符号与记号说明

\(0\)

基础数学符号

数学记号	LaTeX	含义	适用范围
\(\dif\)	\dif	直立微分符号 用于积分、测度微分与方向微分。	全项目
\(\leqslant,\;\geqslant\)	\leqslant,\;\geqslant	宽体不等号 小于等于与大于等于。	全项目
\(\varepsilon\)	\varepsilon	epsilon 字形 极限、误差与随机误差中的 epsilon。	全项目
\(\coloneq\)	\coloneq	定义等号 表示左侧对象由右侧定义。	全项目
\(\mathbb{R}^{},\;\mathbb{C},\;\mathbb{Q},\;\mathbb{Z},\;\mathbb{N}^{+}\)	\mathbb{R}^{},\;\mathbb{C},\;\mathbb{Q},\;\mathbb{Z},\;\mathbb{N}^{+}	常用数系 实数、复数、有理数、整数与正整数。	全项目
\(\seq{x}{n}\)	\seq{x}{n}	有限展开元组 展开为 x_1,x_2,\dots,x_n 的有限有序对象。	全项目
\(\{x_n\},\;\{A_n\},\;\{f_n\}\)	\{x_n\},\;\{A_n\},\;\{f_n\}	序列与集合列 数列、集合列或函数列。	分析、测度论、概率论
\(||x||,\;||x||_p,\;||x||_X\)	||x||,\;||x||_p,\;||x||_X	范数 范数及带阶数或空间下标的范数。	线性代数、泛函分析、测度论、优化
\(A^{\top},\;A^H\)	A^{\top},\;A^H	转置与 Hermitian 转置 矩阵或向量的实转置与共轭转置。	线性代数、多元统计、线性模型

集合、测度与概率

数学记号	LaTeX	含义	适用范围
\(\operatorname{E},\;\operatorname{Var},\;\operatorname{Cov},\;\operatorname{Corr}\)	\operatorname{E},\;\operatorname{Var},\;\operatorname{Cov},\;\operatorname{Corr}	矩与相关算子 期望、方差、协方差与相关系数。	概率论、统计学
\((X,\mathscr{A}),\;(X,\mathscr{F},\mu),\;(X,\mathscr{F},P)\)	(X,\mathscr{A}),\;(X,\mathscr{F},\mu),\;(X,\mathscr{F},P)	可测、测度与概率空间 底层集合、sigma 域以及测度或概率测度组成的空间。	测度论、概率论
\(\sigma(\mathscr{C}),\;\sigma(f)\)	\sigma(\mathscr{C}),\;\sigma(f)	生成 sigma 域 包含给定集族或使给定映射可测的最小 sigma 域。	测度论、概率论、统计学
\(\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\)	\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})	Borel sigma 域 欧氏空间上由开集生成的 sigma 域。	测度论、概率论
\(\mathscr{P}(X)\)	\mathscr{P}(X)	幂集 集合 X 的全部子集组成的集合。	集合论、测度论
\(\dfrac{\dif\varphi}{\dif\mu},\;p_{\theta}=\dfrac{\dif P_{\theta}}{\dif\mu}\)	\dfrac{\dif\varphi}{\dif\mu},\;p_{\theta}=\dfrac{\dif P_{\theta}}{\dif\mu}	Radon–Nikodym 导数 符号测度或参数概率测度关于控制测度的密度。	测度论、数理统计
\(I_A(x),\;I(x\in A),\;I_A\)	I_A(x),\;I(x\in A),\;I_A	指示函数 事件或集合的指示函数。	测度论、概率论、因果推断
\(\operatorname{E}(f|\mathscr{A}),\;\operatorname{E}(f\mid g)\)	\operatorname{E}(f|\mathscr{A}),\;\operatorname{E}(f\mid g)	条件期望 关于子 sigma 域或随机变量的条件期望。	概率论、统计学
\(L_p(X,\mathscr{F},\mu),\;L_p(E),\;L_{\infty}(E),\;l^1\)	L_p(X,\mathscr{F},\mu),\;L_p(E),\;L_{\infty}(E),\;l^1	函数与序列空间 可积函数等价类空间以及绝对可和序列空间。	测度论、概率论、时间序列
\(f_n\overset{\text{a.e.}}{\longrightarrow}f,\;f_n\overset{\mu}{\longrightarrow}f,\;f_n\overset{L_p}{\longrightarrow}f\)	f_n\overset{\text{a.e.}}{\longrightarrow}f,\;f_n\overset{\mu}{\longrightarrow}f,\;f_n\overset{L_p}{\longrightarrow}f	可测函数的收敛 几乎处处、依测度与 Lp 平均收敛。	测度论、函数空间
\(X_n\overset{a.s.}{\longrightarrow}X,\;X_n\overset{P}{\longrightarrow}X,\;X_n\overset{w}{\longrightarrow}X,\;X_n\overset{d}{\longrightarrow}X\)	X_n\overset{a.s.}{\longrightarrow}X,\;X_n\overset{P}{\longrightarrow}X,\;X_n\overset{w}{\longrightarrow}X,\;X_n\overset{d}{\longrightarrow}X	随机变量的收敛 几乎必然、依概率、弱收敛与依分布收敛。	概率论、渐近统计
\(T_n\overset{a}{\longrightarrow}\operatorname{N}(\mu_n,\sigma_n^2)\)	T_n\overset{a}{\longrightarrow}\operatorname{N}(\mu_n,\sigma_n^2)	渐近分布近似 统计量以给定分布族作渐近近似。	渐近统计、参数估计
\(\text{a.e.于}(X,\mathscr{F},\mu),\;\text{a.s.于}(X,\mathscr{F},P)\)	\text{a.e.于}(X,\mathscr{F},\mu),\;\text{a.s.于}(X,\mathscr{F},P)	几乎处处与几乎必然 相对于指定测度空间的零集意义限定。	测度论、概率论、统计学
\(\varphi=\varphi^+-\varphi^-,\;|\varphi|=\varphi^++\varphi^-\)	\varphi=\varphi^+-\varphi^-,\;|\varphi|=\varphi^++\varphi^-	Jordan 分解与全变差 符号测度的正变差、负变差及全变差测度。	符号测度、测度分解
\(\varphi\ll\mu,\;\varphi\perp\psi\)	\varphi\ll\mu,\;\varphi\perp\psi	绝对连续与互奇异 测度间的绝对连续关系与互奇异关系。	测度论、概率论
\(\varphi=\varphi_c+\varphi_s,\;\varphi_c\ll\mu,\;\varphi_s\perp\mu\)	\varphi=\varphi_c+\varphi_s,\;\varphi_c\ll\mu,\;\varphi_s\perp\mu	Lebesgue 分解 测度相对于给定测度的绝对连续部分与奇异部分。	测度论、概率论
\(P g^{-1},\;\dfrac{\dif P g^{-1}}{\dif\nu}\)	P g^{-1},\;\dfrac{\dif P g^{-1}}{\dif\nu}	推前分布与密度 测度经可测映射 g 得到的推前测度及其 Radon–Nikodym 密度。	概率论、统计计算
\(M_f(t)=\operatorname{E}(e^{tf})\)	M_f(t)=\operatorname{E}(e^{tf})	矩母函数 随机变量或可测函数的指数矩生成函数。	概率论、概率分布
\(K_{\mathbf{X}}(t)=\log M_{\mathbf{X}}(t)\)	K_{\mathbf{X}}(t)=\log M_{\mathbf{X}}(t)	累积量生成函数 随机向量矩母函数的对数。	概率论、多元分布
\(\varphi_f(t)=\operatorname{E}(e^{itf})\)	\varphi_f(t)=\operatorname{E}(e^{itf})	特征函数 随机变量或可测函数的 Fourier 型变换。	概率论、渐近理论

代数与分析

数学记号	LaTeX	含义	适用范围
\(M_{m\times n}(K),\;M_n(K)\)	M_{m\times n}(K),\;M_n(K)	矩阵空间 数域 K 上的矩形矩阵空间与方阵空间。	线性代数、统计学中的矩阵条件
\(\operatorname{rank}(A),\;\operatorname{tr}(A),\;\operatorname{diag}\{a_i\}\)	\operatorname{rank}(A),\;\operatorname{tr}(A),\;\operatorname{diag}\{a_i\}	矩阵算子 秩、迹与对角矩阵构造。	线性代数、统计学
\(\operatorname{Ker}\mathcal{T},\;\operatorname{Im}\mathcal{T},\;\operatorname{Hom}(X,Y),\;\mathcal{L}(X,Y)\)	\operatorname{Ker}\mathcal{T},\;\operatorname{Im}\mathcal{T},\;\operatorname{Hom}(X,Y),\;\mathcal{L}(X,Y)	线性映射相关对象 核、像、线性映射空间与有界线性算子空间。	线性代数、泛函分析
\(\mathcal{M}(A)\)	\mathcal{M}(A)	列空间 矩阵 A 的列向量张成的线性空间。	矩阵论、线性模型
\(A^-,\;A^+\)	A^-,\;A^+	广义逆 任意广义逆与唯一 Moore–Penrose 广义逆。	矩阵论、线性模型
\(\langle\seq{\alpha}{n}\rangle,\;\operatorname{span}\{\seq{\alpha}{n}\}\)	<\seq{\alpha}{n}>,\;\operatorname{span}\{\seq{\alpha}{n}\}	向量组张成空间 有限向量组张成的线性子空间。	线性空间、线性方程组
\(\operatorname{D}Tx_0,\;\operatorname{D}_GTx_0,\;\dif T(x_0;h),\;\nabla fx_0\)	\operatorname{D}Tx_0,\;\operatorname{D}_GTx_0,\;\dif T(x_0;h),\;\nabla fx_0	微分、方向导数与梯度 Fréchet 微分、Gâteaux 微分、方向导数与梯度。	微分学、优化
\((X,\rho),\;U(P_0,\delta),\;\mathring{E},\;E',\;\partial E,\;\overline{E}\)	(X,\rho),\;U(P_0,\delta),\;\mathring{E},\;E',\;\partial E,\;\overline{E}	度量与拓扑对象 度量空间、邻域、内部、导集、边界与闭包。	度量空间、拓扑相关章节
\(\operatorname{Conv}(E),\;\operatorname{Aff}(E),\;\operatorname{Cone}(E)\)	\operatorname{Conv}(E),\;\operatorname{Aff}(E),\;\operatorname{Cone}(E)	凸、仿射与锥包 集合的凸包、仿射包与锥包。	凸分析、优化
\(A=(a_{ij}),\;A(i;j),\;\mathbf{0},\;I_n\)	A=(a_{ij}),\;A(i;j),\;\mathbf{0},\;I_n	矩阵基础记号 按元素表示的矩阵、矩阵元素、零矩阵与单位矩阵。	矩阵论、线性模型、多元统计
\(\det A=|A|\)	\det A=|A|	行列式 方阵 A 的行列式及其竖线写法。	矩阵论、多元统计
\((x,y),\;||x||=\sqrt{(x,x)}\)	(x,y),\;||x||=\sqrt{(x,x)}	内积与诱导范数 向量的内积以及由内积诱导的范数。	内积空间、Hilbert 空间
\(x\perp y,\;x\perp M,\;M^{\perp}\)	x\perp y,\;x\perp M,\;M^{\perp}	正交与正交补 元素或子空间间的正交关系，以及子空间的正交补。	内积空间、矩阵论、预测理论
\(X=X_1\oplus\cdots\oplus X_n\)	X=X_1\oplus\cdots\oplus X_n	直和 线性空间由若干子空间作唯一分解得到的直和。	线性空间、线性变换、矩阵论
\(X/E,\;X\cong Y,\;\operatorname{codim}E\)	X/E,\;X\cong Y,\;\operatorname{codim}E	商空间、同构与余维 线性空间关于子空间的商、空间同构以及子空间余维。	线性空间、线性映射
\(A\otimes B\)	A\otimes B	Kronecker 积 两个矩阵按块构造的 Kronecker 乘积。	矩阵论、附录
\(\operatorname{vec}(A),\;\operatorname{rvec}(A)\)	\operatorname{vec}(A),\;\operatorname{rvec}(A)	矩阵向量化 按列或按行依次堆叠矩阵元素得到的向量。	矩阵论、附录

统计模型与应用

数学记号	LaTeX	含义	适用范围
\((X,\mathscr{A},\mathscr{P}),\;\mathscr{P}=\{P_{\theta}:\theta\in\Theta\}\)	(X,\mathscr{A},\mathscr{P}),\;\mathscr{P}=\{P_{\theta}:\theta\in\Theta\}	统计结构 样本空间、sigma 域与参数化概率测度族。	数理统计
\(\mathbf{X}=(\seq{X}{n}),\;T(\mathbf{X}),\;\hat{\theta}_n,\;\theta_0\)	\mathbf{X}=(\seq{X}{n}),\;T(\mathbf{X}),\;\hat{\theta}_n,\;\theta_0	样本、统计量与参数 样本向量、统计量或估计量、估计值与真实参数。	数理统计、渐近统计
\(L(\theta,\mathbf{X}),\;\ell(\theta,\mathbf{X})=\ln L(\theta,\mathbf{X})\)	L(\theta,\mathbf{X}),\;\ell(\theta,\mathbf{X})=\ln L(\theta,\mathbf{X})	似然与对数似然 参数关于观测样本的似然函数及其自然对数。	极大似然估计
\(S_{\theta}(x),\;I(\theta),\;I_n(\theta)\)	S_{\theta}(x),\;I(\theta),\;I_n(\theta)	得分与 Fisher 信息 得分函数、单个观测与样本的 Fisher 信息。	参数估计、Cramér–Rao 理论
\(\operatorname{Binom}(n,p),\;\operatorname{Poisson}(\lambda),\;\operatorname{Geom}(p),\;\operatorname{NB}(r,p)\)	\operatorname{Binom}(n,p),\;\operatorname{Poisson}(\lambda),\;\operatorname{Geom}(p),\;\operatorname{NB}(r,p)	常用离散分布 二项、Poisson、几何与负二项分布。	一元概率分布、统计推断
\(\operatorname{N}(\mu,\sigma^2),\;\operatorname{Gamma}(\alpha,\lambda),\;\operatorname{Beta}(\alpha,\beta),\;\operatorname{Exp}(\lambda)\)	\operatorname{N}(\mu,\sigma^2),\;\operatorname{Gamma}(\alpha,\lambda),\;\operatorname{Beta}(\alpha,\beta),\;\operatorname{Exp}(\lambda)	常用连续分布 正态、Gamma、Beta 与指数分布。	一元概率分布、统计推断
\(\chi_n^2,\;\operatorname{t}_n,\;\operatorname{F}_{m,n}\)	\chi_n^2,\;\operatorname{t}_n,\;\operatorname{F}_{m,n}	抽样分布 卡方、t 与 F 分布。	抽样理论、假设检验
\(\operatorname{N}_p(\boldsymbol{\mu},\Sigma),\;\operatorname{W}_p(n,\Sigma),\;\varLambda(p,m,n)\)	\operatorname{N}_p(\boldsymbol{\mu},\Sigma),\;\operatorname{W}_p(n,\Sigma),\;\varLambda(p,m,n)	多元抽样分布 多元正态、Wishart 与 Wilks Lambda 分布。	多元统计、抽样分布
\(H_0,\;H_1,\;\alpha,\;p,\;W\)	H_0,\;H_1,\;\alpha,\;p,\;W	假设检验对象 原假设、备择假设、显著性水平、p 值与拒绝域。	假设检验
\(y=X\beta+\varepsilon,\;P_X=X(X^{\top}X)^-X^{\top},\;\hat{e}=y-\hat{y}\)	y=X\beta+\varepsilon,\;P_X=X(X^{\top}X)^-X^{\top},\;\hat{e}=y-\hat{y}	一般线性模型 设计矩阵、参数、误差、投影、拟合值与残差。	线性模型、方差分析
\(\{X_t\},\;\gamma(h),\;\rho(h),\;\mathcal{B}X_t=X_{t-1}\)	\{X_t\},\;\gamma(h),\;\rho(h),\;\mathcal{B}X_t=X_{t-1}	时间序列基础记号 时间序列、自协方差、自相关与位移算子。	时间序列
\(\mathcal{D}=\{(x_i,y_i)\}_{i=1}^{n},\;f_{\theta},\;\widehat{\mathcal{R}}(\theta)\)	\mathcal{D}=\{(x_i,y_i)\}_{i=1}^{n},\;f_{\theta},\;\widehat{\mathcal{R}}(\theta)	机器学习数据与经验风险 观测数据集、参数化模型、预测与经验风险。	机器学习
\(Y^a,\;e_a(L),\;\tau(a,b)=\operatorname{E}(Y^a-Y^b)\)	Y^a,\;e_a(L),\;\tau(a,b)=\operatorname{E}(Y^a-Y^b)	潜在结果与处理效应 潜在结果、倾向性评分与平均处理效应。	因果推断
\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i,\;S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)	\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i,\;S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2	样本均值与样本方差 独立样本的算术均值与无偏样本方差。	数理统计、点估计、抽样分布
\(\mu_{nk}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^k,\;\nu_{nk}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^k\)	\mu_{nk}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^k,\;\nu_{nk}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^k	样本原点矩与中心矩 样本的 k 阶原点矩与 k 阶中心矩。	矩估计、数理统计
\(L[g(\theta),d],\;R[g(\theta),\delta(\mathbf{X})]\)	L[g(\theta),d],\;R[g(\theta),\delta(\mathbf{X})]	损失与风险函数 决策结果的损失，以及决策函数在参数下的期望损失。	统计决策、点估计
\(\operatorname{MSE}(f),\;\operatorname{MSE}_{\theta}[\delta(\mathbf{X})]\)	\operatorname{MSE}(f),\;\operatorname{MSE}_{\theta}[\delta(\mathbf{X})]	均方误差 预测或估计误差平方的期望。	预测、参数估计、时间序列
\(p(\theta),\;p(y\mid\theta),\;p(\theta\mid y)\)	p(\theta),\;p(y\mid\theta),\;p(\theta\mid y)	先验、似然与后验 Bayesian 推断中的先验分布、条件似然与后验分布。	Bayesian 统计
\(\hat{\theta}_{MD},\;\hat{\theta}_{ME},\;\hat{\theta}_{E}\)	\hat{\theta}_{MD},\;\hat{\theta}_{ME},\;\hat{\theta}_{E}	Bayesian 点估计 后验中位数、后验众数与后验期望估计。	Bayesian 统计、点估计
\(Y_i=\varphi_i^{\top}\mathbf{X},\;\eta_i\)	Y_i=\varphi_i^{\top}\mathbf{X},\;\eta_i	主成分与贡献率 随机向量的第 i 个主成分及其方差贡献率。	多元统计、主成分分析
\(\mathbf{X}=\boldsymbol{\mu}+AF+\varepsilon\)	\mathbf{X}=\boldsymbol{\mu}+AF+\varepsilon	因子模型 观测向量由均值、公共因子载荷与特殊因子构成的模型。	多元统计、因子分析
\(\mathbf{U}_i=\alpha_i^{\top}\mathbf{X},\;\mathbf{V}_i=\beta_i^{\top}\mathbf{Y}\)	\mathbf{U}_i=\alpha_i^{\top}\mathbf{X},\;\mathbf{V}_i=\beta_i^{\top}\mathbf{Y}	典型变量 两组随机向量的第 i 对典型线性组合。	多元统计、典型相关分析
\(\operatorname{WN}(\mu,\sigma^2)\)	\operatorname{WN}(\mu,\sigma^2)	白噪声 均值为 μ、方差为 σ² 的白噪声序列。	时间序列
\(\operatorname{AR}(p),\;\operatorname{MA}(q),\;\operatorname{ARMA}(p,q)\)	\operatorname{AR}(p),\;\operatorname{MA}(q),\;\operatorname{ARMA}(p,q)	平稳时间序列模型 自回归、滑动平均与自回归滑动平均模型。	时间序列
\(w_a(T,L),\;\hat{\mu}_a^{\text{IPW}},\;\hat{\tau}^{\text{IPW}}(a,b)\)	w_a(T,L),\;\hat{\mu}_a^{\text{IPW}},\;\hat{\tau}^{\text{IPW}}(a,b)	因果加权与 IPW 估计 处理水平权重、逆概率加权均值与处理效应估计。	因果推断、倾向评分

依语境使用的符号

数学记号	LaTeX	含义	适用范围
\(X\)	X	X 的局部含义 可能表示底层空间、随机变量、随机向量、样本或设计矩阵。	全项目
\(P\)	P	P 的局部含义 可能表示概率测度、分割、投影矩阵或参数概率律。	全项目
\(I\)	I	I 的局部含义 可能表示单位矩阵、指示函数、Fisher 信息或指标集。	全项目
\(\mu,\;\lambda\)	\mu,\;\lambda	测度与参数常用希腊字母 μ 可表示测度、均值或位置参数；λ 可表示 Lebesgue 测度、特征值或分布参数。	全项目
\(\alpha,\;\rho\)	\alpha,\;\rho	系数、水平与度量相关字母 α 可为显著性水平、系数、参数或步长；ρ 可为度量、相关或常数。	全项目
\(\sigma,\;\Sigma\)	\sigma,\;\Sigma	尺度、协方差与其他 sigma 对象 可能表示标准差、误差尺度、协方差矩阵、奇异值或其他对象。	全项目
\(\mathscr{P},\;\mathcal{B}\)	\mathscr{P},\;\mathcal{B}	幂集、测度族、Borel 域与位移算子 书写体 P 在幂集与概率测度族间复用；花体 B 在 Borel sigma 域与时间序列位移算子间复用。	测度论、统计学、时间序列
\(\mathcal{D},\;L,\;F\)	\mathcal{D},\;L,\;F	数据集、函数与域的复用字母 D 可为数据集或决策空间；L 可为似然、损失、算子或协变量；F 可为域、分布函数或 F 分布对象。	全项目
\(\theta\)	\theta	参数与系数 可能表示统计参数、凸组合系数、角度或线搜索参数。	全项目
\(\varphi\)	\varphi	函数与测度相关对象 可能表示函数、简单函数、符号测度、检验函数或可估函数。	全项目
\(\mathit{\Lambda}\)	\varLambda	Lambda 矩阵或统计量 可表示矩阵分解中的对角矩阵或 Wilks Lambda 统计量。	矩阵论、多元统计