\perp\mu$。

唯一性：对$i=1,2$，设$\sigma$有限符号测度$\varphi_{ci},\varphi_{si}$满足：

\[\begin{equation*} \varphi=\varphi_{ci}+\varphi_{si},\;\varphi_{ci}\ll\mu,\;\varphi_{si}\perp\mu \end{equation*}\]

根据性质 5.6.4(1)，取$N_i$使得：

\[\begin{equation*} \mu(N_i)=0,\quad\forall\;A\in\mathscr{F},\;\varphi_{si}(A\cap N_i^c)=0 \end{equation*}\]

令$N=N_1\cup N2$，则由测度的非负性和性质 5.2.1(3)（次有限可加性，单调性）可得$\mu(N)=0$且对任意的$A\in\mathscr{F}$有$\mu(A\cap N)=0$。因为$\varphi_{ci}\ll\mu$，所以$\varphi_{ci}(A\cap N)=0$。由性质 5.1.1(7)和性质 5.1.6(2)可知：

\[\begin{gather*} \varphi_{s1}(A\cap N^c)=\varphi_{s1}[A\cap(N_1\cup N_2)^c]=\varphi_{s1}(A\cap N_2^c\cap N_1^c)=0 \\ \varphi_{s2}(A\cap N^c)=\varphi_{s2}[A\cap(N_1^\cup N_2)^c]=\varphi_{s2}(A\cap N_1^c\cap N_2^c)=0 \\ \end{gather*}\]

所以由性质 5.2.1(1)：

\[\begin{align*} &\varphi_{c1}(A)=\varphi_{c1}(A\cap N)+\varphi_{c1}(A\cap N^c)=\varphi_{c1}(A\cap N^c)=\varphi_{c1}(A\cap N^c)+\varphi_{s1}(A\cap N^c) \\ =&\varphi(A\cap N^c)=\varphi_{c2}(A\cap N^c)+\varphi_{s2}(A\cap N^c)=\varphi_{c2}(A\cap N^c)=\varphi_{c2}(A\cap N^c)+\varphi_{c2}(A\cap N) \\ =&\varphi_{c2}(A) \end{align*}\]

同理可得$\varphi_{s1}(A)=\varphi_{s2}(A)$。由$A$的任意性可知$\varphi_{c1}=\varphi_{c2},\;\varphi_{s1}=\varphi_{s2}$，唯一性得证。 ◻

Theorem 5.36. （Lebesgue Decomposition）

设$\varphi$和$\psi$是可测空间$(X,\mathscr{F})$上的$\sigma$有限符号测度，则存在两个$(X,\mathscr{F})$上的$\sigma$有限符号测度$\varphi_c,\varphi_s$使得：

\[\begin{equation*} \varphi=\varphi_c+\varphi_s,\;\varphi_c\ll\psi,\;\varphi_s\perp\psi \end{equation*}\]

并且这样的分解是唯一的。

证明. 因为$\psi$是$\sigma$有限符号测度，由$|\psi|=\psi^++\psi^-$和测度的定义可以验证得到$|\psi|$是$\sigma$有限测度，根据引理 5.13可知存在$(X,\mathscr{F})$上的$\sigma$有限符号测度$\varphi_c,\varphi_s$使得：

\[\begin{equation*} \varphi=\varphi_c+\varphi_s,\;\varphi_c\ll|\psi|,\;\varphi_s\perp|\psi| \end{equation*}\]

并且这样的分解是唯一的。显然有$\varphi_c\ll\psi,\;\varphi_s\perp\psi$。 ◻

5.7 乘积空间

5.7.1 集族与函数

Definition 5.55. 设$\{(X_t,\mathscr{F}_t):t\in T\}$是一族可测空间，称：

\[\begin{equation*} \prod_{t\in T}^{}X_t=\Big\{x=\{x_t,t\in T\}:\forall\;t\in T,\;x_t\in X_t\Big\} \end{equation*}\]

为$\{X_t:t\in T\}$的乘积空间（product space）。设$S\subseteq T$，称从$\prod\limits_{t\in T}^{}X_t$到$\prod\limits_{t\in S}^{}X_t$的映射：

\[\begin{equation*} \pi_S(\{x_t,t\in T\})=\{x_t,t\in S\} \end{equation*}\]

为投影映射。记由$T$的所有含有有限个元素的子集构成的集族为$\mathcal{D}$（特别的，记由$T$的所有含有$n$个元素的子集构成的集族为$\mathcal{D}_n$），称：

\[\begin{equation*} \mathscr{D}=\underset{S\in\mathcal{D}}{\overset{}{\bigcup}}\left\{\pi_S^{-1}\left(\prod_{t\in S}^{}A_t\right)=\left(\prod_{t\in S}^{}A_t\right)\times\left(\prod_{t\notin S}^{}X_t\right):\forall\;t\in T,\;A_t\in\mathscr{F}_t\right\} \end{equation*}\]

为有限维可测矩形柱集（finite-dimensional rectangular cylinder set），记：

\[\begin{equation*} \prod_{t\in T}^{}\mathscr{F}_t=\sigma(\mathscr{D}) \end{equation*}\]

并称$\sigma(\mathscr{D})$为$\{\mathscr{F}_t\}$的乘积，称$\left(\prod\limits_{t\in T}^{}X_t,\prod\limits_{t\in T}^{}\mathscr{F}_t\right)$为$\{(X_t,\mathscr{F}_t):t\in T\}$的乘积。对任意的$S_n\in\mathcal{D}_n$，定义：

\[\begin{equation*} \prod_{t\in S_n}^{}\mathscr{F}_t=\sigma\left(\left\{\prod_{t\in S_n}^{}A_t:\forall\;t\in S_n,\;A_t\in\mathscr{F}_t\right\}\right) \end{equation*}\]

称：

\[\begin{equation*} \mathscr{A}=\underset{S\in\mathcal{D}}{\overset{}{\bigcup}}\left\{\pi_S^{-1}(A):\forall\;A\in\prod_{t\in S}^{}\mathscr{F}_t\right\} \end{equation*}\]

为有限维可测柱集（finite-dimensional measurable cylinder set）。记$\mathcal{T}$中所有含有可列个元素的子集构成的集族为$\mathcal{N}$，定义：

\[\begin{equation*} \mathscr{F}_0=\underset{S\in\mathcal{N}}{\overset{}{\bigcup}}\left\{\pi_S^{-1}\left(\prod_{t\in S}^{}A_t\right):\forall\;t\in S,\;A_t\in\mathscr{F}_t\right\} \end{equation*}\]

Property 5.7.1. 有限维可测矩形柱集和有限维可测柱集有如下性质：

对任意的$n\in\mathbb{N}^+$和$S_n\in\mathcal{D}_n$，集族：

\[\begin{equation*} \mathscr{D}_{S_n}\coloneq\left\{\prod_{t\in S_n}^{}A_t:\forall\;t\in S_n,\;A_t\in\mathscr{F}_t\right\} \end{equation*}\]

是半环；
$\mathscr{D}$是半代数；
$\mathscr{D}\subseteq\mathscr{A}$；
$\mathscr{A}$是域；
$\prod\limits_{t\in T}^{}\mathscr{F}_t=\sigma\left(\underset{t\in T}{\bigcup}^{}\pi_t^{-1}\mathscr{F}_t\right)=\sigma(\mathscr{A})=\mathscr{F}_0$未完成。

证明. (1)对任意的$t\in S_n$取$A_t=\varnothing$，则：

\[\begin{equation*} \prod_{t\in S_n}^{}A_t=\varnothing\in\mathscr{D}_{S_n} \end{equation*}\]

任取$A,B\in\mathscr{D}_{S_n}$，有：

\[\begin{equation*} A=\prod_{t\in S_n}^{}A_t,\;B=\prod_{t\in S_n}^{}B_t,\quad\forall\;t\in S_n,\;A_t,B_t\in\mathscr{F}_t \end{equation*}\]

则由性质 5.1.6(2)可得：

\[\begin{equation*} A\cap B=\prod_{t\in S_n}^{}(A_t\cap B_t)\in\mathscr{D}_{S_n} \end{equation*}\]

若$B\subseteq A$，则有：

\[\begin{equation*} A\setminus B=\left\{\prod_{}^{}C_t:C_t\in\{B_t,A_t\setminus B_t:t\in S_n\}\right\}\Big\backslash\prod_{t\in S_n}^{}B_t \end{equation*}\]

由性质 5.1.6(4)(3)可知$A_t\setminus B_t\in\mathscr{F}_t$，于是$A\setminus B$可以表示为$\mathscr{D}_{S_n}$中$2^n-1$个互不相交元素的并集。

综上，由性质 5.1.3(2)可知$\mathscr{D}_{S_n}$是半环。

(2)由定义即可得到$\prod\limits_{t\in T}^{}X_t\in\mathscr{D}$，下面只需证明$\mathscr{D}$是一个半环。

对任意的$t\in S$取$A_t=\varnothing$，由定理 3.14(1)可得：

\[\begin{equation*} \pi_S^{-1}\left(\prod_{t\in S}^{}A_t\right)=\varnothing\in\mathscr{D} \end{equation*}\]

对于任意的$A,B\in\mathscr{D}$，存在$m,n\in\mathbb{N}^+$和$S_m\in\mathcal{D}_m,S_n\in\mathcal{D}_n$使得：

\[\begin{gather*} A=\pi_{S_m}^{-1}\left(\prod_{t\in S_m}^{}A_t\right)=\left(\prod_{t\in S_m}^{}A_t\right)\times\left(\prod_{t\notin S_m}^{}X_t\right) \\ B=\pi_{S_n}^{-1}\left(\prod_{t\in S_n}^{}B_t\right)=\left(\prod_{t\in S_n}^{}B_t\right)\times\left(\prod_{t\notin S_n}^{}X_t\right) \end{gather*}\]

记：

\[\begin{equation*} S=S_m\cup S_n,\quad\hat{A}_t= \begin{cases} A_t,&t\in S_m \\ X_t,&t\in S\setminus S_m \end{cases},\quad\hat{B}_t= \begin{cases} B_t,&t\in S_n \\ X_t,&t\in S\setminus S_n \end{cases} \end{equation*}\]

则：

\[\begin{equation*} \prod_{t\in S}^{}\hat{A}_t,\prod_{t\in S}^{}\hat{B}_t\in\mathscr{D}_S \end{equation*}\]

由(1)可知$\mathscr{D}_S$是半环，于是：

\[\begin{equation*} A\cap B=\left(\prod_{t\in S}^{}\hat{A}_t\bigcap\prod_{t\in S}^{}\hat{B}_t\right)\times\prod_{t\notin S}^{}X_t=\prod_{t\in S}^{}(\hat{A}_t\cap\hat{B}_t)\times\prod_{t\notin S}^{}X_t\in\mathscr{D} \end{equation*}\]

若$B\subseteq A$，则：

\[\begin{equation*} A\setminus B=\left(\prod_{t\in S}^{}\hat{A}_t\Big\backslash\prod_{t\in S}^{}\hat{B}_t\right)\times\prod_{t\notin S}^{}X_t \end{equation*}\]

可以表示为$\mathscr{D}$中有限个互不相交的元素的并集。

综上，由性质 5.1.3(2)可知$\mathscr{D}$是半代数。

(3)由定义立即可得。

(4)由定义即可得到$\prod\limits_{t\in T}^{}X_t\in\mathscr{A}\in\mathscr{A}$，由定理 5.3可知只需证明$\mathscr{A}$是一个环。

任取$A,B\in\mathscr{A}$，则存在$m,n\in\mathbb{N}^+$、$S_m\in \mathcal{D}_m,,S_n\in\mathcal{D}_n$和$\tilde{A}\in\prod\limits_{t\in S_m}^{}X_t,\tilde{B}\in\prod\limits_{t\in S_n}^{}X_t$满足：

\[\begin{equation*} A=\pi_{S_m}^{-1}\tilde{A},\;B=\pi_{S_n}^{-1}\tilde{B} \end{equation*}\]

记$S=S_m\cup S_n$和：

\[\begin{gather*} \hat{A}=\Big\{\{x_t:t\in S\}:\forall\;t\in S_m,\;x_t\in\tilde{A},\;\forall\;t\in S\setminus S_m,\;x_t\in X_t\Big\} \\ \hat{B}=\Big\{\{x_t:t\in S\}:\forall\;t\in S_n,\;x_t\in\tilde{B},\;\forall\;t\in S\setminus S_n,\;x_t\in X_t\Big\} \end{gather*}\]

则$A=\pi_{S}^{-1}\hat{A},B=\pi_{S}^{-1}\hat{B}\in\prod\limits_{t\in S}\mathscr{F}_t$。由定理 3.14(4)(3)、性质 5.1.6(3)(2)和性质 5.1.1(6)可得：

\[\begin{gather*} A\cup B=\pi_{S}^{-1}\hat{A}\cup\pi_{S}^{-1}\hat{B}=\pi_{S}^{-1}(\hat{A}\cup\hat{B})\in\mathscr{A} \\ A\setminus B=\pi_{S}^{-1}\hat{A}\setminus\pi_{S}^{-1}\hat{B}=\pi_{S}^{-1}\hat{A}\cap(\pi_{S}^{-1}\hat{B})^c=\pi_{S}^{-1}\hat{A}\cap\pi_{S}^{-1}\hat{B}^c=\pi_{S}^{-1}(\hat{A}\cap\hat{B}^c)\in\mathscr{A} \end{gather*}\]

综上，$\mathscr{A}$是环。 ◻

Property 5.7.2. 设$S\subseteq T$。从$\prod\limits_{t\in T}^{}X_t$到$\prod\limits_{t\in S}^{}X_t$上的投影映射$\pi_S$是$\left(\prod\limits_{t\in T}^{}X_t,\prod\limits_{t\in T}^{}\mathscr{F}_t\right)$到$\left(\prod\limits_{t\in S}^{}X_t,\prod\limits_{t\in S}^{}\mathscr{F}_t\right)$上的可测映射。

证明. 由性质 5.7.1(5)可得：

\[\begin{equation*} \prod_{t\in S}^{}\mathscr{F}_t=\sigma\left(\underset{t\in S}{\bigcup}^{}\pi_t^{-1}\mathscr{F}_t\right) \end{equation*}\]

根据定理 3.14(4)和性质 5.7.1(5)可得：

\[\begin{equation*} \pi_S^{-1}\left[\underset{t\in S}{\bigcup}^{}\pi_t^{-1}\mathscr{F}_t\right]=\underset{t\in S}{\bigcup}^{}[\pi_S^{-1}(\pi_t^{-1}\mathscr{F}_t)]=\underset{t\in S}{\bigcup}^{}\pi_t^{-1}\mathscr{F}_t\in\underset{t\in T}{\bigcup}^{}\pi_t^{-1}\mathscr{F}_t\subseteq\prod_{t\in T}^{}\mathscr{F}_t \end{equation*}\]

由性质 5.3.1(1)即可得出结论。 ◻

Theorem 5.37. $f=\{f_t:t\in T\}$是从可测空间$(X,\mathscr{F})$到可测空间$\left(\prod\limits_{t\in T}^{}X_t,\prod\limits_{t\in T}^{}\mathscr{F}_t\right)$的可测映射当且仅当对任意的$t\in T$，$f_t$是从$(X,\mathscr{F})$到$(X_t,\mathscr{F}_t)$上的可测映射。

证明. (1)必要性：因为$f_t=\pi_t\circ f$，由性质 5.7.2和性质 5.3.1(2)可知$f_t$是从$(X,\mathscr{F})$到$(X_t,\mathscr{F}_t)$上的可测映射。

(2)充分性：设$S\in\mathcal{N}$，对任意的$t\in S$取$A_t\in\mathscr{F}_t$，因为：

\[\begin{equation*} f^{-1}\left[\pi_S^{-1}\left(\prod_{t\in S}^{}A_t\right)\right]=\underset{t\in S}{\bigcap}f_t^{-1}A_t \end{equation*}\]

由性质 5.1.6(2)、性质 5.7.1(5)和性质 5.3.1(1)即可得出结论。 ◻

5.7.2 多维L-S测度

Definition 5.56. 设$F:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{}$。若$F$满足：

对任意的$i=1,2,\dots,n$和任意的$x_1,x_2,\dots,x_{i-1},x_{i+1},\dots,x_n\in\mathbb{R}^{}$，$F$作为第$i$个变量的函数右连续；
对任意的$a=(a_1, a_2, \dots, a_{n})\in\mathbb{R}^{n}$和$b=(b_1, b_2, \dots, b_{n})\in\mathbb{R}^{n}$，记：

\[\begin{gather*} C=\Big\{c=(c_1, c_2, \dots, c_{n}):c_i\in\{a_i,b_i\},\;\forall\;i=1,2,\dots,n\Big\} \\ n(c)=\Big|\Big\{i\in\{1,2,\dots,n\}:c_i=a_i\Big\}\Big| \end{gather*}\]

当$a\leqslant b$时有：

\[\begin{equation*} \sum_{c\in C}^{}(-1)^{n(c)}F(c)\geqslant0 \end{equation*}\]

则称$F$为$\mathbb{R}^{n}$上的准分布函数（quasi-distribution function）。

note 5.10. 由定理 6.1证明中的(3)可以直观感受到上述定义第二条的含义。

Theorem 5.38. 设$X=\mathbb{R}^{n}$，$\mathscr{A}=\{(a,b]:a,b\in\mathbb{R}^{n}\}$，$F$是$\mathbb{R}^{n}$上的准分布函数。令：

\[\begin{equation*} \mu\Big((a,b]\Big)= \begin{cases} \sum\limits_{c\in C}^{}(-1)^{n(c)}F(c),&a<b \\ 0,&a\geqslant b \end{cases} \end{equation*}\]

则$\mu$是$(X,\mathscr{A})$上的测度。

Definition 5.57. 根据性质 5.1.3(3)、定理 5.15（条件是显然满足的）和性质 5.1.7(1.b)可知$\mu$在$\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})=\sigma(\{(a,b]:a,b\in\mathbb{R}^{n}\})$上存在唯一的扩张$\lambda_F$，$\lambda_F$是$\mu$生成的外测度且是$\sigma$有限测度。记$\mathbb{R}^{n}$上所有$\lambda_F$可测集构成的集族为$\mathscr{F}_{\lambda_F}$，称$\mathscr{F}_{\lambda_F}$中的集合为Lebesgue-Stieljes可测集，简称为L-S可测集，称$\lambda_F$为$\mathbb{R}^{n}$上的L-S测度。特别的，当$F(x_1, x_2, \dots, x_{n})=\prod\limits_{i=1}^{n}x_i$时，称$\mathscr{F}_{\lambda_F}$中的集合为Lebesgue可测集，简称为L可测集，称$\lambda_F$为$\mathbb{R}^{n}$上的L测度。将L测度就记作$\lambda$，对应的$\lambda$可测集记为$\mathscr{F}_{\lambda}$。

Property 5.7.3. L-S测度$\lambda_F$有如下性质：

$\lambda_F$是由$F$引出的半环$\mathscr{A}=\{(a,b]:a,b\in\mathbb{R}^{n}\}$上的测度$\mu$在$\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$上唯一的扩张，且是$\mu$生成的外测度，同时$\lambda_F$是$\sigma$有限测度；
$(\mathbb{R}^{n},\mathscr{F}_{\lambda_F},\lambda_F)$是一个完全测度空间，且是$(\mathbb{R}^{n},\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n}),\lambda_F)$的完全化；
$\mathscr{F}_{\lambda_F}$中包含所有$\lambda_F$零测集；
对任意的$A\in\mathscr{F}_{\lambda_F}$，存在$B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$使得$A\subseteq B$且$\lambda_F(A)=\lambda_F(B)$；
对任意的$A\in\mathscr{F}_{\lambda_F}$，存在$B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$使得$A\subseteq B$且$\lambda_F(B\setminus A)=0$。

证明. (1)无需重述。

(2)由(1)和定理 5.14可知$(\mathbb{R}^{n},\mathscr{F}_{\lambda_F},\lambda_F)$构成一个完全测度空间，根据定理 5.18即可得到$(\mathbb{R}^{n},\mathscr{F}_{\lambda_F},\lambda_F)$是$(\mathbb{R}^{n},\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n}),\lambda_F)$的完全化。

(3)由定理 5.14的证明过程即可得到。

(4)由定理 5.16(1)和(1)即可得到。

(5)由定理 5.16(2)和(1)即可得到。 ◻

5.7.3 Fubini定理

Theorem 5.39. 设$(X_1,\mathscr{F}_1,\mu_1),(X_2,\mathscr{F}_2,\mu_2),\dots,(X_n,\mathscr{F}_n,\mu_n)$是$\sigma$有限测度空间，则：

在乘积空间$\left(\prod\limits_{i=1}^{n}X_i,\prod\limits_{i=1}^{n}\mathscr{F}_i\right)$上存在唯一的测度$\mu$使得对任意的$A_i\in\mathscr{F}_i$有：

\[\begin{equation*} \mu\left(\prod_{i=1}^{n}A_i\right)=\prod_{i=1}^{n}\mu_i(A_i) \end{equation*}\]

且$\mu$是$\sigma$有限的，称$\mu$为$\mu_1, \mu_2, \dots, \mu_{n}$的乘积测度，记作$\prod\limits_{i=1}^{n}\mu_i$；
对$\left(\prod\limits_{i=1}^{n}X_i,\prod\limits_{i=1}^{n}\mathscr{F}_i,\prod\limits_{i=1}^{n}\mu_i\right)$上任何积分存在的可测函数$f$和$1,2,\dots,n$的任一重排$k_1, k_2, \dots, k_{n}$有：

\[\begin{equation*} \int_{\prod\limits_{i=1}^{n}X_i}f(x_1, x_2, \dots, x_{n})\mathop{}\!\mathrm{d}\left(\prod_{i=1}^{n}\mu_i\right)=\int_{X_{k_1}}\mathop{}\!\mathrm{d}\mu_{k_1}\int_{X_{k_2}}\cdots\int_{X_{k_n}}f(x_1, x_2, \dots, x_{n})\mathop{}\!\mathrm{d}\mu_{k_n} \end{equation*}\]

从今往后，对任何的$\varepsilon>0$和$n\in\mathbb{N}^+$，$f_n(x)-f(x)$没有定义的$x\in X$也计入集合$\{|f_n-f|\geqslant\varepsilon\}$，在这些点上自然无法说$\lim\limits_{n\to+\infty}f_n$等于$f$。为简明起见，不对这些点的情况作特殊说明。↩︎
请关注$\alpha$为正无穷时的证明，尤其需要关注定性无穷与定量无穷的区别。↩︎
下面所涉及的结论都是关于第一种情况的，对于第二种情况只需取$-\varphi$即可得到相关结果。↩︎

5.1 集合与集族

5.1.1 集合相关

5.1.1.1 集合的关系

5.1.1.2 集合的运算

5.1.2 重要集族

5.1.2.1 \(\pi\)系、半环、半代数、环、域

5.1.2.2 单调系、\(\lambda\)系、\(\sigma\)环、\(\sigma\)域

5.1.2.3 集族的关系总结

5.1.3 集族的生成

5.1.4 Borel\(\;\sigma\)域

5.2 测度空间

5.2.1 集函数与测度

5.2.1.1 半环上的非负集函数

5.2.1.2 测度

5.2.2 外测度

5.2.3 测度的扩张

5.2.4 测度空间的完全化

5.2.5 L-S测度与L测度

5.3 可测映射与可测函数

5.3.1 可测映射

5.3.2 可测函数

5.3.2.1 简单函数

5.3.2.2 可测函数的性质

5.3.3 可测函数的收敛性

5.3.3.1 几乎处处收敛

5.3.3.2 几乎一致收敛

5.3.3.3 依测度收敛

5.3.3.4 收敛性之间的关系

5.4 积分论

5.4.1 非负简单函数的积分

5.4.2 非负可测函数的积分

5.4.3 一般可测函数的积分

5.5 \(L_p\)与\(L_{\infty}\)

5.5.1 \(L_p\)

5.5.1.1 \(L_p(X,\mathscr{F},\mu)\)上的距离

5.5.1.2 \(L_p(X,\mathscr{F},\mu)\)上的范数

5.5.2 \(L_{\infty}\)

5.5.2.1 \(L_{\infty}\)上的距离

5.5.2.2 \(L_{\infty}\)上的范数

5.5.3 收敛性

5.6 不定积分

5.6.1 符号测度

5.6.2 Hahn, Jordan分解

5.6.3 Radon-Nikodym导数

5.6.4 Lebesgue分解

5.7 乘积空间

5.7.1 集族与函数

5.7.2 多维L-S测度

5.7.3 Fubini定理